Oeuvres complètes. Tome XII. Travaux de mathématiques pures 1652-1656

[p. 87]

XXI.¹⁾
1653.

25 Nov. 1653.

[Fig. 1.]

Centra gravitatis invenire secundum methodum Fr. Schotenij quae pertinet ad plana vel solida ejus naturae, ut in segmento abscisso sectione basi parallela, centrum grav. in eandem rationem dividat diametrum segmenti, atque in tota magnitudine diametrum totam.

Sit AB diam. trianguli GAL ∞ a et E ponatur c. gr. item N centr. gr. GHKL. Sitque AE ∞ x; BD ∞ y.

BA (a) ad DB (y) ut AE (x) ad EF (xy/a) ergo

[Fig. 2.]

F c. gr. triang. HAK. ut GHKL (2ay -²⁾ yy) ad ∆ HAK (aa -²) - 2ay + yy) ita EF (xy/a) ad EN³⁾ ∞ EB (a - x)

2aay - 2axy ∞ axy; haec tantum scribere opus quia cetera delenda forent.

1) Dans la pièce qui suit et que nous avons empruntée aux pages 249-251 du manuscrit N^o. 12, Huygens détermine le centre de gravité du triangle à l'aide d'une méthode qui lui fut communiquée par van Schooten et qui lui semble avoir frappé comme ingénieuse. Plus tard, en 1657, van Schooten publia cette méthode dans son ‘Exercitationum mathematicarum Liber V. Continens Sectiones triginta miscellaneas,’ p. 458-459 (voir l'ouvrage cité dans la note 3, p. 184 du T. I). Il l'y applique à la parabole en supposant connu déjà le centre de gravité du triangle.
Ajoutons que, dans sa lettre du 10 décembre 1653 à van Schooten (p. 254-256 du T. I.), Huygens revient sur la même méthode pour en donner une autre application.

2) Après coup Huygens remplaça ces minus par le signe qu'il emploie pour indiquer qu'on doit choisir + ou - d'après les circonstances. En même temps il a ajouté la Fig. 2 qui se rapporte au cas où l'on prend le signe +.
D'ailleurs les expressions 2ay yy et aa 2ay + yy n'indiquent pas les aires des figures GHKL et HAK mais elles leur sont proportionelles.

3) Cette proportion se déduit du théorème d'Archimède qui sera cité plus bas.

[p. 88]

Ratio methodi⁴⁾ est haec. Quoties enim E non est ipsum gravitatis centrum possibile est tam exiguum abscindere [Fig. 1) vel adjungere [Fig. 2] frustum GHKL, ut divisa DA in F similiter ac BA in E, faciendoque ut FE ad EN eandem habeat rationem quam frustum GHKL ad ∆ HAK, cadat N non inter D et B ubi debebat secundum 8.^m Aequipond.^m Archim. 2.^di5) (fuiffet enim ex constr. N centrum gr. GHKL) sed extra eam, et quidem ab E ultra B, cum E à vertice A magis remotum erit quam verum grav. centrum: et tunc abscindenda est portio GHKL [Fig. 1]. Sed ab E citra B cum propius vertici A sumetur centrum E quam verum grav. centrum: et tunc adjungenda est portio GHKL [Fig. 2.].

Quin et ea ratione detrahi vel addi potest GHKL ut constructis ijs quae dictae sunt, incidat N in B. quod cum fiet, inde demonstratio facile deducetur quae deducat ad absurdum. Nam cum N incidet in B nequaquam poterit esse centr. gr. HGKL.

Ut igitur demonstratio habeatur, quaerendum est posito E, quantum adjungendum vel auferendum sit frustum GHKL, ut constructis quae supra cadat N in B. Idque eo qui sequitur modo.

Sit AD ∞ q. quae quaeritur [Fig. 3.].

Et erat BA ∞ a, AE ∞ x. Ergo qx/a ∞ AF

∆ GAL (aa) ad ∆ HAK (qq) ut NF ∞ BF (a - qx/a) ad

[Fig. 3.]

NE ∞ BE (a - x) per 8.2. Aeq.⁵⁾

Si E centrum gr. dicatur trianguli GAL posita licet AE majore primum quam

4) Au lieu cité dans la note 1, van Schooten a cru pouvoir se dispenser de démonstrations faites, comme celle qui va suivre, à la mode des anciens.

5) Consultez sur ce théorème la note 6, p. 295 du Tome XI.

5) Consultez sur ce théorème la note 6, p. 295 du Tome XI.

[p. 89]

⅔ AB: Sit punctum D ita collocatum ut sicut BE ad EA ita sit qu. DA ad qu. AB + ▭ BAD, (quod est secundum analysin explicatam,) et ducatur HDK parall. GL. erit autem DA minor quam BA, quod sic ostenditur.

Sit duabus BA, AD tertia proportionalis AO, seu potius sit AO quae cum AB comprehendat rectang. aequale qu^o AD.

Est igitur ▭ BA, AO ad qu. AB + ▭ BA, AD hoc est AO ad utramque simul BA, AD, ut BE ad EA; sed quia AE major ponitur quam ⅔ BA erit ratio BE ad EA minor quam subdupla. Ergo et AO ad BA + AD minor quam subdupla: unde liquet quod AO est minor ex tribus proportionalibus BA, DA, OA. Ergo BA major quam DA.

Porro autem quoniam est qu. DA ad qu. BA + ▭ BAD ut BE ad EA, h.e. ut ▭ EBA ad ▭ EAB, et permutando erit qu. DA ad ▭ EBA ut qu. BA + ▭ BAD ad ▭ EAB, h.e. ut BA + AD ad EA. h.e. ut ▭ BAD + q. AD ad ▭ EAD, quia verò ut q. BA + ▭ BAD ad ▭ EAB ita est ▭ BAD + q. AD ad ▭ EAD erit etiam ut q. BA + ▭ BAD ad ▭ EAB ita (aufer.^o 3^m à primo et 4^m a 2^do) qu. BA - q. AD ad ▭ EA, BD. Ergo quoque ut qu. DA ad ▭ EBA ita q. BA - q. DA ad ▭ EA, BD. h.e. ad ▭ BAE - ▭ DAE. h.e. ad ▭ BAE - ▭ BAF, (namque est BA ad DA ut AE ad AF.) h.e. ad ▭ BA, EF et permut.^o ut qu. DA ad q. BA - q. DA ita ▭ EBA ad ▭ BA, EF h.e. ita EB ad EF, et invert.^o Verum ut q. BA - q. DA ad qu. DA ita est frustum GK ad triang. HAK; Ergo frustum GK ad triang. HAK ut FE ad EB. Est autem secundum ea quae posita fuere

[Fig. 4.]

E centrum grav. triang.ⁱ GAL, et F centr. grav. triang. HAK, Ergo per 8.2ⁱ AEqui. Archim. erit in B centr. gr. srusti GK, quod fieri non potest.

Rursus si AE minor dicatur quam ⅔ AB, et E [Fig. 4] gr. centr. triang. GL, positâ DA ut prius, ostendetur DA major quam BA. Et rursus per similem demonstr.^m erit in B centr. gr. frusti GK, quod absurdum.

Non est igitur AE neque major neque minor quam ⅔ AB, si E futurum est triang.ⁱ GAL centr. gr. Ergo centrum grav. apparet ita dividere BA ut pars ad verticem sit subsesquialtera totius, sive dupla reliquae ad basin.