Oeuvres complètes. Tome XII. Travaux de mathématiques pures 1652-1656

[p. 81]

XIX.¹⁾
1653.

Problema. 17 Sept. 1653.

Data parabola et puncto extra ipsam, ducere ex eo rectam lineam quae parabolam secet ad angulos rectos.

Esto data Parabola AB [Fig. 1, 2], punctumque C extra ipsam. Factum jam sit quod proponitur, ut nempe CAG secet parabolam ad ang. rectos, ergo ducta

[Fig. 1.]

[Fig. 2.]

perpend.ⁱ AE erit EG dimidio lateri recto aequalis; ducatur autem et CF ad axem perpend. et sit BF, a. CF, b, latus rectum r. et AE, x. ergo BE xx/r, et FG (xx/r + ½r²⁾ a) ad FC (b) ut GE (½r) ad EA (x). x³/r + ½rx ax ∞ ½br

1) La pièce, empruntée à la p. 240 du manuscrit N^o. 12, traite le même problème devant lequel Huygens s'était arrêté, il y avait huit ans, après avoir constaté qu'il menait à une équation cubique; voir les p. 32 et 33 du T. XI.

2) Ce signe indique qu'on doit intercaler + ou - selon les circonstances. Ainsi, dans l'expression pour FG du texte il faut mettre un minus au cas de la Fig. 1 et un plus au cas de la Fig. 2.

[p. 82]

x³ ∞ - ½rrx rax + ½brr et sumendo r per unit. x³ ∞ - ½rx ax + ½b.

[Fig. 3.]

CONSTRUCTIO. Sit posita BH [Fig. 1, 2] aequalis ½ lateris recti, et divisâ FH per medium in K ponatur KL perpend.^is axi et aequalis ¼ FC: et centro L, semidiametro LB describatur circulus qui secet parabolam in A, et ducatur CA; haec secabit parabolam ad angulos rectos.³⁾

Puncto intra Parabolam dato eadem est Constructio [Fig. 3].

Potest autem circulus secare parabolam in uno duobus aut tribus punctis, quae omnia problemati satisfacient.

Alexander Andersonus hoc Problema solidum esse scribit.⁴⁾ Attamen si hoc idem est propter cujus constructionem Apollonius à Pappo reprehenditur,⁵⁾ ut existimat idem Andersonus, manifestum erit veteres pro plano habuisse.

Quod sane verosimile videtur, namque ad constructionem Coni sectione non est opus praeter Parabolam quae data est.⁶⁾

3) Pour arriver à cette construction Huygens n'avait qu'à appliquer textuellement la règle exposée par Descartes dans sa ‘Géométrie’ (p. 465-467 du T. VI de l'édition d'Adam et Tannery) pour la résolution par construction de l'équation cubique: x³ = px + q.

4) Conférez avec le passage qui suit, les dernières phrases du premier alinéa de la Lettre N^o. 163 (p. 242-243 du T. I) du 20 septembre 1653 à van Schooten et consultez sur Anderson et sur sa remarque la note 3 de cette lettre N^o. 163.

5) Voici le passage en question, tel qu'on le trouve à la page 61 de l'édition de Commandin, citée dans la note 3, p. 259 du T. II (Hultsch, T. I, p. 270-273) ‘videtur autem quodammodo peccatum non paruum esse apud Geometras, cum problema planum per conica, vel linearia ab aliquo inuenitur. & ut summatim dicam, cum ex improprio soluitur genere, quale est in quinto libro conicorum Apollonii problema in parabola: & in libro de lineis spiralibus Archimedis: assumpta solida inclinatione in circulo. fieri enim potest, ut nullo vtentes solido problema ab ipso descriptum inueniamus.’

6) Le même manuscrit N^o. 12, d'où nous avons emprunté la pièce présente, contient encore, aux pages 252 et 253, sous l'inscription: ‘Problema Apollonij Perg. ex libro 5 Conic. resolutum supra’ une solution et démonstration purement géométrique du même problême. Elles sont datées du 31 janvier 1655. On les rencontre avec des variantes peu importantes dans la pièce N^o. 365, p. 533-534 du T. I et encore sur une feuille détachée qui fait partie des ‘Chartae mathematicae’. La construction, qu' on y trouve exposée, est identique avec celle de la pièce présente.
Plus tard Huygens s'est occupé du problème plus général de mener d'un point donné les normales à une conique quelconque.