Oeuvres complètes. Tome XII. Travaux de mathématiques pures 1652-1656

[p. 76]

XVII.¹⁾
1653.

1^a Sept. 1653.

Inventio tangentis in Cissoide Dioclis.

[Fig. 1.]

Proprietas Cissoidis haec est ut ducta linea BF quae perpendicularem AC ex cencro A eductam secet in L et Cissoidem in D, sint aequales DL, LF.²⁾

Sit AB ∞ a, BK ∞ x, BE ∞ v, ED ∞ s

³⁾

1) La pièce se trouve à la page 241 du manuscrit N^o. 12. Elle contient la détermination de la tangente à la cissoïde d'après la méthode de Descartes, décrite dans la note 10, p. 65 du Tome présent.

2) Cette propriété est une conséquence presque immédiate de la définition de la cissoïde, qu'on trouve dans les Commentaires d'Eutocius sur l'ouvrage ‘De sphaera et cylindro’ d'Archimède. Voir T. III, p. 80-83 de l'édition de Heiberg, citée p. 50 du T. XI; p. 17-18 de l'édition de Bâle, citée p. 274 du même Tome.

3) Dans le texte, qui va suivre, la méthode de Descartes est employée jusqu'au bout. C'est-à-dire l'équation en x en tête de la page suivante, qu'on écrirait maintenant:



est identifiée terme pour terme avec l'équation .
Or, dans un petit manuscrit qui a appartenu à son frère Philippe, décédé en mai 1657, Huygens a fait des notices et des calculs qui datent de 1657. On y rencontre à la page 31 une autre déduction de la relation qui doit exister entre x et v, basée sur la condition que ss doit être un minimum pour v constant, x variable.
De cette déduction il résulte qu'alors Huygens avait déjà apporté une nouvelle simplification à la méthode, employée p. 66-67 du Tome présent, pour trouver la valeur minimale ou maximale d'une fraction φ (x): ψ (x); cette simplification consiste, en notation moderne, à poser:



où y représente un petit accroissement de la variable x.
Voici, en effet, cette déduction:

[p. 77]

⁴⁾⁵⁾

4) Comparez la note 6, p. 61 du Tome présent.

5) Le second terme de l'équation originale étant , Huygens additionne - vv - 4av à la valeur de ss calculée d'après la formule précédente, pour égaler ensuite le coefficient obtenu à - 2e.

[p. 78]

Constructio.

[Fig. 2.]

Jungatur BD [Fig. 2] et sint perpendiculares DK et DQ super AB et BD, eritque BQ .⁶⁾ Porro ut KH ad HA ita sit KQ ad QE, eritque QE quae addita ad BQ facit BE ut oportebat. NB. BQ est idem q[uo]d . 4aa - 4ae + ee est qu. KH.

Trianguli BFH,⁷⁾ BDQ⁸⁾ sunt similes. Unde proportionales GB, BH : KB, BQ. Item HK, KB, KQ.

6) On a BQ = BD² : :



.

7) Voir la Fig. 1.

8) Voir la Fig. 2.