Oeuvres complètes. Tome XII. Travaux de mathématiques pures 1652-1656

[p. 69]

XV.¹⁾
1653.

22 Jan. 1653.

Inventio regulae qua utimur ad inveniendam ex lateribus aream trianguli.

Sit triangulum ABC cujus data sint latera, et oporteat aream invenire. Ponatur



intra triangulum circulus descriptus GDFE, et ductae ex centro G ad latera perpendiculares GD, GE, GF quas constat esse aequales, ideoque cum triangulum ABC sit aequale tribus triangulis AGC, CGB, BGA, erit idem aequale triangulo cujus basis aequalis tribus AB, BC, CA et altitudo GD. Igitur quaerenda est GD.

Sit AB ∞ a, BC ∞ b, CA ∞ c et DC ∞ y. Ergo et CE ∞ y. Ergo BE sive BF ∞ b - y, et proinde AF ∞ a - b + y.

AF a - b + y ∞ c - y AD.

DC . Sit nunc GD ∞ x et ducatur BN perpend. ad AC et producantur CB, DG donec occurrant sibi mutuo in L. Per 13. lib. 1.²⁾ Elem. est . haec vocetur e: et propter ∆^la similia erit

1) La pièce occupe les pages 235 et 236 du manuscrit N^o. 12. Elle contient une déduction de la formule de Héron.

2) Lisez ‘per 13. lib. 2.’ et consultez la note 18, p. 30 du Tome présent.

[p. 70]

q. CN (ee) ad q. NB (bb - ee) ut q. CD (yy) ad q.

item

denominator primi et secundi termini quia idem est aufertur; deinde primus et tertius terminus dividi possunt per b + c - a. Et fit

b + c + a ad ut aa - bb + 2bc - cc ad xx.³⁾ Quia vero GD, x, ducta in dimidium summae laterum, producit aream trianguli ABC, apparet eandem quoque provenire si xx ducatur in quadratum ex , et ex producto radix extrahatur. Sed xx est illud quod oritur ex producto terminorum tertij et secundi, ultimo positorum, diviso per primum qui est a + b + c. Ergo quoniam hoc multiplicari rursus deberet per qu. ex apparet tantum opus esse ut secundus terminus in tertium ducatur et hoc productum rursus in , atque ex ultimo producto radix eliciatur: Atque hanc fore aream trianguli quaesitam. Oportet igitur multiplicare aa - bb + 2bc - cc per et horum pro-

3) Huygens annota en marge: ‘Theorema ad inveniendum semidiametrum circuli in triangulo.’

[p. 71]

ductum per . Hoc autem idem est ac si haec tria multiplicentur, nempe et et . Sed oritur ex multiplicatione in . Itaque haec quatuor multiplicanda sunt, videlicet, et et et , et producti radix erit area trianguli ABC. Tres autem priores termini inveniuntur si ex dimidio summae laterum singula latera auferantur, estque quartus terminus ipsa medietas summae laterum.

Igitur hinc regula manifesta fit quae ad aream trianguli inveniendam praecipit, ut ex dimidia summa laterum singula latera auferantur; et haec tria residua in se mutuo ducantur et in dimidium summae laterum, atque ut ex producto radix eliciatur.