Oeuvres complètes. Tome XII. Travaux de mathématiques pures 1652-1656

[p. 60]

XIV.¹⁾
1652.
De maximis et minimis.

15 Sept. 1652.

1) La pièce, que nous avons divisée en trois parties, se trouve aux pages 217-225 du manuscrit N^o. 12. La première partie contient une exposition de la méthode ‘De maximis et minimis’ de Fermat, suivie d'une autre méthode, inventée à cette occasion: la seconde une modification, apportée par Huygens à la méthode de Fermat, avec application à un problème suggéré par la pièce N^o. VIII; la troisième la démonstration d'une construction simple par laquelle Huygens avait résolu le problème en question.

[Première Partie.]

Ostenditur quae ratio sit regulae Fermattij, cujus exempla inferius à Schotenio asscripta sunt,²⁾ dein alia docetur brevior.³⁾

Esto data positione recta ED et puncta A, B: oporteatque invenire in ED punctum

[Fig. 1.]

C, unde ductis CA, CB, quadrata earum simul sumpta sint minima quae esse possint.⁴⁾ Sit AE ∞ a, BD ∞ b (hae autem perpendiculares intelliguntur ad ED quae sit c). Secundum Fermattij regulam ponitur primum EC si velimus ∞ x unde summa quadratorum AC, CB invenitur aa + 2xx - 2cx + cc + bb. Deinde pro eâdem EC ponitur x+y, indeque inventâ rursus summâ quadr.^orum AC, CB aa + 2xx + 2yy +

2) Consultez sur la méthode de Fermat et sur les exemples de van Schooten, qui se trouvent aux pages 284-287 du manuscrit N^o. 12, la page 19 du Tome XI.

3) Il s'agit de la méthode dont l'exposition commence avec le second alinéa de la page suivante; mais voyez plus loin la note 13.

4) On retrouvera le même exemple dans la ‘Demonstratio regulae de maximis et minimis’, cité dans la note 1 de la Lettre N^o. 2435 (p. 95 du T. IX),

[p. 61]

+ 4xy - 2cy - 2cx + cc + bb, horum aequatio instituitur ubi aequalibus ablatis utrimque fit 2yy + 4xy ∞ 2cy. Tum per y dividitur fitque 2y + 4x ∞ 2c. Denique termini in quibus y reperitur rejiciuntur ut hic 2y, et restat 4x ∞ 2c et x ∞ ½c. Horum ratio ut intelligatur oportet quantitatem y ab initio alicujus magnitudinis lineam denotare ut CF; Illud enim revera quaeritur, nimirum EC existente ∞ x quanta debeat esse CF, ut ductis FA, FB, harum duarum quadrata aequentur quadratis CA et CB. Semper quippe ubi maximum vel minimum quaeritur, utrimque casus aequalitatis existit. Itaque quum in aequatione inveniatur - 4x + 2c ∞ 2y vel c - 2x ∞ y hoc significat, si x, EC, pro determinatae magnitudinis linea sumatur tum CF, y, fore c - 2x, vel si certa statuatur CF, y differentia nempe duarum EC, EF, tum EC, x fore ½c - ½y. Patet autem, quanto minor statuetur y, tanto minus differre x ab ½c quare si aequalis nihilo sit y, erit x aequalis ½c. Hincque manifestum est, quod si EC ponatur ∞ ½ ED et ducantur CA, CB harum quadrata minima erunt quae esse possunt, tunc enim casus aequalitatis nullus esse poterit, et ponendo CF quamlibet exiguam si major sit quam nihil, erunt quadrata FA, FB majora quam CA, CB.⁵⁾

Illud autem quod modo dictum est considerans, quod nempe ubi de maximis vel minimis inquiritur, semper utrimque aequalitatis casus existit, alium quoque modum ad ea determinanda inveni. Animadverti enim, quod si problema de maximo vel minimo determinando propositum, sic resolvatur quasi non maximum vel minimum sed dato aequale quaeramus, tum semper aequatio invenietur in qua radix quaesita habebit duos valores, quorum uterque proposito satisfaciet, qui quidem diversi erunt; at quanto minus inter se differunt, tanto propius ad casum determinationis accedunt, ita ut ubi alter alteri aequalis existit ibi sit determinatio minimi vel maximi. Ubi igitur quaerendo dato aequale, ut dixi, ad aequationum perveneris, et volueris ex ea maximum vel minimum reperire, ita ipsam expendes tanquam duos valores habentem, sibi mutuo aequales. itaque scibis singulos ejus terminos cum singulis terminis alius aequationis comparari posse quae oritur ex multiplicatione radicis quaesitae, multatae quantitate sibi aequali, in seipsam. quod productum si non tot habet dimensiones quot aequatio proposita, rursus ducendum erit in aliam quantitatem quae deficientes alteri dimensiones contineat, suppleatque; secundum ea quae docet Cartesius lib. 2. Geom. ubi tangentes invenire docet.⁶⁾ Hoc pacto si punctum C quaesiverimus in exemplo praecedente,

5) Huygens ajoute en marge: ‘Ponendo y pro differentia radicum, ita ut certam lineam significet, quaeritur quanta futura sit radix minor, ut aequalia sint quadata AC, CB quadratis AF, FB.’ Il s'agit ici des deux racines qu'on obtient en égalant l'expression aa + 2xx - 2cx + cc + bb à une constante.

6) La méthode de Descartes, pour trouver les conditions sous lesquelles une équation algébrique quelconque possède deux racines égales, est exposée aux pages 418-423 du T. VI de l'édition d'Adam et Tannery; où on lit: ‘De plus, il faut considerer que, lorsqu'il y a deux racines esgales en vne equation, elle a necessairement la mesme forme que si ou multiplie, par soy mesme, la quantité qu'on y suppose estre inconnuë, moins la quantité connuë qui luy est égale; & qu'après cela, si cette derniere somme n'a pas tant de dimensions que la precedente, on la multiplie par vne autre somme qui en ait autant qu'il luy en manque: affin qu'il puisse y auoir separement equation entre chascun des termes de l'vne & chascun des termes de l'autre.’
Ainsi, pour traiter une équation de la sixième dimension, c'est-a-dire du sixième degré, Descartes égale identiquement le premier membre de l'équation à l'expression:(yy-2ey + ee) (y⁴ + fy³ + ggyy + h³ + k⁴).

[p. 62]

oportet inventam summam quadratorum AC, CB, aequare certo spatio dd, quasi propositum habeamus invenire punctum unde ductis CA, CB, quadrata earum spatio alicui dd aequalia habeantur. Itaque scribe aa + 2xx - 2cx + cc + bb ∞ dd, vel xx- cx + ½aa + ½cc - ½dd + ½bb ∞ o. Postea aliam aequationem finge ponendo x ∞ e, et x - e ∞ o, quod ductum in seipsum faciet xx - 2ex + ee ∞ o. Si itaque praecedens aequatio minimi determinationem continet, debet habere x duos valores aequales, ideoque singulos ejus aequationis terminos singulis terminis posterioris aequare licet. Primus utrimque est plane idem, itaque secundus comparetur faciendo - cx ∞ - 2ex unde invenitur e ½c hoc est x ∞ ½c. Quod inveniendum erat. Caeterum comparando terminos postremos ½bb + ½aa + ½cc - ½dd ∞ ee, invenietur quantitas dd ∞ aa + cc - 2ee + bb hoc est, dd ∞ aa + bb + ½cc; nam - 2ee est - ½cc, quoniam inventum fuit ½c ∞ e. Et hoc quidem determinationem exhibet in casu quo datum foret problema ut dato aequale quaeratur, deberet enim dd non minus dari quam aa + bb + ½cc; sed cum maximum vel minimum quaeritur sufficit invenisse quocunque modo quantitatem x; et quoniam dd tunc tantum imaginarium est, oportet invenire x aequalem quantitati cognitae quae non admixtum habeat d, quod semper fieri potest.⁷⁾ Rationem autem comparationis

[Fig. 2.]

aequationum mox ostendam, ubi exemplum cubicae aequationis explicavero. Sint lineae angulum rectum continentes BE, BF et datum intra angulum punctum D, oporteatque ducere EDF rectam omnium brevissimam.⁸⁾ Ductis perpendicularibus DC, DA datae sunt BC ∞ b et BA ∞ a. Sit autem AF ∞ x ergo quoniam AF ad AD ut DC ad CE erit haec ∞ ab/x et tota BE ∞ ∞ b + ab/x; cujus quadratum addatur ad quadratum BF aa + 2ax + xx summa est

7) Huygens ajoute en marge: ‘aliquando ex aequatione quadrata, etiam tertius terminus comparari debet ipsi ee, nempe si in secundo termino quantitas d habebitur.’

8) Ce problème s'est présenté à Huygens à propos de la ‘determinatio’ du problème, traité dans la pièce N^o. VIII. Comparez la p. 40 du Tome présent à commencer par les mots: ‘Determinatio autem problematis solida est,’ etc.
Ajoutons qu'en 1657 Huygens posa le même problème à De Sluse dans sa lettre du 27 juillet (p. 41 du T. II). De Sluse ne manqua pas de reconnaître l'identité du problème avec celui de trouver les deux moyennes proportionelles entre les lignes AB et BC et de le résoudre au moyen de l'artifice indiqué par Héron et que nous avons mentionné dans la note 10, p. 40 du Tome présent. Voir la réponse de De Sluse du 31 juillet 1657 (p. 43 du T. II).

[p. 63]

qu. EF,

imaginari enim oportet lineam EF datae d aequalem inveniendam esse. itaque erit

Formetur porro alià aequatio quarum haec comparetur. Sit x ∞ e vel x-e ∞ o quod in se ductum dat xx - 2ex + ee ∞ 0 caeterum quoniam duae hic dimensiones desunt per aliam quantitatem multiplicetur quae secundum Cartesium erit xx + fx + hh

Comparetur terminus secundus hujus aequationis cum secundo praecedentis ergo f - 2e ∞ 2a et f ∞ 2a + 2e. Porro ultimus cum ultimo ergo eehh ∞ aabb et hh ∞ aabb/ee. nunc denique penultimus cum penultimo aequationis prioris: nam tertius cum tertio comparandus hic non est, quoniam habet quantitatem imaginariam d. Ergo eef - 2ehh ∞ 2abb. vel ponendo pro f et hh, ea quibus aequalia inventa sunt erit

quod utrimque dividitur per e + a et fit e³ ∞ abb vel x³ ∞ abb nam x erat ∞ e. Debet itaque AF esse una e medijs proportionalibus inter BA et BC, ut fiat FDE omnium brevissima quae per punctum D ducuntur inter lineas BF, BE.

ad comparationes aequationum quod attinet, apparet equidem quam eae rationem habeant in aequationibus quae quadratum non excedunt, ut in priori horum

[p. 64]

exemplorum. Nam in quacunque aequatione quadrata, si sciam radicem habere duos valores aequales, possum singulos eorum invenire per ejusmodi comparationem; sic posito

fi constet x valere duas quantitates aequales comparo a + b + c cum 2e nempe secundum terminum cum secundo meae aequationis quam formavi xx - 2ex + ee. fitque e ∞ ½a + ½b + ½c itaque valor uterque radicis x est ½a + ½b + ½c. Quod si invenire velim ex qua multiplicatione proposita aequatio sit orta, comparo porro ultimos terminos ee ∞ ac + bc, seu quoniam e erat inventum ∞ ½a + ½b + ½c, fiet

quare ejus radix a + b - c ∞ 0; a + b ∞ c unde e quae erat ∞ ½a + ½b + ½c erit, nunc ∞ a + b vel ∞ c nam haec sunt aequalia. itaque orta est aequatio proposita ex multiplicatione x - a - b ∞ 0 per x - c ∞ 0, suntque valores duo aequales radicis x, c et a + b. Omnes aequationes quadratae productae sunt hoc modo ex multiplicatione radicis in se ipsam multatae quantitatibus sibi aequalibus, ideoque non mirum, quod ubi duae istae quantitates aequales sunt, secundus terminus aequetur - 2ex hoc est - 2xx nam idem est ac si x - x multiplicatum sit in x - x. quod vero x - e ponitur ∞ 0 adscita litera e ∞ x, hoc fit ut terminorum ordo cum distinctione habeatur.

Porro in cubicis et quadratoquadraticis alijsque aequationibus, talem formare oportet aequationem, ut totidem dimensiones et consequenter tot valores diversos habeat x quot sunt in illa aequatione cui comparari eam necesse est. Ut in exemplo horum posteriori, primum quidem formo aequationem quadratam xx - 2ex + ee, quae duos valores habet eosque aequales; at quoniam hanc quadratoquadraticae conferre nequeo, ducenda est porro in aliam aequationem quadratam, cujus quidem radicis valores ijdem supponuntur cum duobus valoribus radicis aequationis primariae quos habebat praeter duos aequales. nam non aliter termini singuli unius aequationis aequari possunt singulis terminis alterius nisi radix illius omnes eosdem habeat valores aequationis hujus. quod autem ibi multiplicavi per xx + fx + hh, sciendum est hanc esse quadratam aequationem in qua x habet duos valores licet falsi sint, nempe et . Hi itaque valores x aequales supponuntur duobus istis quos habebat x in primaria aequatione praeter duos inter se aequales. quare ducto xx - fx + hh ∞ 0

[p. 65]

in xx - 2ex + e² ∞ o recte aequatio inde producta cum priori secundum singulos terminos confertur, eo quod singuli quatuor valores radicis in una singulis in altera aequales supponantur; ex isto autem supposito, omnia consequenter inveniuntur quae requiruntur ut quod suppositum est verum esse possit, itaque primum invenitur f ∞ 2a + 2e et hh ∞ aabb/ee deinde e³ seu x³ ∞ abb.

Nihil autem interest quae signa + et - sint in xx + fx + hh quae quantitas ducta est in xx - 2ex + ee supplendi dimensiones gratia. quia postmodum quantitates f et hh rursus eliminantur.

Potuisset etiam loco aequationis xx + fx + hh ∞ 0 aliae sumi ut xx - fx - hx + fh ∞ 0, orta ex x - f ∞ 0 per x - h ∞ 0; item xx. fx. fh, et quaelibet praeter has, dummodo praeter x duas alias literas habeant, ductaque in xx - 2ex + ee, omnes dimensiones forment quae sunt in aequatione prima. Sed omnium commodissime sumitur xx. fx. hh, quod Cartesius praescribit⁹⁾. Sciendum autem est, nihil esse aliud, tangentem quaerere secundum ipsius methodum¹⁰⁾ quam ex certo puncto ducere lineam rectam brevissimam earum quae possunt, lineae curvae occurrentem. Et licet aliquando hoc sit solidum,¹¹⁾ et tangentem tamen ad datum in curva punctum ducere planum sit, utrumque ea ratione simul construere discimus et discernitur simul quodnam è duobus solidum quodve planum sit. Illud modo observandum est, quae quantitas duos diversos valores habere possit, cum problema ita resolvitur ut non brevissimam, sed certae lineae aequalem ducere quaeramus.

9) Au lieu cité dans la note 6, Descartes n'emploie que le signe + dans le facteur en question; mais il remarque à propos de ces signes: ‘Mesme il est a remarquer, touchant la derniere somme,... y⁴ + fy³ + ggyy + h³y + k⁴, que les signes, + & -, y peuuent estre supposés tels qu'on veut, sans que la ligne v’ [qu'il s'agit de déterminer en égalant les coefficients des deux équations] ‘se trouve diverse pour cela, comme vous pourrés aysement voir par experience: car, s'il falloit que ie m'arestasse a demonstrer tous les theoresmes dont ie fais quelque mention, ie serois contraint d'escrire vn volume beaucoup plus gros que ie ne desire’.

10) On sait que Descartes remplace la recherche de la tangente à un point donné C d'une courbe, dont l'équation est connue, par celle de la normale. Pour trouver cette dernière il cherche sur l'axe des coordonées un point P situé de telle manière que le cercle, décrit avec le rayon CP du point P comme centre, touche la courbe donnée au point C, ce qui exige que l'équation, qui sert à determiner les intersections du cercle avec la courbe, possède deux racines égales. Comparez les pages 413-419 du T. VI de l'édition d'Adam et Tannery.

11) Comparez p.e. le § 7, p. 32 et 33 du T. XI.

[Seconde Partie.]¹²⁾

Methodus autem Fermatij in solidis problematibus plerisque et praecipue ad tan-

12) L'état du manuscrit fait présumer que la seconde et la troisième partie n'ont été ajoutées à la première qu'après un certain laps de temps; la seconde probablement avant et la troisième, qui est écrite sur une feuille détachée, insérée au manuscrit, après le 22 déc. 1652; date de la pièce qui suit dans le manuscrit et qu'on retrouvera dans le Tome qui contiendra les travaux de dioptrique.

[p. 66]

gentes inveniendas facilior est atque expeditior, si sic ea utamur ut jam dicetur.¹³⁾

Postquam quaestionem sic resolventes quasi dato aequale quaeratur ad aequationem pervenimus, oportet ut illud suppositum datum unam aequationis partem faciat, quod plerumque spontè contingit. Deinde oportet ponere x + y vel x - y ∞ x; sed commodius x + y ∞ x ponetur. et in omnibus quantitatibus aequatîonis ubi habetur x, scribendum est x + y, ita ut quaecunque quantitates per x multiplicatae vel divisae sint multiplicentur per x + y vel dividantur. atque idem observandum in omnibus potestatibus x, ut scilicet pro xx et x³ et x⁴ &c. substituantur quadrata, cubi, quadratoquadrata ab x + y. Neque tamen integras potestates ab x + y scribere est opus, sed partes omnes earum omitti possunt in quibus plura quam unum y continentur.¹⁴⁾ Ita ex quadratoquadr.^o ab x + y, nihil aliud sumendum quam x⁴ + 4 x³y. ex cubo nihil nisi x³ + 3xxy; ex quadrato xx + 2xy. sed et x⁴, x³, et xx, ex hisce omitti sic possunt, ut pro scriptis habeantur, et deletis contra terminos omnes aequationis primae. Nam quae scimus deletum iri ea scribi non est necesse.

[Fig. 3.]

Esto datus angulus EBF, et intra ipsum A punctum. Oporteatque ducere EAF brevissimam quae per punctum A Intra datum angulum duci possit.¹⁵⁾

Sit AD parallel. EB, et AC perpend. ad BF. Et lineae datae vocentur a ∞ BD; b ∞ DA; c ∞ DC et ponatur quoque EF ∞ d quasi data esset. sitque DF ∞ x, quaesita.

BF (x + a ad FE (d) ut DF (x) ad 12.2. Eucl.¹⁶⁾ q.AD(bb) + q.DF(xx) - q.FA∞ 2 ▭ FDC(2cx)

13) Il nous semble probable que Huygens, en composant cette seconde partie, est revenu sur l'opinion qu'il avait exprimée dans la suscription de la première, savoir, que la méthode alternative, qu'il a développée dans cette première partie, serait plus brève que celle fondée sur la règle de Fermat.

14) Comparez la note 11 p. 48 du T. XI.

15) Voir la note 8. Maintenant il s'agit de la ‘determinatio’ dans le cas le plus général du problème de la pièce N^o. VIII.

16) Voir la note 15, p. 29 du Tome présent.

[p. 67]

Sit jam x + y ∞ x et subrogetur ubique ejus quantitas, in quantum opus erit, fit aequatio comparanda cum priori.

adaequantur¹⁷⁾

Post alternas per denominatores multiplicationes aequaliumque ablationem fit

Quando c esset ∞ o hoc est angulus EBF rectus, aequatio dividi posset per x + a, fieritque x³ - abb ∞ o sicut antea quoque inventum est.¹⁸⁾

Quando autem a ∞ b; dividi potest per x - a, ideoque tum x ∞ a et tum planum est problema.

17) C'est-à-dire les deux valeurs obtenues pour dd.

18) Voir la première partie à la page 63. Plus tard, Huygens s'est aperçu que la division par x + a se pouvait accomplir également au cas général. Ainsi à côté de la dernière équation biquadratique du texte, il écrivit: ‘dividi potest per a + x’ et à l'autre côté le résultat de la division, c'est-à-dire: ‘x³ - cxx + acx - abb ∞ o’

[Troisième Partie.]

Problematis hujus constructio superius allata¹⁹⁾ hic demonstranda est, erat autem hujusmodi.

Juncta AB [Fig. 4.] dividatur bisariam in L; positâque regula ad punctum

19) Voir la pièce N^o. VIII, p. 40 du Tome présent, ligne 7 d'en bas, à commencer par les mots: ‘Etenim dato intra angulum BAC puncto D,’ etc.

[p. 68]

[Fig. 4.]

A, ea tam diu moveatur donec positionem habeat FE, faciens LE, LF inter se aequales, fietque EF omnium brevissima quae per punctum A intra angulum EBF duci possunt. Idem quoque factum fuit supra per intersectionem hyperboles et circuli,²⁰⁾ sed utrimque eadem est ratio.

Ducantur AD, AK parallelae EB, BF, et AC perpendicularis in FB. et nomina linearum serventur quae posita fuere.²¹⁾ Ergo existentibus FL, LE inter se aequalibus ostendendum est

²²⁾

Quia in triangulo AEB ducta est EL ad mediam bafin AB erunt quadrata AE et EB dupla simul quadratorum AL et LE, similiterque in triangulo AFB erunt quadrata AF, FB simul dupla quadratorum AL, LF. Ergo si qu.LF aequale qu.^o LE, erunt qu.^a AF, FB simul aequalia qu.^is AE, EB.

p. 12.2. Elem.¹⁶⁾

²³⁾

20) Voir la page 41 du Tome présent à commencer par les mots; ‘Aliter quoque ijsdem positis,’ etc.

21) Voir la seconde partie à la page 66.

22) C'est l'équation finale de la seconde partie.

16) Voir la note 15, p. 29 du Tome présent.

23) Cette dernière ligne a été ajoutée après coup. Comparez la note 18.