Oeuvres complètes. Tome XII. Travaux de mathématiques pures 1652-1656

[p. 49]

XI.¹⁾
1652.

9 Mart. 1652.

Datis positione duabus lineis angulum comprehendentibus AB, AE, et puncto extra angulum C: ducere CFE ita ut comprehensa FE sit aequalis abscissae FB ad datum punctum B in linea AB.

[Fig. 1.]

Ducatur CD parallela BA et occurrat productae EA in D. Dantur igitur AD et DC. Sed et perpendicularis CH data erit quoniam datus angulus EAB vel ADC. Ducatur FK ipsi EA similiter perpendicularis.

Sit AB ∞ a; AD ∞ b; DC ∞ c; DH ∞ d; AE ∞ x.

ED (x + b) ad DC (c) ut EA (x) ad ; ergo vel . ED (b + x) ad DH (d) ut EA (x) ad

1) La pièce est empruntée aux pages 207-209 du manuscrit N^o. 12. Elle contient deux solutions du problème des deux moyennes proportionnelles avec l'analyse qui a conduit à ces solutions, lesquelles ont été reproduites avec des changements de rédaction plus ou moins importantes dans les ‘Illustrium quorundam problematum constructiones’ de 1654 au ‘Probl. III. Datis duabus rectis duas medias proportionales invenire.’

[p. 50]

²⁾

Si ponatur b ∞ 2d et a ∞ 2c erit x³ ∞ baa hoc est, erit AB et AD inter, una duarum mediarum proportionalium AE.

Hinc inventae sunt constructiones duae sequentes.

10 mart.

[Fig. 2.]

Duas medias proportionales invenire inter datas lineas.

Sint datae duae AB et AC, quae sic disponantur ut angulus CBA sit rectus. Compleatur parallelogrammum ABDC, et producatur AB. Et divisâ AC per medium in E, ducatur EHG ita ut abscissae HD sit aequalis HG.

Hoc autem vel sepius tentando assequi possumus, vel ope Hyperboles sicut infra docebimus³⁾ Sed factum jam ponatur, et ducatur GDF occurrens productae AC in F. Dico duarum CA, AB medias esse proportionales BG et FC.⁴⁾ Jungatur enim EB et sit EK⁵⁾ ipsi AB ad angulos rectos. Quia igitur BE aequalis EA, erit quoque BK aequalis

2) Voir la note 18, p. 30 du Tome présent.

3) Voici cette construction telle qu'on la déduit de celle qu'on trouve dans le second alinéa qui suit dans la présente pièce l'en tête ‘Aliter’. Imaginons sur le segment FG un point N, tel qu'on ait GN = FD, alors ce point se trouve en premier lieu sur l'hyperbole qui passe par le point D et qui a AB et AC pour asymptotes, et en second lieu (puisqu'on a EG = EF aussi bien que HG = HD) sur le cercle qui passe par D et qui a E pour centre. On peut donc construire le point N, mener par N et D la droite FG, et tirer enfin EG.

4) On remarquera que cette seconde des deux moyennes proportionnelles ne s'est pas présentée dans l'analyse.

5) La partie du texte que nous venons de reproduire sous la date du 10 mars constitue la rédaction primitive de la solution du problème, où on reconnaît encore aisément les résultats de l'analyse algébrique qui précède. Seulement la notation est changée; l'angle donné BAE de la Fig. 1 se retrouve, tourné à droite, dans la Fig. 2 sous la notation DBG et la construction débute par le triangle rectangle qu'on obtiendrait dans la Fig. 1 en érigeant en A une perpendiculaire qu'on prolongerait jusqu'à ce qu'elle coupe le prolongement de CD et dont l'hypoténuse égalerait AB, puisque AB = a = 2c = 2 CD et AD = b = 2d = 2HD.
Or, le même jour, Huygens a remanié cette partie du texte. Partant de la remarque que l'égalité de HG et HD entraîne celle de EG et EF, il a modifié la construction de manière à produire la même figure par d'autres moyens et dans une autre disposition. C'est cette seconde rédaction, dans laquelle on ne peut presque plus retrouver les résultats de l'analyse, qui a passé avec des modifications légères dans les ‘Ill. quor. probl. constr.’ Elle est comme il suit:
‘10 mart. 1652. Duas medias proportionales invenire inter duas lineas.



Sit major datarum AC, per medium divisa in E, minor autem sit AB, quae sic constituatur ut triangulum EAB habeat crura aequalia AE, EB. Et compleatur parallelogrammum CABD. Et producantur AC, AB. Tum applicetur regula ad punctum D, et moveatur, quousque positionem habeat GF, abscindens nimirum EF aequalem EG lineae quae ex E ad alteram intersectionem ducitur. Hoc autem vel sepius tentando assequemur, vel ope Hyperboles ut postea ostendetur. [Voir la seconde solution qui va suivre dans le texte sous l'en-tête “Aliter.”]
Dico inter AC, AB medias duas inventas esse BG, CF. Sit enim EK ipsi AB ad angulos rectos.’ etc. [voir ce qui suit dans le texte].

[p. 51]

KA. Quum itaque AB in aequalia dividatur ad K, et adjecta sit ipsi linea BG, erit rectang. AGB cum quadrato ex KB aequale qu^o ex KG;⁶⁾ et addendo utrinque quadr. KE, erit rectang. AGB una cum quadratis BK, KE, hoc est una cum quadrato BE, aequale quadratis GK et KE, hoc est quadrato EG. Similiter quia AC in aequalia dividitur in E et adjecta est linea CF, erit rectang. AFC cum qu.^o EC aequale qu.^o EF. Quadratum autem EF aequale est qu.^o EG; (quia et DH ipsi HG aequalis, et similia sunt triangula DHG et FEG)⁷⁾ Erit ergo rectangulum AFC cum qu.^o CE aequale rectangulo AGB cum quadrato BE. Atqui quadr. BE aequale est EC quadrato; et reliquum igitur rectangulum AFC rectangulo AGB aequale erit. Quare sicut FA ad AG ita BG ad CF. ut autem FA ad AG ita est DB ad BG, et ita quoque FC ad CD. Igitur ut DB hoc est AC ad BG ita BG ad FC et FC ad CD hoc est AB. Itaque inter AC ut AB duae inventae sunt mediae BG, FC. quod erat faciendum.

6) C'est-à-dire .

7) Les mots entre parenthèses ont été biffés puisqu'ils devenaient superflus dans la nouvelle rédaction que nous avons reproduite dans la note 5 et d'après laquelle on avait par construction EF = EG.

[p. 52]

Aliter.⁸⁾

[Fig. 3.]

Super majori datarum AC [Fig. 3.] semicirculus⁹⁾ describatur, et ponatur AB minori datarum aequalis, et compleatur parallelogrammum AD; productâque AB, ducatur ex centro E recta EHG, eâ ratione ut ipsi HG sit aequalis HD; secet autem circumferentiam in L. Dico duabus AC, AB medias proportionales inventas esse BG, GL. Cujus quidem demonstratio ex praecedenti manifesta est. Namque in priori figura¹⁰⁾ si aequales EF, EG, erunt propter triangula similia etiam HD, HG aequales; et contra. Ex quo manifestum est utroque modo lineam BG eandem reperiri. Porro FC differentiam fuisse constat linearum EF, EC, hoc est duarum EG, EC: atque ea hìc est LG. Subjicitur autem et alia demonstratio.¹¹⁾

Quod autem dictum est in priori constructione, lineam FDG¹²⁾ ope hyperboles duci posse, ut EF, EG sint aequales, hinc constabit. Si namque sumatur GN ipsi FD aequalis, manifestum est punctum N fore ad hyperbolen quae discribitur per D punctum, circa asymptotos AF, AG. Verum idem punctum N est quoque ad circuli circumferentiam quae describitur centro E, radio ED. Itaque datum est positione punctum N. Et D datum est: Ergo et linea FG quae per utrumque ducitur positione datur. Et Compositio manifesta est.

Perficiatur circulus ALCK [Fig.4], et producatur GE usque ad circumf.^m in K.

8) La construction qui va suivre, en outre qu'elle parut dans les ‘Ill. quor. probl. constr.’ (voir la note 1), fut communiquée à G.A. Kinner à Löwenthurn dans une lettre du 29 déc. 1652 (p. 212 du T. I) sans démonstration; celle-ci suivit dans la lettre du 9 aôut 1653 (p. 238 du T. I).

9) Pour comprendre comment Huygens a obtenu cette nouvelle construction on doit comparer cette figure avec celle de la note 5. On verra alors qu'il ne s'agit que d'un nouveau remaniement de la construction de cette note.

10) La figure de la note 5.

11) Cette phrase et la nouvelle démonstration mentionnée qui commence avec le mot: ‘Perficiatur,’ furent ajoutées le 5 juin 1652 (voir la date, à la page qui suit, au bas du texte). Ce fut cette démonstration qui passa dans les ‘Ill. quor. probl. construct.,’ et qui fut communiquée à Kinner à Löwenthurn.

12) Voir toujours la figure de la note 5.

[p. 53]

[Fig, 4.]

Et jungatur AK, eique parallela ducatur BO. Itaque similes sunt trianguli AEK, BHO; et quia AE aequalis EK, etiam BH, HO aequales erunt. Sed et HG, HD inter se aequales sunt; igitur tota OG aequalis BD, hoc est diametri AC vel LK. Et ablatâ communi LO, relinquuntur aequales inter se GL, OK. Est autem rectangulum KGL aequale rectang.^o AGB, ideoque ut KG ad GA ita est BG ad GL. Sed ut KG ad GA ita propter triang.^os similes est quoque OG ad GB, et ita reliqua OK hoc est LG ad BA. Ergo ut OG hoc est AC ad GB ita BG ad GL et LG ad AB. Quod erat demonstrandum.

5 Jun. 1652.¹³⁾

13) La date se rapporte au dernier alinéa. Comparez la note 11.