Oeuvres complètes. Tome XII. Travaux de mathématiques pures 1652-1656

[p. 42]

IX.¹⁾
1652.

17 Febr. 1652.

Rhombo dato ABCD productisque ejus lateribus, oporteat ducere ECO aequalem datae lineae.

Factum sit et sit ipsi EO aequalis CF. Itaque erit punctum F ad hijperbolen,

[Fig. 1.]

quae invenietur ut supra,²⁾ ductis nimirum diametris AC, BD, et GCHK parallelâ DB et HK ipsi BD aequali, et HM parallela BC; erit quaesita hijperbole quae per K describitur circa asymptotos HM, HO. et quoniam HK nunc bifariam dividit angulum MHO, erit KL axis hijperboles, CK latus transversum. Sit KM ipsi CK ad angulos rectos, eritque KM aequalis AC. Vocetur AC seu KM a. DB seu HK, b. EO, seu CF, c. ductâque FL ipsi HK ad angulos rectos, sit KL ∞ x.

KM potest quartam figurae partem

1) La pièce se trouve aux pages 200-201 du manuscrit N^o. 12. Elle contient une autre solution, préparée par la pièce précédente N^o. VIII, du problème de la pièce N^o. VII.

2) Voir le second et le troisième alinéa de la pièce précédente.

[p. 43]

quae continetur lateri transverso CK et latere recto.³⁾ itaque HK ad KM ut KM ad ½ lat. rectum. Quare ut HK ad ½ l. rectum, seu ut CK ad lat. rectum ita HK qu. ad KM qu. hoc est ita bb ad aa.

Ergo dicemus porro per 21. lib. Con.⁴⁾ CK ad latus rectum ut ▭ CLK ad □ LF

fiat ut CH (b) ad ita LK (x) ad KN⁵⁾ ergo hoc vero ponendo pro x fit

Unde constructio quae sequitur.

3) Voir la note 51 de la page 114 du Tome XI. La ‘figura,’ dont il est question, est le rectangle construit sur le diamètre CK et le ‘latus rectum.’

4) Voir la note 12 de la page 300 du Tome XI.

5) Cette droite KN est supposée parallèle à AB.

[p. 44]

Compositio.

Ponatur ipsi BA aequalis BH et ducatur GCH, et producatur ut sit HK

[Fig. 3,]

aequalis HC. ex K ducatur KP ipsi AH ad angulos rectos. et ponatur AQ quae possit quadr. AP unà cum differentia quadratorum ex R et GH, debet autem R non minor data esse quam HG. Porro perfecto rectangulo PN, ducatur NF⁶⁾ ipsi GK ad angulos rectos, et ex C ponatur CF ipsi R datae aequalis, et producatur usque in E. dico partem ejus interceptam OE datae R aequalem esse.

Optimam constructionem hujus vide inferius.⁷⁾

6) Posant , l'équation quadratique du texte peut s'écrire: . On a donc ; où c est égale à la longueur donnée R; donc par construction et ; mais cet y représente le segment KN de la Fig. 1 et puisque, par construction, les points K des deux figures sont identiques, il en est de même des points N, des droites NF et des points F. Inutile de dire que la racine amène les droites, passant par C, desquelles des segments de la longueur donnée sont découpés par les côtés des angles extérieurs du losange, au sommet A; mais il semble bien que Huygens ne s'est jamais aperçu que les quatre droites, menées par le sommet d'un losange, de telle manière que les côtés des angles extérieurs et de l'angle intérieur, qui appartiennent au sommet opposé, en découpent des segments de même longueur, ne sont que les quatre solutions d'un seul et même problème.

7) Voir la seconde partie de la pièce N^o. XIII, p. 58. La phrase a été ajoutée plus tard.