Oeuvres complètes. Tome XII. Travaux de mathématiques pures 1652-1656

[p. 32]

VII.¹⁾
1652.

11 Febr. 1652.

dato rhombo GHAC productisque lateribus GH, GC, oportet ducere KAF aequalem datae.²⁾

[Fig. 1.]

Factum sit et dividatur KF bifariam in S. et ducatur GA diameter. Sitque GH, GC ∞ a. GA ∞ b. KF ∞ c. AS ∞ x.³⁾

⁴⁾⁵⁾

1) La pièce occupe les pages 192-196 du manuscrit N^o. 12.

2) Comparez le problème analogue de la pièce N^o. VI.

3) Huygens profite de l'expérience qu'il a obtenue dans la pièce précédente pour choisir l'inconnue dès l'abord de telle manière qu'elle amènera une équation où le terme avec le cube de l'inconnue a disparu. En effet, l'AS ∞ x est analogue a la BH ∞ y de la pièce précédente.

4) Puisque GA est la bisectrice de l'angle CGH et qu'on a alors, d'après un théorème bien connu, .

5) Huygens ajoute ici sur une bande de papier attachée à la page: applicentur omnia ad a hoc est sit et de même, sur le revers de la bande:
‘melius.



’
Il nous semble que ces variantes ont le but d'éviter l'introduction de l'équation biquadratique. Et la seconde est préférée à la première parce qu'elle ne nécessite pas d'introduire la longueur p, qui ne correspond avec aucune des lignes de la figure.

[p. 33]

substrahe ex quadrato SF ∞ ¼ cc restat . Sit ducta FD, faciens angulum AFD aequalem angulo ACK⁶⁾ et consequenter ∆^los similes CAK, FAD. ergo ▭ CAD ∞ ▭ KAF. applicando itaque ▭ KAF ad CA ∞ a fit . Sit GB perp. in AC et

6) Par analogie avec la droite EL de la Fig. 1, p. 26. Voir sur cette droite EL la note 6, p. 27.

[p. 34]

CT in GA. Ergo similia triangula CAT, GAB sed CA est a, AT ½b, AG b, ergo AB ½ bb/a. ergo cum AD sit , additâ AB ∞ ½ bb/a, erit , hoc est DB qu. ∞ ┚ KF datae una cum qu.^o AB.

Unde talis invenitur problematis constructio. Oportet demissâ perpendiculari GB facere BD quae possit quadr. lineae datae una cum qu. ex AB. tum super AD, describere circumferentiae partem quae capiat angulum aequalem angulo CGH. Ea enim secabit rectam GH productam in F, unde ducta FAK aequabitur datae lineae. Sed et in alio puncto secabit eandem GF inter H et F, cujus ope intersectionis problema itidem absolvetur.⁷⁾

7) On retrouve cette construction avec une légère modification dans la lettre à van Schooten du 23 oct. 1653 (p. 248-249 du T. I) et dans les ‘Illustrium quorundam problematum constructiones’ de 1654 (Problema VII, première solution); voir la note 14.

Theorema.⁸⁾ [1.]

Sit rhombus GCHA et ducatur KHF⁹⁾ occurrens productis rhombi lateribus utrinque. et ducatur FD quae faciat angulum AFD aequalem CGH, et sit GB perpendicularis super AC.

dico quadrata ex KF et AB aequari qu.^o ex BD.

Sit enim AL super GK ad angulos rectos ducta et FE super BD. et ponatur AP

[Fig. 2.]

quidem aequalis ED; AN vero ipsi CB.

Quia igitur similes sunt trianguli GBC, ACL, et latus GC aequale AC lateri, erit quoque CL aequale CB hoc est AN. Rursus quoniam similia sunt ∆^la CAK, FAD, habent enim angulum ad A aequalem et est angulo ACK ex constr. aequalis angulus AFD, erit et angulus AKC aequ. ang.^o ADF. anguli autem ALK, FED sunt recti, itaque similia quoque triangula sunt ALK, FED. sed FE est aequ. AL ergo et AK aequ. FD et LK aequalis ED hoc est AP. itaque tota NP etiam aequalis CK. Propter similia verò triangula, est AD ad DF ut AK ad KC. sed AK aequalis est FD et KC aequalis NP. Itaque AD ad DF ut DF ad NP, ideoque contentum sub AD, NP aequale qu.^o FD et auferendo utrinque ▭ DA, AP vel AD, DE erit ▭ NAD aequale qu.^o FD - ▭ ADE. Et sumptis omnium duplis, duplum ▭ NAD ∞ duplum qu. DF - 2 ▭ ADE et addito communi qu^o AD, erit duplum

8) Comparez les trois derniers alinéas de la pièce précédente, p. 31 du Tome présent.

9) Lisez KAF.

[p. 35]

▭ NAD hoc est duplum ▭ BC, AD + qu. AD ∞ 2 qu. FD + qu. AD - 2 ▭ ADE; sed haec aequalia sunt qu.^is ex AF et FD (nam qu.^a ex FD et DA - 2 ▭ ADE aequantur qu.^o AF¹⁰⁾). Itaque 2 ▭ BC, AD + qu. AD ∞ qu^is ex AF et FD, hoc est qu^is ex AF et AK, nam AK ipsi FD aequalis ostensa est. Additis itaque aequalibus ad aequalia, hoc est addendo illic 2 ▭ CAD hinc vero 2 ▭ KAF (sunt autem haec aequalia, quoniam propter ∆^a sim. est CA ad AK ut FA ad AD) erunt etiam summae aequales. Sed addendo ad 2 ▭ BC, AD + qu. AD, duplam ▭ CAD fit 2 ▭ BAD + qu. AD. at qu.^is ex FA et AK addendo duplum ▭ KAF fit qu. KF; ergo qu. KF aequale 2 ▭ BAD + qu. AD. addito que utrinque qu. BA, erit qu. KF + qu. BA aequale qu^o. BD. quod erat ostendendum.

Potest autem rursus angulus FDA rectus vel obtusus esse, prout fuerit angulus FKC. ijsque casibus non multum diversa demonstratione idem ostendetur facilius quidem multò si angulus FDA rectus fuerit.

10) Huygens ajoute en marge ‘12. 2. Elem.’ Voir la note 15, p. 29.

Theorema. 2.¹¹⁾

Sit rursus rhombus GCAH, cujus ducatur diameter HC, et in productum

[Fig. 3.]

latus AC cadat perpendicularis GB, porro sit HQ posita aequalis HC, et ponatur BS quae possit quadratum ex BA una cum quadruplo qu.ⁱ ex CH. Dico AS ipsi CQ aequalem esse.

Sit enim HN ipsi CQ ad ang. rectos. quia igitur CHQ est triangulum isosceles erit CQ bifariam divisa in N. Ponatur BR ipsi BN aequalis, eritque jam utraque harum aequalis ipsi GH hoc est CA. Quia verò sunt similia triangula CGH, CHQ, nam angulis GCH, GHC aequales sunt singuli HCQ, HQC; erit QC ad CH ut CH ad CG, et qu. CH aequale ▭ sub GC, CQ hoc est ▭ sub BN, CQ, hoc est duplo ▭^o BNQ, hoc est ▭^o RNQ, seu RNC.

Est autem qu. BA hoc est qu. RC una cum duplo ▭^o RCQ + qu. CQ aequale quadrato RQ. Sed duplum ▭ RCQ + qu. CQ aequatur quadruplo ▭^o RNC, nam ▭ RCQ aequatur duplo ▭ RCN, et qu^m. CQ quatuor qu.^is CN. Itaque addito ad qu. BA quadruplo ▭ RNC hoc est 4 qu.^is CH erunt ea simul aequalia qu.^o RQ; sed ijsdem aequale positum est qu. BS, ergo BS q. ipsi RQ

11) Le théorème sert à préparer la démonstration de ce qu'on appelait la ‘Determinatio’ (voir p.e. l'avant-dernier alinéa de la page 231 du Tome XI), laquelle, dans le problème présent, exige que la ligne donnée o (voir la figure 4) soit plus grande que le double de HC; puisque sans cela la construction devient impossible.

[p. 36]

qu.^o aequale: et BS ipsi RQ. Quare ablata communi BQ erit QS aequalis RB hoc est ipsi CA; et rursus communi ablata QA, erit AS aequalis CQ; quod erat demonstrandum.

Problema.¹²⁾

Rhombo dato et duobus lateribus contiguis productis, aptare sub eorum angulo interiori magnitudine datam rectam lineam quae ad oppositum angulum pertineat. debet autem data linea non minor esse duplâ diametro, quae alios duos rhombi angulos jungit.

Esto Rhombus GHAC [Fig. 4]¹³⁾, et producta ejus latera GH, GC; data autem

[Fig. 4.]

sit linea o, quae major sit dupla diametro HC, nam si aequalis est duplae HC constructio problematis manifesta est. Sit itaque major et oporteat ducere KAF ipsi o aequalem.

Sit GB ipsi AC ad angulos rectos et qu.^is ex BA, et ex o sit aequale ex BD quadratum.¹⁴⁾ Dein super AD describatur circumferentiae pars capax anguli CGH, quae ubi rectam GH productam secabit, inde ducantur FAK, MAV dico harum utramque aequale esse ipsi o.

Quod autem dicta circumferentia secabit rectam GH productam sic prius ostenditur. Sit HQ ipsi HC aequalis. Quia igitur qu. ex BD aequale est qu.^is ex o et BA; quorum qu. o majus est 4 qu^is ex CH, erit ideo AD major quam CQ. hoc enim in praec. Theor. ostensum fuit. Sed et triangulum CHQ ex eodem theoremate constat similem esse triang. CGH, et isoscelem. Itaque si super CQ circumferentiae pars descripta intelligatur, capax anguli CGH, ea transibit per H, atque ibidem continget rectam GH, similis autem erit circumferentiae quae super AD descripta fuit, nam illa quoque capit angulum aequalem ipsi CGH. Ergo quum sit AD major quam CQ, manifestum est circumferentiam AMFD secare debere rectam GHF.

12) Après avoir préparé la solution par les théorèmes qui précèdent, Huygens reprend le problème formulé au début de la pièce en y ajoutant la ‘Determinatio.’

13) Le manuscrit contient une cinquième figure qui se distingue de la quatrième en ce que l'angle CAH y est l'angle obtus du losange. Le texte se rapporte à la fois aux deux figures.

14) Huygens a souligné cette phrase et il a ajouté en marge: ‘Vel potius sit qu.^is ex o et HC aequale quadratum ex GD.’ C'est la modification adoptée dans les ‘Illustrium quorundam problematum constructiones’ et dans la lettre à van Schooten; voir la note 7.

[p. 37]

Porro autem ductis MD, FD, constat quidem angulos AFD, AMD singulos aequari angulo CGH. Quapropter erunt qu.^a ex KF et AB simul aequalia qu.^o BD;¹⁵⁾ sed huic etiam aequalia sunt ex constr.^e qu.^a ex o et ex AB. Ergo quae eidem aequalia etiam aequalia inter se. Et ablato communi quadrato ex AB erit qu. KF aequale qu.^o ex o et KF ipsi o. Eadem ratione et qu. MV quadrato ex o aequale erit. Quod demonstrandum erat.¹⁶⁾

15) Voir le théorème I de la pièce présente.

16) Une autre démonstration se rencontre plus loin dans le manuscrit N^o. 12, aux pages 247 et 248, sous la susscription: ‘Ex Analysi (11 Febr. 1652) suprà descripta’. Elle a passé avec des modifications légères dans les ‘Ill. quor. probl. constr.’, où on la trouvera au ‘Probl. VII.’