Oeuvres complètes. Tome XII. Travaux de mathématiques pures 1652-1656

[p. 26]

VI.¹⁾
[1652].

9 Febr. 1652.

Dato angulo EAD et puncto extra ipsum B, ducere inde rectam BDE ut DE sit aequalis datae.

[Fig. 1.]

Sit EA producta et occurrat ei BC parallela AD. et BR ducatur ad eandem perpendicularis. Sitque CA ∞ a; CB ∞ b;²⁾ DE ∞ c; CR ∞ d; BE ∞ x. BD (x - c) ad BE (x) ut CA (a) ad ergo ∆ⁱ CBE latus BC ∞ b, latus BE ∞ x, et CE ∞

1) La pièce occupe les pages 188-191 du manuscrit N^o. 12. Huygens y reprend le problème de la pièce N^o. II (p. 13); mais, en choisissant une autre inconnue, il arrive à une équation biquadratique différente. Il la transforme en faisant disparaître le terme avec le cube de l'inconnue, puis il examine le cas particulier où le terme du premier degré s'annule, et où, par suite, le problème devient plan. De cette manière il retrouve le problème traité par lui en 1650 (voir la page 239 du Tome XI), qu'il emprunta alors à l'aperçu, donné par Pappus, de l'ouvrage ‘De inclinationibus’ d'Apollonius (voir la note 2 de la même page 239). Il en obtient une solution bien plus élégante qu'on retrouve avec une légère modification dans sa lettre à van Schooten du 23 oct. 1653 (p. 247 du T. I) et dans les ‘Illustrium quorundam problematum constructiones’ de 1654 (Probl. VI). Comparez encore la note 10 de la pièce présente.

2) Les données ont évidemment été choisies de manière à mener facilement au cas où le parallelogramme CP est un losange; auquel cas le problème se réduit à un problème plan, comme Pappus l'avait remarqué dans le passage cité dans la note 2 de la page 239 du T. XI.

[p. 27]

unde additis qu.^is BC, CE, ablatoque hinc qu.^o BE, relinquoque diviso per duplam CE orietur segmentum basis CR

mino, ponendo nimirum y + ½c ∞ x erit post institutam operationem

apparet hinc quod si bb ∞ aa evanescat affectio sub y, quodque propterea sit futura aequatio quadrata, cum autem a ∞ b tum AB rhombus est, et mutatis ubique b in a erit hujusmodi aequatio

³⁾

sive

Dividatur DE bifarium in H ergo BH est y.⁴⁾ Et ducatur EL quae faciat angulum BEL aequalem angulo BPA. erunt jam anguli ELP et EDP duobus rectis aequales,⁵⁾ et puncta ideo D, P, L, E, in circulo⁶⁾ et rectang. LBP aequ.

3) Comme on le voit, la seconde racine n'est pas discutée. Toutefois elle peut prendre une valeur positive. Elle mène alors aux solutions où le segment DE = c se trouve a l'intérieur de l'angle CAP.

4) Puisqu'on a posé et que BE = x, HE = ½c.

5) Puisqu'il en est de même par construction des angles LPA et BEL.

6) Ce cercle une fois tracé, Huygens, pour obtenir sa nouvelle construction, n'a plus qu'à interpréter geométriquement la formule algébrique qui précède; mais on peut se demander d'où la pensée lui est venue d'introduire ce cercle, ou, ce qui revient au même, de tirer la droite auxiliaire LE? Il nous semble probable qu' ayant calculé y² = BH², Huygens a remarqué qu'il connaissait aussi ; donc, faisant passer un cercle par les points D, E et P, le point d'intersection L de ce cercle avec BP était connu; puisqu'on a . Mais, de plus, l'angle DEL était le supplément de l'angle APL qui lui est opposé dans le quadrilatère inscrit DPLE. Il était donc connu, et on pourrait trouver le point E en menant par les points connus B et L un arc de cercle contenant l'angle BEL = ACB. Il ne s'agissait donc plus que de calculer PL et d'en déduire une construction élégante et simple du point L.

[p. 28]

▭^o EBD. Subtrahe jam qu. DH ∞ ¼cc ex qu.^o erit reliquum □ BD + 2 ▭ BDH, quae simul aegualia ▭^o EBD ergo ▭ EBD seu . aufer qu. BP ∞ aa fit . divide per BP ∞ a fit sit AQ parall. RB ergo PQ ∞ d,⁷⁾ adde PQ erit . hoc est QLq. ∞ □ DE data una cum qu. BQ nam hoc est a - d. Nota aliquam differentiam hic inveniri cum tam exigua datur DE vel tam

[Fig. 2.]

acutus angulus APB ut L cadat inter B et P.

Compositio erit hujusmodi, Sit datus rhombus HGCA [Fig. 2] et linea o. Cadat GB perpendicularis in AC. Et sumatur BD quae possit duo simul quadrata, ex o et ex AB.⁸⁾ Tum super AD describatur circumferentiae pars quae sit capax anguli GHA. et ad intersectionem F ducatur AF, dico KF ipsi o aequalem esse.⁹⁾

Jungantur¹⁰⁾ enim AM, FD et ducantur HN, MP, FE parallelae GB.

7) Puisque PQ = CR = d.

8) Huygens a souligné les phrases cursivées et il a ajouté en marge: ‘vel sit qu^is ex o et AG aequale qu. GD’; c'est la modification adoptée également dans la lettre à van Schooten et dans les ‘Illustrium quorundam problematum constructiones.’ Voir la note 1.

9) On reconnaîtra la construction, annoncée dans la note 6, du point L de la Fig. 1; en effet, les points A, H, G, C, B et D de la Fig. 2 correspondent aux points B, C, A, P, Q et L de la Fig 1.

10) Comme on le verra dans la suite, la démonstration, qui va suivre, a besoin d'être suppléée sur quelques points. Aussi Huygens n'en a pas considéré la rédaction comme définitive. Au dernier alinéa il indique un changement radical qu'il y voudrait apporter; mais, de plus, on trouve dans le manuscrit N^o. 12, aux pages 245 et 246, une rédaction nouvelie, datée du 19 octobre 1653, qui a passé, avec des modifications très peu importantes, dans les ‘Ill. quor. probl. constr.’ au ‘Probl. VI’ et pour laquelle nous renvoyons à cet ouvrage de 1654, que nous reproduisons plus loin dans ce Tome.

[p. 29]

Quod verò circumferentia secabit rectam HF sic fiet manifestum.

Sit BQ ∞ BA et jungatur GQ, itemque GA. Itaque trianguli GAQ duo anguli A et Q inter se aequales sunt et singuli angulo A vel G trianguli HAG, quare similia erunt ∆^a HAG, GAQ et angulus AGQ aequ. angulo AHG. Si itaque super AQ describeretur circumferentia similis circumf.^ae AMFD¹¹⁾ ea per G transiret et tangeret rectam HF; sed quoniam qu. ex BD aequale est quadratis ex AB seu BQ et ex o, erit BD major BQ, et AD major AQ, ergo necessario circumferentia AMFD secabit rectam HF.

Porro quia ang. FDA aequ. angulo AKC (nam uterque addito FKC aequatur 2 rectis¹²⁾) distantque tantum inter se lineae HF, AE quantum HA, GC, erit ideo FD ∞ AK. Sed et MA ∞ FD ergo MA quoque ∞ AK, et ∆ AMH idem cum ∆ AKC¹³⁾ utraque vero similia ∆^lo ADF. Ergo ut HM ad MA, hoc est ut NP ad FD ita FD ad DA. Quare contentum sub NP, AD aequ. qu. DF; et addito utrinque ▭^o PAD seu ADE, erit ▭ NAD aeq. qu. FD et ▭^o ADE.

Et sumptis omnium duplis erit duplum ▭ NAD aequ. duplo qu. FD et duplo ▭ ADE. Et addito communi qu. AD erit geminum ▭ NAD + qu. AD hoc est geminum ▭ sub BC, AD + q. AD (nam BC ∞ AD¹⁴⁾) aequale duplo qu. FD + q. AD + 2 ▭ ADE. Sed haec simul aequantur qu. AF + qu FD, (nam duplum ▭ ADE + qu. AD + qu. DF aequantur qu. AF¹⁵⁾) Ergo duplum ▭ sub BC, AD+q. AD aequale qu.^o AF + q. FD, hoc est, qu.^o AF + q. AK, nam diximus FD AK esse aequales inter se. ▭ verò sub CB, AD una cum ▭ BAD aequatur ▭^o CAD, et dupla duplo; ergo si à qu. AD + duplo ▭ sub BC, AD, auferatur duplum ▭ CAD, relinquetur qu. AD cum defectu dupli ▭ BAD. Duplo autem ▭^o CAD aequale est duplum ▭ KAF, quia puncta KCDF sunt in circuli ejusdem circumserentia. et erat qu. AF + qu. AK aequale qu. AD +

11) C'est-à-dire, contenant le même angle.

12) Puisque les points K, F, D, C, correspondants aux points D, E, L, P de la Fig. 1, se trouvent sur une même circonférence de cercle; ce qui se démontre facilement en remarquant que par construction .

13) Puisqu'on a non seulement MA = AK et ∠AKC = ∠ADF = ∠MAD = ∠HMA; mais encore ∠AHM = ∠ACK.

14) Lisez AN.

15) Huygens ajoute en marge: 12.2 Elem. ‘In amblygoniis triangulis, quadratum, quod fit à latere angulum obtusum subtendente, maius est quadratis, quae fiunt à lateribus obtusum angulum comprehentibus, rectangulo bis comprehenso & ab vno laterum, quae sunt circa obtusum angulum, in quod, cum protractum fuerit, cadit perpendicularis, & ab assumpta exterius linea sub perpendiculari prope angulum obtusum’. (Clavius, p. 192).

[p. 30]

+ 2 ▭ sub BC, AD. Ergo ablato duplo ▭ KAF à qu. AF + q. AK hoc est ablato ▭ AKF¹⁶⁾ + q. AK à qu. AF, restabit qu. KF aequale qu. AD minus 2 ▭ BAD, seu minus 2 ▭ ABD et 2 q. AB; quare addito utrimque quadrato AB, erit qu. KF + qu. AB aequale qu. AD minus 2 ▭ ABD minus qu. AB: hoc est qu^o BD. Sed eidem qu.^o BD esset aequale ex constr. qu. ex o + q. AB. Ergo haec duo quoque aequalia qu.^is duobus KF et AB; et ablato communi AB q. erit qu. ex o aequ. q. KF. quod erat demonstrandum. Potest autem angulus FDA vel rectus vel acutus fieri in quibus casibus vel facilior vel non multum à praecedenti differens dem.^o obtinebit.

Alter casus cum angulus rhombi C obtusus est, eandem habet compositionem.

[Fig. 3.]

Et demonstrationem quoque parum diversam, quae erit hujusmodi, mutatis tantum signis affectionis ubi opus erit.

Primum quidem sicut modo ostenditur id quod sub NP, AD [Fig. 3] continetur aequari quadrato DF.¹⁷⁾ unde detrahendo utrumque à rectang. PAD vel ADE, erit ▭ NAD ∞ ▭ ADE - q. FD; et sumptis omnium duplis, duplum ▭ NAD ∞ 2 ▭ ADE - duplo q.^o FD. et utrumque abstrahendo à qu.^o AD, erit qu. AD - duplo ▭ NAD ∞ qu. AD + duplo q.^o FD - 2 ▭ ADE; sed haec simul aequantur qu.^is ex AF et FD, (nam qu.^a. simul AD, DF - 2 ▭ ADE aequalia sunt qu.^o AF per. 13. 2ⁱ Elem.¹⁸⁾ Ergo qu. AD minus duplo ▭ NAD aequale est qu.^is AF et FD, hoc est, qu.^is AF et AK, nam FD ∞ AK ostensa est.¹⁹⁾ detrahendo igitur aequalia ab aequalibus, hoc est illinc auferendo 2 ▭ CAD, hinc vero duplum ▭ KAD²⁰⁾ (haec enim aequalia inter se, quoniam puncta D, C, K, F in ejusdem circuli circumserentia) erunt etiam residua aequalia. Sed à qu^o. AD - 2 ▭ NAD seu - 2 ▭ CB, AD, si aufe-

16) Lisez: 2 ▭ AKF.

17) Voir le troisième alinéa de la page précédente vers la fin.

18) ‘In oxygoniis triangulis, quadratum à latere angulum acutum subtendente minus est quadratis, quae fiunt à lateribus acutum angulum comprehendentibus, rectangulo bis comprehenso, & ab vno laterum, quae sunt circa acutum angulum, in quod perpendicularis cadit, & ab assumpta interius linea sub perpendiculari prope acutum angulum.’ (Clavius, p. 198).

19) Voir l'alinéa cité dans la note 17.

20) Lisez KAF.

[p. 31]

ratur insuper 2 ▭ CAD, relinquetur qu. AD - 2 ▭ BAD. At à qu.^is FA, et AK auferendo 2 ▭ KAF, relinquetur qu. KF. Itaque qu. KF aequale qu.^o AD - 2 ▭ BAD, hoc est qu.^o AD - 2 ▭ ABD - 2 q. AB. quare addendo utrinque qu. AB erit qu. KF + qu. AB ∞ qu. AD - 2 ▭ ABD - qu. AB; Sed hoc residuum est aeq. qu.^o BD. ergo qu. KF + qu. AB ∞ qu. BD, hoc est qu.^o ex o et qu. AB. Itaque auferendo commune qu. AB, erit qu. KF. aequ. q.^o ex o. quod erat ostend.

Haec autem proponentur melius eo modo quo problematis partem alteram trademus,²¹⁾ Primum videlicet tale theorema demonstrando.

Si sit rhombus HACG et ex angulo A ducatur AKF ad productum latus HF, et FD faciens angulum AFD aequalem angulo H, et GB perpendicularis ipsi AD. dico quadrata ex KF et ex AB quadrato BD aequalia esse.

Hoc primum demonstrare oportuit, dein Resolutionem Compositionemque et demonstrationem problematis subjicere quae breves erunt. et schema habebunt minus implicitum. quod et Pappus in prop.^e 72. lib. 7, rectè observavit.²²⁾

21) Voir la pièce N^o. VII, qui suit.

22) En effet, au lieu cité, p. 206 verso de l'édition de Commandin citée p. 259 du T II, note 3 (Hultsch, T. II, p. 783), Pappus dans la démonstration de la construction correspondante, où le losange est remplacé par un carré (voir cette construction à la page 227 du Tome XI), fait appel à un lemme qui, avec les notations de la figure 3 de la page 228 du T. XI, et après y avoir tiré la droite HS, se lit comme il suit dans la traduction latine de Commandin: ‘Sit quadratum BD, & ducatur BGH, atque ipsi ad rectos angulos HS. Dico quadrata ex CD GH quadrato ex CS aequalia esse.’ Et ce théorème est démontré par Pappus dans la ‘Prop. 71. lib. 7,’ p. 206 recto de l'édition de Commandin (Hultsch, T. II, p. 780-783).