Oeuvres complètes. Tome XI. Travaux mathématiques 1645-1651

[p. 281]

Christiani Hvgenii, Const. F.

THEOREMATA

DE

QUADRATURA

HYPERBOLES, ELLIPSIS

ET CIRCULI,

EX DATO

PORTIONUM GRAVITATIS CENTRO.

Quibus subjuncta est

Ε᾽ξέζασις Cyclometriae Cl. Viri Gregorii à S. Vincentio, editae Anno cIɔ Iɔc xlvii.

Lvgd. Batavor.

Ex Officina Elseviriana.

Anno clɔ lɔc li.

[p. 282]

Au lecteur.^a)

Sur les sections coniques et le cercle nous apportons, Ami Lecteur, quelque chose de nouveau, au moins si l'on peut nommer ainsi ce qui, défini et constitué par une loi éternelle, a toujours été tel qu'il est maintenant. C'est ainsi que l'on pourrait appeler de l'or nouveau celui qui a été extrait récemment; des étoiles nouvelles dans le ciel celles qui, inconnues aux siècles précédents, sont découvertes par l'artifice des nôtres. Et, à vrai dire, à elles aucun Théorème géométrique ne le cède en antiquité, mais nous attribuons la nouveauté à chacun d'eux à mesure qu'ils se présentent à nous et deviennent manifestes. Ainsi on doit dire aussi que la Parabole avant Archimède était une fois et un tiers le triangle inscrit¹⁾; et d'une vérité non moins immuable étaient inhérentes aux segments des autres sections coniques et du cercle les propriétés que nous faisons connaître maintenant à leur sujet, quoiqu'il soit certain qu'auparavant elles n'ont été trouvées ou démontrées par personne pour autant du moins que quelque chose en soit parvenue jusqu'à nous. Mais nous ne donnons pas de détermination semblable à celle que nous venons de citer d'Archimède, et la nature même des choses, après tant de tentatives déjouées des hommes les plus subtils, ne semble pas avoir laissé d'espoir que l'on puisse jamais attendre quelque chose de pareil des figures que nous avons entrepris de traiter. Toutefois nous professons avoir accompli ce que nous avons exprimé dans le Titre, et quelque chose de plus, s'il est permis de prévenir le jugement du Lecteur équitable. Car réduire les Hyperboles, Ellipses et Cercles à des carrés lorsque les centres de gravité sont donnés n'est pas le but de ces Théorèmes, mais seulement la conséquence, et ils doivent plaire le plus en ceci, qu'ils démontrent jusqu' à certain point un rapport défini de ces trois segments aux triangles inscrits²⁾. Ce rapport me fut acquis le premier dans l'hyperbole par une voie pleinement tracée d'avance, mais encombrée et difficile³⁾, et ce fut en cherchant une route plus courte que je tombai sur celle qui conviendrait aussi à l'Ellipse et au Cercle, et à propos se présenta la constante et admirable conformité dans les figures de même famille.

Ce qui fait qu'elle n'a pas lieu universellement dans toutes, c'est la seule dernière Proposition⁴⁾, surnuméraire pour ainsi dire, et ajoutée en dehors de ce que

a) Dans cette traduction on a tâché de reproduire aussi textuellement que possible l'original latin.

1) Voir la note 4 à la page 58 du Tome présent.

2) Voir les ‘Theoremata VI et VII’, p. 305 du Tome présent.

3) Nous n'avons trouvé dans les manuscrits de Huygens ancune trace de ce travail préalable.

4) Le ‘Theorema VIII’, p. 309.

[p. 283]

Ad lectorem.

De Conicis Sectionibus & Circulo novi quid adferimus, Amice Lector, si tamen ita vocari queat, quod aeternâ lege definitum constitutumque, quale nunc est, perpetuò fuit. Sic quod recens effoditur, novum quis aurum dicat. Sic stellas in coelo novas, quae superioribus saeculis incognitae, nostrorum artificio deteguntur. Neque verò his Geometricum Theorema ullum vetustate cedit, sed nos novitatem singulis tribuimus, prout quaeque sese nobis offerunt fiuntque manifesta. Itaque & inscripti trigoni Parabola ante Archimedem sesquitertia¹⁾ fuisse dicenda est; neque illa minùs immutabili veritate reliquarum Sectionum Circulique portionibus semper inerant, quae nunc circa eas prodimus, licet antehac nemini de quo quidem ad nos pervenerit, comperta fuisse constet vel determinata. Damus autem non isti quam retulimus, Archimedeae similem determinationem, neque vel ipsa rerum natura, post tot subtilissimorum hominum delusos conatus, spem reliquisse videtur tale quid unquam de figuris, quas tractandas sumpsimus, expectandi: Verùm id praestitisse profitemur, quod in ipsa quoque inscriptione expressum est, & paulò quid amplius, si lectoris aequi judicium praevenire permittitur. Namque ex datis gravitatum centris Hyperbolas, Ellipses & Circulos ad quadrata redigere non finis est horum Theorematum, sed consequentia duntaxat; eoque nomine potissimum placere debent, quòd aliquatenus certam trium Portionum ad inscripta triangula rationem demonstrant²⁾. Eam in Hyperbola primum mihi deprehendere contigit, viâ destinatâ planè, sed impeditâ difficilique³⁾; quâ deinde breviorem exquirens, in hanc incidi quae ad Ellipsin & Circulum quoque pertineret, commodumque obvenit constans illa in cognatis figuris mirabilisque convenientia. Quae quidem universim in omnibus hisce quo minus locum habeat, sola facit Propositionum novissima, supernumeraria illa⁴⁾ quasi, atque ultra propositum adscita,

1) Voir la note 4 à la page 58 du Tome présent.

2) Voir les ‘Theoremata VI et VII’, p. 305 du Tome présent.

3) Nous n'avons trouvé dans les manuscrits de Huygens ancune trace de ce travail préalable.

4) Le ‘Theorema VIII’, p. 309.

[p. 284]

je m'étais proposé, et dont je ne puis m'attribuer équitablement autre chose, sinon d'avoir montré qu'elle peut être déduite des précédentes d'une manière assez élégante.

Car déjà depuis longtemps nous a prévenu et a donné et démontré, il y a dixneuf ans, un Théorème excellent le très ingénieux géomètre I. Della Faille⁵⁾, heureux, au moins dans mon opinion, d'avoir discerné avant d'autres, comment la quadrature des secteurs dépend du centre de gravité⁶⁾; et, comme je reconnais qu'il a mérité des éloges principalement quant au cercle, je ne me suis pas tant réjoui après avoir découvert une connexion semblable dans les autres segments du cercle, que lorsque je l'observai dans les segments de l'Hyperbole, et eus trouvé ainsi une chose à laquelle un aussi grand homme ne pouvait avoir manqué d'avoir pensé lui-même. D'ailleurs cette figure, si on la compare au cercle, n'a trouvé jamais que de rares contemplateurs, ce dont nous voyons l'effet ou l'indice en ce qu'on a examiné différentes choses, lesquelles, étant données, doivent nécessairement conduire à la Quadrature du cerde, - telles que la longueur exacte du périmètre⁷⁾, la tangente de l'hélice d'Archimède⁸⁾, le terme de la quadratrice de Dinostrate⁹⁾, ou la tangente de la même courbe a l'autre extrémité (comme je me souviens d'avoir démontré un jour¹⁰⁾) et d'autres choses que l'on doit à de plus récents auteurs, - cependant rien de défini n'a dans le même temps été produit par qui que ce soit, de ce qui pourrait servir à comparer sous une condition quelconque l'Hyperbole avec une aire comprise entre des lignes droites.

Il est vrai que de nos jours, il y a peu d'années, le très savant Père Grégoire de St. Vincent¹¹⁾, dont il me reste à parler maintenant, par une méthode exquise et nouvelle a entrepris la Quadrature des deux courbes et a cru les avoir

5) Voir sur Della Faille la note 1, p. 153 du Tome I; comme aussi, pour plus de particularités, la Lettre N^o. 105, p. 158 du même Tome.
Il s'agit ici du théorème suivant, qu'on trouve à la page 36 de l'ouvrage de Della Faille, cité dans la note 2 de la page 153 du T. I: ‘Propositio XXXIV. Theorema XXIX. Dato quolibet Sectore circuli, è centro bifariam diuiso, si fiat ut Sectoris arcus, ad duas tertias partes rectae subtendentis arcum, ita semidiameter ad quartam quandam lineam è centro sumendam, in ea quae Sectorem bifariam secat, eius terminus erit centrum gravitatis Sectoris propositi.’
Comme on le voit, ce theorème, publié par Della Faille en 1632, est identique au ‘Theorema VIII’ cité dans la note précédente.

6) Comparez le passage suivant que nous empruntons à la préface de l'ouvrage de Della Faille: ‘E Centro grauitatis quadratam ab Archimede parabolen nosti Amice Lector, eamque ad propria deinde Geometrarum principia reuocatam. Haec mihi occasio fuit cogitandi de centro gravitatis partium circuli, & an non aliqua ad quadraturam eius hinc pateret via primitus inquirendi; quae quàm firmo cum hoc centro sociata sit nexu, hoc opusculum percurrenti tibi palam fiet. Praesertim quòd reciproca quaedam sit sequela, & problematicè inuento grauitatis centro quadretur circuli Sector, adeoque totus; ac vicissim quadrato circulo, partium eius grauitatis centrum reperiatur. Nimium quantum cum figurae huius in quadratum metamorphosi doctorum virorum ingenia vano conatu luctata sint, dum alij per ignoratam hactenus dimetientis cum perimetro proportionem, alij per curuas quasdam lineas, cuiusmodi sunt helices & quadratices, alij denique per lunulas id sunt agressi; nemo tamen, quod sciam, hanc institit viam, vt à circuli gravitate ad explicandam eius aream proficisceretur.’

7) Comparez le § 1 de la Pièce N^o. IX, p. 50 du Tome présent.

8) Comparez la Prop. 18 de l'ouvrage d'Archimède ‘De lineis spiralibus’, p. 111 de l'édition de Bâle de 1544, citée p. 274, note 3: ‘Si lineam spiralem in prima reuolutione descriptam linea recta contigerit in termino lineae spiralis, à puncto autem quod est initium lineae spiralis, ducatur linea quaedam recta stans angulis rectis super lineam, quae initium fuit revolutionis: illa ducta coincidet lineae contingenti, & eius pars quae intra contingentem, & initium spiralis lineae deprehenditur, aequalis erit circumferentiae primi circuli.’ C'est-à-dire du cercle qui a pour rayon la distance du point initial de la spirale au point terminal de sa première révolution. (Heiberg, T. II, p. 71 de l'édition citée p. 50 du Tome présent).

9) La quadratrice de Dinostrate et l'usage de son point terminal pour la quadrature du cercle se trouvent décrits dans le quatrième livre des ‘Mathematicae collectiones’ de Pappus; voir les pages 57 recto et verso et 58 recto de l'édition de Commandin, citée dans la note 3 de la page 259 de notre T. II. (Hultsch p. 251-259, T. I de l'édition citée p. 215, note 17, du Tome présent).

10) Nous ne connaissons pas cette démonstration, mais nous pouvons renvoyer à la note 19, p. 440 du Tome X, où l'on trouve une construction de Huygens de la tangente à la quadratrice datée du 6 novembre 1659. D'après cette construction la distance du point D (voir la figure de la note mentionnée) au point, où la tangente du point A coupe la droite CD, sera égale au quart du périmètre du cercle décrit avec le rayon DA.

11) On peut consulter, sur Grégoire de St. Vincent, la note 5, p. 53 du T. I.

[p. 285]

cujusque hoc solum mihi tribui par est, quod ex praecedentibus ipsam non ineleganti ratione comprobari posse ostendi. Dudum enim hîc nos praevenit, egregiumque Theorema ante annos undeviginti demonstratum dedit acutissimus Geometra I. Della Faille⁵⁾, felix, meâ quidem sententiâ, quod ante alios perspexerit, quomodo à sectorum gravitatis centro Quadratura dependeret⁶⁾: cumque illum in Circulo praecipuam laudem promeruisse agnoscam, non aequè gavisus sum detectâ in reliquis hujus segmentis simili connexione, quàm cum eandem in Hyperboles portionibus observassem, illudque invenissem de quo tantus Vir non potuit non & ipse cogitasse. Raros alioqui semper haec figura, si cum Circulo conferatur, sui contemplatores nacta est; ejusque rei vel effectum vel indicium habemus, quod cum varia sint inspecta quibus datis Quadraturam quoque Circuli dari necesse sit; cujusmodi sunt exacta perimetri longitudo⁷⁾, Helicis Archimedeae contingens⁸⁾, Quadratricis Dinostrati terminusnote⁹⁾, vel tangens quoque ejusdem Quadratricis ad terminum alterum, (sicut aliquando me demonstrasse memini¹⁰⁾) & alia nonnulla quae recentioribus debentur; nihil interea à quoquam definitum extet, quo vel sub ulla conditione Hyperbole cum spatio rectis comprehenso lineis comparari possit. Nostrâ sanè aetate, paucisque abhinc annis Vir Clariss. D. Gregorius à S. Vincentio¹¹⁾, de quo mihi deinceps dicendum restat, exquisitâ prorsus novâque methodo utramque Quadraturam agressus est, & credidit

5) Voir sur Della Faille la note 1, p. 153 du Tome I; comme aussi, pour plus de particularités, la Lettre N^o. 105, p. 158 du même Tome.
Il s'agit ici du théorème suivant, qu'on trouve à la page 36 de l'ouvrage de Della Faille, cité dans la note 2 de la page 153 du T. I: ‘Propositio XXXIV. Theorema XXIX. Dato quolibet Sectore circuli, è centro bifariam diuiso, si fiat ut Sectoris arcus, ad duas tertias partes rectae subtendentis arcum, ita semidiameter ad quartam quandam lineam è centro sumendam, in ea quae Sectorem bifariam secat, eius terminus erit centrum gravitatis Sectoris propositi.’
Comme on le voit, ce theorème, publié par Della Faille en 1632, est identique au ‘Theorema VIII’ cité dans la note précédente.

6) Comparez le passage suivant que nous empruntons à la préface de l'ouvrage de Della Faille: ‘E Centro grauitatis quadratam ab Archimede parabolen nosti Amice Lector, eamque ad propria deinde Geometrarum principia reuocatam. Haec mihi occasio fuit cogitandi de centro gravitatis partium circuli, & an non aliqua ad quadraturam eius hinc pateret via primitus inquirendi; quae quàm firmo cum hoc centro sociata sit nexu, hoc opusculum percurrenti tibi palam fiet. Praesertim quòd reciproca quaedam sit sequela, & problematicè inuento grauitatis centro quadretur circuli Sector, adeoque totus; ac vicissim quadrato circulo, partium eius grauitatis centrum reperiatur. Nimium quantum cum figurae huius in quadratum metamorphosi doctorum virorum ingenia vano conatu luctata sint, dum alij per ignoratam hactenus dimetientis cum perimetro proportionem, alij per curuas quasdam lineas, cuiusmodi sunt helices & quadratices, alij denique per lunulas id sunt agressi; nemo tamen, quod sciam, hanc institit viam, vt à circuli gravitate ad explicandam eius aream proficisceretur.’

7) Comparez le § 1 de la Pièce N^o. IX, p. 50 du Tome présent.

8) Comparez la Prop. 18 de l'ouvrage d'Archimède ‘De lineis spiralibus’, p. 111 de l'édition de Bâle de 1544, citée p. 274, note 3: ‘Si lineam spiralem in prima reuolutione descriptam linea recta contigerit in termino lineae spiralis, à puncto autem quod est initium lineae spiralis, ducatur linea quaedam recta stans angulis rectis super lineam, quae initium fuit revolutionis: illa ducta coincidet lineae contingenti, & eius pars quae intra contingentem, & initium spiralis lineae deprehenditur, aequalis erit circumferentiae primi circuli.’ C'est-à-dire du cercle qui a pour rayon la distance du point initial de la spirale au point terminal de sa première révolution. (Heiberg, T. II, p. 71 de l'édition citée p. 50 du Tome présent).

9) La quadratrice de Dinostrate et l'usage de son point terminal pour la quadrature du cercle se trouvent décrits dans le quatrième livre des ‘Mathematicae collectiones’ de Pappus; voir les pages 57 recto et verso et 58 recto de l'édition de Commandin, citée dans la note 3 de la page 259 de notre T. II. (Hultsch p. 251-259, T. I de l'édition citée p. 215, note 17, du Tome présent).

10) Nous ne connaissons pas cette démonstration, mais nous pouvons renvoyer à la note 19, p. 440 du Tome X, où l'on trouve une construction de Huygens de la tangente à la quadratrice datée du 6 novembre 1659. D'après cette construction la distance du point D (voir la figure de la note mentionnée) au point, où la tangente du point A coupe la droite CD, sera égale au quart du périmètre du cercle décrit avec le rayon DA.

11) On peut consulter, sur Grégoire de St. Vincent, la note 5, p. 53 du T. I.

[p. 286]

accomplies par à peu près la même démonstration. Mais quant à moi, lorsque, après avoir déjà mis par écrit mes Théorèmes, je parcourus avec plus de diligence le volume très étendu qu'il publia sur ce sujet¹²⁾, (assuré que, s'il avait obtenu ce qu'il s' était proposé, moi, du moins, je produirais les centres de gravité,) je compris enfin qu'il avait tenté une chose ardue avec plus de subtilité que de succès, ayant trouvé de même le raisonnement par lequel je me fais fort de le prouver très clairement.

Et comme, parmi tant d'éminents géomètres de cette époque, je n'ai pu remarquer aucun qui s'était choisi cette tâche, et que par conséquent il pourrait arriver que l'on resterait longtemps en doute sur des démonstrations qui doivent être très certaines, j'ai jugé que je ferais une chose à la fois utile au public et non étrangère au sujet que je me proposais, si je me permettais de faire paraître ici en même temps les choses qui me semblaient apporter quelque nouvelle lumière sur un terrain obscur. D'ailleurs, je n'ai nullement entrepris de diminuer témérairement l'autorité d'un homme sérieux et érudit, mais entraîné par la bonté de la cause j'ai cru que je pourrais proposer librement et sans offense ce que j'avais trouvé. Et cela avec d'autant plus de confiance, que lui-même, dans une des lettres que nous nous écrivons de temps en temps¹³⁾, il m'a candidement dit et exhorté¹⁴⁾ de communiquer publiquement les commentaires que je pourrais avoir composés. J'ai accepté avec joie et reconnaissance, comme elle le méritait, cette insigne ingenuité et j'espère avoir assez montré par la modestie de ma critique combien j'estimais d'être considéré comme un ami par le très savant auteur. Réciproquement la très haute humanité, qu'il m'a témoignée jusqu'ici, ne me fait attendre de lui autre chose qu'une réponse modérée et sans aucune aigreur¹⁵⁾, s'il estime qu'il y a quelques choses à opposer ou bien que, persuadé par des raisons très évidentes il reconnaîtra et embrassera des choses plus vraies aussi volontiers par mes efforts que plus tard par ceux d'autres.

12) Voir l'ouvrage cité dans la note 6 de la page 53 de notre Tome I. A part l'épître dédicatoire à l'archiduc Léopold d'Autriche, la préface, l'‘Elenchus materiarum’, l'épilogue et les ‘errata’, cet ouvrage ne contient pas moins de 1225 pâges.

13) Voir, au Tome I, les Lettres N^o. 96, du 6 octobre 1651, N^o. 99 du 16 octobre 1651; N^o. 100, du 25 octobre 1651; N^o. 101, du 1^er novembre 1651; N^o. 102, du 8 novembre 1651 et N^o. 105 du 21 novembre 1651. La Lettre N^o. 90 n'appartient pas à cette partie de la correspondance; elle date en réalité du 18 février 1652; consultez les ‘additions et corrections’ p. 619 du Tome V. La correspondance fut poursuivie après l'apparition de l'‘Ἐξέτασις’ jusqu' en 1654 et reprise en 1658.

14) Voir la Lettre N^o. 99, pp. 149-150 du T. I et le commencement de la Lettre N^o. 101, T. I. p. 152.

15) Grégoire de St. Vincent n'a jamais répondu lui-même, mais en 1656 un de ses élèves, Franç. Xav. Aynscom, a pris sa défense dans l'ouvrage cité dans la note 6 de la page 210 du Tome I. Huygens lui a répondu dans une lettre publique que nous avons reproduite sous le N^o. 233, T. I, pp. 495-502 et que nous ferons suivre encore une fois avec la traduction française, lorsque nous traitons les travaux de l'année 1656.

[p. 287]

eâdem se propemodum demonstratione absolvisse. At ego cum amplissima quae de hisce volumina emisit¹²⁾, perscriptis jam Theorematis meis, diligentius evolverem, (certus, si quod intenderat obtineret, saltem gravitatis me centra exhibiturum,) intellexi tandem, majori subtilitate quàm successu rem arduam tentatam fuisse, ratione quoque repertâ quâ id clarissime ostendi posse confido. Et quando inter tot eximios hoc aevo Geometras nondum licuit animadvertere qui sibi hanc provinciam delegerit, ac proinde fieri posset ut longa porrò dubitatio maneret circa demonstrationes, quas certissimas esse oportet; arbitratus sum me facturum quod & in publicum utile esset & à propositi argumenti ratione non alienum, si simul hîc prodire sinerem, quae novam in re obscura lucem allatura videbantur. Nullâ autem temeritate ad elevandam Viri gravis & eruditi auctoritatem accessi, sed causae bonitate adductus, putavi quae compereram liberè citraque offensam proponi posse. Majori quoque fiduciâ, posteaquam is sese ipsum per literas, quarum aliquod inter nos commercium est¹³⁾, autorem hortatoremque candidè praebuit¹⁴⁾ ut si qua commentatus essem, ea cum universis communicarem. Ingenuitatem hanc insignem lubenti gratoque uti meretur animo accepi, & spero modestâ reprehensione satis me declarasse, quanti aestimem Doctiss. Viro haberi amicus. Cujus invicem summa, quâ me usque adhuc excepit, humanitas facit ne quid aliud expectem, nisi ut vel moderatè & sine ulla acerbitate ad mea respondeat¹⁵⁾, si quid iis reponendum esse duxerit, vel rationibus evidentisimis persuasus, aequè lubens nostrâ quam alterius posthac operâ veriora sentiat & amplectatur.

12) Voir l'ouvrage cité dans la note 6 de la page 53 de notre Tome I. A part l'épître dédicatoire à l'archiduc Léopold d'Autriche, la préface, l'‘Elenchus materiarum’, l'épilogue et les ‘errata’, cet ouvrage ne contient pas moins de 1225 pâges.

13) Voir, au Tome I, les Lettres N^o. 96, du 6 octobre 1651, N^o. 99 du 16 octobre 1651; N^o. 100, du 25 octobre 1651; N^o. 101, du 1^er novembre 1651; N^o. 102, du 8 novembre 1651 et N^o. 105 du 21 novembre 1651. La Lettre N^o. 90 n'appartient pas à cette partie de la correspondance; elle date en réalité du 18 février 1652; consultez les ‘additions et corrections’ p. 619 du Tome V. La correspondance fut poursuivie après l'apparition de l'‘Ἐξέτασις’ jusqu' en 1654 et reprise en 1658.

14) Voir la Lettre N^o. 99, pp. 149-150 du T. I et le commencement de la Lettre N^o. 101, T. I. p. 152.

15) Grégoire de St. Vincent n'a jamais répondu lui-même, mais en 1656 un de ses élèves, Franç. Xav. Aynscom, a pris sa défense dans l'ouvrage cité dans la note 6 de la page 210 du Tome I. Huygens lui a répondu dans une lettre publique que nous avons reproduite sous le N^o. 233, T. I, pp. 495-502 et que nous ferons suivre encore une fois avec la traduction française, lorsque nous traitons les travaux de l'année 1656.