Oeuvres complètes. Tome XI. Travaux mathématiques 1645-1651
(1908)–Christiaan Huygens–
Auteursrecht onbekend
[pagina 271]
| |
Theoremata de quadratura hyperboles
| |
[pagina 273]
| |
Avertissement.Il n'est pas impossible que, dans l'ordre de la conception, les ‘Theoremata de quadratura hyperboles, ellipsis et circuli, ex dato portionum gravitatis centro’ n'aient précédé le traité ‘De iis quae liquido supernatant.’ Toutefois, tout pesé, nous supposons plutôt le contraire.Ga naar voetnoot1) Et puisque, en tout cas, nous ne possédons des ‘Theoremata’ aucun travail préliminaire, mais seulement l'ouvrage imprimé de 1651, nous avons cru devoir les placer ici, après les travaux de 1650. Tout comme le traité ‘De iis, etc.’, les ‘Theoremata’ furent inspirés bien | |
[pagina 274]
| |
probablement par l'étude de l'oeuvre d'Archimède,Ga naar voetnoot2) qui dans son ouvrage ‘De aequiponderantibus’ avait déterminé le centre de gravité du segment parabolique.Ga naar voetnoot3) Ceux des segments hyperboliques et elliptiques n'y furent pas traités et Huygens se sera mis à les chercher. Dans sa préface il nous raconte lui-mêmeGa naar voetnoot4) qu' il parvint d'abord à montrer que chez l'hyperbole la détermination du centre de gravité dépend de la quadrature de cette courbe. Il s'ensuivait que réciproquement l'hyperbole se laisserait carrer si l'on savait construire ce centre; mais, comme Huygens nous le déclare, cette relation avec la quadrature de l'hyperbole n'était pas le but, mais seulement le résultat de ses recherches.Ga naar voetnoot5) Ensuite il réussit à tracer une voie meilleure qui avait l'avantage de réussir de même avec les segments du cercle et de l'ellipse. En effet, le théorème centralGa naar voetnoot6) des ‘Theoremata’ est valable pour les trois segments et la démonstration est donnée pour tous les trois à la fois. Aussi cette concordance admirable a-t-elle fortement impressionné Huygens, comme cela ressort de sa préface. Ce n'était probablement qu' après l'achèvement du petit traité jusqu' au ‘Theorema VII’ inclus, qu'il prit connaissance de l'ouvrage de Della Faille, qu'il mentionne avec tant de louanges dans sa préfaceGa naar voetnoot7) et dans une lettre à Grégoire de St. Vincent du 8 novembre 1651Ga naar voetnoot8); ce qui occasionna l'addition du ‘Theorema | |
[pagina 275]
| |
VIII’ où le résultat principalGa naar voetnoot9) de Della Faille est déduit du ‘Theorema VII’, que nous venons de nommer. Le 20 septembre 1651 le manuscrit des ‘Theoremata’ fut renvoyé à l'auteur par van Schooten, qui l'avait examiné.Ga naar voetnoot10) Van Schooten le loua beaucoup et exhorta Huygens de ne pas tarder à le publier. Huygens répondit par la Lettre No. 97 d'octobre 1651Ga naar voetnoot11), dans laquelle il remercia chaleureusement van Schooten de lui avoir indiqué quelques inadvertances dans la ‘compositio’ et ‘conversio’ des rapports. Puis, dans une lettre du 25 octobreGa naar voetnoot12), il annonça à Grégoire de St. Vincent, après lui avoir donné un aperçu de ses ‘Theoremata’, sa résolution de les faire paraître simultanément avec la critique de la quadrature de Grégoire. Le 11 novembre 1651 Huygens attendait chaque jour les figures gravées par van Sichem.Ga naar voetnoot13) Enfin le 26 décembre des exemplaires de l'ouvrage imprimé, contenant les ‘Theoremata’ et l'‘Ἐξέτασις’ furent expédiés à GrégoireGa naar voetnoot14) et à d'autres savants.Ga naar voetnoot15)
Déjà en 1647 ou au commencement de 1648, pendant son séjour à Bréda, le jeune Huygens fut vivement intrigué par un gros volume qui se trouvait dans la | |
[pagina 276]
| |
possession du professeur Pell et qui devait contenir, d'après le titre, la quadrature du cercle et des sections coniques; mais le professeur Pell ne le lui voulait ‘jamais prester, ny en dire une sentence definitive encor qu'il l'ayt eu assez long temps’ et de même tous les autres mathématiciens à qui il en avait parlé ‘se trouvoyent empeschez a en venir à bout, n'osants dire absolument si’ l'auteur, Grégoire de St. Vincent, avait ‘rencontrè la quadrature ou non.’ Enfin, pendant les vacances de Pâques, Huygens réussit à avoir le livre et dans sa lettre à Mersenne du 20 avril 1648,Ga naar voetnoot16) dont nous venons de citer quelques passages, il lui raconte le résultat de l'examen du livre et surtout de la première des quatre quadratures du cercle que Grégoire prétendait avoir données. Toutefois, dans cette lettre, il n'indique pas encore, comme il le fera dans l'‘Ἐξέτασις’Ga naar voetnoot17), le lieu exact où le raisonnement, qui conduit à cette quadrature, est irrémédiablement en défaut.Ga naar voetnoot18) Ensuite, la ‘Correspondance’ ne nous apprend rien sur l'‘Ἐξέτασις’ avant octobre 1651 quand l'échange des lettres avec Grégoire commence. Pour plus d'informations nous renvoyons à cette correspondanceGa naar voetnoot19) ainsi qu' à celle avec van SchootenGa naar voetnoot20) sur le sujet de l'‘Ἐξέτασις’. | |
[pagina 277]
| |
Aperçu de la première quadrature du cercle de Grégoire de St. Vincent.Nous croyons utile pour faciliter l'intelligence de l'‘Ἐξέτασις’, d'ajouter à cet ‘Avertissement’ un résumé de la quadrature du cercle dont l'‘Ἐξέτασις’ contient la réfutation. Nous l'avons divisé en paragraphes à cause des renvois que nous ferons dans les notes. 1. Nous commençons par la ‘Prop. 53’ (p. 1133) où Grégoire démontre que le cercle sera carrable si l'on peut satisfaire aux deux conditions suivantes: 1o. qu'on sache construire deux arcs de cercle CD et EF,Ga naar voetnoot21) dont les projections HI et KL sur un même diamètre sont égales et qui soient commensurables entre eux et avec la circonférence du cercle. 2o. qu'on sache construire le rapport des aires CDIH et EFLK.Ga naar voetnoot22) 2. Or, il est facile de montrer que la première condition peut être remplie. Grégoire l'a fait par sa ‘Prop. 22’ (p. 1111) et Huygens en donne un exemple bien simple dans la première figure de son ‘Ἐξέτασις’Ga naar voetnoot23), où CH = 60o, HE=30o. 3. Tout dépend donc de la seconde condition, c'est-à-dire, de la détermination du rapport des aires CDIH et EFLK, rapport que Grégoire, dans la ‘Prop. 52’ (p. 1133), remplace par celui des solides GP et G′P′Ga naar voetnoot21) qu' il obtient en soumettant les paraboles AGNZ et BP′O′Y, dont les sommets se trouvent en A et B, à l'opération qu' il appelle: ‘ducere planum in planum’. | |
[pagina 278]
| |
4. Disons d'abord que cette opération consiste à tourner le carré AZ, avec les lignes qui s'y trouvent, autour de la droite AB jusqu' à ce qu' il soit perpendiculaire au plan du carré BY; à compléter ensuite le rectangle qui a τα et τη pour côtés et enfin à faire mouvoir ce rectangle de sorte qu' il demeure perpendiculaire à l'axe AB et que le point τ décrive l'axe AB et les points α et η les courbes ANZ et YPB. Ainsi, pour avoir le solide GP, on doit mouvoir le rectangle αη depuis la position GO jusqu' à la position NP.  5. Posant alors AM = MB = r; AY = ZB = 2r; Mτ = x; Mτ′ = x′; on a  et on trouve pour le volume du solide GP:  dx, d'où il suit que ce volume égale celui d'un cylindre droit ayant pour base la figure CDIH et pour hauteur AB. C'est le ‘Corollarium’ de la ‘Prop. 51’ (p. 1132) de Grégoire.Ga naar voetnoot24)
6. Le problème se réduit donc à celui de construire (à l'aide de la règle et du compas) deux lignes qui représentent le rapport des solides GP et G′P′. Et Grégoire croit être arrivé à la solution de ce problème par la comparaison des solides | |
[pagina 279]
| |
GP et G′P′ avec les solides SV, S′V′, RX et R′X′ qu' on obtient en soumettant les droites AZ et BY et les paraboles AQZ et BXY, dont les sommets se trouvent en A et en B, à l'opération ‘ducere planum in planum’. 7. Cette solution de Grégoire se trouve résumée dans sa ‘Prop. 44’ (p. 1126), où il prétend: 1o. que le rapport des solides RX et R′X′ doit contenir autant de fois (‘toties continere’) le rapport des solides SV et S′V′, que celui-ci contient le rapport des solides GP et G′P′. 2o. que le rapport des solides RX et R′X′ et celui des solides SV et S′V′ sont construisibles. 8. La vérité de la seconde assertion, pour laquelle il renvoie à la ‘Prop. 43’ (p. 1125), se démontre aisément puisqu' on peut trouver les cubatures des solides RX et SV.Ga naar voetnoot25) Grégoire traite ces cubatures respectivement dans la ‘Prop. 42’ (p. 1124) du ‘Lib. 10’ qui nous occupe, et dans la ‘Prop. 5’ (p. 708) du ‘Lib. 7: De ductu plani in planum’, comme le fait aussi Huygens dans l'‘Ἐξέτασις’Ga naar voetnoot26). 9. Il s'agit donc uniquement encore de vérifier la première assertion et de connaître le sens exact du mot ‘continere’. Or, en considérant les solides en question comme des tranches infinement petites d'épaisseurs égales, HI = KL, on trouve aisément:  On a donc:  ; 
et on peut dire: que le rapport de RX à R′X′ contient deux fois le rapport de SV à S′V′, et que de même ce dernier rapport contient autant de fois le rapport de GP à G′P′Ga naar voetnoot27); mais il est clair 1o. que cette assertion n'est plus valable pour des | |
[pagina 280]
| |
solides d'épaisseurs finies; 2o. que dans ce dernier cas l'expression ‘continere’ perd sa signification primitive, si simple, et qu'une nouvelle définition devient nécessaire.Ga naar voetnoot28) 10. La première assertion du § 7, qui constitue la ‘Prop. 40’ (p. 1123) de Grégoire, est donc erronée. Elle se fonde sur la ‘Prop. 39’ (p. 1121) dont la démonstration est à peu près incompréhensibleGa naar voetnoot29); mais qui a la portée suivante: que, si l'assertion en question est vraie pour les solides qui possèdent respectivement les épaisseurs Hτ = Kτ′ et τI = τ′L, elle l'est alors également pour leurs sommes qui possèdent l'épaisseur HI = KL. C'est dans cette dernière proposition, comme Huygens le signale dans l'‘ Ἐξέτασις’,Ga naar voetnoot30) que réside l'erreur, qui rend vicieuse la quadrature de Grégoire. |
|
