Oeuvres complètes. Tome XI. Travaux mathématiques 1645-1651

[p. 252]

XII.¹⁾
[1650].
Ex Pappo, lib. 7²⁾.

Datis positione duobus punctis C, B et linea HG, et in eâ puncto A, invenire punctum F, unde si ducantur FC, FB ad data puncta, et FG ad datam lineam in dato angulo FGH; sint quadrata linearum FC, FB, aequalia rectangulo quod continetur abscissâ GA ad datum punctum, et aliâ lineâ d.

[Fig. 1.]

Factum jam sit atque à puncto F, ducantur FC, FB, FG, quarum haec producta conveniat cum producta BC in K; et GH in H.

Sit DC vel DB ∞ a; DH ∞ b; HA ∞ c; DE ∞ x; EF ∞ y.

Quia autem linea GH positione data est datus est quoque angulus KHG; sed et angulus FGH datus est, igitur triangulum KHG specie datum, et data proportio lineae KH ad HG, quae sit ut z ad

1) La pièce occupe les pages 164 et 165 du manuscrit N^o. 12.

2) Voir la page 163 recto de l'édition de Commandin, mentionnée, dans la note 4, p. 213 du Tome présent, où on lit, dans l'aperçu des ‘lieux plans’ d'Apollonius: ‘Si à duobus punctis datis inflectantur rectae lineae; à puncto autem ad positione ductam lineam abscissa à recta linea positione data ad datum punctum, & sint species ab inflexis aequales ei, quod à data, & abscissa continetur, punctum ad inflexionem positione datam circumferentiam continget.’ A cet énoncé très obscur van Schooten a donné la même interprétation qu'on trouve ici; voir la page 281 (XII Problema) de l'ouvrage cité dans la note 9, p. 214 du Tome présent. L'interprétation de Fermat est plus bornée; voir la page 48 du T. I de l'édition de Tannery et de Henry, citée dans la note 11 p. 214 du Tome présent. Tannery dans la note 1 de la même page 48 accepta la version de Huygens et van Schooten. Simson de même; voir les pages 183-193 de l'ouvrage, cité dans la note 2, p. 229 du Tome présent; comme aussi Hultsch au lieu cité dans la note 17, p. 215; à cette exception seulement qu'ils donnent à l'expression ‘species’ le sens plus large que nous avons indiqué dans la note 2 de la p. 229.

[p. 253]

f; item FE ad EK quae sit ut z ad e. Ergo erit EK ∞ ey/z, et tota KH ∞ ey/z + x + b.

Ponendo autem quod hic licitum est z ∞ d fiet

deme et adde 1/16 ff fit

[p. 254]

Constructio.

[Fig. 2.]

Sumatur HL ∞ d, et ducatur LM ad HG in angulo dato, erit ergo HM ∞ f. inveniatur tribus MN, NL, z quarta proportionalis HS, quae erit e, et ducatur SR parall. LM, eritque HR fe/z. Pone jam DO aequ. ¼ HM, et perpd. OP ∞ ¼ HR; centroque P, semidiametro q (quae prins inveniri debet) scribe circulum PF. Hujus enim circumferentia erit locus puncti quaesiti F. Nam si sumatur DE ∞ x, erit EO x - ¼ f vel etiam PQ; quare et quum sit PO vel erit FE sive ut oportebat. Determ. Oportet majores esse quam aa + ½ cz.