Oeuvres complètes. Tome XI. Travaux mathématiques 1645-1651

[p. 246]

X.¹⁾
[1650].

Datis positione quatuor lineis AB, CD, EF, EG, invenire punctum ut P, unde si ad eas ducantur in datis angulis lineae PL, PM, PF, PG, sint hae omnes, datae lineae a aequales.²⁾

Productae omnes lineae datae conveniant cum linea AB, itemque omnes quaesitae. et sit BL ∞ x, LP ∞ y.

[Fig. 1.]

Primò sciendum est, omnes triangulos qui ex hisce intersectionibus oriuntur specie datos, ideoque et rationem laterum datam esse. Ponendo igitur PL esse ad LH sicut z ad b, erit LH ∞ by/z, et BH ∞ ∞ by/z - x. et ponendo PL esse ad PH sicut z ad c erit PH ∞ cy/z. et ponendo BH ad HG ut z ad d, erit , quare erit PG

1) La pièce se trouve aux pages 159-161 du manuscrit N^o. 12.

2) Le problème a été inspiré sans doute par celui qui est formulé comme il suit dans la traduction de Commandiu de l'aperçu des lieux plans d'Apollonius par Pappus (p. 162 verso de l'ouvrage mentionné dans la note 4 de la page 213 du Tome présent): ‘Et si sint quotcunque rectae lineae positione datae: atque ad ipsis à quodam puncto ducantur rectae lineae in datis angulis, sit autem quod data linea, & ducta continetur vna cum contento data linea, & altera ducta aequale ei, quod data, & alia ducta; & reliquis continetur punctum similiter rectam lineam positione datam continget.’ Ce dernier problème fut traité par v. Schooten et par Fermat respectivement aux pages 243-247 et 24-27 (éd. de Tannery et Henry T. I) des ouvrages cités dans les notes 9 et 11, p. 214 du Tome présent.

[p. 247]

. ponendo item PL ad PN ut z ad e, erit PN ∞ ey/z. quia autem lineae sunt positione datae, data est BO quae vocetur p: ergo LO ∞ p - x. ponatur PL ad LN ut z ad f, ergo LN ∞ fy/z, et tota ON ∞ fy/z + p - x. ponatur ON ad NF ut z ad g, ergo erit . estque inventa PN ∞ ey/z ergo reliqua . Restat adhuc invenienda PM. Ponatur PL ad PA ut z ad h, ergo PA ∞ hy/z. ponatur item PL ad LA ut z ad k, ergo LA ∞ ∞ ky/z; estque inventa LO ∞ p - x, ergo data autem est OK, quia lineae positione datae sunt, eaque vocetur q, ergo tota ponendoque esse AK ad AM ut z ad l erit quare , sive



. Jam id quod in x ductum est, vocetur

[p. 248]

n/z. et reliquae quantitates cognitae vocentur m ergo LP y ∞ + nx/z + m. Signa quidem affectionis quae hic utraque sunt + possunt diversimode variare. Sed semper patebit punctum quaesitum esse ad lineam rectam; Et inventis quidem quantitatibus n/z et m, facilis erit constructio, et parum diversa ab ea quam subjungam quae ad hunc casum accommodata est.

Constructio.

[Fig. 2.]

Sumatur BR ∞ z, et ducatur RSV in angulo dato PLH. Sit RS ∞ n et SV ∞ m, junctâque SB ducatur huic parallela VQ. Erit haec VQ linea ad quam est punctum quaesitum P. Verum oportebit punctum P sumere intra angulum linearum FE, QE.

Ratio autem compositionis manifesta est, nam quum BR sit z, RS ∞ n et BL ∞ x erit LT ∞ nx/z. et quum SV ideoque et TP sit m, erit LP ∞ nx/z + m, ut oportebat.

Et si linea a, cui omnes ductos lineas aequales esse oportet, major vel minor quam nunc est data sit, constat ex aequatione eo tantum immutari quantitatem m, id est SV, adeo ut punctum quaesitum futurum sit ad aliam lineam, sed quae ipsi VQ parallela futura sit, quod omninò notandum est.

Quemadmodum locus puncti P inventus est linea αQ, ita si quaeratur hoc punctum inter alium angulum ut KCE, invenietur locus ejus alia linea εζ et aliae adhuc intra reliquos angulos; adeo ut dicendum sit locum puncti P esse ambitum figurae octangulae α Q η ζ ε δ λ β: Quum omnia hujus ambitus puncta proposito satisfaciant. datâ autem linea a majore vel minore, erit puncti locus alia figura polygona, cujus latera lateribus hujusce figurae parallela erunt, quod constat ex ante dictis.³⁾

3) Il semble que Huygens n'a pas remarqué le cas où le segment αQ se trouverait tout entier ou en partie dans l'intérieur du quadrilatère formé par les lignes CO, OB, BG et KC, auquel cas le segment entier ou la partie en question doit être rejetée comme solution du problème tel qu'il a été conçu par Huygens.