Oeuvres complètes. Tome XI. Travaux mathématiques 1645-1651

[p. 243]

IX.¹⁾
[1650].
Ad lineam rectam.

Datis positione duabus lineis FG, HK, quarum intersectio A, invenire punctum ut B, unde si ducantur BD, BC in datas lineas ad angulos rectos, duae simul aequales sint lineae datae a.²⁾

[Fig. 1.]

Sit AD ∞ x, DB ∞ y; et producatur BC usque in lineam HK.

Quoniam igitur noti sunt tres anguli trianguli BDE erit quoque nota proportio lineae BD ad DE quae sit ut z ad b. erit ergo DE ∞ by/z, et EA ∞ ∞ by/z - x.

Et ponendo esse BD ad BE ut z ad c, erit BE ∞ cy/z.

1) La pièce est empruntée aux pages 157 et 158 du manuscrit N^o. 12.

2) Le problème constitue un cas particulier du problème plus général, mentionné par Pappus dans son aperçu des ‘lieux plans d'Apollonius’ dans les termes suivants (traduction de Commandin): ‘Si à puncto quodam ad positione datas duas rectas lineas.... ducantur rectae lineae in dato angulo,.... quarum vna simul cum ea, ad quam alteram proportionem habet datam, data fuerit, continget punctum rectam lineam positione datam.’ Ce dernier problème fut traité par van Schooten et par Fermat; voir respectivement les pages 238-240 et 23-24 (éd. Tannery et Henry T. I) de leurs ouvrages mentionnés dans les notes 9 et 11, p. 214 du Tome présent.

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Constructio.

[Fig. 1.]

Intra angulum KAG adaptetur perpd. KG aequalis datae lineae a, et sumptâ AF aequali AK, jungatur KF; sumpto enim in linea KF puncto B ad lubitum, ductisque in datas lineas perpend.^bus BD, BC, erunt hae duae aequales lineae a. quod manifestum fiet ductâ AL parallela FK: quae angulum KAG bifarium dividet.

Erit enim KA + AG ad KA ut KG ad KL; et quoniam data est proportio lineae AG ad AK ut z ad c, erit , huic autem aequalis est HB, quoniam angulus HBK aequ. est

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angulo LKB, et HL parallela BK; ergo et . et quoniam FG est ad GK sic AD sive x ad DH, estque data proportio duarum KA, AG id est unius FG ad GK ut z + c ad b, erit ; quare ut oportebat.

Manifesta autem est hujus demonstratio, ductâ KM parall. GF, productâque CB. est enim BM ∞ BD, ideoque duae BC, BD simul aequales CM id est GK. quod erat demonstr.