Oeuvres complètes. Tome XI. Travaux mathématiques 1645-1651

[p. 239]

VIII.¹⁾
[1650].
Ex Pappo.²⁾

Rhombo dato DB, ejusque producto latere AD: Oportet ex angulo B educere lineam BGH, cujus pars GH sit aequalis lineae E datae.³⁾

[Fig. 1.]

Factum jam sit, et ducantur ipsis CG, GH, parallelae HK, KC. Est igitur DC ad GC vel HK, ut HB ad GB vel ut HA ad DA, ideoque quod continetur lineis DA, DC aeq. ei quod continetur medijs HA, GC vel HK: Ergo punctum K est ad hijperbolen, quae vertice C describitur ad asymptotos AB, AH. linea

1) La pièce se trouve p. 155-156 du manuscrit N^o 12, décrit dans la note 1 de la page 7 du Tome présent.

2) Voir, à la page 163 verso du ‘liber VII’ de l'ouvrage cité p. 259, T. II, note 3, l'aperçu de l'ouvrage ‘De inclinationibus’ d'Apollonius, où on lit: ‘Et cum hoc sit problema universale. Duabus lineis positione datis inter ipsas ponere rectam lineam magnitudine datam, quae ad datum punctum pertineat: in hac particularibus subiecta differentia habentibus, alia quidem erant plana, alia solida alia vero linearia. Ex planis autem, quae ad multa vtiliora sunt eligentes problemata haec ostenderunt .... Rhombo data, & vno latere producto aptare sub angulo exteriori magnitudine datam rectam lineam, quae ad oppositum angulum pertineat.’

3) Le problème peut être considéré comme une généralisation du problème traité dans la pièce N^o. IV, p. 226. Huygens y est revenu plus d'une fois. Voir, là-dessus, la note 1 de la pièce N^o. IV citée.

[p. 240]

autem CK aequalis est ipsi GH sive E. datum est igitur punctum K, unde et H datum erit.

Scribit autem Pappus²⁾ hoc problema solidum non esse sed planum, lib. 7. in pr. de inclinat.; Quaerenda est igitur alia constructio. Sit AC ∞ a, DB ∞ b, linea E ∞ c, CL ∞ x, Sunt autem KL, CM, parallelae diametro DB. CM igitur vel DB potest quartam figurae partem quae sub latere transverso et recto hijperboles CK continetur per 1, lib. 2, Con.⁴⁾ et est AC ½ lateris transversi. Igitur bb/½a sive 2bb/a est latus rectum. Ad inveniendum nunc. qu LK, fiat

ut l. trans. (2a) ad l. rect. (2bb/a) ita 2 AC + CL (2a + x) ad lineam

2) Voir, à la page 163 verso du ‘liber VII’ de l'ouvrage cité p. 259, T. II, note 3, l'aperçu de l'ouvrage ‘De inclinationibus’ d'Apollonius, où on lit: ‘Et cum hoc sit problema universale. Duabus lineis positione datis inter ipsas ponere rectam lineam magnitudine datam, quae ad datum punctum pertineat: in hac particularibus subiecta differentia habentibus, alia quidem erant plana, alia solida alia vero linearia. Ex planis autem, quae ad multa vtiliora sunt eligentes problemata haec ostenderunt.... Rhombo data, & vno latere producto aptare sub angulo exteriori magnitudine datam rectam lineam, quae ad oppositum angulum pertineat.’

4) Voir la note 51 de la page 114 du Tome présent.

Constructio⁵⁾

[Fig. 2.]

AP ∞ E

BGH parall. CK.

5) Voici cette construction telle qu'elle se déduit de l'équation quadratique qui précède, et qu'on la retrouve dans la Fig. 2.
Posons ; alors l'équation quadratique s'écrit: , et l'on a . Or, pour construire il suffit de mener CN perpendiculaire sur BC et d'abaisser la perpendiculaire NO sur AC; alors OC = p comme il est facile à vérifier. De même, pour trouver q, on n'a qu' à prendre AP égal à la ligne donnée E = c et à abaisser la perpendiculaire PQ; alors AQ = q. Prenant ensuite, sur le prolongement de NO, OY égal à AQ, on a (le cercle SY ne passe par le point B que par accident), et OS = x = CL. On peut donc construire le triangle rectangle CKL, où CK = E = c, et mener enfin, comme il est indiqué dans le texte, BGH parallèle à CK.

[p. 241]

Propter ∆^la similia PAQ, ENV, RCL, augeri possunt omnia eadem proportion: sumendo CL, CR: pro OC, NE hoc est TD: pro OY hoc est QA, AP ∞ c. Hinc invenitur

Constructio brevior.⁶⁾

[Fig. 3.]

BE est linea data. DF est perpend. ad BC; BK ∞ BF. qu. KL aeq. qu.^o BE + qu. BK. LM parall. BD. BM ∞ ∞ BE BGMH est linea. Erit jam GH ∞ BE, quod erat fac [iendum].

6) Voici comment. On a d'après les remarques qui précèdent: CR/CL = TD/OC = c/OY = λ; donc (mettant entre crochets les lignes qui se rapportent à la Fig. 3 de la construction abrégée): (BE) = λOY, (BK) = (BF) = TD = λOC, (KL) = (KE) = λCY = λSC, (BL) = (KL) - (KB) = λSC - λOC = λOS = λCL = CR; mais alors le triangle (BLM) est égal au triangle CRK, puisqu' on a (BL) = CR, BM = CK, ∠ (BLM) = ∠ CRK; d'où il suit que l'angle (MBL) est égal aux angles KCR et HBR et que les lignes BH des deux figures se correspondent.

[p. 242]

[Fig. 4.]

CN ∞CL.⁷⁾

Eadem est constructio si angulus C sit obtusus. nisi quod tum producere oportet BA ut ipsi occurrat BF.

Alia solutio hujus probl. est in geometria inclin. Apollonij, restituta à Marino Getaldo;⁸⁾ sed constructio prolixior.

Aliam ego postea inveni.⁹⁾

7) La construction de la Fig. 4 ne diffère pas essentiellement de celle de la Fig. 3. La remarque CN ∞ CL peut servir à construire la ligne LN qui sera parallèle à la ligne BB.

8) Voir la note 5 de la page 126 du T. VIII. On trouve en effet la construction en question aux pages 330-333 de l'ouvrage de Ghetaldi cité en dernier lieu dans la note mentionnée. Toutefois Huygens fait allusion ici à l'ouvrage cité en premier lieu dans la même note, où l'on rencontre la même construction aux pages 17-19.

9) Voir les ‘Travaux mathématiques divers de 1652 et 1653’, où l'on trouvera sous la date du 9 févr. 1652 une autre solution du même problème. Consultez aussi la note 1 de la pièce N^o. IV, p. 226.