Oeuvres complètes. Tome XI. Travaux mathématiques 1645-1651

[p. 229]

V.¹⁾
[1650].

PROPOSITIO MIRABILIS, quam Pappus refert libr. 7 in princ. est hujusmodi;

Si à quotcunque datis punctis ad punctum unum ducantur rectae lineae; et sint species sive quadrata quae ob omnibus fiunt dato spatio aequalia, punctum continget positione datam circumferentiam circ.²⁾

Id nunc propositum sit investigare: et sint primum quidem data puncta non amplius tribus A, B, C.³⁾ Oportet invenire quartum D, unde ductis DA, DB, DC, trium harum quadrata aequentur quadrato dato ex d.

1) La pièce se trouve aux p. 150-152 du manuscrit N^o. 12 décrit dans la note 1 de la page 7 du Tome présent.

2) Voici le passage en question tel qu'on le trouve à la page 163 recto de la traduction de Commandin, mentionnée dans la note 4, p. 213 du Tome présent, là où Pappus donne un aperçu des ‘lieux plans’ d'Apollonius: ‘Si à quotcumque datis punctis ad punctum vnum inflectantur rectae lineae: & sint species, quae ab omnibus fiunt dato spacio aequales punctum continget positione datam circumserentiam.’
Comme on le voit, Huygens identifie les ‘species’ avec les ‘quadrata’. C'est encore la conception de van Schooten et de Fermat; voir respectivement les pages 273-276 et 37-47 (éd. Tannery et Henry T. I) de leurs ouvrages mentionnés dans les notes 9 et 11, p. 214 du Tome présent, où le même problème est traité. Simson au contraire, dans l'ouvrage: ‘Apollonii Pergaei locorum planorum libri II. Restituti a Roberto Simson M.D. Matheseos in Academia Glasguensi Professore. Glasguae, in Aedibus Academicis, Excudebant Rob. et And. Foulis Academiae Typographi. A.D. MDCCXLIX,’ entend par ‘species’ des figures quelconques semblables dont l'un des côtés doit être égalé à la distance au point donné et il emploie même des figures différentes pour les divers points donnés; voir les pp. 159-182 et surtout la page 177 de l'ouvrage cité. Hultsch, au lieu cité dans la note 17 de la p. 215 du Tome présent, accepte cette interprétation de Simson en intercalant après ‘species’ l'explication ‘(i.e. figurae specie datae).’

3) Le cas de deux points est traité par van Schooten à la p. 307 du manuscrit même dont la présente pièce est tirée.

[p. 230]

Jungantur AB puncta, et in AB cadat perp. CE; et sit AF vel FB ∞ a; FE ∞ b; EC ∞ c. Et ponatur jam inventum punctum D: sitque perp. DG ∞ y, et distantia FG ∞ x.

[Fig. 1.]

sint autem quantitates cognitae - 2/9 cc + ⅓ dd - 2/9 bb - ⅔ aa ∞ qq fietque , vel si punctum D alio loco quaeratur, adeo ut perp. DG cadat ad alteram partem puncti medij F, erit . Et si punctum D quaeratur infra lineam AB, habebitur in aequatione yy ∞ - ⅔ cy - xx &c.⁴⁾ et erit . quae omnia procedunt à primâ quadratorum supputatione. Si autem qu. x ⁵⁾ ⅓ b majus sit quam qq - ⅙ cc, erit ⁴⁾.

4) On remarquera que l' y de Huygens représente la valeur absolue de la ligne DG. C'est aussi le point de vue de van Schooten qui après avoir déduit une expression analogue pour la valeur de y, fait suivre: ‘Atque ita videre est, datis quotcunque punctis,’ (par la valeur de leur x) semper ejusmodi terminos inveniri; praeterquam quòd quidam ex illis interdum abesse possunt’ (dans le cas où l'expression pour y deviendrait imaginaire), signaque + & - diversimodè mutari.

5) Par ce signe Huygens indique qu'on doit intercaler, selon les circonstances, le signe + ou le signe -.

4) On remarquera que l' y de Huygens représente la valeur absolue de la ligne DG. C'est aussi le point de vue de van Schooten qui après avoir déduit une expression analogue pour la valeur de y, fait suivre: ‘Atque ita videre est, datis quotcunque punctis,’ (par la valeur de leur x) semper ejusmodi terminos inveniri; praeterquam quòd quidam ex illis interdum abesse possunt’ (dans le cas où l'expression pour y deviendrait imaginaire), signaque + & - diversimodè mutari.

[p. 231]

Constructio.

[Fig. 2.]

Jungatur FC. sitque FK ∞ ⅓ FC, estque KL qu. ∞ 2/9 bb + 2/9 cc. sit FN ∞ KL, et FM qu. ∞ ⅔ aa. fit NM q. ∞ ⅔ aa + 2/9 cc + 2/9 bb. ┚ OP [Fig. 3] sit ∞ ⅓ q. OQ, id est ⅓ dd. PR ∞ NM. et centro K describatur semidiam.^o KD ∞ RO circulus; et ubicunque in eo capiatur punctum D; ductisque DA, DB, DC, erunt harum trium quadr.^a aequalia qu.^o OQ.

[Fig. 3.]

Determinatio haec est; quod ⅔ aa + 2/9 cc + 2/9 bb non debeat major esse quam ⅓ dd, et siquidem haec aequalia fuerint erit quaesitum punctum in K, atque ibi tantum.

Animadversione dignum est, centrum K esse quoque grav. centrum trianguli quem data puncta A, B, C, constituunt.⁶⁾

6) Comparez encore la page 175 du T. I, où Huygens a donné à sa solution la forme d'un théorème.
La remarque, dont il s'agit ici, ne se rencontre pas dans les solutions de van Schooten et de Fermat que nous avons mentionnées dans la note 2. Toutefois Fermat, dans une lettre à Roberval de février 1637 (voir p. 100-102 du T. II de ses ‘Oeuvres’, éd. Tannery et Henry), après lui avoir annoncé sa démonstration du théorème d'Apollonius qu'il appelle ‘une des plus belles propositions de la Géométrie’, ajouta: ‘Si puncta data sint tantum tria constituant triangulum, centrum circuli localis erit centrum gravitatis illius trianguli, et haec propositio singularis satis est mira.’ Et s'il n'a pas genéralisé ce résultat pour le cas de plus de trois points, c'est probablement parce que la notion de centre de gravité de points mathématiques lui manquait. En effet, cette notion de Huygens excita encore en 1657 l'étonnement de de Sluze qui ne la comprit pas de premier abord; voir les pages 39 et 40 du T. II.

[p. 232]

[Fig. 4.]

Sint jam data puncta quatuor, A, B, C, D et ponatur jam inventum quintum K.

Jungantur duo puncta A et B, et ex reliquis cadant in AB perpendiculares CF, DG et KH, et sit AE vel EB ∞ a; EF ∞ b; FC ∞ c; EG ∞ d; GD ∞ e; EH ∞ x; HK ∞ y et datum quadr. ∞ ff.

4yy - 2cy + 2ey + 4xx - 2dx + 2bx + 2aa + bb + dd + cc + ee ∞ ff

yy ∞ ½ cy - ½ ey - xx + ½ dx - ½ bx - ½ aa - ¼ bb - ¼ dd - ¼ cc - ¼ ee + ¼ ff et quaedam partiendo, et addendo et detrahendo ⅛ bd fit:

ergo fit

yy ∞ ½ cy - ½ ey - zz + ¼ ff - ½ aa - ¼ cc - ¼ ee - 3/16 bb - 3/16 dd - ⅛ bd

addendo jam quadr. ex ¼ c - ¼ e ad reliquas quantitates cognitas fit ¼ ff - 3/16 cc - ⅛ ce - 3/16 ee - ½ aa - 3/16 bb - 3/16 dd - ⅛ bd quod vocetur qq.

Ergo . Unde patet punctum K rursus esse ad circuli circumferentiam. Eritque constructio problematis hujusmodi.

Sit EL [Fig. 5] ∞ ¼ EF - ¼ EG sumenda versus F quoniam EF major est quam EG. sit perpd. LM ∞ ¼ FC - ¼ GD, sumenda supra lineam AB quoniam FC major est quam GD. Et inventâ lineâ q, sit ea semidiameter circuli descripti centro M; et quodcunque punctum ejus circumferentiae proposito satisfaciet, ut ex ipsa constructione manifestum esse potest.

Evidens quoque est, punctum M esse illud, è quo si ducantur quatuor lineae ad data puncta A, B, C, D, omnium simul quadrata sint minima quae esse possint.⁶⁾

6) Comparez encore la page 175 du T. I, où Huygens a donné à sa solution la forme d'un théorème.
La remarque, dont il s'agit ici, ne se rencontre pas dans les solutions de van Schooten et de Fermat que nous avons mentionnées dans la note 2. Toutefois Fermat, dans une lettre à Roberval de février 1637 (voir p. 100-102 du T. II de ses ‘Oeuvres’, éd. Tannery et Henry), après lui avoir annoncé sa démonstration du théorème d'Apollonius qu'il appelle ‘une des plus belles propositions de la Géométrie’, ajouta: ‘Si puncta data sint tantum tria constituant triangulum, centrum circuli localis erit centrum gravitatis illius trianguli, et haec propositio singularis satis est mira.’ Et s'il n'a pas genéralisé ce résultat pour le cas de plus de trois points, c'est probablement parce que la notion de centre de gravité de points mathématiques lui manquait. En effet, cette notion de Huygens excita encore en 1657 l'étonnement de de Sluze qui ne la comprit pas de premier abord; voir les pages 39 et 40 du T. II.

[p. 233]

Si puncta ita dentur ut utrumque C et D sit ad easdem partes lineae AB, tum erit LM ∞ ¼ FC + ¼ GD.

[Fig. 5.]

Item si utraque perpendicularis cadat in lineam AB ad easdem partes medij E. tum EL erit ∞ ¼ EF + ¼ EG; atque haec ex prima quadratorum supputatione manifesta sunt.

Datis autem quotcunque punctis invenietur circuli quaesiti centrum hoc pacto:

duo quaevis ex datis punctis jungantur lineâ rectâ, quae bifariam dividatur, et cadant in eam ex punctis reliquis perpendiculares; tum omnes distantiae perpendicularium quae sunt ab una parte puncti medij, auferantur ab omnibus distantijs quae sunt ab altera parte ejusdem medij et residuum dividatur in tot partes aequales quot sunt data puncta, earumque partium una statuatur à puncto medio. versus eam partem ubi summa distantiarum major est; atque ad ejus partis terminum ponatur versus partem ubi summa perpendicularium major est, perpendicularis aequalis uni parti differentiae quae est inter omnes perpendiculares ab una et altera parti lineae, divisae similiter in tot partes aequales quot sunt data puncta: Eritquae hujus perpendicularis terminus centrum circuli quaesitum.⁷⁾

Longitudo autem semidiametri pendet à quantitate spatij dati.⁸⁾

Verùm si invento centro quilibet circulus describatur, atque à puncto quod sit in ejus circumfer.^a ducantur lineae ad data puncta. atque item ex alio ejusdem

7) Fermat, au lieu cité dans la note 2, donne à la page 47, une construction identique. Van Schooten ne s'occupe que très sommairement du cas général, où il y a plus que trois points donnés.

8) Fermat ajoute le théorème élégant que le carré du rayon du cercle, multiplié par le nombre des points donnés, et augmenté par les carrés des distances du centre aux points donnés, égale l'espace donné.

[p. 234]

circumfer.^ae puncto ad data puncta lineae ducantur; erunt omnium harum quadrata illarum omnium quadratis aequalia.

Centrum circuli quaesitum semper est centrum gravitatis datorum punctorum⁹⁾, ut hic punctum M centr. gr. punctorum A, B, C, D, quod ex constructione superiori facile deducitur.

9) Consultez encore sur ce théorème les Lettres N^o. 394-399, p. 37-44 du Tome II, qui appartiennent à la correspondance avec de Sluse de l'année 1657, et la ‘Prop. XII’ de la ‘Pars quarta’ de l' ‘Horologium oscillatorium’, où Huygens est revenu sur le même problème.