Oeuvres complètes. Tome XI. Travaux mathématiques 1645-1651

[p. 158]

De iis quae liquido supernatant.
Liber III.¹⁾
De Cylindris.

Quae de Cylindris natantibus propositurus sum, explicari nequeunt nisi cognitis prius portionum cijlindri centris gravitatum, quae quum nemo adhuc, quod sciam, invenerit, necessario hic praemittenda existimavi. Verùm ut quam minimum à proposita materia recederem, neglexi in hisce quidem longiorem sed et optimam demonstrandi methodum quae fit deductione ad absurdum, eamque potius secutus sum quâ primùm Cavalerius usus fuit,²⁾ plurimis postea Geometris probatam, quam etiamsi non putem legitimae demonstrationis loco habendam, (revera enim tantùm ostendit quâ ratione quid demonstrari possit), tamen hìc eam adhibere satius duxi, propter insignem ejus brevitatem.

1) Le troisième livre traite l'équilibre du cylindre droit flottant. De plus on y trouve vers la fin des indications sur la manière dont les résultats obtenus dans les trois livres pourraient être vérifiés expérimentalement.

2) L'Appendice IV contient une détermination du centre de gravité d'un tronc de cylindre droit, indépendante de la méthode de Cavalieri. Voir sur cette dernière méthode la note 8 de la page 60 du volume présent.

Definitiones.

Cylindri appellatione intelligatur Cylindrus rectus.

Portiones Cylindri vocentur, quae fiunt cum Cylindrus secatur plano, neutram basium vel parallelam habente vel secante.

Cuneus Cylindricus appelletur, Portio cujus bases se mutuo contingunt.

[p. 159]

Manisesta.

His constitutis, illa quidem tanquam demonstratione non egentia pro veris habeantur; nempe quod in portione Cylindri, latera maximum et minimum sint è diametro opposita; sicut in Cuneo, angulus contactus basium et latus sive maxima altitudo. Item portionem, si plano secundum longitudinem utriusque lateris secetur, dividi in segmenta duò aequalia et similia: Et Cuneum similiter dividi si secetur plano per punctum contactus basium et secundum latus oppositum. Denique quod si Cylindrus plano per oppositos angulos secetur, futuri sint duo cunei similes et aequales, ideoque singuli aequales dimidio cijlindri cujus sunt partes. Ex quo colligitur Cuneos ex eodem cylindro inter se rationem habere quam eorundem altitudines sive latera.

Theorema 1.
Cunei Cylindrici centrum gravitatis est in linea quae pertingit a puncto contactus basium ad medium latus oppositum.

Esto Cuneus ABC, cujus bases AECF, ADBG: ab harum contactu A ducatur

Fig. 1

AK quae latus oppositum BC bifariam dividat. dico centrum grav. Cunei ABC esse in linea AK.

Intelligatur enim Cuneus secari plano ABC per latus BC et contactum A, in quo plano manifestum est fore lineam AK. Item ubicunque sectus sit plano DGEF, recto ad basin circularem AECF, et planum ABC secante ad angulos rectos secundum lineam IL, quae idcircò perpendicularis erit ad planum AECF ^a3).

Est igitur sectio DGEF rectangulum, cujus latera opposita FE, DG, bifariam dividuntur ab intersectione IL, ideoque ipsa IL à centro gravit. rectanguli DGEF quod est H bifariam dividitur ^b4): sed eadem quoque bifariam secatur à rectâ

3) Huygens ajoute en marge ‘a pr. 19. lib. 11. Elem.’, où l'on lit (voir l'ouvrage cité dans la note 10, pag. 97): ‘Si duo plana se mutuo secantia, plano cuidam ad rectos sint angulos, communis etiam illorum sectio ad rectos eidem plano angulos erit.’

4) ‘b pr. 10. lib. 1. Arch. Aequipond.’ [Huygens]. Voici la ‘propositio’ en question: ‘Cuiusuis parallelogrammi centrum grauitatis id punctum est, in quo diametri inter se concurrunt.’ Voir p. 165, T. II de l'édition de Heiberg, citée dans la note 2 de la page 50 du Tome présent. La lettre H, indiquant le point d'intersection des lignes AK et IL, manque dans la figure achevée (voir la page 90 de l'Avertissement), quoiqu' elle soit présente dans la figure du manuscrit.

[p. 160]

AK, (nam quum LI sit in plano triangulari ABC, et perpendicularis ad planum AECF, ideoque parallela lateri BC, sequitur eam ita ut BC dividi à linea AK) ergo H centrum grav. rectanguli DGEF est in AK. Quum autem eodem modo demonstrari possit omnium rectangulorum quae fiunt sectionibus huic parallelis, centra gravitatis esse in eadem rectâ AK, concludimus inde totius Cunei ABC, qui quasi ex innumeris talibus rectangulis constat, in linea AK esse centrum grav. quod erat ostendendum.

Theorema 2.
Portionis Cijlindri centrum gravitatis est in linea, quae pertingit à medio minoris lateris ad medium majoris.

Fig. 2.

Sit Cijlindri portio ABCD, cujus latera maximum et minimum bifariam dividat linea MK. dico centrum grav. portionis ABCD esse in eâdem MK. Similis autem hujus demonstratio est quae Theorematis praecedentis.

Theorema 3.
Cunei Cylindrici centrum gravitatis, lineam à contactu basium ad medium latus oppositum pertingentem ita dividit, ut pars versus contactum ad reliquam sit ut quinque ad tria.

Fig. 3.

Sit Cuneus ABC cujus bases AB, AC se mutuò contingant in A puncto, atque hinc ducatur AK, latus oppositum BC bifariam dividens. Porro producto latere BC versus M, donec CM sit sesquialtera [3/2] CB, intelligatur conus AMC scalenus, cujus basis circulus AECF, eadem quae cunei ABC. Et secentur Cuneus et conus primùm plano ABCM, per contactum A et latus BC transeunte, deinde ubicunque plano DGENF, recto utrinque ad communem basin AECF, ut et ad planum ABCM;

[p. 161]

eritque sectio quidem cunei rectangulum DE, coni autem sectio parabole ENF, quoniam lateri CM facta est parallela.

Sit coni AMC axis MO, cujus sumantur tres quartae MP, et erit P centrum grav. in cono, hoc enim à Commandino demonstratum est.⁵⁾ ducatur denique PQR aequidistans ipsi BM.

Quum igitur CM sit sesquialtera CB, erit quoque LN sesquialtera LI, ideoque parabole FNE aequalis rectangulo DE, ut patet ex quadratura paraboles.⁶⁾ Haec autem aequalitas eodem modo ostendi potest, ubicunque cuneus et conus secti fuerint eodem plano, quod parallelum sit plano DGENF. Quare si AC consideretur tanquam libra horizonti parallela, apparet infinitas numero parabolas, parabolae FNE aequidistantes, quae ex libra AC supensae conum AMC quodammodo conficiunt, ex eodem puncto aequiponderare debere, quo aequiponderant infinita rectangula eidem librae superimposita, quae similiter componunt cuneum ABC.

Conus autem id est omnes, quas dixi, parabolae, aequiponderant ex puncto Q, (quia perpendiculum QP transit per coni gravitatis centrum) ergo et omnia rectangula, sive cuneus ABC aequiponderat ex eodem Q puncto; unde sequitur perpendiculum QR, transire per centrum gravitatis cunei ABC. Sed et linea AK transit per ejusdem cunei centrum gravitatis: Igitur istud centrum est in intersectione R. Quum vero MP sit ¾ MO, est quoque CQ ¾ CO; CO autem dimidia est CA; ergo CQ tres octavae diametri AC. Et quia QR, CK sunt parallelae, est KR ad KA sicut CQ ad CA; igitur KR quoque tres octavae totius AK; Itaque qualium partium KR est trium, talium RA est quinque: Ergo cunei ABC centrum gravitatis R lineam AK ita dividit ut pars-versus contactum basium sit ad reliquam, sicut quinque ad tria: quod erat demonstr.

5) Dans l'ouvrage: ‘Federici Commandini Urbinatis Liber de Centro Gravitatis Solidorum. Cum privilegio in Annos X. Bononiae, Ex Officina Alexandri Benacii. MDLXV.’ 4^o. On y trouve à la page 27 verso le ‘Theorema XVIII. Propositio XXII. Cuiuslibet pyramidis, & cuiuslibet coni uel coni portionis axis à centro gravitatis ita diuiditur, ut pars, quae terminatur ad uerticem reliquae partis, quae ad basim, sit tripla.’

6) Voir p.e. les pages 56-58 du Tome présent.

Theorema 4.
Portionis Cylindri centrum gravitatis, lineam, quae à medio majoris lateris ad medium minoris pertingit, ita dividit, ut pars, quae est versus minus latus, ad reliquam rationem habeat, quam quintuplum majoris lateris cum triplo minoris ad quintuplum minoris cum triplo majoris.

Sit Cylindri portio ABCD, cujus bases circ. diametro DC et Ellipsis diametro AB, lateribus autem BC et AD divisis bifariam punctis K et M, jungantur ipsa

[p. 162]

Fig. 4.

rectâ KM. Ostendendum est, centrum grav. portionis ABCD ita dividere lineam KM ut pars versùs M ad eam quae versùs K, rationem habeat quàm quintupla BC cum triplâ AD ad quintuplam AD cum triplâ BC.

Secta intelligatur portio primum plano ABCD secundum latus utrumque; deinde planis AE, AC, rectis ad planum ABCD, quorum AE basi DC sit parallelum, AC verò ab angulo A ad C pertingat. Porrò sumantur KF, MG, singulae aequales ⅜ MK; et ducantur RFL, IGN parallelae lateribus portionis.

Constat igitur portio ABCD ex tribus Cuneis ABE, ACE, ACD, et cunei quidem ABE centr. gr. est in lineâ RL^a7) sicut et cunei ACE, (quia videlicet CL est ⅜ CD,) quare totius partis ABC centr. gr. erit in eâdem RL, inveniatur hoc et sit punctum O. Similiter erit centr. gr. cunei ACD in recta IN, sitque hoc P. Junctis igitur O et P, erit centrum grav. totius portionis ABCD in lineâ OP. Sed idem quoque est in lineâ MK^b8), ergo erit intersectio H centrum grav. portionis ABCD. dividantur jam partes GH, HF, bifariam in Q et S. Est igitur PH ad HO ut pars ACB ad cuneum ACD, sed pars ACD, id est duo cunei ABE, ACE, sunt ad cuneum ACD ut duo latera BE et EC ad latus AD, ergo PH ad HO, ut tota BC ad AD: et sic quoque GH ad HF; et tandem QH ad HS, ut BC ad AD. Ergo sicut quintupla BC cum triplâ AD ad quintuplam AD cum triplâ BC, ita et quintupla QH cum triplâ HS ad quintuplam HS cum triplâ QH. Sed, quintupla QH cum triplâ HS est aequalis ipsi MH, et quintupla HS cum triplâ QH ipsi HK; nam quum MG et KF simul sint 6/8 sive ¾ MK, erit GF ¼ MK, ideoque QH et HS quae simul faciunt ½ GF, erunt ⅛ MK; quare quintupla QH cum quintuplâ HS erunt ⅝ MK, id est, aequales ipsi MF, unde detractâ FH, quae bis continet HS, relinquetur HM aequalis quintuplae QH cum triplâ HS. Et similiter si ex MF, (quam diximus continere quintuplam QH cum quintuplâ HS) vel ex KG auferatur HG quae bis continet ipsam QH, relinquetur HK aequalis quintuplae HS cum triplâ QH. apparet igitur partem MH ad HK habere rationem, quam quintupla BC cum triplâ AD ad quintuplam AD cum triplâ BC; quod erat demonstrandum.

7) ‘a Theor. 3. h. lib.’ [Huygens].

8) ‘b Theor. 2. h. lib.’ [Huygens].

[p. 163]

Lemma⁹⁾.
Sit Cylindri portio RCVM, eìque aequalis cijlindrus QDVM super eâdem base MV; et constat quidem basium diametros, (in eodem existentes plano) QD et RC sese invicem per medium secare in E. Sit igitur EB axis cylindri QV, ejusdemque centr. grav. Y. Porrò sit H centr. grav. portionis RCVM, atque inde cadat HI perpendicularis in axem EB, et HZ parallela RC. dico, ut EB quater sumpta ad DC, ita esse EC ad HZ; et it a quoque DC ad IZ. Item IZ dividi bifariam ab Y centro grav. cylindri QV.

divisis enim lateribus RM et CV bifariam in punctis N et O, jungantur ea rectâ

Fig. 5.

NO; et manifestum quidem est hanc transire tam per Y quâm per H centrum grav. portionis RCVM. Sint autem NG et OF singulae ⅜ NO; et denique per H agatur TLHK parallela axi EB.

Quia igitur H est centr. grav. portionis RCVM, potest ostendi, sicut in Theoremate praecedenti, esse GH ad HF, ut CV ad RM. Ergo erit quoque sicut CV et RM simul ad suam differentiam, id est, sicut dupla EB ad duplam DC, vel EB ad DC, ita GH et HF simul ad suam differentiam quae est dupla YH, sive ita FY ad HY. Ergo quum OY sit quadrupla FY, erit etiam ut quadrupla EB ad DC, ita OY ad HY, et ita CE ad ET vel HZ; quod erat primum.

Et quia triangula ECD, HZI, sunt similia, est quoque ut CE ad HZ, id est, ut quadrupla EB ad DC, ita DC ad IZ; quod erat secundum.

Porrò quum Y sit centr. grav. cylindri QV, est BY dimidia BE; sed et KH dimidia est KT; ergo differentia duarum, BY, et KH, quae est YI, dimidia est differentiae duarum EB, et TK, quae est TL. TL autem aequalis est ZI, ergo IY dimidia quoque est ipsius ZI; quod erat tertium.

9) Comparez ce ‘Lemma’ au ‘Lemma 1’ du ‘Liber 2’ (p. 124). Ces ‘Lemmata’ dont le dernier nommé se rapporte aux parallélipipèdes et le premier aux cylindres ne diffèrent que numériquement. Il en est de même des ‘Theoremata 5 et 6’, qui suivent, et qui correspondent aux ‘Lemmata 2 et 3’ du ‘Liber 2’.

[p. 164]

Theorema 5.¹⁰⁾
Sit Cylindrus KM, à quo abscissus sit plano DL basi MV parallelo, cylindrus DM; et huic aequalis portio RCVM plano obliquo cujus maxima diameter RC, quam manifestum est transire debere per E centrum plani LD. Sit ergo AEB axis cylindri KM, ejusque centr. grav. F. Porrò sit H centr. grav. portionis RCVM, per quod agatur ZHP parallela RC, in eamque cadat perpendicularis FG. dico in lineâ ZP, partem ZG interceptam ab axe AB et perpendiculari FG, majorem, aequalem vel minorem fore parte ZH, interceptâ ab eodem axe AB et H, centro grav. portionis RCVM; prout duplum rectangulum AEB cum defectu dimidii quadrati DC, majus aequale vel minus erit quartae parti quadrati à diametro basis MV vel NK, id est quadrato AK.

Fig. 6.

Sit enim Y centr. grav. cylindri DM, et cadat HI perpendicularis in axem AB.

Primò autem ponatur duplum rectang. AEB cum defectu ½ quadr. DÇ, majus esse quadrato AK: dico ZG majorem esse quàm ZH.

Quum enim quadrupla EB sit ad DC, ut DÇ ad IZ^a11), erit rectangulum sub quadruplâ EB et IZ aequale quadrato DC; et rectangulum sub quadruplâ EB et ½ IZ quae est YZ^b12), aequale dimidio quadrato DC.

Porrò quum AB sit dupla FB, et EB dupla YB, erit AE quoque dupla FY; ergo rectang. AEB duplum rectanguli sub EB et FY; quare duplum rectang. AEB erit quadruplum rectangⁱ. sub EB et FY. Ergo duplum rectanguli AEB aequale est rectangulo sub quadrupla EB et FY. sed et ½ quadrati DC aequale ostensum fuit rectangulo sub quadruplâ EB et YZ; ergo rectang. sub quadruplâ EB et totâ FZ, aequale est duplo rectangulo AEB unà cum ½ quadr. DC. Quum

10) Comparez le ‘Lemma 2’ de la page 125. On a ici en notation moderne: ZG ⪌ ZH selon qu'on a 2 AE × EB - ½ DC² ⪌ AK².

11) ‘a lemm. praeced.’ [Huygens].

12) ‘b lemm. praeced.’ [Huygens].

[p. 165]

autem ponatur duplum quadr. AEB cum defectu ½ quadr. DC, majus esse quadrato AK vel ED, erit, addito utrinque integro quadrato DC, duplam rectanguli AEB unà cum ½ quadr. DC, majus quadrato EC: Ergo et rectang. sub quadruplâ EB et FZ, majus erit quadrato EC. Igitur quadrupla EB ad EC majorem habet rationem, quàm EC ad FZ; atqui ut quadrupla EB ad EC, ita rectang. sub quadruplâ EB et DC est ad rectang. sub EC et DC, propter communem altitudinem DC; ergo et rectang. sub quadruplâ EB et DC ad rectang. sub EC et DC majorem habet rationem quam EC ad FZ. sed rectang. sub EC et DC, (quia quadrupla EB est ad DC, ut EC ad HZ^c13)) aequale est rectangulo sub quadrupla EB et HZ; Igitur quoque rectangulum sub quadruplâ EB et DC ad rectang. sub quadruplâ EB et HZ, sive basis DC ad HZ majorem habet rationem quam EC ad FZ, et permutando DC ad EC majorem, quàm HZ ad FZ^d14). Sed propter triangula similia EDC, ZFG est sicut DÇ ad EC, ita GZ ad FZ; igitur GZ ad FZ majorem quoque habet rationem, quam HZ ad FZ: quare GZ major quàm HZ; quod erat demonstrandum.

Iam si duplum rectang. AEB cum defectu dimidii quadrati DC aequale sit quadrato AK; dico tum quoque ZH, ZG aequales fore; cujus demonstratio dependet à praecedenti. nam si duplum rectang. AEB cum defectu ½ quadr. DC aequale sit quadrato AK vel ED, omnia quae modo major erant hìc erunt aequalia, quare et tandem GZ aequalis HZ.

Similiter si duplum rectang. AEB cum defectu ½ quadr. DC minus sit quadrato AK, omnia quae in praecedenti demonstratione erant majora, hìc erunt minora, et tandem GZ minor HZ, ut oportebat. Quare constat propositum.

Manifestum autem est etiam tum constare, quum punctum R incidit in angulum M, ita ut loco portionis, abscindatur plano RC cuneus cylindricus, de quo casu est praeterea Theor. sequens.

13) ‘c lemma praeced.’ [Huygens].

14) ‘d prop. 27. lib. 5. Eucl.’ [Huygens].

[p. 166]

Theorema 6.¹⁵⁾
Sit Cylindrus KR à quo abscissus sit Cuneus RCV, plano cujus maxima diameter RC. agatur autem per H centrum grav. Cunei RCV, linea ZHP parallela RC: et in eam cadat ex F centro gravitatis cijlindri, perpendicularis FG. Denique VD sit dimidia ipsius VC, et VN ⅝ VC.
Dico in lineâ ZP, partem ZG, interceptam ab axe cylindri, AB, et perpendiculari FG, majorem aequalem vel minorem fore parte ZH, interceptâ ab eodem axe AB et H centro grav. cunei RCV; prout rectang. sub KN et DV, majus, aequale vel minus erit octavâ parte quadrati à diametro basis RV vel YK.

Fig. 7.

Sit enim planum DL parallelum basi RV, eritque intersectio diametrorum RC et DL in axe AB in E, et cylindrus DR cuneo RCV aequalis, quia V Dest dimidia ipsius VC.

Primà autem ponatur rectangulum sub KN et DV majus esse octavâ parte quadrati RV; dico partem ZG majorem fore parte ZH.

Quum enim rectang. sub KN et VD majus sit quam ⅛ quadr. RV, idem autem rectangulum aequale sit excessui, quo rectang. sub KV, VD, superat rectang. sub NV, VD seu 5/4 quadrati VD; sequitur rectang. sub KV, VD cum defectu 5/4 quadrati VD majus esse quam ⅛ quⁱ. RV. Sed rectang. sub KV, VD, aequale est rectangulo KDV unà cum quadrato VD; ergo rectang. sub KV, VD cum defectu 5/4 quadrati VD aequale est rectangulo KDV cum defectu ¼ quadrati VD. Ergo quoque rectangulum KDV cum defectu ¼ qu. VD majus est quàm ⅛ quadr. RV; et duplicando, erit duplum rectang. KDV sive AEB cum defectu ½ quadr. VD sive DC, majus quam ¼ quadr. RV vel YK, id est, majus quàm quadr. AK. Quare pars ZG major erit parte ZH^a16); quod erat demonstrandum.

15) Comparez le ‘Lemma 3’ de la page 127. Ici la condition s'exprime, en notation moderne ZG ⪌ ZH selon qu'on a (KV - 5/4 DV) DV ⪌ ½ AK².

16) ‘a Theor. 5. h. lib.’ [Huygens].

[p. 167]

Quòd si rectang. sub KN, DV, aequale sit octavae parti quadrati RV, dico tum quoque ZG aequalem fore ZH. Omnia enim quae modo majora fuerunt hìc erunt aequalia, quare et tandem duplum rectang. AEB cum defectu ½ quadr. DV, aequale quadrato AK. ideoque ZG aequalis ZH^b17), ut oportebat.

Eâdem ratione si rectang. sub KN, DV minus sit octavâ parte quadrati RV, erit quoque ZG minor quàm ZH. Quare constat propositum.

17) ‘b Theor. 5. h. lib.’ [Huygens].

Theorema 7¹⁸⁾.
Cylindrus, cujus quadratum diametri basis non minus est quam duplum quadrati lateris, quamcunque proportionem ad liquidum habeat in gravitate, liquido supernatans demersâ basi rectus consistet; et si fuerit inclinatus, ita ut neutra tamen basium contingat liquidi superficiem, rectus restituetur.

Sit Cylindrus KM, cujus quadratum diametri basis MV, non minus sit quam duplum quadrati lateris KV. Habeat verò ad liquidum in gravitate rationem

Fig. 8.

quamcunque, eique supernatet demersâ base MV, et positus sit inclinatus ita ut liquidi superficies sit RC; (ponendo nempe eam esse proportionem Cylindri ad liquidum in gravitate quae est portionis RCVM ad totum,) dico Cylindrum non manere inclinatum sed rectum restitui, id est ut bases ejus fiant liquidi superficiei parallelae.

Intelligatur enim Cylindrus secari plano YKVM, per axem AB et per RC maximam diametrum plani RC transeunte: ut et plano LD parallelo basi MV, et abscindente cylindrum DM aequalem portioni RCVM, unde intersectio diametrorum LD, RC erit in axe AB in E. Sit porrò F centrum grav. cylindri KM, et H portionis RCVM, per quod agatur ZHP parallela RC, et in eam cadat perpendicularis FG; denique jungatur FH.

Quia igitur quadr. MV vel YK non est minus quàm duplum quadrati KV, erit

18) Ce théorème, avec celui qui suit, constituent la solution complète du problème de la stabilité de l'équilibre d'un cylindre droit qui flotte avec l'axe dans la situation verticale. Une telle solution, identique au fond avec celle de Huygens (voir la note 22), fut publiée dans les Comment. Acad. Petrop. de l'année 1738 (T.X, p. 162) par Daniel Bernoulli.

[p. 168]

quadr. AK non minus quàm duplum quadrati AF; quum autem quadratum AF non sit minus rectangulo AEB^a19), erit duplum quadrati AF non minus quam duplum rectangⁱ. AEB; quare et quadr. AK non minus duplo rectangulo AEB. Ergo duplum rectangulum AEB cum defectu ½ quadr. DC minus erit quadrato AK; ideoque ZG minor ZH^b20). Ergo quum FG sit perpendicularis in ZP et consequenter in liquidi superficiem RC, in eandem superficiem non erit perpendicularis FH. FH autem jungit centra gravitatis totius cylindri et partis mersae RCVM, ergo totus Cylindrus inclinabit in quam partem inclinat linea FH^c21), ascendetque versùs K, deprimetur verò versùs Y, donec bases MV et YK erunt liquidi superficiei parallelae; quod erat demonstr.

19) ‘a pr. 5. lib. 2. Eucl.’ [Huygens].

20) ‘b Theor. 5. h. lib.’ [Huygens].

21) ‘c Theor. 1. lib. 2.’ [Huygens].

Theorema 8.
Cujuscunque Cylindri, (cujus quadratum à diametro basis minus est quàm duplum quadrati lateris,) latere ita secto, ut rectangulum sub partibus aequale sit octavae parti quadrati à diametro basis; si cylindrus ad liquidum in gravitate non minorem proportionem habeat quam majus segmentorum ad ipsum latus cylindri, vel non majorem quam segmentorum minus habet ad idem latus; supernatet autem liquido demersâ base et ponatur inclinatus, ita ut neutra basium contingat liquidi superficiem, rectus restituetur²²⁾.

Fig. 9.

Sit Cylindrus KM, cujus quadratum à base MV vel YK minus sit quam

22) Soit h la hauteur du cylindre, d le diamètre de sa base, ζ = h/d, ε la densité spécifique du cylindre relative à celle du liquide; alors le théorème nous apprend que, pour assurer la stabilité du cylindre, la valeur de ε doit être inférieure ou égale à la plus petite ou bien supérieure ou égale à la plus grande racine de l'équation . Mais on peut exprimer les conditions de stabilité formulées dans ce théorème et dans celui qui le précède par la seule relation: , qui est, sous d'autres notations, celle trouvée par Daniel Bernoulli.

[p. 169]

duplum quadrati lateris KV. Sectum autem sit latus KV in Q, ita ut rectangulum KQV aequetur octavae parti quadrati MV. Et habeat primò Cylindrus ad liquidum in gravitate proportionem non minorem eâ, quam QV habet ad KV; et liquido supernatans positus sit inclinatus, ita ut liquidi superficies sit RC: dico rectum restitutum iri.

Abscindatur enim plano DL basi MV parallelo cijlindrus DM aequalis portioni mersae RCVM, et manifestum est diametrorum DL et RC intersectionem fore in cylindri axe AB, in E. Porrò sit F centrum gr. cylindri KM, et H portionis RCVM, per quod agatur ZHP parallela RC, et in eam cadat perpendicularis FG. denique jungatur FH.

Quia igitur cylindrus ad liquidum in gravitate habet rationem majorem quam QV ad KV, habebit quoque portio demersa RCVM sive qui eidem aequalis est cylindrus DM ad cylindrum KM non minorem rationem quam QV ad KV^a23); quare latus DV non minus est quam QV. Ergo rectangulum KDV sive AEB non majus rectangulo KQV. Ergo rectang. AEB non majus quoque octavâ parte quadrati MV, et duplum rectang. AEB non majus quartâ parte quadrati MV id est, quadrato AK. Quamobrem duplum rectang. AEB cum defectu ½ quadr. DC minus erit quadrato AK, atque ideo ZG minor ZH^b24). Ergo quum FG sit perpendicularis ad ZP, atque ideo ad liquidi superficiem RC, ad eandem non erit perpendicularis FH; quare cylindrus inclinabit in quam partem inclinat FH,

Fig. 10.

ascendetque versùs K, deprimetur verò versùs Y, donec bases ejus sint liquidi superficiei parallelae; quod erat demonstr.

Habeat nunc [Fig. 10] Cylindrus ad liquidum in gravitate proportionem non majorem eâ, quam KQ habet ad KV, et liquido supernatans demersâ base positus, sit inclinatus, ita ut liquidi superficies sit CR; dico similiter rectum restitutum iri.

Sit enim H centr. gravitatis portionis enatantis MVCR, per quod agatur ZHP parallela RC, caeteraque construantur ut in casu praecedenti. Quum itaque Cylindrus MK ad liquidum in gravitate non majorem habeat rationem quam KQ ad KV, habebit quoque portio demersa RCKY, sive qui ei aequalis est

23) ‘a Theor. 4. lib. 1.’ [Huygens].

24) ‘b Theor. 5. h. lib’ [Huygens].

[p. 170]

cylindrus DY, ad cylindrum KM non majorem rationem quam KQ ad KV^a23), quare latus DK non majus erit quam KQ, ideoque DV non minor quam QV. Unde eodem modo quam in casu praecedenti hic quoque demonstrari potest FH non esse perpendicularem in ZP, ideoque nec in superficiem liquidi RC. FH autem hic jungit centra gravitatis, totius cylindri et portionis enatantis MVCR, ergo totus cylindrus inclinabit ad quam partem inclinat FH^b25), descendetque versùs V ascendet verò versùs M, donec bases ejus sint liquidi superficiei parallelae, quod erat demonstr.

Ex hoc Theoremate manifestum est Cylindrum cujusvis longitudinis tam magnam vel tam parvam proportionem posse habere ad liquidum in gravitate, ut ei supernatans demerfâ base et positus inclinatus, ita tamen ut neutra basium contingat liquidi superficiem, rectus restituatur, et bases fiant liquidi superficiei parallelae.

23) ‘a Theor. 4. lib. 1.’ [Huygens].

25) ‘b Theor. 1. lib. 2.’ [Huygens].

Theorema 9.
Cylindrus cujus quadratum à diametro basis ad quadratum lateris minorem quidem rationem habet quàm duplam, majorem verò quàm octo ad quinque; quamcunque ad liquidum in gravitate habeat proportionem, eidem supernatans demersâ base, nunquam ita consistet ut alterutra basium liquidi superficiem in uno puncto contingat²⁶⁾.

Sit Cylindrus KR, çujus quadratum à diametro basis RV vel YK ad quadratum

Fig. 11.

lateris KV rationem habeat minorem quàm duplam, majorem verò quàm 8 ad 5. Habebit autem ad liquidum in gravitate proportionem, quae vel minor vel major erit subduplâ: Quare habeat primò minorem subduplâ, et liquido supernatans demersâ base inclinetur, ita ut angulus R sit in liquidi superficie quae sit RC; dico angulum R infra eandem superficiem demersum iri.

Sit enim AB axis Cylindri et F ejusdem centrum gravitatis. Sicut et H centrum gravitatis cunei demersi RCV, per quod agatur ZHP parallela RC; atque in eam cadat perpendicularis FG,

26) Comme dans le ‘Lib. 2’ le ‘Theorema 4’ servit à préparer le ‘Theorema 5’, celui-ci prépare le ‘Theorema 10’. Comparez le dernier alinéa de la note 28 du ‘Liber 2’ (p. 132).

[p. 171]

et jungatur FH. Porrò ut CV secta in D et N, ita ut VD quidem sit dimidia CV, VN verò ⅝ CV sive 5/4 DV.

Rectangulum KNV non potest majus esse quàm ¼ quadrati KV^a27); rectangulum autem sub KN et DV facit ⅘ rectanguli KNV, (quia NV est 5/4 DV,) ergo rectangulum sub KN et DV non est majus quàm 4/20 sive ⅕ quadrati KV. Porrò quia quadr. RV ad quadr. KV majorem habet rationem quàm 8 ad 5 erit ⅛ quadrati RV major quam ⅕ quadrati KV: Ergo etiam ⅛ quadrati RV major rectangulo sub KN et DV, quare in lineâ ZP erit pars ZH major parte ZG^b28): Et quum FG sit perpendicularis ad ZP et ad liquidi superficiem RC, ad eandem superficiem non erit perpendicularis FH, quae jungit centra grav. totius cylindri et partis mersae RCV; quamobrem Cylindrus inclinabit in quam partem inclinat linea FH, et deprimetur versùs Y, ideoque mergetur angulus R; quod erat demonstrandum.

Habeat jam Cylindrus ad liquidum in gravitate proportionem majorem subduplâ,

Fig. 12.

et liquido supernatans demersâ base inclinetur donec angulus R [Fig. 12] sit in liquidi superficie, quae sit CR: dico angulum R supra liquidi superficiem sublatum iri.

Sit enim H centrum gravit. cunei enatantis CVR, et reliqua construantur ut supra.

Demonstrari igitur potest sicut in casu praecedenti, FH non esse perpendicularem ad PZ neque ad liquidi superficiem CR. FH autem hic jungit centra gravitatis totius cylindri et partis enatantis CVR; ergo Cylindrus inclinabit quò inclinat linea FH, et deprimetur quidem versùs V, extolletur verò versùs R, ideoque angulus R supra liquidi superficiem exsurget; quod erat demonstr.

27) ‘a pr. 5. lib. 2. Eucl.’ [Huygens].

28) ‘b Theorem. 6. h. lib.’ [Huygens].

[p. 172]

Theorema 10.
Cylindrus, cujus quadratum à diametro basis ad quadratum lateris minorem rationem habet quàm duplam, majorem verò quàm octo ad 5; si, diviso latere ut in Theor. 8^o, ad liquidum in gravitate proportionem habeat minorem quàm segmentorum majus, majorem verò quam segmentorum minus habet ad idem latus: liquido supernatans demersâ base et positus inclinatus, ita ut neutra basium liquidi superficiem contingat, neque rectus restituetur, neque inclinatus consistet, nisi quando axis cum superficie liquidi faciet angulum aequalem angulo de quo dicetur.²⁹⁾

Sit Cylindrus KM, cujus quadratum à diametro basis MV ad quadratum lateris KV minorem rationem habeat quam duplam, sive quam 8 ad 4, majorem verò

Fig. 13.

quàm 8 ad 5; et diviso latere KV in Q, ita ut rectangulum KQV aequetur octavae parti quadrati MV, habeat cylindrus ad liquidum in gravitate rationem quam DV ad KV, ita ut DV minor quidem sit segmento QV, major verò QK. ductâ autem DL parallelâ MV, veniat ex E ubi DL ab axe AB secatur, linea EC, ita ut quadratum partis comprehensae CD duplum sit exessus quo duplum rectanguli AEB superat quadratum AK.³⁰⁾

Dico cylindrum KM, si liquido supernatans ponatur inclinatus, ita ut neutra basium contingat liquidi superficiem, neque rectum restitutum iri, neque mansurum inclinatum nisi cùm axis cum liquidi superficie faciet angulum aequalem angulo ECD vel AEC.

Primò enim inclinetur Cylindrus ut liquidi superficies sit RX, quâcum axis AB faciat angulum minorem angulo AEC. Sit autem F centr. gr. Cylindri, et H por-

29) Le théorème démontre que, entre les limites √½ < ζ < √⅝ (ζ = h: d, h hauteur, d diamètre du cylindre) le cylindre flottant pourra prendre la position ② de la page 87 de l'Avertissement, où l'axe du cylindre est supposé parallèle aux côtés AB, CD, toutes les fois qu'on aura ; c'est-à-dire, que la position ① est une position instable.

30) C'est la définition de l'angle AEC que l'axe du cylindre flottant fera avec le niveau du liquide dans la position d'équilibre. On en déduit facilement: cotg² .

[p. 173]

tionis RXVM, per quod ducatur ZHP parallela RX, atque in eam cadat perpendicularis FG, et denique jungatur FH.

Quia igitur Cylindrus est ad liquidum in gravitate ut DV ad KV, sive ut cylindrus DL ad cylindrum KM, atque etiam ut pars mersa ad eundem cylindrum KM^a31), erit portio mersa RXVM aequalis cylindro DM; quare diametri RX et LD in eodem puncto E secabunt axem AB. Erit itaque ex hypothesi angulus AEX minor angulo AEC, et XD major CD. Quum autem quadratum DC per constr. sit duplum excessus quo duplum rectanguli AEB superat quadratum AK, erit duplum rectanguli AEB cum defectu ½ quadr. CD aequale quadrato AK; et quum XD sit major CD, erit duplum rectanguli AEB cum defectu ½ quadr. XD, minus quadrato AK; ergo ZG minor quam ZH^b32), et quum FG sit perpendicularis in ZP, et in liquidi superficiem RX, in eandem superficiem non erit perpendicularis FH, quae jungit centra grav. cylindri totius et portionis mersae RXVM; quare Cylindrus inclinabit quò inclinat FH^c33), idque fiet quàm diu superficies liquidi non convenit cum lineâ EC.

Jam ita disponatur Cylindrus ut liquidi superficies RX [Fig. 14] cum axe AB faciat angulum majorem angulo ECD vel AEC. Sit autem constructio reliqua ut in casu praecedenti.

Sicut supra ita hìc quoque diametri planorum, LD et RX in eodem puncto E secant axem AB; ergo hìc ex hijpothesi

Fig. 14.

angulus AEX major angulo AEC, et XD minor CD. Quum autem quadratum CD aequale sit duplo excessui quo duplum rectang. AEB superat quadratum AK ^d34), erit duplum rectanguli AEB cum defectu ½ quadr. DC aequale quadrato AK; et quum XD sit minor quam CD, erit duplum rectang. AEB cum defectu ½ quadr. XD majus quadrato AK: Ergo ZG major quàm ZH^e35); et quum FG sit perpendicularis ad ZP et ad liquidi superficiem RX, ad

31) ‘a Theor. 4. lib. 1.’ [Huygens].

32) ‘b Theor. 5. h. lib.’ [Huygens].

33) ‘c Theor. 1. lib. 2’ [Huygens].

34) ‘d per constr.’ [Huygens].

35) ‘e Theor. 5. h. lib.’ [Huygens].

[p. 174]

eandem superficiem non erit perpendicularis FH, quae jungit centra grav. totius Cylindri et portionis mersae RXVM: quare Cylindrus inclinabit quò inclinat FH, et deprimetur à parte K, idque donec superficies liquidi conveniat cum lineâ EC.

Non consistet igitur Cylindrus nisi cùm axis AB cum liquidi superficie faciet angulum aequalem angulo AEC vel ECD; quod erat demonstr.

Theorema 11.
Cylindrus, cujus quadratum à diametro basis ad quadratum lateris rationem habet minorem quàm octo ad quinque, majorem verò quàm sesquialteram, liquido supernatans demersâ base, Aliquando rectus consistet; Saepe inclinatus, ita ut neutra basium liquidi superficiem contingat; aliquando inclinabitur donec alterutra basium liquidi superficiem in uno puncto contingat, idque quatuor casibus; aliquando denique ulteriùs adhuc inclinabitur; Secundùm diversam proportionem quam ad liquidum habebit in gravitate.³⁶⁾

Conclusio 1.

Fig. 15.

Quòd propositus Cylindrus aliquando rectus consistat, et quae tum debeat ejus esse proportio ad liquidum in gravitate, manifestum est ex Theoremate 8^o. h. lib. Illud enim ad omnes Cylindros pertinet, qui inclinare possunt.

36) Le théorème nous fait connaître que, quand on a √⅝ < ζ < √⅔, alors les positions ① et ② de la page 87 de l'Avertissement (AB parallèle à l'axe du cylindre) peuvent se présenter, mais qu' il se peut aussi que ni l'une ni l'autre de ses positions ne soit une position d'équilibre stable. Tout cela selon les différentes valeurs de la densité relative ε. Voir, pour les détails, les ‘Conclusiones.’

2.

Sit itaque Cylindrus KM cujus quadratum à basis diametro MV ad quadratum lateris KV rationem habeat mino-

[p. 175]

rem quam 8 ad 5, majorem verò quam 3 ad 2. Et latere KV diviso primùm bifariam in P, secundò in Q, ita ut rectangulum KQV aequale sit ⅛ quadrati MV, deinde in N, ita ut rectangulum KNV aequale sit 5/32 quadrati MV, factisque KD ⅘ KN, et KT ⅘ NV; sumatur punctum ubivis inter Q et D ut α, et aliud infra T, non autem ultra P, ut β. Habeat autem Cylindrus ad liquidum in gravitate proportionem quam αV, vel βV, vel αK, vel βK, ad latus KV; et liquido supernatans ponatur inclinatus, ita ut neutra basium liquidi superficiem contingat: dico neque rectum restitutum iri; neque inclinatum mansurum; nisi cùm axis cum superficie liquidi angulum faciet aequalem angulo inveniendo ut supra Theor. 10^o.³⁷⁾.

Ut autem appareat omnes hos casus locum habere posse, et esse differentes, duo sunt ostendenda; primum, quòd punctum T cadat intra K et P: alterum, quòd puncta D et T non coincidant, quorum illud sic ostenditur.

Quia rectangulum KNV est 5/32 quadrati MV, quadratum verò MV majus quam 3/2 quadrati KV ex constr. et hijpothesi: erit rectang. KNV majus quam ⅙5/4 quadrati KV. Unde sequitur latus KV ita sectum esse in N, ut segmentorum minus, KN, majus sit quàm ⅜ KV, segmentorum verò majus, NV, minus sit quam

37) La ‘Conclusio’ nous apprend que, entre les limites pour la valeur de ζ indiquées dans la note précédente, la position ② pourra se présenter toutes les fois que les trois conditions suivantes soient remplies: 1^o que la valeur de ε se trouve comprise entre les racines de l'équation quadratique: qu'elle soit inférieure à la plus petite ou supérieure à la plus grande des racines de l'équation et de même 3^o inférieure à la plus petite ou supérieure à la plus grande racine de l'équation: .
La première de ces équations se rapporte au point Q de la figure du texte. Pour montrer comment la seconde et la troisième dépendent des points D ou T de cette figure, posons VD = εh, alors , , donc , où, pour obtenir le point D, on doit prendre la plus grande des racines. Il s'ensuit donc que pour ε = αV/KV la valeur de ε sera plus grande encore que cette plus grande racine.
Posons ensuite KD = εh, alors on arrivera à l'équation , dont la moindre racine servira pour la valeur de KD. Ainsi si l'on a ε = αK/KV, la densité relative ε sera inférieure à cette plus petite racine.
Le point T amènera les mêmes équations. En posant en premier lieu TV = εh, et ensuite



TK = εh, on trouvera TV égal à KV multiplié par la plus petite des racines de l'équation et TK égal à KV multiplié par la plus grande racine de l'équation .
Ajoutons que la ‘Conclusio’ pourrait s'exprimer encore comme il suit: que dans les limites indiquées de ζ la position ② pourra être réalisée toutes les fois qu'on aura et simultanément et de même .
Enfin, pour expliquer la raison d'être des limites √⅝ et √⅔, nous donnons une représentation graphique du plan (ε, ζ) où les trois courbes, dont les équations ont été mentionnées, se trouvent tracées.
Dans cette représentation ou aura OE = √⅝; OG = √⅔; et la ‘Conclusio’, ensemble avec le ‘Theoremato,’ exprime que la position ② est possible toutes les fois que le point (ε, ζ) tombe dans l'espace RLKJZPNMR.

[p. 176]

⅝ KV³⁸⁾. Ergo KT, quae est ⅘ NV, minor est quam 4/8 sive ½ KV. Apparet itaque punctum T cadere intra K et P.

Alterum sic ostenditur, nimirum quòd puncta D et T non coincidant. quia enim rectangulum KNV est 5/32 quadrati MV, quadratum verò MV minus quam 8/5 quadrati KV (utramque ex constr.): erit rectangulum KNV minus quam 8/32 seu ¼ quadrati KV, unde sequitur latus KV non bifariam dividi in N; segmentorum verò majus est NV, minus autem NK, ergo KD, quae est ⅘ KN, minor est ipsâ KT, quae est ⅘ NV. non igitur coincidunt puncta D et T.

Primùm itaque habeat Cylindrus ad liquidum in gravitate proportionem quam αV ad KV; et facto plano αL parallelo basi YK, veniat ex centro ejus E linea EC,

38) Toujours à cause de ‘pr. 5. lib. 2. Eucl.’, puisqu' on aurait dans le cas contraire KN × NV ⪙ ⅙5/4 KV². Voici d'ailleurs cette ‘propositio’ dont Huygens fait un usage si fréquent, telle qu'on la trouve dans l'édition de Clavius de 1607 (p. 176): ‘Si recta linea secetur in aequalia, & non aequalia: Rectangulus sub inaequalibus segmentis totius comprehensum, vna cum quadrato, quod ab intermedia sectionum, aequale est ei quod à dimidia describitur, quadrato.’ On en déduit aisément que le rectangle en question sera d'autant plus petit que les sections seront plus inégales, c'est-à-dire, que le point qui fait la division, se trouve plus éloigné du point milieu, et réciproquement. C'est sous cette forme que la proposition va être appliquée plusieurs fois par Huygens.

[p. 177]

comprehendens partem Cα, cujus quadratum duplum sit excessus, quo duplum rectang. AEB superat quadr. AK.³⁰⁾

Ponatur autem cylindrus inclinatus, ita ut neutra basium contingat liquidi superficiem. Ostendendum est neque rectum restitui, neque inclinatum manere, nisi cùm axis AB faciet cum liquidi superficie angulum aequalem angulo ECα vel AEC.

Abscindatur à Cylindro Cuneus KXY plano cujus maxima diameter KX transeat per E intersectionem duarum αL et AB. Porrò sit H centrum gravitatis cunei KXY, per quod agatur ZHπ parallela KX, in eamque cadat ex F centro grav. cylindri, perpendicularis FG, et jungatur FH: denique sit YR 5/4 YL.

Quoniam igitur rectangulum KQV per constr. aequale est ⅛ quadrati MV, Cylindrus autem KM ad liquidum in gravitate proportionem habet quam αV ad KV, quae minor est eâ quam QV, major verò eâ quam QK habet ad KV, sequitur Cylindrum non rectum restitutum iri^a39). Sed neque eousque inclinabitur ut basis YK contingat liquidi superficiem; nam si eousque jam inclinatus ponatur et angulus K sit in liquidi superficie KX, continuò idem angulus supra liquidi superficiem extolletur. quod sic ostenditur.

Quia enim cylindrus est ad liquidum in gravitate, ut αV ad KV, sive ut cylindrus αM ad KM; erit etiam portio demersa XKVM aequalis cylindro αM^b40), quare liquidi superficies KX, (id est, diameter plani quod est secundum liquidi superficiem) in eodem puncto E secabit axem AB, ubi sectus fuit à plano αL, eritque YL dimidia ipsius YX. YL autem sive Kα minor est quàm KD, (quia punctum α sumptum est inter Q et D,): ergo quoque YR, quae est 5/4 YL, minor erit quàm KN, quae est 5/4 KD. Ergo rectangulum YRM minus est rectangulo KNV; hoc aùtem aequale est 5/32 quadrati MV, ergo rectangulum YRM minus est quam 5/32 quadrati MV; rectangulum autem sub YL et RM est ⅘ rectanguli YRM, (quia YL est ⅘ YR,) ergo rectangulum sub YL et RM minus est quàm 4/32 sive ⅛ quadrati MV. Quare in lineâ Zπ erit pars ZG minor parte ZH^c41). Ergo quum FG sit perpendicularis in liquidi superficiem XK, in eandem non erit perpendicularis FH, quae jungit centra grav. cylindri et cunei enatantis XYK. Quamobrem cylindrus inclinabit quò inclinat linea FH^d42), ascendetque versùs K, isque angulus supra liquidi superficiem extolletur.

Demonstratum igitur est Cylindrum neque rectum restitutum iri, neque tamen eousque inclinari posse ut alterutra basium contingat liquidi superficiem. Quòd autem angulus, quem, consistente Cylindro, axis AB faciet cum liquidi superficie,

30) C'est la définition de l'angle AEC que l'axe du cylindre flottant fera avec le niveau du liquide dans la position d'équilibre. On en déduit facilement: cotg² AEC = 16ε (1 - ε) ζ² - 2.

39) ‘a per conv. Theor. 8. h. lib.’ [Huygens].

40) ‘b Theor. 4. lib. 1.’ [Huygens].

41) ‘c Theor. 6. h. lib.’ [Huygens].

42) ‘d Theor. 1. lib. 2.’ [Huygens].

[p. 178]

aequalis futurus sit angulo ECα vel AEC, demonstrari poterit sicut in Theoremate 10^o h. lib.

Habeat nunc [Fig. 16] Cylindrns ad liquidum in gravitate rationem quam βV habet ad KV, et, facto plano βEL parallelo MV, inveniatur angulus ECβ ut in casu

Fig. 16.

praecedenti. Dico, si Cijlindrus liquido supernatans ponatur inclinatus, ita ut neutra basium contingat liquidi superficiem, quòd neque rectus restituetur neque inclinatus manebit, nisi cùm axis AB faciet cum liquidi superficie angulum aequalem angulo AEC vel ECβ.

Construantur enim reliqua ut in casu praecedenti; et praeterea sit KS aequale ipsi VN et YR 5/4 YL.

Quia igitur Cylindrus ad liquidum in gravitate habet rationem quam βV ad KV, quae minor est eâ quam QV, major autem eâ quam QK habet ad KV, non poterit quidem rectus restitui^a43).

Sed neque eousque poterit inclinari, ut basium alterutra contingat liquidi superficiem; nam si jam eousque ponatur inclinatus, ut angulus K sit in liquidi superficie KX, statim idem angulus supra superficiem liquidi extolletur. Primò enim facile sicùt in casu praecedenti ostenditur YL esse dimidiam ipsius YX; sed YL sive Kβ major est quam KT, (quia punctum β sumptum fuit inter T et P): ergo YR quae est 5/4 YL major erit quam KS, vel NV quae singulae sunt 5/4 KT; quare rectangulum YRM minus erit rectangulo KSV vel KNV; hoc autem aequale est 5/32 quadrati MV, ergo rectang. YRM minus est quam 5/32 quadrati MV; Rectangulum autem sub YL et RM est ⅘ rectanguli YRM, (quia YL est ⅘ YR) ergo rectang. sub YL et RM minus est quam 4/32 sive ⅛ quadrati MV. Ergo in lineâ Zπ, erit pars ZG minor parte ZH^b44), et quum FG sit perpendicularis in Zπ et in liquidi superficiem XK, in eandem non erit perpendicularis FH, quae jungit centra grav. cylindri et cunei enatantis XYK. quamobrem Cylindrus inclinabit quò inclinat linea FH^c45), et angulus K ascendet supra

43) ‘a per conv. Theor. 8. h. lib.’ [Huygens].

44) ‘b Theor. 6. h. lib.’ [Huygens].

45) ‘c Theor. 1. lib. 2.’ [Huygens].

[p. 179]

liquida superficiem. Quòd autem rùrsus angulus quem manente cylindro axis AB faciet cum liquidi superficie, aequalis futurus sit angulo ECβ vel AEC, demonstrari poterit ut in Theor. 7^o46) hujus lib.

Quòd si Cylindrus sit ad liquidum in gravitate ut αK vel βK ad KV, inversa tum intelligantur duo praecedentia schemata, et eaedem quae in praecedentibus casibus erunt demonstrationes, nisi quòd tunc eae partes mersae erunt quae prius enatabant.

Si igitur Cylindrus sit ad liquidum in gravitate ut αV vel βV vel αK vel βK ad latus KV, etc.; quod erat dem.

46) Lisez 10^o.

3.

diviso latere KV, ut suprà, punctis P, N, D, T, nempe in P

Fig. 17.

bifariam, et in N ita ut rectangulum KNV sit 5/32 quadrati MV, et KD sit ⅘ KN, KT verò ⅘ VN; Si Cylindrus ad liquidum in gravitate proportionem habeat quam DV vel TV vel DK vel TK ad latus KV, et liquido supernatans ponatur inclinatus ita ut neutra basium liquidi superficiem contingat, eousque inclinabitur donec alterutra basium eandem superficiem contingat in uno puncto.⁴⁷⁾

Habeat enim primò ad liquidum in gravitate rationem quam DV ad KV, et

47) La ‘Conclusio’ indique, que le cylindre flottant se trouve en équilibre dans une position intermédiaire entre la position ② et l'une des positions ③ on ③′ de l'‘Avertissement’ (c'est-à-dire dans une position telle que l'une des bases circulaires touche le niveau du liquide) toutes les fois qu'entre les limites √⅝ < ζ < √⅔, on aura 2 (1 -ε) (5ε - 1) ζ² = 1 (pour ε>½), ou bien 2ε (4 - 5ε) ζ² = 1 (pour ε < ½). Inutile de dire qu'alors le point (ε, ζ) se trouvera sur l'une des lignes PZJ ou PNM de la représentation graphique de la note 37, p. 176.
On remarquera d'ailleurs que la stabilité de la position en question n'est pas prouvée puisque, à cet effet, on doit savoir encore comment le cylindre se comportera, s'il est poussé de manière à atteindre une position ③ ou ③′.

[p. 180]

ponatur inclinatus, ita ut liquidi superficies sit OC. dico eousque inclinatum iri donec basis YK liquidi superficiem contingat in puncto K.

Sit enim planum DL parallelum basi KY, et planum KX abscindat cuneum KYX aequalem cylindro KL: Porrò sit F centrum gravitatis cijlindri; item H centr. gravitatis portionis OCVM, et γ cunei XYK, per quae ducantur ZHG parallela OC et ζγ parallela XK, in easque cadant perpendiculares FG et Fγ: Jungatur etiam FH, et denique sit YR aequalis KN.

Quia igitur rectangulum KNV sive YRM sunt 5/32 quadrati MV, rectangulum autem sub YL et RM est 4/5 rectanguli YRM (quia RY est 5/4 LY,): sequitur rectangulum sub YL et RM aequale esse 4/32 sive ⅛ quadrati MV; quare erit in lineâ ζγ, pars ζγ, quae est inter axem AB et perpendicularem Fγ aequalis parti quae est inter eandem axem AB et centrum gravitatis cunei XYK^a48); et quià hae partes sunt aequales, erit duplum rectanguli AEB cum defectu ½ quadr. XL aequale quadrato AY^b49) vel AK nimirum quartae parti quadrati YK. Ergo duplum rectanguli AEB cum defectu ½ quadrati CD (quia CD minor est quam KD vel XL) majus erit quadrato AK. Qùare in lineâ ZG erit pars ZG major parte ZH^c50), et quum FG sit perpendicularis in ZG; ideoque in liquidi superficiem OC, in eandem superficiem non erit perpendicularis FH, quae jungit centra gravitatis cylindri et partis mersae OCVM; quamobrem Cylindrus inclinabit quò inclinat linea FH ^d51), descendetque versùs K, idque donec angulus K sit in ipsâ liquidi superficie: Cum autem eò pervenerit tum manifestum est enatare debere cuneum KYX; nam quum in hujus centrum gravitatis incidat Fγ, quae simul etiam perpendicularis est in liquidi superficiem XK, (quod in principio hujus demonstrationis ostensum fuit,) cylindrus tunc ad neutram partem magis inclinabit; quod erat demonstr.

Habeat jam [Fig. 18] Cylindrus ad liquidum in gravitate rationem quam TV ad KV, et liquido supernatans ponatur inclinatus ita ut superficies liquidi sit OC; dico eousque inclinatum iri donec basis YK contingat liquidi superficiem in puncto K.

Sit enim planum TL parallelum basi MV, et reliqua ad eum modum construantur quo in casu praecedenti constructa fuere, fiant verò KS, YR aequales ipsi NV, Eritque pene eadem demonstratio, quae fuit modò.

Nam quum rectangulum KNV sive KSV sive YRM sit 5/32 quadrati MV, rectangulum autem sub YL et RM sit ⅘ rectanguli YRM, (nam sicut KT est ⅘ NV sive KS, ita etiam YL est ⅘ YR,) erit rectangulum sub YL et RM aequale 4/32 sive ⅛ quadrati MV; unde sequitur perpendiculum Fγ incidere in ipsum centrum gravi-

48) ‘a Theor. 6. h. lib.’ [Huygens].

49) ‘b per conv. Theor. 5. h. lib.’ [Huygens].

50) ‘c Theor. 5. h. lib.’ [Huygens].

51) ‘dTheor. 1. lib 2.’ [Huygens].

[p. 181]

tatis cunei KYX^a52). Hinc autem primò demonstrari potest ut in casu praecedenti,

Fig. 18.

Cylindrum quidem non consistere cùm liquidi superficies est OC, sed descendere versus K, donec angulus K sit in ipsâ liquidi superficie, atque ea sit KX; secundò etiam hoc inde sequitur, quòd cylindrus consistat cùm liquidi superficies est KX; quod erat demonstrandum.

Denique si Cylindrus sit ad liquidum in gravitate ut DK vel TK ad KV inversa intelligantur duo praecedentia schemata (adeo ut Fγ tum fiat ea quae jungit centra gravitatis cylindri et partis demersae) et eadem quae in praecedentibus casibus erunt quoque demonstrationes.

Si igitur Cylindrus ad liquidum in gravitate habeat rationem quam DV vel TV vel DK vel TK ad KV, &c. quod erat demonstr.

52) ‘a Theor. 6. h. lib.’ [Huygens].

4.

Secto rursus latere KV [Fig. 19], ut supra, in punctis P, N, D, T, nempe in P bifariam, et in N ita ut rectangulum KNV aequetur 5/32 quadrati MV, et KD sit ⅘ KN, KT autem ⅘ NV, sumptóque puncto α ubivis inter D et T; Si Cylindrus ad liquidum in gravitate proportionem habeat quam αV vel αK habet ad KV, et liquido supernatans, demersâ base, ponatur inclinatus, ita ut neutra basium contingat liquidi superficiem; ulteriùs inclinabitur, quam ut alterutra basium contingat eandem superficiem in uno puncto.⁵³⁾

53) La ‘Conclusio’ nous apprend que dans le cas √⅝ < ζ < √⅔, toutes les fois que la densité spécifique ε se trouvera située entre les deux racines de l'une ou de l'autre des équations mentionnées dans la note 47 (ce qui veut dire que le point (ε, ζ) se trouve dans l'une des divisions PZJP ou PNMP du tableau de la note 37, p. 176, et qu'on aura donc ou ), alors le cylindre ne pourra prendre ni la position ①, ni la position ②. Elle laisse indécis dans lesquelles des positions ③, ④ ou ⑤ (voir la figure p. 87 de l'Avertissement, où le côté AB est supposé parallèle à l'axe du cylindre) l équilibre se fera.

[p. 182]

Habeat primò cylindrus ad liquidum in gravitate rationem quam αV ad KV, et ponatur inclinatus ita ut liquidi superficies sit OC; dico ulteriùs inclinatum iri

Fig. 19.

quàm ut basis YK liquidi superficiem contingat in puncto K.

Fiat enim planum αEL parallelum basi KY vel MV, et planum KEX abscindat à cylindro cuneum KYX aequalem cylindro KL.

Porrò sit H centrum grav. portionis OCVM, et ϕ centrum grav. cunei KYX, per quae agantur ZHG parallela OC, et ζϕγ parallela XK, in easque cadant ex F centro grav. cylindri, perpendiculares, FG ad ZG et Fγ ad ζγ: jungantur etiam FH et Fϕ; et denique fiat KS aequalis NV, et YR 5/4 YL.

Quia igitur Cylindrus est ad liquidum in gravitate ut αV ad KV, sive ut cylindrus αM ad cylindrum KM, atque ita etiam portio mersa OCVM ad cylindrum KM^a54), sequitur portionem OCVM aequalem esse cylindro αM, ac proinde diametros αL, OC et KX in eodem puncto E secare axem AB. Porrò quum Kα, cui aequalis est YL, major sumpta sit quam KD, minor verò quam KT, erit YR sive 5/4 YL major quam KN sive 5/4 KD, minor autem quàm KS, quae (sicuti VN) est 5/4 KT; Ergo quum puncta N et S aequaliter distent à P, sive medio lateris KV, punctum R minus distabit à medio lateris YM, quàm N vel S distant à P: quamobrem rectangulum YRM majus erit rectangulo KNV sive 5/32 quadrati MV, et rectangulum sub YL et RM sive ⅘ rectanguli YRM, majus quam 4/32 sive ⅛ quadrati MV: Ergo in lineâ ζγ erit intercapedo ζγ major ζϕ^b55); unde constat duplum rectanguli BEA cum defectu ½ quadrati XL majus esse quadrato AY^c56): ergo quum OL vel Cα minor sit quàm XL vel Kα, erit duplum rectanguli AEB cum desectu ½ quadrati Cα multò majus quadrato AY vel AK, quare in lineâ ZG erit intercapedo ZG major ZH^d57). Ergo quum FG fit perpendicularis ad ZG et ad liquidi superficiem OC, ad eandem superficiem non erit perpendicularis FH,

54) ‘a Theor. 4. lib. 1.’ [Huygens].

55) ‘b Theor. 6. h. lib.’ [Huygens].

56) ‘c per conv. Theor. 5. h. lib.’ [Huygens].

57) ‘d Theor. 5. h. lib.’ [Huygens].

[p. 183]

quae jungit centra gravitatis totius cylindri et portionis mersae OCVM; Ideoque Cylindrus inclinabit quò inclinat linea FH^e58), descendetque à parte K donec angulus K sit in liquidi superficie atque ea sit KX. Sed neque tum consistet; nam quum jam fuerit ostensum in lineâ ζγ, intercapedinem ζγ majorem esse quam ζϕ, et Fγ sit perpendicularis in ζγ et in liquidi superficiem, quae tum erit KX, in eandem superficiem non erit perpendicularis Fϕ, quae jungit centra gravitatis totius cylindri et cunei enatantis KYX, ideoque Cylindrus inclinabit quò inclinat linea Fϕ^f59), mergeturque angulus K; quod erat demonstrandum.

Quod si Cylindrus ad liquidum in gravitate rationem habeat quam αK ad KV, tum inversa intelligatur praecedens figura, et demonstratibur angulum K emersurum esse supra liquidi superficiem, neque differet demonstratio à praecedenti, nisi quod partes eae hìc mersae erunt quae prius enatabant.

58) ‘e Theor. 1. lib. 2.’ [Huygens].

59) ‘f Theor. 1. lib. 2.’ [Huygens].

Corollarium. 1.

Fuit hoc Theorema de Cylindro cujus quadratum à diametro basis ad quadratum lateris minorem habet rationem quam octo ad quinque, majorem verò quam sesquialteram

Fig. 20.

[3/2]; verùm si ejusmodi si Cylindrus ut quadratum à diametro basis ad quadratum lateris sit ut octo ad quinque; tum diviso latere KV ut supra in P, Q et N, incidet quidem punctum N in P, id est, in medium lateris KV,⁶⁰⁾ et ideo puncta D et T diversa non erunt, latusque KV ita divident ut pars versus V sit sesquialtera reliquae versùs K. Unde fiet ut Cylindrus semper inclinatus consistat, ita ut neutra basium contingat liquidi superficiem, praeterquam si ad liquidum in gravitate rationem habeat quam DV vel DK ad KV, id est, quam tria vel duo ad quinque tum enim alterutra

60) On a alors ; mais de même ; donc, d'après ‘pr. 5. lib. 2. Eucl.’, les points P et N doivent coïncider. Voir la note 38, p. 176.

[p. 184]

basium continget liquidi superficiem in uno puncto: Vel si habeat rationem majorem quam QV vel minorem quam QK ad KV, tum enim rectus consistet.⁶¹⁾

Quòd si Cylindrus talis sit [Fig.21] ut quadratum diametro basis, quadrati lateris sit sequialterum⁶²⁾; tum diviso latere KV ut suprà in P, Q et N, erit KQ ¼ KV⁶³⁾; NK ⅜ KV⁶⁴⁾; et ideo DK 3/10 KV⁶⁵⁾, punctum verò T incidet in P, id est, medium

Fig. 21.

lateris KV⁶⁶⁾. Unde fiet ut Cylindrus primò, rectus quidem consistat, si ad liquidum in gravitate rationem habuerit majorem quam QV, vel minorem quam QK ad KV id est majorem quam subsequitertiam, vel minorem quam subquadr. [¼] Secundo, inclinatus ita ut neutra bafium contingat liquidi superficiem, si rationem habuerit ad liquidum in gravitate minorem quàm QV, majorem verò quam DV ad KV; vel si minorem quam DK, majorem verò quàm QK ad KV. Tertiò, inclinatus ita ut altera basium liquidi superficiem contingat uno in puncto, si fuerit ad liquidum in gravitate ut DV vel DK ad KV, id est, ut 7 vel 3 ad 10.

Quartò autem si ad liquidum in gravitate rationem habeat minorem quàm DV, majorem verò quam DK ad KV, tum ulteriùs inclinabitur quàm ut altera basium liquidi superficiem in uno puncto contingat; Praeterquam, si eam habeat rationem quam PV ad KV, id est subduplam, tum enim ita consistet ut utraque basis liquidi superficiem contingat in uno puncto.⁶⁷⁾

61) Cette première partie du ‘Corollarium’ s'explique facilement à l'aide de la représentation graphique de la note 37, p. 176. Il s'agit du cas où le point (ε, ζ) se trouve sur la droite EF.

62) Le point (ε, ζ) se trouve alors sur la droite GH du tableau de la note 37, ce qui expliquera aisément tout ce qui va suivre.

63) On a (voir la ‘Conclusio 2’) , relation qui est réalisée par KQ = ¼ KV, QV = ¾ KV.

64) On a ici ; relation satisfaite par KN = ⅜ KV; NV = ⅝ KV.

65) Puisqu'on a par définition KD = ⅘ KN. (‘Conclusio 2’).

66) Puisqu'on a KT = ⅘ NV, donc = ½ KV.

67) C'est le cas où le point représentatif (ε, ζ) tombe en P. Alors les deux bases circulaires du cylindre touchent l'une et l'autre la surface du liquide.

[p. 185]

Theorema 12.
Cylindrus cujus quadratum à diametro basis, minus est quam sesquialterum [3/2] quadrati lateris, liquido supernatans demersâ base, Aliquando rectus consistet, Aliquando inclinatus ita ut neutra basium contingat liquidi superficiem; Aliquando eousque inclinabitur, ut altera basium liquidi superficiem contingat in uno puncto idque duobus casibus; Ut plurimum denique ulterius adhuc inclinabit: Pro diversâ proportione quam ad liquidum habebit in gravitate.⁶⁸⁾

Conclusio 1.

Sit Cylindrus KM, cujus quadratum à diametro basis MV,

Fig. 22.

minus sit quàm sesquialterum quadrati lateris KV. Axis autem sit AB; Et diviso latere KV in Q, ita ut rectangulum KQV aequetur octavae parti quadrati MV, habeat Cylindrus ad liquidum in gravitate proportionem majorem quam QV habet ad KV, vel minorem quam QK ad KV; dico, si liquido supernatans ponatur inclinatus, ita ut neutra basium contingat liquidi superficiem, rectum restitutum iri, ita ut axis AB sit ad liquidi superficiem perpendicularis.

Hoc enim Theoremate 8^o h. lib. demonstratum est de omnibus Cylindris qui inclinari possunt quare et huic convenit.

68) Le théorème nous apprend que pour ζ > √⅔ les positions ① et ② p. 87 de l'Avertissement (AB parallèle à l'axe du cylindre) peuvent se réaliser entre certaines limites de la valeur de la densité ε. Pour d'autres valeurs de ε il arrive que ni l'une ni l'autre de ses positions ne soit une position d'équilibre stable.
Sous ces respects le cas ζ > √⅔ ne diffère pas du cas √⅝ < ζ < √⅔; mais il n'en est pas de méme pour certains détails qu'on trouvera dans les ‘Conclusiones.’ Voir les notes 70, 71 et 72.

[p. 186]

2.

Latere KV diviso ut suprà in Q, et praeterea punctis N et D, ita

Fig. 23.

ut rectangulum quidem KNV aequetur 5/32 quadrati MV, KD autem sit ⅘ segmenti minoris NK; si habeat Cylindrus ad liquidum in gravitate proportionem majorem quam DV, minorem verò quam QV habet ad KV; vel majorem quidem quam QK, minorem verò quam DK habet ad KV, et liquido supernatans ponatur inclinatus, ita ut neutra basium contingat liquidi superficiem; dico neque rectum restitutum iri, neque mansurum inclinatum, nisi cùm axis AB faciet cum liquidi superficie angulum aequalem angulo ECα⁶⁹⁾, seu AEC, invento ut in Theoremate 10^o hujus libri.⁷⁰⁾.

demonstrari hoc potest eodem modo quo Conclusio 2^a Theorem. 11ⁱ h. lib. verum ut appareat casus hos quandoque locum habere posse, ostendendum est, punctum D magis distare à K quam punctum Q. Quoniam itaque rectangu-

69) La lettre α manque dans la figure achevée (voir la page 90 de l'Avertissement). Elle se trouve dans la figure du manuscrit au point d'intersection de LE et KV.

70) La ‘Conclusio’ nous fait connaître que la position ② de la page 87 de l'Avertissement pourra se réaliser, dans le cas ζ>√⅔, de deux manières: 1^o toutes les fois que la densité est inférieure à la plus grande racine de l'équation , mais supérieure â la plus grande racine de l'équation si la densité est supérieure à la plus petite racine de l'équation , mais inférieure à la plus petite de l'équation 2ε (4 - 5ε) ζ².
Formulée de cette façon elle diffère de la ‘Conclusio 2’ du ‘Theorema 11’; mais la différence n'est pas essentielle, puisqu'on aurait pu exprimer les conditions de la réalisation de la position ② pour toutes les valeurs possibles de ε, comme il suit: qu'on doit avoir et simultanément et .
Appliquée à la représentation graphique de la note 37, p. 176, la ‘Conclusio’ nous apprend que la position ② sera réalisable si le point (ε, ζ) se trouve dans les divisions UJKV ou SRMT; d'où il suit, en résumant tous les ‘Theoremata’ et ‘Conclusiones’ qui se rapportent à cette position ②, qu'elle se présentera toutes les fois que le point en question tombe à l'intérieur de la division SRLKVUJZPNMT.

[p. 187]

lum KNV continet 5/32 quadrati MV, et KD est ⅘ KN, continebit rectangulum sub KD et NV 4/32 seu ⅛ quadrati MV; rectangulo autem sub KD et NV, majus est rectangulum KDV, ergo idem hoc majus quoque quàm ⅛ quadrati MV, sive rectangulo KQV; quare necessariò KD major quam KQ. Potest itaque Cylindrus ad liquidum in gravitate habere rationem majorem quàm DV, minorem verò quam QV habet ad KV: potest et consequenter habere majorem quam KQ, minorem verò quam KD habet ad KV; quae erant ostendenda.

3.

Latere KV diviso ut in Conclusione praecedenti punctis

Fig. 24.

N et D, nempe ut rectangulum KNV contineat 5/32 quadrati à diametro basis MV, KD, autem sit ⅘ KN segmenti minoris; Si habeat Cylindrus ad liquidum in gravitate rationem quam DV habet ad KV, vel quam DK ad KV, et liquido supernatans ponatur inclinatus ita ut neutra basium contingat liquidi superficiem; dico eousque inclinatum iri ultrò, ut alterutra basium liquidi superficiem contingat in uno puncto.⁷¹⁾

Hoc autem demonstrari postest eodem modo, quo Concl. 3^a Theorematis praecedentis 11ⁱ.

71) La ‘Conclusio’ nous indique que, dans le cas ζ > √⅔, le cylindre sera en équilibre dans une position intermédiaire entre les positions ② et ③ ou ③′ toutes les fois que la densité ε égale la plus grande racine de l'équation , ou la plus petite de l'équation ; c'est-à-dire quand le point (ε, ζ) se trouve sur l'une des courbes JU ou MT de la représentation graphique de la note 37, p. 176.
Elle ne diffère donc de la ‘Corclusio 3’ du ‘Theorema 11’ p. 179, qui se rapporte au cas , que par ce qu'elle exclut les cas où ε égale la plus petite racine de la première ou la plus grande de la seconde de ces équations.

[p. 188]

4.

Fig. 25.

Diviso rursus latere KV punctis N et D, nimirum ut rectangulum KNV contineat 5/32 quadrati MV, KD autem sit 4/5 KN segmenti minoris. Si Cylindrus ad liquidum in gravitate rationem habeat minorem quam DV, majorem verò quam DK ad KV, et liquido supernatans ponatur inclinatus, ita ut neutra basium contingat liquidi superficiem, ulteriùs inclinabitur, quàm ut altera basium contingat liquidi superficiem in uno puncto.⁷²⁾

Dividatur enim praeterea latus KV bifariam in P, et quum manifestum sit, Cylindrum ad liquidum in gravitate habiturum proportionem majorem subduplâ [½] vel non majorem, habeat primò majorem subduplâ, nempe quam αV habet ad KV (sumpto puncto α intra D et P).

Dico ulteriùs inclinatum iri Cylindrum quàm ut basis YK contingat liquidi superficiem in uno puncto. fiat enim KT aequalis ⅘ NV segmenti majoris, et KS aequalis ipsi NV. Quia igitur Cylindrus est ejusmodi, ut quadratum à diametro basis MV ad quadratum lateris KV minorem habeat rationem quàm sesquialterum, id est, quam 3 ad 2, erit rectangulum KNV sive 5/32 quadrati MV, minus quam ⅙5/4 quadrati KV; quamobrem KN minor erit quam ⅜ KV, et NV sive KS major quam ⅝ KV⁷³⁾; et KT (quae est ⅘ NV sive KS) major quam 4/8 sive ½ KV. Itaque punctum α sumptum inter D et P, cadet etiam inter D et T; Unde sicut in Conclus. 4^a. Theor. 11ⁱ demonstrari poterit, Cylindrum ulteriùs inclinatum iri quàm ut basis YK in uno puncto contingat liquidi superficiem; quod erat demonstrandum.

Secundò, si Cylindrus ad liquidum in gravitate proportionem habeat non majo-

72) La ‘Conclusio’ démontre que toutes les fois que, dans le cas ζ > √⅔, la densité ε se trouvera située entre la plus petite racine de l'équation et la plus grande de l'équation , qu'alors les positions ① et ② seront irréalisables.
En la combinant avec la ‘Conclusio 4’ du ‘Theorema 11’ on en peut déduire que ces positions seront irréalisables toutes les fois qu'on aura ou , c'est-à-dire, que le point (ε, ζ) tombera à l'intérieur de la division TMNPZJU de la représentation graphique de la note 37, p. 176.

73) Toujours à cause de ‘pr. 5. lib. 2. Eucl.’ Comparez la note 38, p. 176.

[p. 189]

rem subduplâ, ea vel subduplâ erit vel minor subduplâ; et siquidem subduplâ, tum eadem adhuc quae in casu praecedenti erit demonstratio, nam ipsum punctum P cadit inter D et T.

Si verò minor subduplâ, invertenda est praecedens figura et eadem rursus erit demonstratio, nisi quòd jam pars ea demersa erit, quae priùs enatabat, et contra.

Experimenta.

Quoniam Parallelepipeda sive trabes, et Cylindracea corpora ubique obvia sunt, vel saltem facilia paratu, non dubito quin futuri sint qui facto periculo de veritate horum Theorematum cognoscere cupient; eos autem monitos velim ne temere credant suis experimentis, ut priùs perspectum habeant solida, quibus ad ea utuntur, esse e materiâ quae per omnia gravitatis sit aequalis. Et lignum quidem, quod tantae perfectionis sit, reperiri posse, vix crediderim; metalla autem non nisi argento vivo supernatant, alioquin existimo, haec magis accommoda fore.

Sed vitandis hisce difficultatibus, fabricentur corpora intus cava, et tenui tantum constantia superficie. deinde disponantur introrsus pondera, hâc lege, ut

Fig. 26.

omnium simul centrum grav. idem sit, quod centrum corporis vacui, si foret solidum; atque ita pro lubitu gravia et levia habebuntur, additis vel demptis ejusmodi ponderibus.

Exemplo sit Cylindrus AB, tenui constans superficie, in quo disponantur ad oppositas bases pondera paria, velut cylindri aequales è plumbo vel aliâ ponderosâ materiâ, AC, BD, et plures si res exiget; dummodo observetur ut pares sint, qui ab oppositis basibus aeque distant: et erit eadem hujus liquido supernatantis positio, quae cijlindri similis figurae et ponderis, qui totus solidus esset et è materiâ sibi ipsi in gravitate per omnia simili.

FINIS.