Oeuvres complètes. Tome XI. Travaux mathématiques 1645-1651

[p. 76]

XV.¹⁾
[1646].
De Sphaera et Parabola.

Prop. 1.
Si in parabola ABC ducatur utcunque parallela FE, axi BD, dico rectangulum sub segmentis AE, EC aequale esse rectangulo sub FE et latere recto parabolae²⁾

Cum enim rectangulum sub latere recto et BD aequale sit quadrato AD, si utrinque auferatur rectangulum sub latere recto et BG sive quadratum FG sive ED, remanebunt, hinc, rectangulum sub lat. recto et FE, inde, rectangulum AEC, aequalia.

Hinc manifestum est BD esse ad FE ut rectangulum ADC ad rect. AEC.

1) C'est ici la pièce indiquée dans la lettre N^o. 23^b (p. 557 du T. II) à Mersenne du 23 déc. 1646 comme comprenant ‘Une autre démonstration de ce qui est contenu au livre d'Archimède, de sphaera et cylindro.’ Voir l'Avertissement à la p. 5 du volume présent.

2) Sur une des pages précédentes du ‘boeckje’ on rencontre une démonstration ‘par lettres,’ c'est-à-dire algébrique, de la même proposition.

Prop. 2.
Si sit semicirculus ABC cui sit inscripta parabola ABC, et utcunque ducta FE perp. est ut BD ad GE longitudine sic BD ad FE potentia.

BD namque est ad GE, ut rectangulum ADG.³⁾ sive quadratum BD ad rectangulum AEC sive quadratum FE.

3) Lisez ‘ADC.’

[p. 77]

Prop. 3.
Si convertatur semicirculus ABC et semiquadratum AHIC dico sphaeram factam a semicirculo in conversione, esse ad cylindrum ex conversione semiquadrati AHIC, ut 2 ad 3.⁴⁾

Cum enim ut prius utcunque ductâ perp. KE, quae etiam inscriptam parabolam secat, sit ut BD vel KE ad GE longitudine, sic KE ad FE potentiâ, vel circulus ex conversione KE ad circulum ex conversione FE, erit ideo totus cylindrus ex conversione AHIC ad sphaeram ex conversione semicirculi ABC, ut rectangulum AHIC ad parabolam AGBC⁵⁾, id est ut 3 ad 2 ut patet ex quadratura parabolae.⁶⁾

4) C'est la première partie du ‘Corollarium’ de la Prop. XXXIV du premier Livre de l'ouvrage ‘De Sphaero et Cylindro’ d'Archimède. Voir la p. 147 du T. I de l'édition de Heiberg mentionnée dans la note 2 de la pièce N^o. IX (p. 50).

5) Ici encore on croit reconnaître l'influence de Cavalieri. Voir la note 8 de la pièce N^o. XI (p. 60).

6) Comparez la pièce N^o. XI (p. 56) où Huygens déduit la quadrature de la parabole par une voie nouvelle.

Prop. 4.
Superficies sphaerae quadrupla est maximi in eâ circuli.⁷⁾

Quia enim dimidia sphaera ABC est ad cylindrum AEFC⁸⁾ ut 2 ad 3 constat



eam quoque duplam esse coni inscripti ABC. Porro cum constet sphaeram aequalem esse cono altitudinis DB et qui basin habeat superficiei ejusdem sphaerae aequalem⁹⁾, sequitur quoque conum altitudinis DB qui aequalis sit quartae parti sphaerae, basin habere quartae parti superficiei sphaerae aequalem: Atqui talis est conus ABC, ergo basis ejus maximus in sphaera circulus AC aequalis est quartae parti superficiei sphaerae: quod erat demonstrandum.

7) C'est la Prop. XXXIII de l'ouvrage mentionné d'Archimède. Voir Heiberg, T. I, p. 137.

8) Il s'agit du cylindre dont la base est le cercle décrit sur AC comme diamètre et dont BD est la hauteur.

9) Comparez chez Archimède la démonstration de la Prop. XXXIV (Heiberg I, p. 141).

[p. 78]

Prop. 5
Si parabolam secet parallela axi linea FS et simul sphaeram NAHIK, erit ut rectangulum CG ad partem parabolae abcissam AEC, ita cylindrus RF ad portionem sphaerae PAH.

Hoc manifestum satis est ex prop. 2.¹⁰⁾

10) C'est-à-dire en appliquant la méthode de démonstration de la proposition 3.

Prop. 6.
Datae portioni sphaerae conum vel cylindrum aequalem invenire.

Sit data portio HAP: AK ∞ a, AC ∞ b. Quia autem constat ex praecedenti prop. partem abscissam ex parabola, AEC, esse ad rectang. CG ut portio sphaerae HAP ad cylindrum RF quaeram primo valorem partis AEC.

[p. 79]

¹¹

apparet hinc portionem sphaerae AHCP aequalem esse cylindro cujus basis circulus descriptus radio AC, altitudo vero AB - ⅓ AC nam 4 bb basin m. per ½ a - ⅓ b altitudinem fit 2 abb - 4/3 b³ ut ante.

Si autem conum velimus reperire portioni huic aequalem, cujus basis sit eadem quae basis portionis id est circulus HP: dividatur 2 abb - 4/3 b³ AHCP per triplum circuli¹²⁾ fit altitudo coni quaesita . Id est ut CK ad CKB¹³⁾ sic AC ad quaesitam altitudinem. Haec est propos... Archim.¹⁴⁾

11 Toutes les expressions algébriques qui suivent, pour autant qu'elles représentent des volumes ou des aires, ne sont que proportionelles à ces volumes et à ces aires, desquelles on trouve les valeurs véritables en multipliant les expressions en question par ¼ π.

12) Lisez: ‘per ⅓ circuli.’

13) Lisez: .

14) Voir en effet la Prop. II du Livre II ‘De Sphaera et Cylindro,’ p. 195, T. l de l'édition de Heiberg.

Prop. 7.
Datae sphaerae portionis superficiei circulum aequalem invenire.

Data sphaerae portio sit AHCP.

[p. 80]

¹⁵⁾

Hinc liquet superficiem datae partis AHCP aequalem esse circule cujus radius AH. Quae est prop... Archimedis.¹⁶⁾

15) Voir toujours la note 11.

16) Voir la Prop. XLII du Livre I de l'ouvrage cité d'Archimède, p. 177, T. I, de l'édition de Heiberg.