Oeuvres complètes. Tome XI. Travaux mathématiques 1645-1651

[p. 68]

XIV.¹⁾
[1646].
De motu naturaliter accelerato.

I.²

Joan. Caramuel Lobcowitz³⁾ de hac materia scribens,⁴⁾ sublimium ingeniorum crucem vocat; damnatisque sententiis aliorum, inter quas et Galilei, quae

1) De cette pièce, qui traite les lois de la chute des corps graves et que nous avons divisée en deux parties, la première partie à été écrite avant le 3 septembre 1646; comme cela résulte de la Lettre N^o. 11 (p. 18 du T. I). Elle a été inspirée par la lecture d'un ouvrage de Caramuel Lobkowitz, que nous citerons plus loin. Dans cet ouvrage Lobkowitz, sur la foi des expériences qu'il a faites, répudie la loi de la chute des graves, telle que nous l'admettons maintenant pour la chute dans le vide, et la remplace par une autre de sa propre invention. Or, dans le principe: que les rapports supposés des espaces parcourus, dès le commencement de la chute, dans des intervalles de temps d'égale durée, doivent, si la loi proposée est possible, rester invariables quand on change cette durée; dans ce principe le jeune Huygens a trouvé le moyen de montrer que la loi promulguée par Lobkowitz est en contradiction avec soi-même. Ensuite il applique le même principe à quelques autres suppositions, parmi lesquelles la supposition que les rapports mentionnés constituent une série arithmétique le conduit à la loi bien connue d'après laquelle les espaces parcourus successivement sont dans la proportion des nombres impairs 1, 3, 5 etc.
Huygens, lorsqu'il conçut cette première partie de la pièce présente, n'avait pas encore pris connaissance des écrits de Galilée. Plus tard, après le 28 octobre 1646, date de la Lettre N^o. 14 (T. I p. 24), les ‘Discorsi’ lui sont parvenus, et c'est la lecture de cet ouvrage qui a donné lieu à la seconde partie, où Huygens examine la démonstration donnée par Galilée de la proposition, d'après laquelle dans un même milieu tous les corps de même matière tombent nécessairement avec la même vitesse.
Remarquons que les deux parties de la pièce nous font connaître les idées du jeune Huygens sur l'action du milieu résistant dans la chute des graves.

2 La division est de nous.

3) Voir, sur Juan Caramuel Lobkowitz la note 6 de la Lettre N^o. 360^a (p. 562 du T. I).

4) Il s'agit de son ouvrage: ‘Sublimium ingeniorum crux. Jam tandem aliquando deposita a Joanne Caramuel Lobkowits, Gravium lapsum cum tempore elapso componente, concordiamque experimentis & demonstrationibus Geometricis firmante.’ Lovanii, Apud Petrum van der Heyden, M.DC.XLIV, 27 p, 4^o.

[p. 69]

tamen subtilissima est et Mathematicis quodammodo principiis innititur, suam veram asserit, quae nullo tamen fundamento superstructa est, sed tantum experientiae,⁵⁾ quam ut saepe, et hic deceptricem fuisse puto. Nemo autem satis abstracté motum consideravit, dum considerat motum lapidis aut sphaerae metallicae per aerem ex alto cadentis; maximè enim cum experientia conveniret sententia Galilaei nisi aeris resistentia id impediret. Sic ergo motum acceleratum melius considerabimus. Supponatur valde aequalis et laevis superficies alicujus plani AB, iique imposita



sphaera A, seorsim relictâ omni gravitate et resistentia aeris; ventus praeterea supponatur aequaliter spirare à parte Q ad partem B; Sphaera igitur promota à vento hoc, usque in C, etiam si ventus tunc subito cessaret, nihilominus eadem celeritate, quam in Chabet pergeret moveri secundum lineam AB, percurreretque temporibus aequalibus spatia aequalia CD, DB; sed quum ventus semper aequali impetu ipsi instare supponatur, semper adhuc addit ipsi aliquid celeritatis, alioqui enim tantundem efficeret quiescens quam spirans. Minori ergo tempore percurret



spatium CD quam spatium AC, et minori adhuc spatium DB quam CD, et sic porro in infinitum diminuentur tempora quibus aequalia spatia percurret. Cum ergo in aequalia spatia inaequalia tempora impendat, manifestum etiam est aequalibus temporibus inaequalia spatia percursurum; sic si unâ horâ percurrat AC, altera hora plus percurret spatio CD, et sic porro.

Totius autem operis scopus est, nimirum ut sciatur, si pondus aliquod unâ aliquâ temporis quantitate ex alto decidens transeat per certum aliquod spatium mensurae, per quot ejusmodi mensurae spatia transiturum sit sequenti temporis quantitate si motus continuetur: ut si pondus P primo momento lapsus sui ex P transeat spatium PS, quantum spatium transiturum sit secundo momento, quantum 3^tio, et sic deinceps. Comparo autem attractionem quâ centrum terrae omnia gravia attrahit ad se, (ut hic pondus P versus T), vento, quem spirantem à parte Q supposui promovere sphaeram A versus B; ut autem illic omnia impedimenta seposui, sic et hic aerem illiusque impediendi vim sepono. Hoc autem concedi postulo;⁶⁾

5) A la page 4 de l'ouvrage de Lobkowitz on trouve les résultats d'expériences faites à Louvain, à Gand et à Malines, se rapportant à des chutes de 3, 9, 30, 130, 164 et 300 pieds. Dans la suite de son ouvrage l'auteur, à l'aide de ces resultats, éprouve les lois proposées par divers physiciens.

6) A commencer par cette phrase on retrouve, en français, ce qui va suivre (jusqu'au début de la seconde partie de la pièce) pour la plus grande part et parsois presque textuellement dans la lettre à Mersenne du 28 octobre 1646 (N^o. 14, p. 25-27 du T. I).

[p. 70]

nempe si pondus P primo momento lapsus transeat spatium PS, secundo autem momento spatium SR; idem vero pondus P etiam dimidio momento primo, transeat spatium PV, secundo autem dimidio momento spatium VM; fore ut PV proportionem habeat ad VM, quam PS ad SR. Hoc concesso sequitur primò, Spatium quod aliquot momentis pondus e loco quietis cadens transiit, proportionem habere ad spatium quod totidem insequentibus momentis transiit, quam spatium



quod primo momento transiit ad spatium quod transiit secundo momento. Transierit pondus D primo momento spatium DV, secundo VN, tertio NB, quarto BZ; dico DN esse ad NZ ut DV ad VN. Quia enim duobus primis transiit spatium DN, et duobus secundis spatium NZ; uno autem primo transiit DV, et uno secundo transiit VN, apparet ex antecedenti



postulato DN esse ad NZ ut DV ad VN quod erat demonstrandum. Probabo nunc Spatia quae pondus cadens è quiete, aequalibus temporibus praeterlabitur non esse in proportione Geometrica.⁷⁾ Pondus N primo momento transeat spatium NO, secundo OP, tertio PQ, quarto QR; dico ut NO est ad OP, sic non esse OP ad PQ, nec PQ ad QR. Sit enim NO ∞ a, OP ∞ b, ergo deberet PQ esse bb/a, QR b³/aa, debet autem ex praecedenti propositione PR esse ad PN ut PO ad ON, hic vero additis PQ, QR fit PR bb/a + b³/aa hoc ergo ad NP a + b, debet habere proportionem quam OP ad NO, id est b ad a. Itaque et rectangulum ex extremis



⁸ aequale rectangulo ex mediis. Quia vero patet ex analysi⁹⁾ b esse aequalem a, deberet secundo momento non plus spatii peregisse quam primo, quod ut ante dictum est esse non potest, non ergo cadet in ulla proportione geometrica. Sed animi causa fingamus decidere in aliquo geometrico processu nempe ut primo momento transierit spatium NO, 1, secundo momento duplum

7) C'est l'‘opinio tertia’ attribuée par Lobkowitz à quelques physiciens à la page 10 de son ouvrage.

8 C'est-à-dire: .

9) Voir le calcul à côté.

[p. 71]

spatii NO ut OP, 2, tertio PQ, 4, duplum ipsius OP, quarto QR, 8, duplum ipsius QP, spatium ergo PR quod tertio et quarto momento transiit est 12, sed si primo transiit NO, 1, secundo OP, 2, duobus autem primis NP, 3; ergo et duobus secundis PR, 6, debuit transiisse; sed et spatium PR fuit 12 ergo idem essent 12 et 6 quod est absurdum.

Quia itaque non potest esse ulla geometrica proportio, perquiramus processus arithmeticos, et primo momento transierit NO ∞ a, secundo OP ∞ a + xa, tertio PQ a + 2xa, quarto QR a + 3xa; oportet ergo PQ + QR esse ad NO + OP, ut OP ad NO. Patet ex hac analysi¹⁰⁾ NO esse a, OP esse 3a (quod idem est



quod a + xa, cum x sit 2) PQ esse 5a, et QR 7a; nullumque processum arithmeticum praeter hunc reperiri qui locum habere possit;¹¹⁾ Caram. Lobkowitz tamen hunc repudiat,¹²⁾ suumque qui falsissimus est reponit;¹³⁾ ait enim NO esse 1, OP2, PQ 3, QR 4 et sic porro; sed conemur demonstrare quam manifestè Audax mathematicus¹⁴⁾ sibi ipsi contradicat. Ponatur vera esse ipsius sen-

10) Voir le calcul qui suit.

11) Dans sa lettre à Mersenne Huygens ajoute encore: ‘Et je ne trouve point d'autres progressions qui ayent quelque regularité, et la propriété requise que cellecy. Et pour cela je croij qu'il n'y a point d'ordre du tout, ou que c'est celuy de ces nombres impairs.’
‘Tout cecy doit estre considere comme en une place ou il n'y a point d'empeschement d'air ny d'autre chose mais seulement une uniforme attraction d'en bas, soit grande ou petite.’
Remarquons cependant que le principe posé par Huygens ne conduit nullement avec nécessité à cette loi des nombres impairs. Ainsi la suite 1, 7, 19, 37, ... (3n²-3n+1), ... déduite de la loi s = at³, ou celle déduite de la loi plus générale s = at^p, satisfont au même principe.

12) Voir la page 14 de son ouvrage, où l'on lit: ‘Pulchra quidem haec sententia est, non tamen per omnia experimentis correspondes. Unde ut sentio proximè ipsa veritatem accedit, non tamen pertingit exactè. Sed qualiscum ipsa, illustrabitur Tabellâ subsequenti.’ Après quoi Lobkowitz fait suivre un tableau où les espaces calculés d'après la loi en question sont comparés avec les espaces observés.

13) Voir les pages 17-20 de l'ouvrage cité.

14) Allusion au titre de l'ouvrage suivant: ‘Mathesis audax rationalem, naturalem, supernaturalem, divinamque sapientiam arithmeticis, geometricis, catoptricis, staticis, dioptricis, astronomicis, musicis, chronicis, et architectonicis, fundamentis substruens exponensque authore Joanne Caramuel Lobkowitz. Opus verè novum & varium, in gratiam magnarum mentium scriptum. Lovanii. Apud Andream Bouvet. M.DC.XLIV. 200 p. 4^o.

[p. 72]

tentia et primo scrupulo pondus T praeterlabatur spatium TD, 1; secundo scrupulo DP, 2; tertio PC, 3; quarto CW, 4, ergo PC + CW quae praeterlabitur tertio et quarto scrupulo una erunt 7; sed sit nunc primum temporis spatium



duo scrupuli, his duobus ergo praeterlabetur spatium TP, 3, et alteris duobus tertio nempe et quarto juxta ipsius sententiam duplum tantum nempe 6, sed tertio et quarto scrupulo praeterlabebatur PW 7, ergo 7 et 6 deberent esse aequalia, quod absurdum est. Restat nunc ut meam pari modo examinem, (quanquam analysis aeque certa sit ac demonstratio,) postea vero indicem quare et quomodo erravit Lobkowitz.

Dixi autem aequalibus temporibus pondus A praeterlabi spatia AB 1, BC 3, CD 5, DE 7, et sic porro, ut semper duplum primi spatii accrescat: singulis autem scrupulis singula haec spatia transierit; ponantur autem nunc duo scrupuli pro primo tempore; ergo si duobus his primis scrupulis transierit AC 4, debet alteris duobus insequentibus transire ter tantum, id est 12, secundum meam hypothesin; sed et CD + DE sunt 12 ergo conveniunt ut oportebat, habetque EC proportionem ad CA quam CB ad BA; sic quoque GD 27 ad DA 9 quam CB ad BA.

Lobkowitz in errorem incidit quia non consideravit resistentiam aeris, quam alio exemplo declarare conabor. Nemo est qui non viderit navem, quam primum vela attracta sunt sensim incipere promoveri, principio quidem valde lente post aliquod tempus vero satis velociter prout ventus aspirarit, tamen cum jam ad certam velocitatem pervenit, eâdem illam deinceps pergere; quod si semper ejus velocitas augeretur (ponamus tantum secundum ordinem Lobkowitz) tunc si primo horae quadrante quartam partem milliaris provecta esset, post sex horas quibus eodem vento usa esset conficisset milliaria 75, sed experientia longe contrarium docet, cum videamus navem non multum post quam solvit eodem deinceps tenore ferri.

Eodem modo se res habet in iis quae deorsum per aerem moventur; quamobrem quia et haec similiter tandem ad punctum aliquod perveniunt unde deinceps aequaliter pergunt moveri manifestum est celeritatem non accrescere eo ordine quo voluit Lobkowitz, sed variè prout media per quae decidunt minus vel magis resistunt; Concludo igitur nihil certi de cadentibus per aerem affirmari posse, nisi ex experimentis petatur.

II.

Probare institueram, projecta pondera sursum vel in latus, parabolam describere, sed interea temporis in manus incidit libellus Galilei de motu accelerato

[p. 73]

naturaliter et violento;¹⁵⁾ quem cum videam haec¹⁶⁾ et plura alia jam demonstraffe, nolui Iliada post Homerum scribere. Galilaeus in eodem libello Dialogo primo credit se probasse¹⁷⁾ gravia ejusdem materiae per idem medium aequali velocitate ferri; non assentior; sed audiamus ejus rationes: Si gravia duo, inquit, unum altero citius moventur, manifestum est, si jungamus tardius velociori, motum velocioris ex parte retardatum, tardioris vero ex parte acceleratum iri: At si hoc ita se habet, et porro verum est lapidem magnum moveri ex. gr. cum octo gradibus velicitatis, et minorem cum quatuor, ergo conjungendo eos, compositum ex iis movebitur cum paucioribus gradibus velocitatis quam octo: sed duo lapides simul majorem constituunt lapidem, eo qui movebatur cum octo gradibus velocitatis, ergo hic major tardius movetur, minori, quod est contra hypothesin. hactenus ille.

Contrarium ergo probabo prius, post autem indicabo quare non procedat ipsius demonstratio. Sic itaque demonstro Gravia similia, ejusdem materiae, sive quorum magnitudines proportionem habent quam gravitates inter sese, quanto majora sunt tanto citius descendere per medium resistens, si similia sint figurâ.

Pono planum AB medio in aere expers gravitatis et soliditatis horizonti parallelum; si ergo illud certa quadam velocitate deprimi velim, opus habebo certo aliquo pondere quod ei appendam; sit hoc C cui aer nihil resistere concipiatur; (si ergo minus ponderis appendam quam est C non tam cito deprimetur ob aeris resistentiam); pono praeterea quatuor ejusmodi plana quale AB prope invicem sita, singulisque appensum pondus quale C; haec ergo, quia in descensu contigua



manerent et singula aeque cito ac planum AB descenderent, composita intelligantur efficere planum DE, cui pro quatuor ponderibus unum appendatur F

15) Voir l'ouvrage cité dans la note 1 de la Lettre N^o. 17 (p. 31 T. I). Et ajoutons à propos de cette communication de Huygens une remarque qui regarde la pièce N^o. VI. ‘De Catena pendente.’ D'après l'avant-dernier alinéa de la Lettre N^o. 14 (p. 28 du T. I) cette dernière pièce fut conçue à peu près au même temps que la première partie de la pièce présente; c'est-à-dire a vant que Huygens eut pris connaissance de l'ouvrage cité de Galilée. Il est donc clair que ce n'est pas dans l'assertion de Galilée (qu'une corde pendue fait la parabole) que l'on y rencontre dans la ‘Giornata seconda’ et dans la ‘Giornata quarta’ (aux pp. 186 et 309-310 du T. VIII de l'édition nationale des ‘Opere di Galileo Galilei,’ Firenze, 1898) que l'on doit chercher l'origine de la pièce N^o. VI; mais plutô dans celle de Girard, de la même portée, mentionnée dans la note 2 de cette pièce N^o. VI.

16) Voir le Theorema I, Propositio I de la ‘Giornata quarta,’ p. 269-279, T. VIII de l'édition de Favaro.

17) Voir les pp. 107-110, T. VIII de l'édition de Favaro.

[p. 74]

quod aequivaleat omnibus quatuor: Itaque planum DE appenso pondere F aequali velocitate deprimetur ac planum AB appenso pondere C. Jam plano AB cubus superimpositus intelligatur, qui aequalis sit gravitate ponderi C, ab hoc



ergo planum AB aeque cito deprimetur ac a pondere C appenso; et similiter planum DE a parallelepipedo DI quod constat ex quatuor talibus cubis, aeque cito deprimetur ac a pondere F appenso ergo cubus AB aeque velociter descendet ac parallelep.^m DI: sed cubus DH constat ex duobus talibus parallelepipedis, quorum alterum GH, inferiori DI incumbit, et cum nullam resistentiam patiatur



ab aere, idem efficit ac si plano DE bis pondus F appensum esset; ergo quia bis pondus F citius deprimit planum DE quam idem semel sumptum manifestum quoque est cubum DH velocius descensurum cubo AB, quod probandum erat. Breviter autem sic ratio reddi potest, nimirum quia pondera cadunt aequali velocitate si nullum medium resistat, medium autem resistit secundum superficiem; similium vero corporum solidum ad solidum in triplâ, superficies ad superficiem in duplâ proportione est laterum horum.



Sint sphaerae ejusdem materiae A 1 et B 27, dico B citius descensuram A. Aer cuique sphaerae secundum inferiorem dimidiam superficiem resistit, vel quod idem est secundum maximum in ea circulum; quia vero maximus circulus sphaerae B, 9 circulis sphaerae A aequalis est, proculdubio si novem talibus ponderibus maximus circulus B deprimeretur quali uno deprimitur circulus A, aequali celeritate descenderent; sed circulus B 27 talibus deprimitur, quali A uno; itaque sphaera B quoque velocius descendet sphaera A. Et hic quidem causa est quare granulum arenae non tanta velocitate descendat quam saxum: quam Galilaeus procedere ait a scabrositate.¹⁸⁾ Ratio autem ejusmodi Galilei



quam modo audivimus dupliciter intelligi potest, quia duobus modis pondera componi possunt; Sit enim ex. gr. pondus A minus multo pondere B ejusdem materiae, quod ideo per aerem lentius descendet quoque pondere B; manifestum est si jungantur fune CD, motum ponderis B partim retardatum, ponderis A vero partim acceleratum iri, quia aer utrique superficiei resistit: At si componantur in unam sphaeram, tunc pondus A longe plus gravitatis addet ponderi B, quam superficiei, et ideo compositum citius movebitur solâ sphaerâ B.

18) Comparez, au lieu cité dans la note précédente, les lignes 28-30 de la p. 109, où Galilée attribue l'effet en question à l'influence ‘delle figure come de i minimi momenti, le quali cose grande alterazione ricevono dal mezzo.’

[p. 75]

Corollarium.

Sequitur ex paulo ante demonstratis duo similia corpora fieri posse sed inaequalia magnitudine, ex diversa materia, quae tamen per medium resistens aequali velocitate descendant.¹⁹⁾

19) Nous faisons suivre encore ici une annotation au crayon, écrite de la main juvénile de Huygens sur une des dernières pages du ‘boeckje.’

‘De retardatione aeris

De sphaerae motu in tubo gyrato
et spirali quam describit;
de diversis tubi elevationibus.

quod gravia cadentia ad punctum
perveniant unde aequali
deinceps motu decidant.

quod projecta tandem non
describant parabolam.

De colligendis theorematis
ex ante demonstratis.’

Cette annotation nous paraît constituer l'avant-projet d'un ouvrage de plus longue haleine où les considérations de la pièce présente auraient trouvé leurs places.
Plus tard Huygens a ajouté encore à l'encre ‘de motu pendulorum.’