Oeuvres complètes. Tome XI. Travaux mathématiques 1645-1651

[p. 50]

IX.¹⁾
[1646].

1.
Triangulum rectang. ex semidiametro base et circumferentia altitudine aequale est circulo.²⁾

AC est circumferentiae circuli aequalis, AB semidiametro ED. si ergo dicatur triangulum ABC non esse aequale circulo; sit ergo primum minus circulo, quantitate P, et ei inscribatur figura aequilatera, ita ut differentia inter ipsam et circulum sit minor quantitate P (potest enim fieri haec differentia minor quavis quantitate;) cum itaque haec figura inscripta minor sit triangulo ABC, (KD enim minor est ED) et tamen inter ipsam et circulum minor sit differentia quam inter triang.^um ABC et circulum, eadem quoque major esset triangulo ABC quod esset absurdum. Simili quoque modo probari potest nec majus esse circulo, circumscribendo figuram circulo, ergo debet aequalis esse.

Ad ejusmodi quoque modum demonstrari potest, rectangulum sub altitudine et circumferentia basis cylindri, aequale esse ipsius superficiei.

1) La pièce contient quelques démonstrations élémentaires de théorèmes qu'on retrouve chez Archimède. Nous l'avons divisée en paragraphes.

2) C'est la première proposition de la ‘Dimensio circuli’ d'Archimède (voir T. I, p. 259, de l'édition de J.L. Heiberg ‘Archimedis opera omnia cum commentariis Eutocii, Lipsiae, Teubner, 3 vol., 1880-81). La démonstration qui va suivre n'est qu'une paraphrase de celle d'Archimède.

[p. 51]

2.
Archimedis de spaera et cylindro.

Propositio XIII. Theor. 8.
Cylindri recti superficies sine base, aequalis est circulo cujus semidiameter media proportionalis inter latus et diametrum basis cylindri.³⁾

Sit Diameter basis cylindri a, altitudo b, circumferentia basis r, ergo quia semidiametri ad circumferentiam semper eadem proportio, erit circuli cujus semidiameter est media proportionalis inter a et b, circumferentia ,⁴⁾ contentum ergo hoc circulo, aequale debet esse superficiei cylindri sive rectangulo rb: multiciplicetur itaque circumfer. [et] ½ √ab semidiam. fit rb, ut oportebat.⁵⁾

3) On retrouve la proposition à la page 61, T. I, de l'édition de Heiberg.

4) Pour justifier cette expression Huygens intercale encore la proportion: .

5) Suivent encore trois autres propositions d'Archimède, où les démonstrations géométriques d'Archimède ont été remplacées par des démonstrations très élémentaires, faciles à deviner, où l'algèbre est employée librement. Ce sont les prop. XIV (Heiberg, p. 69): ‘Omnis coni isoscelis superficies sine base, est aequalis circulo cujus semidiam. est media proportionalis inter latus coni et radium circuli qui coni basis est’; XV (Heiberg, p. 77): ‘Coni superf. habet eandem rationem ad circulum qui basis coni est, quam latus coni ad semidiam. basis coni; XVI (Heiberg, p. 77): ‘Si conus isosceles plano secetur basi parallelo, superficiei coni mediae inter plana parallela, aequalis est circulus, cujus radius medius proportionalis inter partem lateris coni comprehensum parallelis planis, et lineam aequalem radiis duorum circulorum qui habentur in planis parallelis.’

[p. 52]

3.
Si conoides parab.⁶⁾ seceter ut sectio sit parallela axi, sive ad angulos rectos ad basin, haec sectio erit parabola, quae idem latus rectum habebit quod tota parabola abc.⁷⁾

Sic conoid. abc, seceturque ex puncto g et sit sectio fgh dico hanc sectionem parabolam esse, quae idem latus rectum habet quod parabola abc. Sit enim de ∞ p, ad, dc ∞ a, parabola abc lat. rect. ∞ r.

Igitur ad investigandum quantum possit quadratum ef sive eh, fiat ut □ cd (aa) ad □ de sive ig (pp) sic db (aa/r) ad ib (pp/r); ergo di sive ge ; quae multiplicata per latus rect. r fit aa-pp ∞ ae (∞a+p) mult. ec (∞a-p) ∞ □ fe.

6) Huygens ajoute encore la définition: ‘Conoides est solidum corpus quod fit si parabolae rectae, sive hyperbolae, dimidium circa axem verti concipiatur. Veluti si dimidium parabolae abcd circa axem bd circumvolvatur.’

7) C'est la première des Propositions XI de l'ouvrage d'Archimède ‘De Conoidibus et Sphaeroidibus’ (Heiberg, T. I, p. 341). Elle y est donnée sans démonstration; Archimède ajoute seulement: ‘harum autem omnium rerum demonstrationes manifestae sunt.’