Oeuvres complètes. Tome XI. Travaux mathématiques 1645-1651

[p. 46]

VIII.¹⁾
[1646].

1.²⁾
Data maxima quatuor proportionalium invenire caeteras, ita ut differentia 2^dae et quartae sit maxima que³⁾ esse possit.

Sit prima maxima data ∞ a, secunda ∞ x + y et y ∞ 0. Ergo a ad x+y ut x+y ad tertia. Et iterum a ad x + y ut xx + 2yx + yy⁴⁾ ad quarta.



Deleantur quae non habent y, et fit aay - 3xxy - 3yyx - y³ ∞ 0. Divid. per y. aa - 3xx - 3xy - yy ∞ 0. Deleantur hic quae habent y. aa ∞ 3xx. ⅓aa ∞ xx. secunda. Et erunt quaesitae proportionales a (prim.), , ⅓ a (3^tia), ⁵⁾.

1) Sept problèmes ‘de maximis et minimis’ avec leurs solutions. On reconnaîtra facilement la méthode et la notation exposées au § 11 de la pièce N^o. I. Consultez toutefois la note 11 de la pièce présente.

2) La numération est de nous.

3) Lisez: quae.

4) Lisez: .

5) Comparez la note 11 de la pièce N^o. I.

[p. 47]

2.
Data maxima trium proportionalium invenire duas reliquas, ita ut differentia inter mediam et minimam sit maxima quae esse possit.

Sit prima a, et minima x + y. Igitur media erit . Subtr. x + y minima. , deleatur omne quod non habet y, ut hic x: caetera quadrentur.

deleantur quae non habent y ut ax.

Eruntque quaesitae proportionales a - ½ a - ¼ a.

Differentia inter mediam et minimam erit ¼ a, quâ non potest dari major.

3.
Datis duabus lineis inaequalibus invenire mediam inter ipsas, ita ut si ab illâ minima detrahatur, et ipsa detrahatur à maxima, rectangulum sub duobus residuis sit maximum quod esse possit.

Sint lineae datae a et b et quaesita media ∞ x + y et y ∞ 0.

Hoc idem erat ac si linea dividenda esset ita ut rectangulum sub segmentis fieret maximum. 1653.⁶⁾

6) La date ne se rapporte qu' à l'annotation.

[p. 48]

4.
Data lineâ et puncto extra ipsam, ex eodem in datam lineam, aliam incidentem ducere, ita ut solidum ex ipsa incidente et segmentis quae in data linea efficientur, sit omnium maximum.

Sit data linea AB ∞ a; punctum datum C; CD ∞ b, AD ∞ c, AE ∞ x + y et ∞ x, y ∞ 0.

^7)8)9)10)

7) Le terme xx est oublié mais il est restitué plus loin.

8) Nous supprimons la multiplication.

9) Comme on le voit, Huygens égale la valeur variée φ (x+y) de la quantité dont il cherche le maximum, à la valeur primitive φ (x).

10) C'est-à-dire en élevant au carré et en divisant par y, posant ensuite y = 0. Mais il y a eu des erreurs de calcul.

5.
Data majore e tribus Invenire tres proportionales, ita ut rectangulum ex minima, et differentia mediae et maximae, sit maximum quod esse possit.

¹¹⁾

11) C'est là, en germe, la modification apportée par Huygens à la méthode de Fermat et exposée plus tard dans l'ouvrage mentionné dans la note 30 de la pièce N^o I (p. 19.) Ajoutons que dans la multiplication, qui se trouve ici à côté, les termes sans y et les termes contenant yy et y³ ont été biffés en effet.

[p. 49]

6.
Data linea a dividere in duas partes ita ut solidum sub quadrato unius partis et altera sit maximum quod esse possit.

Sit una pars x + y et y ∞ 0. Ergo

7.
Invenire maximam in cono parabolam.

Quia omnis parabola secundum Archimedem¹²⁾ est sesquitertia rectanguli quale hic est sub AF, AB, opus erit tantum invenire quomodo rectangulum hoc possit esse maximum; sit ergo DC ∞ a, DE ∞ b, AC ∞ x. CD (a) DE (b) ut AC (x) ad AF (bx/a).¹³⁾

12) Dans l'ouvrage: ‘Quadratura parabolae’, voir la page 349 du T. II de l'édition de Heiberg, citée dans la note 2 de la pièce N^o. IX qui suit.

13) Huygens fait suivre ici un calcul, biffé depuis, où, par mégarde, il détermine le maximum de AF × AD × AC au lieu de celui de . Il y est revenu en 1653. Alors, posant AC = x, il trouve facilement , après quoi il écrit:







d'où il deéduit successivement,