Oeuvres complètes. Tome XI. Travaux mathématiques 1645-1651

[p. 45]

VII.
[1646].
De numeris perfectis.

Regula ad inveniendos numeros perfectos talis est¹⁾. Cape quamvis potestatem radicis 2, quae detracta unitate relinquat numerum primum, ejus dimidium duc in eam (postquam ab illa unitatem detraxeris), et productum erit numerus primus²⁾. Caeterum in eo omnis difficultas est, nempe in inveniendis talibus potestatibus radicis 2, quae dempta unitate relinquant numerum primum, ne autem omnes pervestigare necesse sit (quod immensi laboris esset) sciendum est eas tantum explorandas esse quae (posita pro 2, a) constant exponente primo numero, ut sunt a¹¹, a⁷, a¹³, etc.: quae vero habent exponentes non numeros primos, detracta unitate semper posse dividi, ut 63, sive a⁶-1, 511, sive a⁹-1 etc. Explorandas autem esse et quae exponentes numeros primos habent, et nonnunquam dividi posse ostendit numerus 2047 sive ๹-1, cum tamen 11 sit numerus primus, hic enim dividi potest per 23 et 89. Plurimi autem antehac pro numeris perfectis habiti sunt cum tamen non sint, quales sunt inter eos quos Peletarius³⁾ recenset, in annotationibus ad Gemmam Frisium⁴⁾ ubi putat in singulis decuplis augmentis unum talem reperiri, quod omnino falsum est.

1) Comme on le sait, on appelle ‘nombres parfaits’ les nombres qui égalent la somme de leurs propres facteurs (simples et composés) en y comptant l'unité. La règle pour leur calcul qui va suivre, revient à l'emploi de la formule 2^n-1 (2ⁿ-1), où 2ⁿ-1 doit être un nombre premier. Elle est donnée par Euclide au Livre IX de ses ‘Éléments’.

2) Lisez: ‘persectus’

3) Jacques Peletier, littérateur, médecin et mathématicien, naquit au Mans en 1517 et mourut à Paris en 1582.

4) Renerius Gemma, surnommé Frisius, né en 1508, mort en 1558, était professeur de médecine à l'Université de Louvain. Il s'agit ici de l'ouvrage suivant: ‘Arithmeticae practicae methodus facilis, per Gemmam Frisium, Medicum, ac Mathematicum conscripta: jàm recens ab Auctore pluribus locis aucta & recognita. In eandem Joannis Steinii & Jacobi Peletorii Annotationes. Antwerpiae. Ex officina Loëana, apud Petrum à Tongris. Anno 1581 in 8^o.’
On y lit à la page 10 dans une des annotations de Peletier: ‘Numerus Perfectus dicitur, qui integrè constat ex aggregato omnium numerorum, qui ipsum numerant. Veluti 6, quem numerant 3, 2, 1, atque ij juncti, faciunt 6. Numerus Perfectus semper in 6 vel 8 terminatur. Intra primum Denarium, hoc est ab 1. ad 10, solus Senarius est Perfectus. Intra secundum Denarium, silicet a 10, usque ad 100, solus 28 est perfectus: 100 ad 1000, solus 496: A 1000 ad 10000 solus 8128: In summa vnicus numerus Perfectus in quolibet decuplo augmento.’