Oeuvres complètes. Tome XI. Travaux mathématiques 1645-1651

[p. 28]

IV.¹⁾
[1645].

1.²⁾
De latere recto Parabolae et quomodo inveniatur.

Si in diametro parabolae ubicunque punctum sumatur ut hic C et ex eo perpendicularis



ducatur CD (quae ordinatim applicata dicitur) est linea quaedam sub qua, et linea AC rectangulum aequale semper est quadrato CD, haec linea certa est et una, vocaturque latus rectum parabolae³⁾, ut hic AB. Hinc sequitur AC semper esse ad CD ut CD ad latus rectum AB.

Et ideo si CD siat aequalis AC utrumque lateri recto aequale fore.

Invenitur itaque latus rectum si fiat ut AC ad CD ita CD ad quartum. Hoc est ducendo DE perpendicularem ad AD, erit semper CE aequalis lateri recto, AB.

1) Cette pièce contient plusieurs problèmes, solutions et théorèmes qui se rapportent aux coniques. Ils peuvent avoir été inspirés directement par la lecture des ‘Coniques’ d'Apollonius dont l'étude avait été recommandée par Stampioen dans la pièce N^o. 5 (p. 6 du T. I); mais peut-être aussi par l'instruction reçue de van Schooten (comparez les § § 9-12 de la pièce N^o. I).

2) La numération est de nous.

3) Comparez la Prop. XI du premier livre des ‘Coniques,’ p. 13 verso de l'édition de Commandinus, citée dans la pièce N^o. 5, note 4 (p. 6 du T. I).

[p. 29]

2.
In data Parabola conscribere triangulum aequilaterum.

Sit BD latus rectum Parabolae ∞ a. BE ∞ x.

3.
In data parte Parabolae conscribere quadratum.

Sit FE ∞ a; lat. rect. ED ∞ b; HE ∞ x. Erit ME 2x, MF a-2x.

[p. 30]

4.
Invenire tangentem in Parabola EIK puncto K.⁴⁾

Concipiatur planum BKD cono impositum, quod conum contingat in recta



BK. KD sit contingens basin coni in puncto K. Oportet ergo invenire ubi IG secet DB.

Sit IE ∞ a; AF, FC ∞ b. Lat. rect. parab. ∞ r; IG ∞ x.

Ergo quia angulus FKD est rectus ut et FIK, KID, fiat ut ⁵⁾ ad IK [√ar] sic IK [√ar] ad ID



Numeratores primi et secundi dividi possunt per b et denominator primi et tertii quia idem utrinque est, deleri, et opus erit tantum multiplicare numeratores secundi et tertii et productum hoc dividere per productum numeratoris primi in denominatorem secundi. multiplic. ergo num.^r primi, denom. secundi, fit ar.

Ergo 2a ∞ x⁶⁾

4) Comparez la prop. XXXIII du Livre 1 des ‘Coniques’, p. 24 de l'édition citée dans la note précédente.

5) Nous nous sommes permis quelques légers changements dans l'arrangement de cette pièce, mettant p.e. entre crochets les valeurs des lignes, indiquées dans le manuscrit en d'autres endroits.

6) Résultat obtenu par Apollonius par une autre voie.

[p. 31]

5.
Ex dato puncto in ellipsi ducere lineam quae ellipsin tangat.⁷⁾

In ellipsi ADC⁸⁾ sit datum punctum D; demittatur inde perpend. DE; et fiat ut diameter AB ad latus rectum CB ita GE ad EF, dico si ab F ducatur recta ad datum punctum D, et ex D perdend. in DF eam tangere in puncto D ellipsin.⁹⁾

Demonstr. Fiat cylindrus cujus basis aequalis KL in eo applicetur AB diameter ellipseos et erit similis ellipsis datae; ad exquirendam autem FE sit AB ∞ a; AL¹⁰⁾ ∞ b; EG ∞ c; OD vel ED ∞ x; FE ∞ y.

Nunc fiat ut AB [a] ad AL [b] ita GE [c] ad GO [bc/a]; et ut GO [bc/a]



ad OD [x] ita OD [x] ad OM [xxa/bc] et ut AL [b] ad AB [a] ita OM [xxa/bc] ad NE [xx aa/bbc]; et ut NE [xx aa/bbc] ad ED [x] ita ED [x] ad EF [bbc/aa ∞ y].

Cum constet ad resolutionem hujus fractionis bbc/aa inveniri oportere tertiam proportionalem, quae sit ad b ut b ad a, et hanc esse semper latus rectum, oportet igitur fieri a [AB] ad latus rectum [BC] ut c [GE] ad quaesitam y [EF], quod demonstrandum erat.

7) Comparez la prop. XXXIIII du Livre I der ‘Coniques,’ p. 25 de l'édition citée.

8) Lisez ADB.

9) Cette construction diffère sensiblement de celle d'Apollonius qui détermine la tangente à l'ellipse et à l'hyperbole par la propriété que AI : BI = AE : BE.

10) Voir, pour ce qui suit, la seconde figure, où l'on remarquera le double emploi des lettres G, O et D.

[p. 32]

6.
A dato puncto extra Parabolam ducere lineam quae Parabolam tangat.¹¹⁾

Sit datum punctum A, et ponendo pro lineis litteras Sit AB a, BC b, lat. rect. CD c, IL x. Quoniam ergo sumimus lineam AI tangere parabolam, erit ideo KC aequalis CL.

Ergo IL [x] ad LK [2xx/c] ut AB [a] ad BK [2xa/c] Et BK [2xa/c] cum KC [xx/c] aequalis BC [b].

¹²⁾

Constructio. FC est a, CE est √cb, FE est , FG est a, GE est , HC idem, IL sive x, idem. AI est contingens.

11) Comparez la prop. XLIX Probl. VI du Livre II des ‘Coniques’, p. 60 verso de l'édition citée.

12) Christiaan ici, comme dans la pièce N^o. II, ignore la racine négative et il est bien curieux de remarquer comment, par suite de cette circonstance, la seconde tangente lui échappe.

7.
Data parabola et puncto extra ipsam D, ducere lineam DB, quae parabolae occurrat ad angulos rectos.

Sit EG ∞ x; AE ∞ a; ED ∞ b; lat. r. AC ∞ l; ergo GF ∞ ½ l.

GE [x] ad ED [b] ut GF [½ l] ad FB [½ bl/x].

[p. 33]

GF [½ l] ad BF [½ bl/x] ut BF [½ bl/x] ad FH [½ bbl/xx]; FH ∞ 2FA¹³⁾ ∞ 2a + 2x - l; ½bbl ∞ 2axx - lxx + 2x³; + ½ lxx - axx + ¼bbl ∞ x³. Solidum est.¹⁴⁾

13) Voir le 4^me problème de cette pièce.

14) Huygens est revenu plus tard sur ce problème; voir p.e. ses ‘Contributions aux commentaires de van Schooten sur la Geometria Renati Descartes,’ que nous donnerons plus loin.

8.¹⁵⁾
Si a dato puncto A in parabola, contingens ducatur AB et ex eodem, linea AD; ita ut CD sit quarta pars lateris recti; dico tum AD aequalem fore DB.¹⁶⁾

Sit enim CE ∞ a; lat. rectum ∞ l; ideoque CD ∞ ¼l. add. □ AE al; □ DE aa - ½ al + 1/16 ll; □ AD summ. aa + ½ al + 1/16 ll. haec ergo aequalis □.^to BD, aa + ½ al + 1/16 ll. ut oportebat.

15) Ce théorème et le suivant se trouvent placés dans le livret manuscrit quelques pages plus loin, c'est-à-dire, après la pièce N^o. VI, mais nous avons cru devoir les réunir avec les précédents. Ils contiennent une déduction très simple d'une des propriétés fontamentales du foyer de la parabole.

16) Huygens s'est servi de ce théorème dans la pièce N^o. XII (p. 61).

9.
Si parallela diametro paraboles linea AB incidat in parabolam, et ex puncto incidentiae B ducatur linea BC, ut CF sit quarta pars lateris recti, dico tum angulum GBA aequalem esse angulo CBD.

Quia enim angulus GBA aequalis est angulo BDC, et angulus BDC aequalis angulo DBC, (utrumque hoc per Euclidem et propositionem antecedentem patet) erit quoque angulus GBA aequalis angulo DBC, quod probandum erat.

Hinc facile intelligi potest quare specula parabolicae figurae fortissime omnium urant, si solis radiis exponantur.