Oeuvres complètes. Tome XI. Travaux mathématiques 1645-1651

[p. 21]

II.
[1645].
Regulae pro Aequationibus quadratis.

¹⁾

Unde autem inventae sint hae Regulae, ex geometria Cartesii patet;²⁾ sed et alio modo inveniri possunt: Sit enim xx ∞ ax+bb, et erit xx - ax ∞ bb; adjungatur utrinque ¼aa et fiet xx - ax + ¼aa ∞ bb + ¼aa, et quia xx - ax+¼aa est quadratum erit ipsius radix , et , quae est prima regula.

1) Voir la note 3 de la pièce N^o. I.

2) Voir le Livre Premier de la Géométrie (T. VI. p. 374-376 de l'édition récente des OEuvres de Descartes par Adam et Tannery), où l'on rencontre des résolutions géométriques des cas divers de l'équation quadratique.

[p. 22]

Notandem autem est in tertio casu habere posse x duos diversos valores in caeteris autem non, in tertio enim casu ubi xx - ax + ¼aa est aequalis ¼aa - bb, quia radix ¼aa - bb potest quoque esse , (quia-per-facit +); fiet et postremo , ut erat dictum in regula. Sed hoc in caeteris non potest obtinere locum, quia in secundo casu x + ½a non potest esse aequale minus nihilo³⁾ hoc est : in primo autem x - ½a non potest esse aequale , quia postea x non potest aequari quia jam unus aequalis est ½a, et ideo minus nihilo.

3) L'absence de toute allusion à l'existence des racines ‘fausses’ ou négatives, nous fait présumer que cette pièce a été composée avant l'arrivée de Huygens à Leiden, ou, du moins, hors de l'influence de van Schooten, qui n'aurait pas manqué de lui signaler ces racines comme il l'a fait dans son Commentaire sur ce même endroit de la Géométrie (p. 176 de l'ouvrage cité dans la note 1 de la Lettre N^o. 150, p. 218 du T. I).
Ajoutons que la méthode suivie ici, aujourd'hui si usuelle, n'était nullement inconnue alors (voir p.e. l' ‘Invention nouvelle en l'Algèbre’ par Girard de 1629 au Chapitre: Des Equations ordonnées) et remarquons que l'étude de la ‘Géométrie’ de Descartes avait été recommandée au jeune Huygens par Stampioen de Jonge, son premier précepteur de mathématiques. (Voir la pièce N^o. 5 à la page 10 du T. I).