Oeuvres complètes. Tome XI. Travaux mathématiques 1645-1651

[p. 7]

I.
[1645-1646].
Aperçu d'un manuscrit¹⁾ de l'écriture de van Schooten²⁾ qui a servi à Christiaan Huygens pour ses études.

§ 1. Les pages 1-23 contiennent des problèmes d'algèbre et de géométrie, dont la solution, qui n'y manque nulle part, dépend de la résolution d'une équation du premier degré à une seule inconnue. Voici le premier de ces problèmes: ‘Invenire duos numeros, quorum summa sit 8, et differentia 2.’ A la page 18 on trouve la question suivante: ‘Sunt duae turres AB, CD quorum altitudo utriusque cognoscitur AB valere a vel 60 pedes, CD autem b vel 52 pedes. Quaeritur locus E, ê quo si ponantur scalae pertingant ad summitatem utriusque turris B et D. Cum distantia earundem turrium AC sit c vel 64 pedes.’ La distance AE du point cherché, au pied de la première tour, est égalée à x et on trouve ; après quoi Huygens a ajouté: ‘sit bb + cc - aa ∞ qq³⁾; . Compositio. Inveniatur linea Q cujus quadratum aequetur □ AC + □ DC.

1) C'est le N^o. 12 du ‘Codex Hugeniorum’ de la bibliothèque de l'université de Leiden. Sur le couvercle on lit en lettres majuscules: ALGEBRA. La première et la dernière partie, pp. 1-130 et pp. 282-348, de ce manuscrit sont de l'écriture de van Schooten, à l'exception de quelques rares annotations de la main de Christiaan Huygens. La partie intermédiaire, aux pp. 145-281, est au contraire presque entièrement de la main de Huygens et contient des travaux de 1650-1653 sur lesquels nous reviendrons.

2) Voir, sur Frans van Schooten, Jr., la note 2 de la pièce N^o. 4 (p. 4 du T. I).

3) Huygens, pendant toute sa vie, a employé le signe ∞ pour indiquer l'égalité. Si, avec quelques autres altérations de la même portée, ce signe a été remplacé quelquefois dans les ‘Appendices’ de la Correspondance par le signe =, c'était dans le seul but de faciliter la lecture au mathématicien moderne.

[p. 8]

Demonstratio. quoniam proport.^les sunt dupla AC,’ sans achever ni la ‘Compositio’ ni la ‘Demonstratio.’

C'est la seule annotation⁴⁾ de sa main que l'on trouve dans cette partie du manuscrit, et encore est-elle, d'après l'écriture, d'une date bien postérieure à la composition du manuscrit.

§ 2. Viennent ensuite, aux pages 24-58, les 37 premières questions du premier livre de l'ouvrage bien connu de Diophante⁵⁾, accompagnées de solutions algébriques sous une forme presque moderne. Les 22 premières mènent, comme celles des pages précédentes 1-23, à des équations du premier degré à une inconnue.⁶⁾ Trois inconnues sont introduites dans les solutions des questions 23 et 24. Ensuite dans les questions 25-28 le nombre des inconnues excède celui des équations, ce qui fait remarquer par van Schooten: ‘quaestionem non esse omnino determinatam, sed infinitas habere solutiones, atque idcirco unam ex illis radicibus’ [ce sont les trois inconnues x, y, z] ‘ad libitum esse sumendam, ut hic z,’ etc. Ajoutons que, à propos de la ‘Quaestio XXVI’, Huygens a annoté ‘Diophantus habet 150, 92, 120, 114’, ce qui en effet ne s'accorde pas avec la solution indéterminée donnée par van Schooten, lequel avait pris l'énoncé du problème dans un sens qui n'était pas dans l'intention de Diophante.

Enfin, après la 29^ième question qui conduit à l'équation 25 xx ∞ 200 x, la ‘Quaestio XXX’ donne lieu à l'équation quadratique complète xx ∞ 20 x-96, dont les racines sont calculées d'après l'algorithme suivant:

Ici les chiffres sont de van Schooten; mais dans les lettres a et b on reconnaît la main de Christiaan, qui les a ajoutées en guise d'explication (Comparez la pièce N^o. II), ainsi que cela arrive encore à quelques autres endroits du manuscrit, comme aussi dans la 31^iême question.

Vient ensuite la ‘Quaestio XXXII’ dont la solution, qui d'ailleurs ne présente aucune difficulté, puisqu'elle conduit facilement à une équation du premier degré, est écrite de la main de Huygens,

4) Il est vrai que des annotations comme celle-ci et comme plusieurs de celles qui vont suivre, n'ont pas beaucoup d'intérêt en elles-mêmes, mais il nous semblait utile d'entrer en quelques endroits un peu plus dans les détails du manuscrit de van Schooten, pour montrer plus clairement la portée de l'instruction donnée par lui à son jeune élève, et il est naturel de choisir pour cela de préférence les endroits où Huygens a ajouté des remarques et qui en conséquence, pour quelle raison que ce soit, ont attiré plus spécialement son attention.

5) Ouvrage cité dans la note 3 de la Lettre N^o. 651 (p. 459 du T. II).

6) Il est difficile de croire que Huygens ait eu besoin de tant d'exemples pour apprendre à former et à résoudre une équation du premier degré à une inconnue. Mais peut-être le manuscrit devait-il, au moins à son début, servir encore à d'autres élèves.

[p. 9]

tandis que, au contraire, dans les questions 33-37, l'énoncé est de la main de Huygens et la solution de celle de van Schooten.

§ 3. Les pages 59-74 débutent par la solution de la question ‘Propositum quadratum dividere in duos quadratos,’ la huitième du Livre II de l'ouvrage mentionné de Diophante. Pour y parvenir, on pose xx et pour les deux carrés dont la somme doit égaler bb, à propos de quoi Huygens remarque: ‘Idem aliter fieri poterat ponendo pro uno numero bb - 2bx + xx, pro altero ccxx et repertum fuisset in fine aequationis .’ Après, viennent les solutions des problèmes 10, 11, 12 et 13 du même livre II de Diophante, augmentées de celles des quatre suivantes: 1. ‘Duos numeros quadratos invenire, quorum summa sit numerus quadratus;’ 2. ‘Duos numeros invenire quorum tam summa quam excessus sit numerus quadratus’; 3. ‘Datis duobus cubis, invenire duos alios cubos, quorum differentia aequet summam datorum; 4. ‘Datis duobis cubis invenire duos alios cubos, quorum differentia aequet differentiam datorum.’⁷⁾ Ensuite les pages 69-73, dont les deux premières ont été empruntées au Livre III des

7) Ajoutons que, à la page 145, on trouve encore un antre problème du même genre écrit entièrement, avec la solution, de la main de Huygens. Le voici:
‘Invenire duos quadratos numeros quorum summae duplum sit quadratus.’



Suivent encore deux applications numériques pour les cas b = 4, c = 3, et b = 3, c = 2. Remarquons d'ailleurs que la ‘determinatio’ n'est pas correcte; témoin la solution b = 6, c = 24, conduisant aux carrés 49 et 1. Il est vrai toutefois que toutes les solutions peuvent être obtenues par la supposition b > c, comme on retrouve p.e. celle que nous venons d'indiquer, en posant b = 6, c = 2x - 24 = 4.

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‘Zeteticorum’ de Viète⁸⁾ (Zet. 7 et 8), traitent la construction d'un triangle à côtés et à aire rationaux; enfin la page 74 est de nouveau occupée par un problème menant à une équation ordinaire du premier degré.

§ 4. Les pages 75-102 contiennent, avec les règles pour la sommation, la multiplication, etc. des nombres irrationaux, celles pour trouver la racine quadratique ou cubique d'un binôme comme 7 + √48 ou 10 + √108 dans le cas où cette racine peut être réduite à la forme même d'un tel binôme⁹⁾. Elles se terminent par quelques problèmes qui mènent à des expressions irrationnelles, comme par exemple celui de trouver le côté d'un octogone régulier quand le rayon du cercle circonscrit a été donné.

§ 5. Aux pages 103-130 qui constituent dans leur ensemble un petit traité sur les équations algébriques supérieures au second degré, on retrouve presque textuellement le Livre III de la Géométrie de Descartes à commençer par le paragraphe: ‘De la nature des Equations’ et à finir par celui qui est intitulé: ‘Que tous les problesmes solides se peuuent reduire à ces deux constructions’ (pp. 444-473 du T. VI de l'édition d'Adam et Tannery)¹⁰⁾; seulement, van Schooten a ajouté à ce dernier paragraphe encore cinq nouveaux exemples, plus

8) Voir la page 58 de l'ouvrage cité dans la note 31 de la pièce N^o. 5 (p. 10 du T. I).

9) On rencontre la même règle pour l'extraction de la racine cubique d'un binôme dans l'‘Addimentum’, ajouté par van Schooten à ses ‘In Geometram Renati Des Cartes Commentarii’, p. 223 de l'édition de 1649 de l'ouvrage cité dans la note 1 de la Lettre N^o. 150, p. 218 du T. I.

10) Pour compléter ce qui regarde Huygens, nous avons à mentionner encore que dans toute la partie correspondante aux pages citées de la ‘Géométrie’, on ne trouve dans le manuscrit qu'une seule annotation de la main de Huygens, et qu'elle se rapporte au passage qui traite de ‘L'invention de deux moyennes proportionelles’, problème qui a beaucoup intéressé Huygens comme on le verra dans la suite. Voici cette annotation: ‘Demonstrandum est FL esse √Ȼaaq.’ (Voir la figure de Descartes, p. 469 de l'édition citée) ‘Sit FL ∞ e ductaque sit



































’

[p. 11]

simples que ceux qui sont traités par Descartes. Voici les deux premiers: ‘Datam



rectam lineam AB secare in extremâ ac mediâ ratione duplicata, hoc est ut AB sit ad AC ut AC ad CD, et ita CD ad DB.’

‘In triangulo rectangulo ABC, demissa ex angulo recto B perpendiculari BD in lat. oppositum AC, detur segmentum AD ∞ a, et area trianguli DBC ∞ bb. Invenire triangulum.

Partout dans ces exemples l'analyse algébrique est suivie de la construction au moyen de la parabole et du cercle. Dans le cinquième: ‘E serie quatuor continue proportionalium, datâ primâ majore a, et differentiâ secundae et quartae b, invenire secundam et tertiam,’ la solution est de la main de Huygens. Elle est comme il suit:

‘Sit secunda x et fiat, ut prima (a) ad secundam (x) ita secunda (x) ad tertiam (xx/a); ut secunda (x) ad tertiam (xx/a) ita tertia (xx/a) ad quartam (x³/aa).

Ergo x - x³/aa ∞ b.

aax - x³ ∞ aab.

x³ ∞ aax - aab.

assumpta a pro unitate fiet. . ‘Determinatio: b non potest major dari quam ¹¹⁾ alias enim a non potest esse major, quatuor proportionalium.’

De plus, à la dernière des pages 125-130, qui traitent la règle de Cardan, on trouve à côté des mots ‘Denique, si habeatur x³ ∞ + px - q,’ etc. un signe de renvoi qui conduit à la note suivante de Huygens:

‘Cum habetur x³ ∞ px - q ad inveniendam radicem scribatur y³ ∞ py+q. Ex qua aequatione inventâ radice y per regulam Cardani, cognoscetur quoque x namque erit .

Cujus regulae ortus ut intelligatur sciendum est, cum utrique aequationis parti x³ ∞ px-q, additur y³ tum alteram quidem dividi posse per x+y, fierique xx - xy + yy; altera vero px + y³ - q per eandem x + y divideretur si foret py∞y³-q; essetque quotiens p. nam px+py esset hoc casu altera aequationis pars,

11) En réalité, les deux racines positives, situées pour entre b et a, deviennent imaginaires pour ; donc la conclusion de Huygens est exacte; mais la raison qu'il en donne ne l'est pas, à la rigueur. D'ailleurs la solution du premier problème de la pièce N^o. VIII nous montrera de quelle manière Huygens a pu obtenir cette valeur limite Il semble donc probable que la ‘determinatio’ a été ajoutée plus tard, c'est-à-dire après la composition de la pièce N^o. VIII, et l'inspection du manuscrit ne fait que confirmer cette conjecture.

[p. 12]

quam quidem sic dividi constat per x + y. Adaequando igitur py ∞ y³ - q. fit y³ ∞ py + q cujus aequationis radix y inveniri potest per Cardani regulam. Et quum ex divisione utriusque partis aequationis supradictae per x + y, oriatur xx - xy + yy ∞ p. Erit xx ∞ xy - yy + p. Et .’

‘Et hac quodem ratione in Arithmeticis quaestionibus radicem invenire licet, melius quam Geometrica descriptione. nam per hanc quomodo investigabitur Radicem x³ ∞ 7 x - 6 esse 2 vel 1, quod per jam explicatam methodum invenitur ponendo y³ ∞ 7x + 6¹²⁾. fitque y ∞ 3.’¹³⁾

Enfin au pied de la même page 130 on lit de la main de Huygens: ‘Finis prioris partis scriptorum Schotenij;’ après quoi Huygens fait suivre à la page 131: ‘De his vide appendicem cubicarum aequationuni quam Fr. Schotenius adjunxit libello de Organica Conicorum Sectionum descriptione.’¹⁴⁾

§ 6. Arrivé à la fin de la première partie du manuscrit de van Schooten, nous devons remarquer que dans la seconde partie, qui occupe les pages 282-348, plusieurs des pièces qui la constituent doivent être lues dans l'ordre inverse de la pagination¹⁵⁾, c'est-à-dire en commençant p.e. par la page de droite. Et cet ordre inverse est sans doute, en substance, l'ordre chronologique.

Nous commençons donc par les dernières pages 312-348 où l'on trouve les solutions de 25 problèmes divers, arithmétiques et géométriques, qui, à part quelques exceptions peu importantes, dépendent de la résolution d'équations quadratiques. Dans tous les problèmes géométriques¹⁶⁾ l'analyse algébrique est accompagnée de la construction qui en résulte. Voici quelques-uns de ces problèmes:

2.¹⁷⁾ ‘Rhombo dato ABCD, ductaque diagonali BD. Ex puncto A rectam

12) Lisez 7y + 6.

13) Puisque le manuscrit donne la formule de Cardan pour les deux cas: x³ ∞ px+q et x³ ∞ px - q, il n'est pas clair à quoi doit servir cette réduction, d'ailleurs assez ingénieuse, de l'un des cas à l'autre. Ajoutons que, d'après l'écriture, l'annotation doit être postérieure de quelques années à la composition du manuscrit.

14) Voir l'ouvrage cité dans la note 2 de la Lettre N^o. 30, p. 65 du T. I, où surtout le cas irréductible est traité plus amplement et en utilisant l'‘Invention nouvelle en l'algèbre’ d'Albert Girard, ouvrage publié en 1629, Amsterdam, G.J. Blaeuw, et réimprimé par Dr. D. Bierens de Haan, Leiden, 1884, Muré frères.

15) Cette pagination, continuée par tout le manuscrit, a été ajoutée par nous.

16) On rencontre quelques-uns de ces problèmes, parfois légèrement modifiés, dans l'ouvrage de van Schooten de 1657, cité dans la note 3 de la Lettre N^os. 128, p. 184 du T. I. (Voir au premier Livre des ‘Exercitationes mathematicae’ les N^os. 37, 41, 45 49, 50 des ‘Propositiones geometricae’, qui correspondent aux N^o. 22, 2, 12, 24 et 25 du manuscrit). Dans l'ouvrage imprimé les analyses algébriques ont d'ailleurs été supprimées.

17) La numération est de nous.

[p. 13]

lineam ducere AEFG, ita ut pars EF intercepta inter diag. BD et latus DC habeat ad totam rationam datam’. G se trouve sur le côté BC prolongé.

12. ‘Datum trapezium’ [ici un quadrilatère quelconque] ‘ABCD ita secare lineis EF, FG, GH et EH lateribus undique parallelis et ab iisdem aequali intervallo distantibusque; ita ut pars abcissa aequalis sit dato spatio.’

13. ‘Data base trianguli AC, angulo verticis D, et aggregato laterum circa angulum verticis, invenire triangulum.’

24. ‘Dato parallelogrammo ABCD et producto latere BC indefinite versus G,



ex puncto E sumpto in AD producto rectam lineam ducere EFG, quae faciat triangulum FBG aequale parallelogrammo ABCD.’ À ce dernier problème Huygens a annoté en tête: ‘Pappus Lib. 7. propos. 164’.¹⁸⁾ Plus bas, où van Schooten, après avoir obtenu la solution sous la forme , ajoute la remarque ‘Maior radix



in hac quaestione inutilis est’, Huygens évidemment n'accepte pas cette assertion et la réfute par la figure que voici, tracée de sa main. Enfin on trouve de la main de Huygens sur la page suivante l'annotation qui suit et qui constitue une analyse algébrique, fondée sur l'équation quadratique , à laquelle van Schooten a réduit le problème; analyse, qui aurait pu conduire facilement à une construction simple, que Huygens toutefois n'a pas pris la peine d'indiquer expressément:

¹⁹⁾

18) Voir, en effet, la page 263 de l'ouvrage cité dans la Lettre N^o. 538, note 3 (p. 259 du T. II).

19) Lisez: .

[p. 14]

Cette annotation est datée au 20 aoust 1653. Vient ensuite le problème 25, que



voiçi, écrit comme les autres de la main de van Schooten: ‘Dato triangulo ABC, et extra ipsum puncto D. Ex D rectam lineam ducere, quae bifarium secet triangulum.’

De ce problème van Schooten donne deux solutions différentes, dont nous reproduisons la plus fimple et la plus élégante puisque Huygens y a ajouté, en décembre 1651, la ‘demonstratio’, que l'on trouvera à la fin.

‘AB ∞ a, AC ∞ b, BC ∞ c, CI ∞ d, ID ∞ e, GC ∞ x. Ergo GI erit x+d.

Iam propter triangula similia GHC, GDI, fiat ut GI (x+d) ad ID (e) ita GC (x) ad . Rectang. sub AC, BC. bc, fit ergo rectang. sub GC, CH.

½bcx + ½ bcd ∞ exx

xx ∞ bc/2e x + bc/2e d.

Resoluatur fractio bc/2e in proportionem, dicendo ut 2 ID (2e) ad AC (b) ita BC (c) ad bc/2e, quod vocetur f, hoc est fiat ut 2 ID ad AC, sive ut semissis huius ad semissem illius id est ut ID vel CK ad ½ AC vel CL, ita BC ad quartam CM ∞ f.

xx ∞ fx+fd; .

Demonstratio. die ult.à 1651. Semidiametro OM vel OC describatur circulus PMQC, et producatur NO ad circumf. Est igitur ▭ PNQ hoc est ▭ CGM aequale qu. CN tangentis, hoc est ▭^o MCI; ergo erit GM ad MC ut CI ad

[p. 15]

CG, per 16. 6.²⁰⁾ et componendo GC ad MC ut GI ad GC, hoc est ut DI vel KC ad HC. ergo ▭ sub GC, HC aequale ▭^o sub MC, KC. sed hoc aequale est ▭ BC, LC, quoniam ex constr. est: BC ad MC ut KC ad LC. ergo quoque ▭ sub GC, HC aeq. ▭ sub BC, LC, quare per 15.6 erit et triang. GCH aequ. triang^o. BCL sive dimidio triangulo ABC; quod erat dem.’

Ajoutons que la dernière page 349 contient une table des ‘Numeri Graecorum’, écrite par Huygens, dont voici les dernières lignes:

§ 7. Aux pp. 306-311 on rencontre six problèmes, qui mènent à des lieux géométriques. En voici le premier: A datis duobus punctis A et B, inflectere duas



rectas lineas AC, CB ita ut quae ab iis fiunt quadrata²¹⁾ habeant ad triangulum ACB datam rationem. Ratio data sit ut DE quater sumpta ad DB.’ Posant AD ∞ DB ∞ a, DE ∞ b, DF ∞ x, CF ∞ y, la relation yy ∞ 2by - aa - xx est obtenue, à quoi Huygens fait suivre: ‘et .’ Vient ensuite la ‘Constructio’, c'est-à-dire la description du cercle, lieu du point C, ayant E pour centre et dont le rayon égale . Ici Huygens ajoute: ‘posito enim pro x DF ad lubitum, erit etiam EH ∞ x; quare H²²⁾ erit , et tota , vel . Haec autem determinatio est, quod b debet major dari quam a.’

En tête du second, du cinquième et du sixième des problèmes mentionnés Huygens a écrit: ‘Ex Pappo’. On les retrouve en effet dans le septième Livre de l'ouvrage de Pappus mentionné dans la note 18, là où Pappus, aux pages 162 et 163, donne l'aperçu bien connu des ‘lieux plans’ d'Apollonius.²³⁾ De plus, à propos

20) C'est-à-dire la 16^e proposition du Livre 6 des ‘Elementa Geometrica’ d'Euclide.

21) C'est-à-dire: la somme de ces carrés.

22) Lisez: CH.

23) On y retrouve également le premier, le troisième et le quatrième problème. Ainsi tous les six problèmes qui devaient servir ici comme introduction à la méthode de la géométrie analytique que Descartes venait de créer, ont été empruntés à l'aperçu mentionné. Comme on le sait, van Schooten a tâché de restituer ces ‘lieux plans’ d'Apollonius au Livre III de l'ouvrage cité dans la note 16. On y rencontre les problèmes en question aux pages 286 (XV problema), 273 (X probl.), 231 (V probl.), 224 (II probl.), et 290 (XVII probl.), où ils sont traités d'ailleurs d'après la méthode des anciens.

[p. 16]

du cinquième problème: ‘A datis duobus punctis A et B inflectere rectas duas lineas AD, DB in ratione data AC ad CB’, Huygens remarque: ‘Si oporteat quadrata linearum AD, DB esse in data ratione, rursus locus puncti D erit circumferentia circuli, nam ubicunque sumatur in eê punctum D, habebunt quadrata AD, DB inter se eandem rationem, nimirum duplicatam rationis datae AC ad CB’²⁴⁾.

§ 8. Les pp. 300-305 contiennent la discussion, élucidée par des exemples, des cas où les questions géométriques amènent des équations algébriques soit identiques, soit fausses, soit insuffisantes en nombre. On y trouve, pp. 300-301, avec la suscription ‘Locus ad superficiem’, deux problèmes qui ont dû servir sans doute à expliquer le passage de la ‘Géométrie’ de Descartes, où on lit, (p. 407 du Tome VI de l'édition d'Adam et Tannery): ‘Et s'il manque deux conditions à la détermination de ce point, le lieu où il se trouve est une superficie, laquelle peut estre tout de mesme ou plate ou spherique ou plus composée.’

Le premier de ces problèmes: ‘Dato triangulo aequilatero ABC in eoque ducta perpendiculari BD: oportet invenire punctum E intra triangulum, à quo si ducantur tres perpendiculares EF, EG et EH in singula latera, ut summa ipsarum aequetur perpendiculari BD.’ a été reproduit par van Schooten dans ses Commentaires sur la ‘Geometria’, (voir la note 9) p. 201 de l'édition de 1649; l'autre: ‘Dato circulo circa A centrum, invenire punctum B extra centrum, per quod si ducantur duae rectae lineae CD, EF normaliter invicem secantes in B, quadrata segmentorum CB, BD, EB et BF simul sumpta quadrato diametri sint aequalia,’ lequel, de même, conduit à une équation identique, y a été remplacé par un exemple imaginé par le jeune Huygens. On le trouvera au § 3 de la pièce N^o. III.

§ 9. Les pages 296-299 se retrouvent, sous une forme plus achevée et un peu modifiée, aux pages 207-212 de l'édition seconde (de 1659) de la ‘Geometria’ par van Schooten, sous le titre: ‘De locis solidis sive conicarum sectionum proprietatibus.’ On y trouve la déduction des équations de la parabole, de l'hyperbole et de l'ellipse (et encore dans le manuscrit celle du cercle anti-parallèle), considérées comme sections du cône scalène à base circulaire.

24) Cette remarque semble bien superflue. Elle s'explique probablement par le fait que Pappus aussi a traité les deux problèmes, ceux du rapport constant de AD à DB et de AD² à DB², comme des problèmes distincts, parce qu'il les a formulés en deux endroits différents de l'aperçu mentionné.

[p. 17]

Dans le cas de la parabole van Schooten, après avoir obtenu l'équation sous la forme: My ∞ xx, ajoute: ‘Quod demonstrat, si fiat ut rectangulum sub AB, BC ad quad. AC ita EB ad quartam M, quae latus rectum vocetur. Porro manifestum



hinc est, lineam M multiplicatam per EI facere semper productum aequale quadrato ordinatae FI. Quae est 11 prop. 1 libri Apollonii Conicorum.’²⁵⁾

A propos de quoi Huygens ajoute à la date du 1 Sept. 1653. ‘Demonstratio. Ratio BE ad M est eadem quae rectanguli AB, BC ad quad. AC hoc est, eadem compositae ex ratione BC ad CA, et BA ad CA. Est autem ut BC ad CA ita EI ad IK, et ut BA ad CA ita BE ad IL; ergo ratio BE ad M componitur ex ratione EI ad IK, et BE ad IL sed ratio BE ad M itidem componitur ex ratione BE ad IL et IL ad M, ergo ratio composita ex ratione EI ad IK et BE ad IL eadem est compositae ex BE ad IL et IL ad M. quare sublata communi proportione quae est BE ad IL, erit eadem ratio EI ad IK quae IL ad M. ideoque rectangulum sub IK, IL h.e. quadratum IF aequale ▭^o EI, M.’

§ 10. Les pages 288-295 contiennent, sous le titre ‘De inveniendis tangentibus linearum curvarum modo Domⁿⁱ Descartes’, l'application de la méthode, exposée par Descartes au second livre de sa ‘Géométrie’ (voir les pp. 413-424 du T. VI de l'édition d'Adam et Tannery), à la parabole, l'ellipse, l'hyperbole, la conchoïde et à l'ovale de Descartes. Les applications à l'ellipse et à l'ovale de Descartes se retrouvent dans la ‘Géométrie’ au lieu cité; celles à la parabole, l'hyperbole et la conchoïde dans les Commentaires de van Schooten, pp. 216-222 de l'édition de 1649 de la ‘Geometria’. Dans le manuscrit, l'application à l'hyperbole est de l'écriture de Huygens, mais elle correspond exactement à celle à l'ellipse, qui est de la main de van Schooten et qui elle-même ne diffère pas sensiblement de celle qu'on trouve dans la ‘Géométrie’ de Descartes²⁶⁾. Pour cette raison nous croyons pouvoir la passer.

Une autre annotation de Huygens se rapporte à la construction, donnée par

25) L'ouvrage cité dans la note 4 de la pièce N^o. 5 (p. 6 du T. I).

26) Seulement van Schooten y a ajouté la déduction, au moyen d'un théorème d'Apollonîus, cité par Descartes, de l'équation xx ∞ ry - r/q yy de l'ellipse. On la retrouve pp. 213-214 des Commentaires, éd. 1649.

[p. 18]

Descartes sans démonstration, de la normale à la conchoïde²⁷⁾ (voir les p. 423-424 de l'éd. citée de la ‘Géométrie’).

Par l'analyse, qui a été reproduite dans les ‘Commentarii’ p. 219-222 de l'édition de 1649, van Schooten arrive à la formule ∞ v, où v = AP; b = GA; c = LC; y = BC. Il s'agit donc de démontrer que, par la construction qui suit et qui est celle de Descartes, on a en effet .

‘Constructio.’²⁸⁾

‘Sumatur CD aequalis CB, ducaturque DF parallela cum AP et aequalis ipsi GL, ducaturque FC, hanc dico secare conchoidem in C ad angulos rectos.’

Demonsratio. Propter triangula similia si fiat ut BC ∞ y ad AG ∞ b, ita LC ∞ c ad LG ∞ bc/y, eaque nominetur g, et erit gc/y. idem ac bcc/yy. ad resolutionem autem hujus fractionis, fiat ut y vel CD ad g vel DF, ita c vel CL ad gc/y vel bcc/yy, lineam LH sive GI eaque nominetur h: eritque bbcc/yyy idem ac hb/y, ad resolutionem autem hujus fractionis, fiat ut y vel BC ad b vel AG sive (quod idem est propter triangula similia BCL et AGL) ut CL ad LG vel ipsi aequalem HI, ita h vel LH ad bh/y vel bbcc/yyy lineam IP, propter ∆^la similia CLH et HIP.’

‘Sumatur igitur CD aequalis ipsi CB, ductaque DF aequali GL et parallela

27) Nous aurons à revenir sur cette construction à propos de la simplification que Huygens y a apportée plus tard; simplification qui se fonde sur la remarque que la droite qui joindrait les points H et G de la figure serait perpendiculaire sur GC. On la trouve mentionnée dans l'édition de 1659 de la ‘Geometria’ par van Schooten, à la page 253.

28) La ‘Constructio’ et la ‘Demonstratio’ qui suivent, sont de la main de Huygens. On retrouve la ‘Demonstratio’ sous une autre rédaction dans l'ouvrage cité dans la note précédente, aux pages 252 et 253; comme aussi aux pages 222 et 223 de l'édition de 1649.

[p. 19]

cum AP, tum FC quaesitâ et constat fieri PI ∞ bbcc/y³ GI ∞ bcc/yy et AG ∞ b, et AP vel v ∞²⁹⁾ bcc/yy + bbcc/y³ quod erat demonstrandum.’

§ 11. Aux pages 284-287, sous le titre: ‘De Maximis et Minimis sive Ratio inveniendi casum determinationis in Problemate determinato juxta Methodum Domⁿⁱ de Fermat,’ la méthode de Fermat, publiée en 1644, dans le sixième volume de l'ouvrage de Hérigone cité dans la note 4 de la lettre N^o. 139 (p. 203 du T. I), est appliquée à quatre problèmes, dont deux: ‘Invenire maximum rectangulum contentum sub duobus segmentis datae rectae lineae’; ‘Invenire maximum rectangulum contentum sub media et differentia extremarum trium proportionalium’ se retrouvent chez Hérigone, p. 59 et p. 60 de l'ouvrage cité. Voici les autres: ‘Datis positione duabus rectis lineis annuentibus AB, CB et puncto D intra angulum ab iis comprehensum. Oportet per D rectam lineam ducere ADC, quae faciat triangulum ACB minimum omnium sic factorum’; ‘Data parabola CE



et puncto in eius axe P. Oportet ex P rectam lineam ducere PC quae sit minima omnium quae ex puncto P ad parabolam duci possunt.’ Pour résoudre ce dernier problème, van Schooten, après avoir posé AH (latus rectum) ∞ r, AP ∞ a, AM ∞ x, trouve facilement □ PC ∞ aa-2ax+rx+xx. Puis il refait le même calcul pour la valeur AM ∞ x + y, trouvant ┚ PC ∞ aa - 2ax + rx + xx-2ay +ry + 2xy+ yy. Égalant ces deux valeurs de ┚ PC et divisant par y, il obtient l'équation - 2a + r + 2x + y ∞ 0, et, enfin, posant y ∞ 0, la solution donne x ∞ a - ½ r³⁰⁾, après quoi Huygens a ajouté plus tard: ‘Ad hunc modum in Conchoide quoque et reliquis lineis curvis tangentes ad data puncta duci possunt. nam si datâ AP invenire possum AM et MC, etiam harum unâ datâ noscitur AP, ex eadem aequatione.’

§ 12. Enfin les pages 282 et 283 contiennent, sous le titre: ‘De Inveniendis

29) Intercalez: ‘b +’

30) C'est la méthode même de Fermat publiée par Hérigone, seulement l'e de Hérigone est remplacé par y. Comparez la pièce N^o. VIII de Huygens où la même notation se retrouve. L'explication manque ici comme chez Hérigone. Huygens y a pourvu plus tard dans l'ouvrage ‘Demonstratio regulae de maximis et minimis’, cité dans la note 1 de la Lettre N^o. 2435 (p. 95 du T. IX).

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tangentibus Linearum curvarum secundum methodum Domⁿⁱ Fermat,’ l'application de cette méthode à la parabole et à l'ellipse, tout comme chez Hérigone, p.65-68 de l'ouvrage cité dans le paragraphe précédent; mais avec d'autres notations.



Voici, pour faire comprendre l'annotation de Huygens qui va suivre, la solution pour la parabole telle qu'on la trouve dans le manuscrit: ‘Data parabola CE in dato puncto C invenire tangentem parabolam.’

‘Sit illa tangens CF. Et esto MA ∞ a, MF ∞ x. Per 20 prop. lib. 1^mi Conicorum Apollonii. Quadratum CM ad quadratum IH eam habet rationem quam MA ad HA. Habet autem quad. CM ad quad. IH majorem rationem quam ad quad. GH per 8. 5.³¹⁾ Ut autem □ CM ad □ GH ita est □ FM ad □ HF. Itaque habebit MA ad HA maiorem proportionem quam □ MF ad □ HF.’

³²

A quoi Huygens a fait suivre plus tard mais à une date inconnue: ‘Schotenius inventionem hujus regulae non percepit, quae est hujusmodi.³³⁾ Recta CF supponenda est secare parabolam in G, indeque ductam perpendicularem GH. datis jam MA ∞ a, et MH ∞ y, oportet invenire quanta sit MF ∞ x. Invenitur xx ∞ 2ax - ay. β, quadrata aequatio quum MH ∞ y certam lineam denotat. verum si MH non sit major nihilo, impune deletur - ay fitque xx ∞ 2ax et x ∞ 2a.’

31) C'est-à-dire la Prop. 8 du Livre 5 des ‘Elementa’ d'Euclide.

32 C'est un signe de renvoi ajouté par Huygens. On le retrouve dans l'annotation qui va suivre.

33) Huygens a expliqué cette règle plus amplement dans l'ouvrage ‘Regula ad inveniendas Tangentes curvarum’, cité dans la note 1 de la Lettre N^o. 2435 (p. 95 du T. IX).