Oeuvres complètes. Tome X. Correspondance 1691-1695

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N^o 2830.
Le marquis de l'Hospital à Christiaan Huygens.
21 octobre 1693.

La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens.
Elle a été publiée par P.J. Uylenbroek¹⁾.
Elle est la réponse au No. 2828.
Chr. Huygens y répondit par le No. 2833.

A Ouques ce 21^e Octobre [1693].

Je vous rends graces, Monsieur, de ce que vous m'avez fait appercevoir que mes deux courbes etoient de mesme espece. Ce qui m'avoit trompé etoit que les formules qui les donnent sont fort differentes, et que dans le cas d'egalité la premiere donne un cercle et la seconde une ligne droite. J'en vois à present la raison qui consiste en ce que l'egalité zz-2px/y z=pp-qq a deux racines telles que l'une estant substituée dans la 1^ere formule et l'autre dans la 2.^e elles donnent les mesmes valeurs pour y. Le chemin ANMP de la courbe lors que p est moindre que



q est singulier et je n'en scais pas la raison c'est pourquoi vous me ferez plaisir de me l'apprendre. Jl me paroist que la description mechanique de mr Bernouilli ne peut servir que pour la portion AN²⁾. J'atends avec impatience que vous fassiez part au public de vos nouveaux horloges qui ne craignent point l'agitation de la mer et de la courbe qui sert à en regler le mouvement, et comme vous nous avez donné dans vos pendules une mesure tres exacte du temps pour les gens de terre, il ne restoit plus qu'a en faire de mesme pour les marins, ce qui sera d'un usage merveilleux pour les longitudes.

1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 299.

2) C'est une erreur. La méthode de Bernoulli, sur laquelle on peut consulter la note 20 de la Lettre N^o. 2819, peut servir aussi bien pour la portion NMP; seulement, on doit renverser l'équerre HDB de sorte que le bras DB soit dirigé vers A et partir du point de rebroussement M, ce qui est nécessaire de même pour la partie de la courbe qui s'étend du point de rebroussement jusqu'au point où la tangente est perpendiculaire à l'axe. Et il est clair que Huygens s'en est aperçu plus tard, puisqu'on rencontre à la page 66 du Livre J une figure où l'équerre est dessinée dans les deux situations dans la position même où le renversement doit s'accomplir.

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Le nom de l'autheur de la logistique ou de la science generale des lignes courbes³⁾ ne vous est pas inconnu, car c'est Mr. l'abbé Catelan. Son livre est rempli de tant de paralogismes et de fautes grossieres qu'il a esté obligé enfin de le supprimer, quoi qu'il l'eust corrigé auparavant par trois differentes fois. Son procedé à mon egard a esté fort irregulier, il savoit qu'il y avoit plus de deux ans que j'avois travaillé sur ces matieres et que j'avois mesme communiqué mes ecrits a quelques uns de mes amis qui etoient aussi des siens et qui lui en avoient montré quelque chose: cependant sans en rien dire a personne, il s'avisa de faire imprimer à la chose: cependant sans en rien dire a personne, il s'avisa de faire imprimer à la haste ce beau livre apparemment afin de me prevenir, et c'est ce qui m'a donné occasion d'en remarquer quelques unes des fautes les plus apparentes sous le nom de Mr. G***.

Mr. de Lagny m'a fait present de son livre⁴⁾, c'est un homme assez habile dans les mathematiques. L'invention qu'il contient me paroist peu de chose, car ce n'est qu'une expression aprochée de la racine des cubes imparfaits; or comme vous savez Monsieur on peut exprimer ces racines par des suites dont la somme de quelques uns des termes donne ces sortes d'expressions. Il est vrai que le chemin qu'il a suivi est different, mais il n'en est pas pour cela meilleur.

J'ai trouvé un chemin fort court pour arriver à la construction des caustiques par refraction de laquelle mr. Bernouilli fait un si grand mystere⁵⁾.

Soit une courbe quelconque DHM et un point rayonnant A d'ou partent les rayons d'incidence AH, Ah infiniment proches l'un de l'autre: on demande le point de concours I des rayons rompus HI, hI, le rayon HB de la developpée etant donné.

Ayant mené les perpendiculaires BC, Bc et BE, Be tant sur les rayons d'incidence AH, Ah que sur les rompus HI, hI, et decrit des centres A, I, et des rayons AH, IH, les petits arcs de cercle HK, HL (que l'on considere comme de petites droites perpendiculaires sur AH, hI) on nommera les données AH, y; HC, t; HE, s; et la raison de BC à BE, m/n; et le petit arc HK, dx.

3) Voir la note 15 de la Lettre N^o. 2813.

4) Voir la note 13 de la Lettre N^o. 2813.

5) Dans l'article cité dans la note 22 de la Lettre N^o. 2819, Jacques Bernoulli indique, sans démonstration, une construction point par point de la diacaustique d'une courbe quelconque, identique avec celle qui va suivre. Après en avoir montré plusieurs applications, il poursuit en ces termes: ‘Habet itaque Lector in hac & illa superioris anni lucubratiuncula in compendio fere, quicquid de Evolutis, Causticis & Dia-Causticis per mutuam ipsarum comparationem & relationem ad se invicem cognosci potest: cui si artificium (nobis Fratribus, ut credo, peculiare hactenus) adjungere voluissem, quo Centra circulorum osculantium seu Evolutae puncta ex natura Expositae [c'est-à-dire de la courbe donnée] unica & simplici proportione inveniri possunt, agnosceret puto, colophonem quodammodo huic materiae impositum esse, nihilque in ea jure amplius desiderari posse. Spero autem, & in his quae publicavi, nonnulla tam nova tamque singularia contineri, ut si fontem, unde manant, studiosius tegere voluissem, merito omnibus Geometris admirationi esse potuissent’.

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Cela posé on aura, acause des triangles semblables BHC et hHK, BHE et hHL, AHK et ARc, les proportions suivantes HC:HE∷HK:HL=sdx/t et AH∷ AC∷HK:Rc=ydx+tdx/y. Or par la proprieté connue de la refraction Bc:Be∷BC:BE, et partant Bc-BC, c'est-à-dire Rc:Be-BE, c'est-à-dire Ne∷BC:BE∷m:n. On trouvera donc Ne=nydx+ntdx/my, et acause des triangles semblables HLI, NeI; HL-Ne:HL∷HE:HI=mssy/msy-nty-ntt, d'ou l'on tire la construction qui est dans les actes. On peut remarquer que cette valeur de HI se reduit à sy/2y-s⁶⁾, dans les caustiques par reflexion, parce qu'alors m=n, et t=-s, le point C tombant de l'autre coté du point H par rapport au point E. Je suis à la campagne pour quelque temps, mais cela ne doit pas vous empescher de me faire l'honneur de m'écrire parce que j'ai donné ordre qu'on m'envoyast vos lettres. Je suis tres sincerement Monsieur vôtre treshumble et tres obeissant serviteur

Le M.^s de lHospital.

Hollande

A Monsieur Monsieur Christiaan Huygens, seigneur de Zeelhem in 't noordeinde naast de Crabre A la Haye.

6) La formule est correcte; mais on ne doit pas oublier que, pour faire arriver le rayon réfracté HI d'une manière continue dans la position qu'il occupe dans le cas de la réflexion, on a dû le faire tourner dans le sens des aiguilles d'une montre, en passant par la position de la tangente. Ainsi, dans la situation que les points A et H occupent dans la figure, on doit considérer s et HI sur le rayon réfléchi comme des grandeurs négatives. Remplaçant s par t et comptant HI comme positis dans la situation qu'il prend sur le rayon réfléchi dans le cas de la figure, on aura donc HI=ty:(2y+t).