Oeuvres complètes. Tome X. Correspondance 1691-1695

N^o 2769.
Christiaan Huygens.
[octobre 1692].
Appendice I¹⁾ au No. 2768.

La pièce se trouve à Leiden, coll. Huygens.

Ut EB²⁾ ad BT ita SB ad BK. Ergo EB seu PO in BK=BT seu BX³⁾ in

Fig. 1.

BS. Sed ut PO in BK cum sequentibus inter se ita sunt supersicies ex singulis BK circa asymptoton, ergo hae etiam ut ▭^la ex BX in BS.

1) Quadrature de la surface de révolution de la logarithmique tournant autour de son asymptote. Cet appendice a été emprunté à la page 106 du livre H des Adversaria.

2) Voir la figure 1, dans laquelle AB représente une logarithmique, dont la soustangente TP possède la valeur constante a, et VX une hyperbole équilatère, dont l'axe EV est égal à cette soustangente PT. De plus, on pose EB=b. Ajoutons que nous avons mis un accent à l'un des S de la figure et du texte pour éviter un double emploi.

3) Puisque BX²-BE²=EV²=TP²; donc BX²=BE²+TP²=BT².

[p. 331]

Nota supersiciem ex BK circa ET, toties sumptam quot sunt particulae divisionis in BE, aequari supersiciei ex BX circa TEZ, quia totidem sunt particulae ipsi BK aequales in BT, cui aequalis BX.

⁵⁾⁴⁾

Sed supersiciei istius cylindricae dimidia est conica superf. ex BT circa ET.

⁶⁾⁶⁾

Fig. 2.

Sp⁷⁾ logistica sive logarithmica asymptotos TM. BT tangens in B. BM perp. TB. BE perp. TM. BN=BE. TRH perp. TM. TR=TN. TH=TE. RS, HP parallelae TM. SK perp. HP.

Hic HT ad RT, hoc est P ρ ad S π ut in superiore figura EV seu VN ad XH⁸⁾ hoc est ut VS' ad XL, unde KP hic [fig. 2] est l; quae

5) Ici b√aa+bb représente le double du triangle EBX et al le double du secteur hyperbolique EVX; on a donc, par définition: al=2×EVX=2×VS'LX, c'est-à-dire: l:a=2×S'LX:a²=VSS'LX:▭ ES'VD.

4) Voici le raisonnement qui peut conduire à cette proportion: D'après la phrase précédente on sait que l'élément △ de la sursace cherchée, multiplié par BE/BS, égale la surface cylindrique Ξ décrite par BX autour de EV; on a donc BE:BS=Ξ:△, ou bien: 2×BE×BX:2×BS×BX=Ξ:△, ou encore: 2 ▭ BZ:2 ΣΒS×BX=Ξ:Σ△, ce qui constitue la proportion indiquée dans le texte.

6) Consultez, sur ces lignes BM et KP, la figure 2, où l'égalité de BM avec b√aa+bb/a se vérifie aisément, tandis que celle de KP avec l va être prouvée dans la suite.

6) Consultez, sur ces lignes BM et KP, la figure 2, où l'égalité de BM avec b√aa+bb/a se vérifie aisément, tandis que celle de KP avec l va être prouvée dans la suite.

7) Voir la figure 2.

8) Puisque XH=HZ-XZ=EZ-EB=BX-EB=BT-EB (dans les deux sigures)=TN (de la fig. 2)=RT.

[p. 332]

nempe ad subtangentem TE=a se habet ut portio hyperbolica VS'LX ad qu. ES'VD in fig. superiori⁹⁾.

Jam sicut BM [fig. 2] ad BM+KP, ita erit superficies conica ex TB circa TE conversa, ad superficiem infinitam ex BSV circa asymptoton¹⁰⁾.

9) Puisqu'on a en effet: KP=HP-RS=a 1 HT/RT (d'après la propriété principale de la logarithmique)=a 1 VS'LX (voir la fig. 1)=a×VS'LX/□ES'VD=a×l/a (d'après la note 5)=l.

10) On trouve donc, en langage moderne, que la surface de révolution cherchée égale
b√a²+b²=πb√a²+b²+πa²1b+√a²+b²/a; résultat correct, dépendant de l'intégration de ∫√a²+y² dy.
En outre il est clair qu'on peut construire maintenant le rayon




du cercle dont l'aire égale celle de la surface de révolution. Et de même on peut exécuter la même construction pour une portion finie de cette surface, comme Huygens l'annonce dans sa Lettre N^o. 2768 à de l'Hospital, en considérant cette portion comme constituant la différence entre deux surfaces qui s'étendent jusqu'à l'infini.