Oeuvres complètes. Tome IX. Correspondance 1685-1690

N^o 2478.
Christiaan Huygens à H. Coets.
27 août 1687.
Appendice au No. 2477¹⁾.

^a)

CEK Conchoides²⁾

AB Regula

G centrum

AG ℞ b

AC ℞ c

GF ℞ 8/27 c⁴/b³ hoc est ½ quintae proportionalis duarum 3b et 2c.

FK qu. ℞ AF qu. + AC qu. - AG qu.

KM parall. BA.

ut 3AG ad 2AC ita MA ad AN.

GE ℞ NC.

E punctum flexus contrarij.

1) La pièce se trouve inscrite dans le Livre F des Adversaria, page 285, à laquelle nous avons emprunté le dessin de la deuxième figure du N^o. 2477, celui de la minute de cette lettre étant embrouillé par des lignes superflues.

a) J'ay envoyè cette construction au Sr. Coets à Arnhem Aug. 1687.
Le calcul est au livre A. la construction a lieu quand G A n'est pas plus grande que ⅔ AC⁴⁾. Mais quand GA est à AC comme 20 à 29, ou quand GA est encore plus grande, la construction ne se peut faire de cette façon. [Chr. Huygens].

4) Soient GM = x1 MK = y1 les coordonnées du point K, alors, posant 8c4/27b3 = p, ces coordonnées doivent satisfaire à la fois à l'équation du cercle (x1 - p)2 + y12 - (p - b)2 - c2 + b2 = o ou bien x21 + y12 - 2p (x1 - b) - c2 = o, et à celle de la conchoïde (x1 - b)2 (x12 + y12) - c2x12 = o.
Eliminant x12 + y12, on obtient, pour calculer l'abscisse x1 du point K, l'équation:
2p (x1 - b)3 - 2bc2 (x1 - b) - b2c2 = o.
Maintenant, pour que la construction indiquée soit possible, il est clair qu'il faut et suffit que la racine positive unique de cette équation en (x1 - b) ne surpasse pas la valeur c = AC.
Cette condition s'exprime par l'inégalité:
2pc3 - 2bc3 - b2c2 > o,
ou bien, en posant b = kc, p = 8c / 27k3, par la suivante:
27k4 (k + 2) - 16 < o.
Il y est satisfait, tant que:
b/c = k < 0,685.....
Au cas contraire, le point M, situé alors à droite du point C, reste réel, mais le point K, devenant imaginaire, rend impraticable la construction.
Probablement cette difficulté ne s'est présentée à l'esprit de Huygens qu'après l'envoi de sa lettre à H. Coets. A la page 281 du livre F des Adversaria on rencontre un calcul se rapportant au cas b = 100, c = 1, accompagné de la remarque: ‘Pour faire voir que la construction de Heuraet pour le point de la courbure de la conchoide peut servir toujours’.

2) Voir la deuxième figure de la lettre précédente.

[p. 202]

³⁾

3) En réalité FK = AC ℚ⅔. Le point F se trouve alors à gauche du point C à une distance FC = ⅔ AC, et la construction est encore possible.

4) Soient GM = x1 MK = y1 les coordonnées du point K, alors, posant 8c4/27b3 = p, ces coordonnées doivent satisfaire à la fois à l'équation du cercle (x1 - p)2 + y12 - (p - b)2 - c2 + b2 = o ou bien x21 + y12 - 2p (x1 - b) - c2 = o, et à celle de la conchoïde (x1 - b)2 (x12 + y12) - c2x12 = o.
Eliminant x12 + y12, on obtient, pour calculer l'abscisse x1 du point K, l'équation:
2p (x1 - b)3 - 2bc2 (x1 - b) - b2c2 = o.
Maintenant, pour que la construction indiquée soit possible, il est clair qu'il faut et suffit que la racine positive unique de cette équation en (x1 - b) ne surpasse pas la valeur c = AC.
Cette condition s'exprime par l'inégalité:
2pc3 - 2bc3 - b2c2 > o,
ou bien, en posant b = kc, p = 8c / 27k3, par la suivante:
27k4 (k + 2) - 16 < o.
Il y est satisfait, tant que:
b/c = k < 0,685.....
Au cas contraire, le point M, situé alors à droite du point C, reste réel, mais le point K, devenant imaginaire, rend impraticable la construction.
Probablement cette difficulté ne s'est présentée à l'esprit de Huygens qu'après l'envoi de sa lettre à H. Coets. A la page 281 du livre F des Adversaria on rencontre un calcul se rapportant au cas b = 100, c = 1, accompagné de la remarque: ‘Pour faire voir que la construction de Heuraet pour le point de la courbure de la conchoide peut servir toujours’.