Oeuvres complètes. Tome VI. Correspondance 1666-1669

[p. 306]

N^o 1682.
J. Gregory à H. Oldenburg.
25 décembre 1668.

La lettre a été publiée dans les Philosophical Transactions du 15 février 1668/9 No. 44 [V. st.]¹⁾.

An Extract

Of a Letter of Mr. James Gregory to the Publisher, containing some Considerations of his, upon Mr. Hugens his Letter, printed²⁾ in Vindication of his Examen of the Book, entitled Vera Circuli & Hyperbola Quadratura³⁾.

Ex duobis Argumentis, quibus conatur Nobilissimus Dominus Hugenius doctrinam meam evertere, primo quidem, responsionis fundamentum dedi in Proaemio ad Geometriae partem universalem⁴⁾: alterum autem provenit solummodo à Propositione 11. non recte, opinor, ab Hugenio intellecta. quam tandem admittit post Correctiones (ut inquit) a me factas. Ut autem, simul cum resolutione Objectionum, omnem evertam dubitandi rationem, ex admissa Propositione 11ma. in forma conabor probare syllogistica, Nullam esse rationem Analyticam inter Circulum et diametri Quadratum: Praeter Modum quippe et Figuram nil deest in hactenus à me publicatis, quin id integre demonstretur; quae interim forma raro à Geometris exigitur. Dico itaque,

1) La Société Royale avait accordé cette publication. On lit dans Birch à cette date:
‘Mr. James Gregory's reply to Monsieur Christiaan Huygens in defence of his “Vera Circuli et Hyperbolae quadratura”, was declared fit to be printed in the Philosophical Transactions, but withal, that care should be had of omitting all that might be offensive.’

2) Journal des Scavans du 12 novembre 1668. Consultez la Lettre N^o. 1669.

3) A cet en-tête se trouve jointe la note historique suivante:
‘The first occasion of the exchange of Letters on this Subject was given in the Journal des Scavans of July 2. 1668. to which a civil return was made in Numb. 37. of these Tracts: which having been judiciously animadverted upon in another Journal des Scavans, viz. of Nov. 12. 1668. it was thought equitable here to make publick, what M. Gregory hath since imparted thereupon, out of a desire expressed by him, further to elucidate that controversie. Which how satisfactory it is, we leave to the intelligent to judge; professing, that we are no further concern'd in this contest, than to let the Sagacious Reader know the proceedings thereof, by referring him to the French Journals about what is said thereof on the one hand, and by delivering in these Papers, what comes from the other: which as't is intended to be done without animosity or offence, so we desire the candid Reader will pardon us for diverting him thus much by this dispute from what else he might justly expect in these Philosophical Occurrences. The Answer it self of M. Gregory, follows in the same language, wherein he thought fit to communicate it.’

4) J. Gregorius, Geometriae Pars universalis, inserviens quantitatum curvarum transmutationi et mensurae. Venet. 1667. in-4^o.

[p. 307]

Si daretur ratio Analytica (seu ratio notis Analyticis exprimenda) inter Circulum et Diametri quadratum, tunc Circulus analytice componeretur ex Quadratis, inscripto & circumscripto. Sed posterius est absurdum. Ergo. Sequela Majoris sic probatur;

Quantitas quaesita & determinata invenitur ex quantitatibus quibuscunque eam determinantibus, in ea ratione, seu relatione quam habet quantitas determinata ad dictas quantitates determinantes. Sed Quadratum inscriptum & circumscriptum Circulum determinant, ideoque ex illis Circulus daretur in ea relatione, quam habet ad diametri Quadratum vel ejus semissem, hoc est si esset ratio analytica inter Circulum & Diametri quadratum; ex dictis quantitatibus determinantibus analytice componeretur Circulus. Ex dictis enim quantitatibus omnia analytice componi possunt, quae ad eas rationem habent analyticam.

Secundi syllogismi Minor est evidentissima. Major autem est Axioma ab omnibus Geometris tacite admissum.

Minor syllogismi prioris sic probatur.

Eodem modo componitur Circulus ex Quadrato inscripto et circumscripto, quo componitur Quadrans Circuli ex Triangulo inscripto et Trapezio vel potius Quadrato circumscripto. Sed ex 11^ma Propositione Quadrans circuli seu Sector non potest componi analytice ex Triangulo inscripto & Quadrilatero circumscripto. Ergo.

Major est evidens. At poterit fortasse distingui Minor, dicendo: Propositionem 11^am veram esse in methodo Indefinita; sed posse esse falsam in methodis particularibus. At insto. Omnis methodus indefinita in methodos seu casus particulares est resolubilis. Sed haec methodus indefinita, nempe quod Sector sit terminatio datae seriei convergentis, in nullam particularem resolvi potest. Nulla igitur datur hîc methodus particularis. Major patet, quia quantitates aequales in se mutuo sunt resolubiles. Minorem ita probo; Si haec Methodus indefinita resolveretur in aliquam particularem, resolutio fieret vel ab Analysi speciosa vel numerosa. Sed neutrum dici potest. Ergo. Major patet ex sufficienti enumeratione. Minor sic probatur: Non ab Analysi Spesiosa, quoniam haec methodus indefinita ad eam est irreducibilis, ut patet ex Propositione 11^ma; Non à Numerosa, quae hic est interminabilis proindeque invariabilis.

In hanc ultimam distinctionem resolvitur I^a Objectio Hugenii. Velim enim Nobilissimum Virum considerare, Omnem plenam Problematis solutionem esse Indefinitam. Nam methodi Particulares, cum sint Jnfinitae, exhiberi omnes nequeunt; neque dirigi possunt à tenore Problematis, quippe illis omnibus communi: Jdeoque requiritur methodus Generalis seu Indefinita, Particularium directrix. Agnosco utique methodos Particulares casu saepe inveniri absque ope Generalis, attamen fatendum est Geometris, nullam esse nec posse fieri Methodum Particularem, in quam resolubilis non sit methodus Indefinita. Si igitur methodus Indefinita omni resolutioni sit impervia (ut in Propositione 11^ma est demon-

[p. 308]

stratum) eodem modo omnes Particulares resolutionem etiam respuent; proindeque tam Definita quam Indefinita nullam compositionem agnoscit. Talis enim Compositio, qualis Resolutio.

Etiamsi praedicta, meo quidem judicio, abunde sufficiant, ne tamen ullus relinquatur cavillationi locus, 11^mam nostram Propositionem etiam in Definitis hic demonstrabimus. Sit ergo B. Polygonum intra Circuli Sectorem, 2 B. Polygonum circumscriptum & priori simile; sufficit enim Polygonorum proportionem definire, ut Theorema definite demonstretur. Continuetur Series convergens ut sit

B	2B
C	D
E	F
G	H
	Z
a	x
√ax 2ax / a + √ax
	m
	n

ejus terminatio seu Circuli Sector Z. Dico, Z non posse componi Analytice ex Polygonis definitis 2 B. Si fieri potest, componatur Z. Analytice ex Polygonis Definitis B, 2 B. sintque duae quantitates Indefinitae a & x, e quibus componatur m eodem modo, quo Z componitur à quantitatibus B, 2 B; Item eodem modo componatur n ex quantitatibus √ax 2ax / a + √ax: quantitates m, n, non sunt indefinite aequales ex propositione 11^ma. Si igitur inter m & n fingatur aequatio; a manente quantitate indefinita, aequatio inter m & n tot habebit radices seu quantitates in quas resolvitur x, quot quantitatum, inter se diversas rationes habentium, binarii sunt in rerum natura, quae vices quantitatum a, x, subire possunt, hoc est quae eandem quantitatem Analytice ex se ipsis componunt eodem modo, quo eadem quantitas componitur ex ipsarum media Geometrica √ax, & ex media Harmonica inter dictam mediam Geometricam & x, nempe 2ax / a + √ax, ita ut compositio sit eodem modo quo Z componitur ex B. & 2 B: atque ex Consectario Propositionis 10^mae, omnes quantitatum binarii, rationes quoque diversas inter se habentium, B 2B, CD, EF, GH, &c. in infinitum, possunt supplere vices quantitatum a, x, quoniam Z eodem modo componitur ex B 2B, quo ex CD, EF, vel GH, &c. & proinde aequatio inter m & n radices habet numero infinitas. Sed omnis aequatio habet ad summum tot radices, quot habet dimensiones; & proinde aequatio inter m & n dimensiones habet numero infinitas, quod est absurdum; ideoque Z seu Circuli Sector non potest Analytice componi ex Polygonis definitis B, 2B. quod demonstrandum erat. Hinc manifestum est, Terminationem cujuslibet seriei convergentis, si non possit componi ex terminis convergentibus indefinite, nec posse componi definite; adeoque evanescit simul cum nostra distinctione Objectio Hugenii prima.

Idem in Objectione sua secunda non videtur advertisse, me non solum in Propositione 11^ma, sed etiam in toto meo Tractatulo intelligere per Extractionem radicum, Resolutionem omnium potestatum sive purarum sive affectarum; omnium quippe eadem est ratio, neque ulla imaginabilis est in demonstratione diversitas,

[p. 309]

sive Sector supponatur Radix alicujus potestatis purae, sive affectae ad puram irreducibilis. Nam si Sector eodem modo fiat ex primis terminis convergentibus quo ex secundis (ut in Consectario propositionis 10^mae est demonstratum) etiam omnes ejus potestates sive purae sive quocunque modo affectae eodem modo componitur é primis quo é secundis terminis convergentibus, quae (in Analyticis exhibitae) erunt aequales quantitates eodem modo Analytice compositae ex primis quo ex secundis terminis convergentibus; quod est absurdum, nempe contra Propositionem 11^mam admissam. Sensus igitur integer Propositionis 11^mae est; Hoc Problema (E datis duobus polygonis complicatis, invenire Sectorem sive Circularem sive Hyperbolicum ab illis determinatum) non potest reduci ad ullam aequationem Analyticam.

In comparatione Hugeniana inter nostras methodos, agnosco, meas approximationes propositionis 20^ae et 21^ae easdem esse cum Hugenianis, sed methodo mihi peculiari demonstratas. At meam approximationem in fine propositionis 25^ae non percipere videtur Hugenius; aliam interim sibi fingit: hanc primo meam non esse probat, deinde tamen eam cum sua comparat, victoriaque potitur. Sed lente hic festinandum.

Sit a Polygonum, Circulo vel Sectori inscriptum, c Polygonum inscriptum duplo plura habens latera, d autem sit Polygonum circumscriptum simile ipsi c. Ex 20^ma propositione Sector est major quam 4c-a / 3; & ex 21^ma, Sector est minor quàm 2d+c / 3, inter quos terminos sit maximus quatuor arithmetice continue proportionalium 8d+8c-a / 15, nempe nostra approximatio; quam rigidissimis Hugenii censuris subjicio. Hallucinatur autem Hugenius, quod Polygona a & d similia sumeret, cum debeant esse c & d, quae duplo plura habent latera. Ne autem dicat, factam esse à me correctionem, consideret hanc approximationem non solum verbis propositionis 25^ae, sed & praxi propositionis 30^mae esse consonam, ubi approximationem propositionis 21^mae ex ultimis similibus Polygonis construo: ridiculum enim esset, illam e penultimis minus praecisam dare, cum eadem operâ detur magis praecisa ex ultimis. At miror cum Hugenius incidisset in meam Hyperbolae approximationem, quod eam non potuerit Circulo applicare; Nam in Hyperbola absque dubio 24^tae proportionis approximationem ex ultimis similibus polygonis construxit: Omnis enim ad Circulum approximatio ex polygonis deducta, Hyperbolae est etiam applicabilis, & vice versa. Sed hoc non videtur animadvertisse Hugenius; alioqui in fine suarum Animadversionum non promitteret talem Hyperbolicam approximationem, de cujus applicatione ad Circulum nihil dicit. Quae autem illic affirmat (si de semet loquitur in plurali) transeant; si vero etiam de me adeo fidenter sibi persuadeat, falli ipsum putem, cum haec eadem quadratura, de qua loquitur, antequam ab eo videretur, ad laboris dimidium à me sit reducta.

[p. 310]

Ne autem Hugenii praxis Geometrica minus peritis videatur nostram superasse, ex nostra approximatione, ab Hugenio rejecta, sequentem praxin exhibebo.

In Figura Hugeniana (quam vide infra) sit AC = A, ZAB⁵⁾ =B, sitque A + B∶B∷2B∶C; eritque 8C + 8B - A/15 major, quam arcus ABC; differentia autem, in semi circumferentia minor erit quàm ipsius 1/3500, in triente minor quàm ipsius 1/40000, & in quadrante minor quàm ipsius 1/300000. Sed quoniam praecedens approximatio major est quàm arcus, aliam addamus eodem minorem. Sit A∶B∷B∶D; 12C + 4B - D/15 minor erit quam arcus ABC; differentia autem in semi-circumferentia minor erit quàm ipsius 1/1000, & in quadrante minor quam ipsius 1/60000. Inter has approximationes sit maxima, penultima sex continue Arithmetice proportionalium, quae minor erit quàm arcus, differentia autem, in semi-circumferentia minor erit quàm ejusdem 1/13000, et in quadrante minor quàm ejusdem 1/3000000. Sed haec levia mihi videntur, cum possim Approximationes exhibere, quae ab ipsa semi-circumferentia differant minori intervallo, quàm quaelibet ejus pars assignata, neque nobis amplius apparent haec mirabilia, cum demonstratio solida innotescat. Ad reliqua ab Hugenio publicata, cum à meo instituto sint aliena, nihil dico, nisi quod ipsa Hugenii dicta (non obstante exactissima sua, ut ait, materiae hujus examinatione) à meae Appendiculae factis, ni fallor, longe superentur. Vale. Decemb. 15. 1668.

Figura Hugenii haec est, quam ipse hoc sensu, licet Gallice, sic explicat.

Sit Arcus Circuli, qui non excedat semi-circumferentiam, ABC, cujus subtensa sit AC; & dividantur ambo in partes aequales per lineam BD. Ducta subtensa AB,



capias inde ⅔, easque jungas inde ab A ad E in linea CA protracta. Dein, resecta lineae DE parte decima EF, ducas FB, & tandem BG, ipsi perpendicularem: & habebis lineam AG aequalem Arcui ABC, cujus excessus tantillus erit,

5) Lisez: 2 AB.

[p. 311]

ut etiam tunc, quando hic arcus aequalis erit semi-circumferentiae Circuli, futura non sit differentia 1/1400 suae longitudinis; at quando non est nisi tertiae partis circumferentiae, differentia non erit 1/13000; et si non est nisi quartae partis, non differet nisi 1/90000 suae longitudinis.