Oeuvres complètes. Tome VI. Correspondance 1666-1669

N^o 1647.
Christiaan Huygens à J. Gallois¹⁾.
2 juillet 1668.

La pièce a été publiée dans le Journal des Sçavans du 2 Juillet 1668²⁾.
J. Gregory y répondit par le No. 1653.

Examen de ‘Vera Circuli & Hyperboles Quadratura, in propriâ suâ proportionis specie inventa & demonstrata à Jacobo Gregorio Scoto, in 4^o. Patavii.’

I. Dans la 11 Proposition qui contient cette Demonstration pretenduë, l'Auteur dit que Si la terminaison des grandeurs proposées est composée analytiquement

1) Jean Gallois naquit le 14 juin 1632 à Paris, où il mourut le 9 avril 1707. Il entra dans les ordres, et en 1665, comme successeur de Denis de Sallo, il prit la rédaction du Journal des Savants; en 1674 il abandonna cette tâche, à cause des haines que lui suscitaient ses critiques. Colbert se l'attacha et le fit nommer, le 11 avril 1668, secrétaire de l'Académie de Physique et de Mathématique, au lieu de Duhamel, alors en voyage en Belgique, puis en Angleterre, mais qui à son retour récupéra ce poste. Il devint professeur de langue grecque au Collège de France, en 1673 membre de l'Académie Française, puis secrétaire de l'Académie des Inscriptions et Belles-Lettres. Il était théologien, linguiste, mathématicien et physicien.

2) On lit dans le journal:
M. Huygens qu'on avoit prié d'examiner ce Livre & d'en faire rapport à l'Assemblée, dit qu'il avoit remarqué plusieurs dèfauts dans la demonstration que cèt Auteur prétend avoir donnée de l'impossibilité de la Quadrature analytique du Cercle & de l'Hyperbole.

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des termes premiers a³ + a²b, & ab² + b³, elle sera aussi composée analytiquement & de la mesme maniere des termes seconds ba² + bba & 2 b²a. Mais encore que cela soit vray, lors que la terminaison est trouvée par la methode qu'il enseigne, on n'en peut pas tirer une conclusion generale; à moins que de supposer qu'on ne peut trouver que par sa methode la terminaison d'une suite de grandeurs, qu'il appelle convergentes, ou que si on la trouve par une autre voye, on la pourra aussi trouver par sa methode; ce qu'il n'a pas demontrè.

II. L'Auteur avance immediatement apres qu'il n'y a aucune quantitè qui puisse estre composée analytiquement & de mesme maniere, des termes a³ + aab, aab³⁾ + b³, & des termes aab + bba, 2 bba. Cependant cette quantitè se trouve par la methode mesme qu'il enseigne dans la septiesme Proposition: Et en voicy la maniere. Il faut premierement chercher une quantitè par laquelle ayant multipliè a³ + aab, & ajoutant au produit le produit de aab³⁾ + b³ multipliè par une quantitè donnè m, la somme soit la mesme que celle de ces deux autres produits, l'un de aab + bba multipliè par la mesme quantitè cherchée, l'autre de 2bba multipliè par la quantitè donnée m. Supposè donc que cette quantitè soit esgale à z; il faudra que a³z + aabz + abbm + b³m soit esgal à aabz + bbaz + 2bbam, &z esgal à bbm / aa + ab∶ Et il est certain que soit qu'on multiplie cette quantitè bbm / aa + ab par a³ + aab, & qu'on ajoute abb + b³ multipliè par m, soit qu'on la multiplie par aab + bba, & qu'on ajoute 2bbam, elle fait tousjours la mesme quantitè 2abbm + b³m; & par consequent cette derniere quantitè est composée de mesme maniere des premiers & des seconds termes de la progression convergente proposée; ce que l'Auteur a cru ne se pouvoir faire.

III. Or cette quantitè 2abbm + b³m estant donnée, si l'on s'en sert pour chercher la terminaison de la progression proposée suivant la methode que l'Auteur

3) Lisez: abb.

3) Lisez: abb.

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enseigne dans la septiesme Proposition & dans la 10, on trouvera qu'elle seroit esgale à 3aab³ + ab⁴ + 2a³bb / bb + ab + aa: & en supposant a = 1, &b = 2 cette terminaison, qui signifie en ce cas un secteur de cercle contenant le tiers du cercle entier, seroit esgale à 48/7; & le premier terme de sa progression a³ + aab, qui signifie le tiers d'un triangle equilateral inscrit dans le mesme cercle, seroit esgal à 3; de sorte que la proportion du cercle au triangle equilateral inscrit seroit comme 48/7 à 3, c'est à dire comme 16 à 7. Cependant il est facile de voir que toutes ces proportions ne sont pas veritables.

IV. Si l'on examine pourquoy la terminaison se rencontre quelquefois veritable par la methode de l'Auteur, comme dans la 7 Proposition, & quelquefois ne l'est pas; on trouvera que cela vient de ce que le probleme de la 10 Proposition n'est pas bien resolu. Car ce n'est pas assez pour trouver la terminaison d'une progression convergente, d'avoir trouvè une quantitè qui soit composée de mesme maniere des premiers & des seconds termes: cela n'estant veritable que lors que cette quantitè se trouve sans qu'on ait besoin de chercher la quantitè appellée z dans la 7 Proposition; ou lors que la mesme quantitè n'est composée d'aucune quantitè qui entre dans les termes de la progression, comme il arrive dans cette Proposition 7, où z est esgale à me/d. Car l'Auteur en mettant z esgale à mae-mbe/ad-bd semble n'avoir pas remarquè que la division se pouvoit faire par a-b.

Dans l'exemple qu'il apporte dans la Proposition 10, ce n'est pas la quantitè z que l'on cherche, mais il y appelle z la terminaison mesme: où il faut remarquer en passant que cet exemple est alleguè hors de propos. Car la progression dont les premiers termes sont a, b, & les seconds √ a, b⁵⁾, aa/√ab n'est pas une progression convergente & n'a point de terminaison quoyque l'Auteur y en trouve une.

5) Au lieu de: √a, b, lisez: √ab.