Oeuvres complètes. Tome IV. Correspondance 1662-1663

[p. 203]

N^o 1047.
Christiaan Huygens à Th. Hobbes.
[août 1662.]¹⁾
Appendice I au No. 1046.

La pièce se trouve à Leiden, coll. Huygens.

Censura missa ad bibliopolam²⁾ Hobbij uti ipse petierat.

1662. Augusti.

In duplicatione cubi Hobbiana quae una cum Problematibus Physicis³⁾ edita est recte satis se habent omnia usque ad versum illum pagina 117. Ergo ducta X T et producta incidet in Z. Hoc enim ex praemissis non sequitur, neque verum est. Recte autem sic dixisset, Ergo ducta X T et producta usque in rectam Y P, ipsa quoque bifariam secabitur a recta a T⁴⁾. Hinc vero nunquam efficietur XT productam incidere in Z; neque illud proinde, punctum X esse in circumferentia circuli YZV, unde reliqua pendet demonstratio.

Videtur autem autori imposuisse quod producta XT tam prope incidit in Z ut oculis discrimen notare nequiverit. Sed mirum est non animadvertisse illum vitiosam esse demonstrationem, in qua nulla fieret mentio ejus quod in constructionem problematis adsumptum fuerat, nempe quod AS aequalis ponebatur semidiagonali AI. Hoc enim necessario demonstrationem ingredi debuerat si bona esset.

Porro calculi arithmetici usum ad explorandam geometricam constructionem injuria rejicit. graviterque errat dum hac in re sententiam suam probare conatur.

Ad quadraturam circuli quod attinet, vitium in demonstratione manifestum est

1) Chr. Huygens a oublié d'ajouter cet Appendice à la lettre; consultez la Lettre N^o. 1055.

2) Andreas Crooke, libraire à Londres, qui demeurait dans le St. Paul's Churchyard et avait pour enseigne un dragon vert.

3) Consultez l'ouvrage mentionné dans la Lettre N^o. 1034, note 2^b.

4) La méthode de Hobbes pour la duplication du cube revient à ce qui suit. VD (voir la figure droite de la planche vis-à-vis de cette page) étant le côté du cube donné, on prend sur son prolongement DA = 2 VD; on construit le carré ABCD, dont les diagonales se coupent au point I; on fait AS = BR = AI; et on joint les points V et R. Le segment DX qui est ainsi déterminé sur la ligne DC serait le côté du cube cherché.
Pour le démontrer, Hobbes prend sur le prolongement de CD, la distance DP égale à AD et construit le parallélogramme PVRY. Il s'efforce ensuite de faire voir que la ligne YX est perpendiculaire à VR et PY; en effet, s'il en était ainsi on aurait: DV:DX = DX:DY = DY:DP et, comme DP = 2 DV, DX = DV ∛ 2. Pour prouver que l'angle YXV est droit, Hobbes ne s'est pas toujours servi du même moyen. Dans la démonstration qui fut examinée par Huygens, l'auteur a évidemment abaissé du point V une perpendiculaire VZ sur YP. S'il était vrai que la ligne droite qui joint X au centre T du parallélogramme passe par le pied de cette perpendiculaire, l'angle YXV serait droit, ou, en d'autres termes, le point X se trouverait sur le cercle qui passe par Y, Z et V.
Remarquons encore que la ligne Ta est parallèle à PY et à VR.

[p. 204]

pagina 130, ubi dicitur, Quoties ergo eg est in ef toties est co sinus arcus Bo in recta ct, et toties ipse arcus Bo in arcu BD⁵⁾.

Non enim in arcubus quibusvis haec proportio vera est licet arcus BS sit ⅓ arcus BD sicut et recta Bi ⅓ rectae BF.

Alteram demonstrationem non expendi cum scirem non posse hac prima meliorem esse, siquidem aliunde mihi constet falsum esse id quod probandum suscipitur arcui nimirum BD aequalem esse rectam BF. Ostendi enim in ijs quae de Circuli Magnitudine edidi⁶⁾ BF semper majorem esse arcu BD, quando VX aequalis est radio semicirculi BDG. Quando autem XG eidem radio aequalis est, semper rectam BF minorem esse arcu BD.

Quod Wallisius scripserit rationem 5 ad 12 superare rationem 1 ad 3 ratione 1 ad 12, non est credibile per errorem hoc eum fecisse, sed quod pro additione rationum eam quoque habuerit quae fit addendo fractiones quae quantitatem rationum secundum ipsius et aliorum multorum sententiam exprimunt.

Non ignorat enim aliam et magis usitatam geometris rationum additionem seu

5) Voir la figure gauche de la planche vis-à-vis de la page précédente. Dans le demi-cercle BDG le rayon AD est perpendiculaire au diamètre BG. XDF est une ligne droite faisant avec ce diamètre un angle de 30^o; le rayon AS est parallèle à XF et i est le point d'intersection de la tangente BF avec le prolongement de la ligne XS. On démontre facilement que Bi est la troisième partie de BF, et que par conséquent le rapport de la ligne droite Bi à l'arc BS est égal à celui de BF à l'arc BD. Hobbes croyait que le même rapport existe entre les segments de la tangente et de l'arc de cercle qui, en partant tous les deux du point B, s'étendent jusqu'à une ligne droite quelconque, telle que Xo, qu'on tire par le point X. C'est ce qu'il exprime dans le passage auquel Huygens fait objection. Voir les ouvrages de Hobbes, publiés par Molesworth, Vol. I, p. 251. Si l'hypothèse de Hobbes était vraie, il aurait raison de prétendre que la ligne droite BF est égale à l'arc BD; en effet, le rapport dont nous venons de parler devrait conserver la même valeur, même lorsque l'angle BXo est infiniment petit; mais alors il est égal à l'unité.

6) Consultez l'ouvrage cité dans la Lettre N^o. 191, note 1.

[p. 205]

compositionem, secundum quam ratio 1 ad 3 una cum ratione 5 ad 4 constituunt rationem 5 ad 12. Et praestaret quidem mea sententia non aliam agnoscere additionem rationum. ne res duae diversissimae eodem nomine vocentur.