Oeuvres complètes. Tome III. Correspondance 1660-1661

N^o 947.
P. de Fermat à Christiaan Huygens^a).
[décembre 1661.]

La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens.
Elle a été publiée par Ch. Henry dans le Bull. di Bibliogr. T. 12.

Viro Clarissimo Christiano Huggenio P.F.S.T.

Dum Francisci Vietae celebre illud ad problema Adriani Romani¹⁾ responsum²⁾ accuratius anno superiore examinarem, et in uerba capitis sexti incidissem

a) de Monsieur Fermat [Chr. Huygens].

1) Adriaen van Roomen (Romanus) naquit à Louvain le 29 septembre 1561 et mourut à Mayence le 4 mai 1615. Il fut professeur de médecine et de mathématiques d'abord à Louvain, puis en 1595 à Wurzbourg, où il fut aussi médecin de l'évêque. Ayant perdu sa femme, il entra dans les ordres, devint mathématicien du roi de Pologne et professeur à Zameck (Russie). Il autaqua les pseudoquadratures de Simon van der Eycke, de Josephus Scaliger, d'Oronce Finée et de Nicolaus Raymarus Ursus Dithmarsus.

2) Francisci Vietae Ad Problema, qvod omnibvs Mathematicis totivs orbis construendum proposuit Adrianus Romanus, Responsum.

[p. 448]

quibus profitetur subtilis ille mathematicus haud scire se an ipsemet Adrianus nusquam proposuit aequationis genesim et symptomata pernouerit, subuereri cepi an ipsemet quoque Vieta aequationis illius famosae satis generalem tradiderit aut inuenerit solutionem. Proponentis quippe Adriani Romani uerba haec sunt, emendante Vietâ. Detur in numeris Algebricis 45 (1)³⁾ - 3795 (3) + 95634 (5) - 1138500 (7) + 7811375 (9) - 34512075 (11) + 105306075 (13) - 232676280 (15) + 384942375 (17) - 488494125 (19) + 483841800 (21) - 378658800 (23) + 236030652 (25) - 117679100 (27) + 46955700 (29) - 14945040 (31) + 3764565 (33) - 740459 (35) + 11150 (37) - 12300 (39) + 945 (41) - 45 (43) + 1 (45) aequalis numero dato. Quaeritur ualor radicis. Sane perquàm eleganter et doctissimè suo more quaestionem propositam abduxit Vieta ad sectiones angulares et tabulam foeliciter construxit pagina 318 editionis Elzevirianae ad quotlibet in infinitum terminos methodo quâ usus est, facilè extendendam cuius beneficio dignoscitur quaenam aequationes ad spetiales angulorum sectiones pertineant. Si enim in sedibus numerorum imparium sumatur primò 1 c - 3 n⁴⁾ aequalis numero dato qui non sit maior binario, reducitur quaestio ad trisectionem anguli: si deinde 1 qc - 5 c + 5 n aequetur numero dato qui non sit etiam binario maior, reducitur quaestio ad quintam sectionem anguli: Si 1 qqc - 7 qc + 14 c - 7 n. aequetur numero dato qui non sit item binario maior, reducitur quaestio ad sextam sectionem. Et si tabulam in infinitum extendas iuxta methodum a Vietâ praescriptam, terminus aequationis ab Adriano propositae erit quadragesimus quintus tabulae. Et quaestionem ad inueniendam quadragesimam quintam anguli dati partem deducet. Verum obseruandum est in his omnibus aequationibus contingere, ut ijs solum ipsarum casibus inseruiant sectiones angulares et methodus Vietae in quibus numerus datus cui proponitur aequandus quilibet in numeris Algebricis tabulae terminus binarium non excedit, ut iam diximus. Si enim numerus datus sit binario maior, silet statim omne sectionum angularium mysterium et ad quaestionis propositae solutionem inefficax dignoscitur. Proposuerat tamen generaliter Adrianus dato termino posteriore inueniendum esse priorem. Aliunde igitur quam a Vietâ et a sectionibus angularibus petendum auxilium. proponatur in primo casu 1 c - 3 n aequari numero qui non sit binario maior, reducitur quaestio ad trisectionem ut iam indicauimus. Sed si 1 c - 3 n aequetur 4 vel alteri cuilibet numero binario maiori, tunc aequationis propositae solutionem per methodum Cardani analystae expediunt. An autem in ulterioribus in infinitum casibus solutiones per radicum extractionem fieri possint,

3) Les nombres entre crochets (dans l'original ils sont entourés d'un petit cercle) désignent la puissance de l'inconnue.

4) Ici, en prenant x pour l'inconnue, nous écririons maintenant x³ pour c, x⁵ pour qc, x⁷ pour qqc, tandis que n désigne la première puissance de l'inconnue.

[p. 449]

nondum ab analystis tentatum fuit. Quidni igitur in hac parte Algebram liceat promouere tuis praecipuè, Huggeni clarissime auspicijs quem in his scientiis adeo conspicuum eruditi omnes meritè venerantur.

Proponatur itaque 1 qc - 5 c + 5 n aequari numero 4 vel alteri cuilibet binario majori. Obmutescet in hoc casu methodus Vietae. Nos itaque, ut generaliter Adriano proponenti satissiat considenter pronuntiamus, in omnibus omninò tabulae praedictae casibus, quoties numerus datus est binario maior solutiones propositae quaestionis per extractionem radicum commodissimé dari posse. Obseruauimus quippe, imò et demonstrauimus in omnibus illis casibus aequationes posse deduci sicut in cubicis ad quadraticas a radice cubica ex methodo Cardani et Vietae, sic in quadratocubicis ad quadraticas a radice quadratocubicâ, in quadratoquadratocubicis ad quadraticas a radice quadratoquadratocubicâ et ita uniformi in infinitum progressu. Sit 1 c - 3 n aequalis 4 verbi gratiá. Norunt omnes radicem quaesitam ex methodo praedictâ aequari radici cubicae binomij 2 + √3 + radici cubicae apotomes 2 - √3. Sed proponatur in exemplo Vietae et Adriani 1 qc - 5 c + 5 n aequari 4 vel alteri cuilibet numero binario majori. Fingemus perpetuâ et ad omnes tabulae casus producendâ in infinitum methodo radicem quaesitam esse 1 q + 1/1 n⁶⁾ cuius beneficio resoluendo hypostases euanescent semper homogenea simplici per extractionem radicum quaestionis resolutioni contraria. Et in hoc casu ad exemplum praecedentis radix proposita aequabitur radici quadratocubicae binomij 2 + √3 + radici quadratocubicae apotomes 2 - √3. Si 1 qqc - 7 qc + 14 c - 7 n qui est numerus tabulae septimus apud Vietam (Ad exponentem namque maximae potestatis qui est in hoc casu 7 respicimus) aequetur similiter numero 4. fingatur, ut supra, radix quaesita esse 1 q + 1/1 n⁶⁾. Euanescent pariter in hoc casu homogenea omnia solutioni per extractiones radicum aduersa. Et radix quaesita aequabitur radici quadratoquadratocubicae binomij 2 + √3 + radici quadratoquadratocubicae apotomes 2 - √3. Et sic in infinitum. Quod tu, vir eruditissime, non solum experiendo deprehendes, sed et demonstrando, quandocumque libuerit, assequêris. Ea enim est aequationum ex tabulâ Vietae deriuandarum specifica proprietas, ut semper ipsarum solutiones in ijs casibus in quibus homogeneum comparationis est binario maius, simplices omninò extractionis radicum beneficio euadant. Vel igitur numerus datus termino tabulae analytico aequandus est binarius, uel minor binario, uel eodem binario major. Primo casu semper radix proposita est ipse binarius, secundo deuolvitur quaestio proposita secundum Vietam ad angulares sectiones, tertio per nostram methodum iam expositam hoc est per ex-

6) C'est-à-dire, si x est l'inconnue primitive, il faut substituer x = y² + 1/y.

6) C'est-à-dire, si x est l'inconnue primitive, il faut substituer x = y² + 1/y.

[p. 450]

tractionem radicum facilè expeditur. Sit itaque numerus ille Analyticus Adriani superius expositus 45 (1) - 3795 (3) &c. aequalis numero 4. radix quaesita erit radix quadragesimae quintae potestatis binomij 2 + √3 + radix quadragesimae quintae potestatis apotomes 2 - √3. Nec amplius in re perspicuâ et iam satis exemplificatâ immorandum, nisi quod monendum superest extractionem radicis quadragesimae quintae potestatis siue inuentionem quadraginta quatuor mediarum proportionalium inter duas quantitates datas expediri facillime per extractionem radicis cubicae bis factam et extractionem radicis quadratocubicae semel, quod numeri 5. et 9. qui numerum 45 metiuntur satis indicant. 5 enim ad radicem quadratocubicam refertur et 9 ad radicem cubicam bis sumptam. Ternarius enim qui est cubi exponens bis ductus nouenarium producit, jdeoque per inuentionem duarum mediarum proportionalium inter duas bis factam et inuentionem quatuor mediarum inter duas semel, inueniuntur quadraginta quatuor mediae et quaestioni nostrae satissit, quemadmodum Vieta inuentionem sectionis anguli in 45 partes quae est quaestio uel aequatio Adriani ad aequationem cubicam bis factam et ad quadratocubicam semel, siue ad duplicem trisectionem et ad unicam quintusectionem abduxit. Nihil de multiplicibus aequationis uel quaestionis propositae solutionibus adiungimus. Primogeniam tantum repraesentamus, de reliquis quarum operosior est disquisitio, aliàs fortasse, si otium suppetat, fusius acturi. Vale, Vir clarissime. Et me ama.

Pour Monsieur Huggens.