Oeuvres complètes. Tome III. Correspondance 1660-1661

N^o 848.
P. de Fermat à P. de Carcavy.
9 mars 1661^a).

La copie¹⁾ se trouve à Leiden, coll. Huygens.

Ex Fermatio de solutione problematum geometricorum per curvas simplicissimas.

Sit a⁶ + b⁵a ∞ z⁶²⁾ aut si velis a⁵ + b⁴a ∞ z⁵ in utroque hoc casu problema solvemus per curvas 3ⁱ gradus seu cubicas quod et fecit Cartesius. sed si proponatur

a⁸ + b⁷a ∞ z⁸ aut a⁷ + b⁶a ∞ z⁷

tunc problema solvemus per curvas 4ⁱ gradus seu quadratoquadraticas; quod nec fecit nec fieri posse existimavit Cartesius. cum hoc casu ad curvas 5ⁱ vel 6ⁱ gradus necessariò recurrendum crediderit.

Sit a⁶ + ba⁵ + zza⁴ + d³a³ + m⁴aa ∞ n⁶ problemata quippe omnia quae ad 5^tam vel 6^tam potestatem asscendunt, ad hanc formam reduci possunt, nihil enim hoc aliud est quam vel 5^tam potestatem ad sextam evehere, vel eam deinde ab ultima affectione sub a vel latere liberare quae omnia et Vieta et Cartesius abundè docuerunt. Effingatur itaque quadratum à laterè a³ + bae, et aequetur priori primum illius aequationis parti. fiet itaque a⁶ + 2 ba⁴e + bbaaee ∞ a⁶ + ba⁵ + zza⁴ + d³a³ + m⁴aa, et deleto

a) 1661. Mart. 9. [Chr. Huygens.]⁴⁾.

4) ‘9 Mars. Copiè du traitè de Fermat de Constructione Problematum’ [Reys-Verhael].

1) Cette copie est de la main de Chr. Huygens.

2) Dans les formules de cette pièce l'inconnue est désignée par a. A l'aide de l'introduction d'une nouvelle inconnue e, les problèmes sont ramenés à l'intersection de deux courbes.

[p. 257]

utrinque a⁶ et reliquis per aa divisis, quod ex cautione adjectâ methodo semper liberum est, remanebit aequatio inter

ba³ + zzaa + d³a + m⁴ ∞ 2baae + bbee.

haec autem aequatio, ut patet, dat curvam tertij gradus.

Jam idem superius quadratum ab a³ + bae etiam posteriori parti propositae aequationis hoc est n⁶ aequetur. fietque extrahendo utrinque radicem a³ + bae ∞ n³. quae aequatio dat rursus curvam 3^ij gradus. Quis deinde non videt intersectionem duarum curvarum inventarum jam junctarum dare valorem ipsius a, hoc est problematis propositi solutionem.

Si problema ad 7^am vel ad 8^am potestatem ascendat statuetur 1^o sub forma 8^ae potestatis deinde ab affectione sub latere omnino liberabitur, ut fiat exempli gratia

a⁸ + ba⁷ + dda⁶ + n³a⁵ + m⁴a⁴ + g⁵a³ + r⁶a² ∞ z⁸.

Effingatur latus quadrati cuilibet istius aequationis parti aequandi a latere a⁴ + ½ ba³ + ddae. Secundum autem hujus quadrati homogeneum eo artificio effinximus ut duae elatiores lateris vel radicis a potestates in aequatione evanescant. quod perfacile est. hinc duae curvae 4ⁱ gradus orientur.

Notandum porro in problematis quae ad 9 vel 10^am potestatem ascendunt ita esse effingendum latus quadrati ut in eo sint ad minus quatuor homogenea, quorum beneficio evanescant 3 elatiores lateris ignoti gradus. In problematis autem quae ad 11^am vel 12^am potestatem ascendunt latus effingendi quadrati constare debere quinque ad minus homogeneis, ita formandis ut eorum beneficio quatuor elatiores lateris ignoti gradus evanescant.

Proponatur invenire sex continue proportionales inter duas datas b et d. Prima inveniendarum ponatur a. fiet aequatio inter a⁷ ∞ b⁶d. haec aquatio secundum Cartesium per curvas 5ⁱ tantum aut 6ⁱ gradus solvi potest. Nos eam per curvas 4ⁱ gradus sicut reliquas etiam ejusdem naturae resolvimus, sed nihil vetat quo minus eam per curvas 3^ij gradus resolvamus.

aequentur quippe singuli aequationis termini homogeneo sequenti a⁴ eed. Ergo a⁷ ∞ a⁴eed/a³ ∞ eed quae dat curvam 3^ij gradus. Ex altera vero parte a⁴eed aequabitur b⁶d/a⁴ee ∞ b⁶/aae ∞ b³ unde etiam curva 3^ij generis. utriusque autem intersectio dabit problematis propositi solutionem.

Sint inveniendae inter b et d duodecim mediae. Erit aequatio

a¹³ ∞ b¹²d.

sit a¹³ ∞ a⁸e⁴d/a5 ∞ e⁴d curva 5ⁱ gradus. b¹²d ∞ a⁸e⁴d/b³ ∞ aae curva 3ⁱ gradus.

[p. 258]

Sed idem problema etiam facilius per curvas 4ⁱ gradus expediemus.

sit a¹³ ∞ a⁹e³d/a⁴ ∞ e³d curva 4ⁱ gradus b¹²d ∞ a⁹e³d/b⁴ ∞ a³e curva 4ⁱ gradus.

Inventio 30 mediarum per curvas 7ⁱ vel etiam 6ⁱ gradus.

Nempe si a³¹ ∞ b³⁰d erit sumendus communis terminus a²⁴e⁶d, unde per curvas 7ⁱ solvetur. vel a²⁵e⁵d unde per curvas 6ⁱ gradus.

Si inveniendae sint 10 mediae, nempe si a¹¹ ∞ b¹⁰d, ducatur uterque terminus in rectam datam z. ut sit aequatio a¹¹z ∞ b¹⁰dz; ita enim ad numerum 12 pervenietur cujus ope facillima per partes aliquotas evadet solutio. sit nempe communis terminus a⁸e⁴. illinc orietur aequatio a³z ∞ e⁴ quae dat curvam 4ⁱ gradus. Istinc vero per extractionem lateris quadrato-quadrati inter aae et latus quadrato-quadrati homogenei dati b¹⁰dz, quod si placet sit n³³⁾, quae aequatio dat curvam 3^ij gradus^b).

3) Lisez: n⁴.

b) Carcavius accepisse haec scribit 28 Martii 1660. autographum dedisse Marchioni de Sourdy. [Chr. Huygens.]

4) ‘9 Mars. Copiè du traitè de Fermat de Constructione Problematum’ [Reys-Verhael].