Appels en peren / wiskunde en psychologie

Gebundelde opstellen

[p. 98]

8. Cognitieve ontwikkeling - kinderen geobserveerd

Cognitieve ontwikkeling - een term uit de psychologie, maar wie tot u spreekt is geen psycholoog. Ik ben een wiskundige die zich ook nog voor andere zaken heeft geïnteresseerd, onder meer voor het wiskundeonderwijs, op alle niveaus, en die sinds enkele jaren zijn hoofdtaak in ontwikkeling van wiskundeonderwijs heeft gezien. Dit bracht met zich mee: onderzoek. Niet achter het bureau, maar: kinderen, mensen observeren in hun ontwikkeling, in hun leerprocessen, en daarmee ben ik bij het onderdeel van de titel van mijn lezing achter de streep aangekomen.

Maar laat ik nog eens naar vóór de streep kijken. Cognitieve ontwikkeling - is dit werkelijk iets waarmee psychologen zich bezighouden? Wel, er bestaat zoiets als een ontwikkelingspsychologie, maar wat is dat? Laten we naar de methodologie van dit soort onderzoek kijken. Men observeert kinderen, groepen van kinderen van verschillende leeftijden. Vierjarigen, zesjarigen, negenjarigen, twaalfjarigen. Men experimenteert met hen, laat ze cognitieve taken uitvoeren en kijkt hoe ze het doen, toetst, vergelijkt voor de verschillende leeftijden hoe het gebeurt, of ze slagen of niet. Men bewerkt dit materiaal min of meer statistisch. De percentages slagers voor de verschillende taken groeien van bij de 0% naar bij de 100% en dat is dan de cognitieve ontwikkeling. Men noemt dit cross-sectional research, dwarsdoorsnedeonderzoek. Men zou hiertegenover kunnen plaatsen: longitudinaal onderzoek. Een groep kinderen door de jaren in hun ontwikkeling volgen - maar u begrijpt dat dit op enorme praktische moeilijkheden stuit. Wie kan zo iets uitvoeren? Ouders en onderwijzers in huis en school - ja - maar niet psychologen in hun laboratoriums. Elk onderzoek duurt een beperkte tijd; het moet af, subsidies duren niet eeuwig, onderzoek moet gepubliceerd, een doctorandus wil wel eens promoveren. (Een enkele keer gebeurt zoiets dan toch wel, maar dit is uitzonderlijk.)

En nog een bezwaar: het laboratorium als plaats van onderzoek. Een vooropgezet stel van taken en toetsen. Kunstmatige, geestig verzonnen taken en toetsen, opgelegd door onderzoekers aan kinderen, in ongewone situaties en in een mengelmoes van volwassen en baby taal. Niet zelden ook dubbelzinnig of misleidend, hetzij omdat de onderzoeker zelf niet helder voor ogen staat wat hij wil, hetzij omdat hij het de proefpersoon niet te gemakkelijk mag maken, willen de toetsen voldoende discrimineren.

Maar laat ik tot de kwestie van het dwarsdoorsnedeonderzoek terugkeren. Het is niet eens zo'n dwaas idee en er is verdienstelijk werk onder. Ook in de natuurwetenschappen is zo iets niet onbekend. Het heelal zoals we het op dit ogenblik zien, is een gemengde populatie. De sterrenkundigen zijn er in geslaagd die in dwarsdoorsneden van ouderdom te splitsen en zodoende de ontwikkeling van het heelal te bestuderen, van de big bang in den beginne, over gaswolken, over telkens opnieuw gevormde kleine en grote sterren van lange en korte levensduur, tot uitgebluste sterren en tot black holes.

[p. 99]

Ze zijn erin geslaagd dank zij hun inzicht in fundamentele natuurkundige wetten en theorieën - iets dat zijns gelijke in de psychologie niet kent. Wat kan men dan wel in de psychologie van het dwarsdoorsnedeonderzoek leren, of zelfs van onderzoek waarbij dezelfde groep kinderen in tussenruimten van enkele jaren wordt getoetst? Men kan op zijn hoogst uitspraken doen over de ontwikkeling van het gemiddelde kind. En daar gaat dan vrijwel de hele ontwikkelingspsychologie over, de ontwikkeling van het gemiddelde kind, met desnoods nog statistische parameters, die laten zien hoe ver de populatie rond het gemiddelde gemiddeld strooit. En dat dat niet weinig is, kan iedereen - ook zonder psychologisch onderzoek - met het blote oog waarnemen, om het te beamen.

Voor de pedagoog is dit nu het kernprobleem. Wie voed je op, wie geef je les, voor wie ontwikkel je onderwijs? Voor het gemiddelde kind, dat een rekenkundige fictie is, voor de slow learner, voor haantje de voorste? Wiens ontwikkeling interesseert je, wiens ontwikkeling wil je helpen bevorderen? Wel, uiteraard die van allemaal. En allemaal, dat is iedere enkeling, niet geisoleerd, maar dan ook weer in de sociale context van gezin, straat en school. Je zou dus, om er iets aan te kunnen doen, individuele ontwikkelingen moeten observeren. Het is uiteraard wel eens gebeurd. Uiteraard zelden, want het is ontzaglijk moeilijk. Ouders zouden de meest aangewezenen zijn om het te doen, maar wie vertelt hun waar ze op moeten letten, wat ze moeten noteren, wat de moeite waard is? Ik kom op de vraag terug.

Ondertussen nog eens ‘cognitieve’ ontwikkeling. Wat is dit? Het is vreemd, dat dit in de ontwikkelingspsychologie overwegend geïnterpreteerd wordt als: wiskundige ontwikkeling, getalbegrip, ruimtebegrip, logisch begrip. En het is nog vreemder, dat ik als wiskundige de ontwikkelingspsychologen hiervoor moet berispen. De voorliefde voor de wiskundige ontwikkeling heeft een duidelijke oorzaak: In de cognitieve sector is wiskunde datgene dat het gemakkelijkst is te toetsen - of althans, dat verbeelden ze zich. Nog een bezwaar: het cognitieve is maar een sector van de mentale ontwikkeling. Er is ook een taalkundige ontwikkeling en er is een affectieve ontwikkeling. Ze zijn zo nauw verstrengeld, dat je ze wel als aspecten kunt onderscheiden, maar niet van elkaar scheiden.

Laat ik met de taalkundige ontwikkeling beginnen - voor mij nog steeds het meest verbazingwekkende ontwikkelingsverschijnsel. Hoe speelt een kind het klaar, in luttele jaren zijn moedertaal te leren? Ik heb de literatuur over de taalontwikkeling niet of nauwelijks bestudeerd, maar deskundigen, aan wie ik geloof schenk, hebben me verzekerd, dat ook daar nauwelijks meer dan dwarsdoorsnedeonderzoek is verricht en dan nog vrijwel alleen wat het vocabulaire aangaat, en dat over de ontwikkeling van syntactische structuren weinig bekend is.

Dit heeft ten gevolge dat psychologen in het onderscheiden tussen taalkundige en cognitieve ontwikkeling nogal te kort schieten. Cognitie wordt in het algemeen taalkundig kenbaar gemaakt, maar het beheersen van de taalkundige middelen om zo'n cognitie kenbaar te maken moet van de cognitie zelf worden onderscheiden. Als voorbeeld, een notitie omtrent het gebeurde met een kind (3:8):

[p. 100]

Hij vindt op de stoep van de straat een glazen knikker: ‘Als ik hard duw, zou hij op straat rollen.’ (Hij gebruikt de irrealis meestal alleen in de hoofdzin of als antwoord op een vraag: ‘anders zou...’) Hij duwt. De knikker rolt onder een band van een bij de stoep geparkeerde auto. Hij kan hem met zijn vingertjes niet te pakken krijgen. Ik wijs hem een stokje. Hij, op het gezicht: ‘Dit is niet hard genoeg.’ Inderdaad een slap stokje, maar het lukt er wel mee.

Dat hij een stokje aanziet of meent te kunnen aanzien, of je er als hefboom voldoende kracht mee kunt uitoefenen, is een cognitieve ervaring. Dat hij uit het uiterlijk van het stokje gemotiveerd durft te concluderen of het gaat, is cognitief inzicht. Dat hij dit inzicht verbaal kan uitdrukken, is een taalkundige vaardigheid, die van de cognitieve te onderscheiden is. Wel, u zoudt kunnen opmerken, dat ‘hard’ niet het juiste woord is. Het had ‘stevig’ moeten zijn, of ‘stijf’ of ‘rigide’, en inderdaad zijn er psychologen die, als in een antwoord niet het juiste woord wordt gebruikt, falen constateren. Jammer genoeg is in het door Piaget geïnstigeerde onderzoek naar ‘conservatie’ het verbale element zo sterk, dat veelal niet meer dan dit wordt getoetst.

Nog een verhaal over hetzelfde jongetje, toen één jaar jonger (2:8):

Hij vindt de dop van een fietsbel. Op het bordes van Nieuw Clarenburg speelt hij ermee. Ik waarschuw hem dat de dop eraf kan rollen. Het gebeurt inderdaad. Hij kijkt de bel achterna en zegt, met zijn vinger wijzend: ‘Zó halen, de trap af.’ (De trap was op plm. 15 meter afstand van de plaats waar het gebeurde.)

Hij had, zonder iets te zeggen, naar de trap kunnen toelopen. Hij maakte een plan en dat is een cognitief verschijnsel. Hij wist het plan te formuleren en dat getuigde van een zeker taalkundig niveau.

Een meisje van haast 5. Ze beschrijft een weg. Met opgestoken onbewogen vingers: ‘En dan ga je zó, en dan ga je zó, en dan ga je zó.’ Je voelt dat ze het precies weet, maar het niet kan uitdrukken, zelfs niet met gebaren. Haar broer, twee jaar ouder: ‘Dan ga je over de sluisjes, en dan ga je zó,’ terwijl hij met zijn vinger naar rechts wijst. Hij beschikt over uitdrukkingsmiddelen, al zijn ze niet puur verbaal.

Nog een voorbeeld van de verstrengeling van het cognitieve en het taalkundige.

Wandeling met de jongen (5:3) aan de overkant van het Amsterdam-Rijnkanaal, één rechte lijn van de Vleutenbrug naar de Meernbrug. Op ongeveer een derde vraag ik hem of we al op de helft zijn. Hij kent het woord niet (of schijnt het niet te kennen). Ik laat hem bij een stokje de helft zien, breek het (onnauwkeurig) door, hij constateert dat het ene deel iets langer is. Ik herhaal de vraag omtrent de weg tussen de bruggen. Hij zegt, dat het niet de helft is, maar wijst het verkeerde deel als langer aan. Ik praat nog wat over afstand, ‘ver’, enzovoort, maar hij is niet geinteresseerd. Wanneer we inderdaad op de helft zijn geeft hij het spontaan aan, maar zegt: ‘Hier begint het midden.’ Hij bedoelde blijkbaar ‘de tweede helft’. Hij kende dus het woord ‘midden’, maar niet ‘helft’, of het laatste alleen in andere verbanden dan afstand.

Ondanks het ontbreken van taalkundige termen is hij met het cognitieve substraat ervan vertrouwd. Hij begrijpt wat afstand is, wat de helft is en brengt het in verband met lengtes van lange voorwerpen.

[p. 101]

Kinderen geobserveerd - staat in de titel. Terloops heb ik u proefjes aangeboden. Misschien haalt u de schouders op over die nietige, die onbenullige observaties. Ik waarschuw u meteen. Ze zijn, ook in het vervolg, allemaal van dit soort. Eén keer heb ik een grootse proevenreeks met een jongen van 5½ genomen, maar dat was dan ook de enige keer, dat ik bewust geëxperimenteerd heb. Al het andere is terloops gebeurd en waargenomen - in de wandeling. Mag ik daarom wat ik heb geobserveerd, spontane ontwikkeling noemen? Welneen. Het kon weleens spontaan starten, maar een woord, een blik, een geste van de waarnemer is voldoende om het spontane een bepaalde kant op te buigen. Is dit erg? Welneen. Er is spontaniteit, maar voor alle ontwikkeling is er ook een sociale context. Dwarsdoorsneden zijn onvoldoende, om ontwikkeling te achterhalen, zolang er geen theorie is om de dwarsdoorsneden te verbinden. Longitudinale observatie is praktisch onmogelijk. Wat heb je dan aan die terloopse observaties, in de wandeling? Om dit uit te leggen moet ik op heel wat filosofie een beroep doen, en laat ik daarmee beginnen.

Hoe verwerven we onze algemene voorstellingen, begrippen, cognities? Vele handvaardigheden worden door voortgezette oefening en eindeloze herhaling verworven en zelden is tot nu toe de mening bestreden, dat het met algemene inzichten net zo gaat. Door inductie, zeggen de filosofen, worden de algemeenheden uit een overvloed van voorbeelden afgeleid. De voorstelling, het begrip van de hond - zeggen ze - wordt geconstitueerd door kennis te maken met een groot aantal representanten van de soort ‘canis’; we weten dat honden blaffen omdat we het talloze malen gehoord hebben; dat stenen vallen, omdat we het talloze malen hebben gadegeslagen. En zo zou het verder gaan in de wetenschap: Inductie, veralgemening uit tal van voorbeelden.

Wie de wetenschap kent, weet dat daar niets van deugt. Eén slinger van Foucault was voldoende om de wenteling van de aarde te demonstreren en de talrijke herhalingen waren er alleen om een groot publiek te overtuigen. Eén proef besliste of het licht een longitudinale of transversale trilling was; het golfkarakter van de röntgenstralen werd door één röntgenfoto van een kristal beslist en al die herhalingen dienden er alleen voor om de golflengtes van speciale stralingen en de structuur van speciale kristallen te bepalen. Talrijke herhalingen van dezelfde waarnemingen - dat komt voor, maar om heel andere redenen dan om te generaliseren, bijvoorbeeld om meetfouten te elimineren en meetpunten van een functie te bepalen.

Hoe is het nu met de vóórwetenschappelijke cognitie gesteld, hoe met leerprocessen die tot algemene voorstellingen, begrippen, inzichten leiden? Is het niet uiterst onwaarschijnlijk dat biologische wezens, die de bekwaamheid bezitten om te leren, zo inefficiënt geconstrueerd zouden zijn, dat ze talrijke voorbeelden nodig hebben? Integendeel, men zou menen dat ze zo voorgeprogrammeerd zijn, dat ze met weinig voorbeelden, met een enkel voorbeeld kunnen volstaan.

[p. 102]

Een jongetje, nog geen jaar oud, die nog kroop, had tot levensruimte een tweekamerwoning op de Oude Gracht - de achterkamer een trede hoger dan de straatkamer. Na de eerste keer dat hij van de achterkamer naar de voorkamer kroop en bij die trede op zijn hoofd viel, draaide hij zich elke keer, wanneer hij van de hogere naar de lagere kamer moest, om.
Op Paaszondag drie jaar geleden had ik in het Panbos Paaseieren verstopt voor een vierjarige die ze moest zoeken. Om elke boom had ik er drie neergelegd, en na het eerste drietal zocht die jongen er systematisch bij elke boom drie.
Eén ontmoeting met een agressieve zwaan met de jongen was voor hem voldoende om te weten dat zwanen agressief kunnen zijn.
De vloerbedekking in mijn huis is een ruwe sisalmatting. Al mijn kruipende kleinkinderen zijn vanaf de eerste aanraking van hun blote knieën met de mat met opgetrokken knieën gaan kruipen, terwijl ze op linoleum en kleden normaal kropen.

Een ezel stoot zich geen twee keer aan dezelfde steen - is het gezegde - maar volgens de gelijkte filosofie is leren een continu proces dat om talloze voorbeelden vraagt.

Ik weet wel dat er ook tal van gezegden zijn om die filosofie te steunen: Gutta cavat lapidem, non vi sed saepe cadendo - Het water holt den harden steen, en dat maar door den tijd alleen; steter Tropfen höhlt den Stein - de aanhouder wint; elke dag een draadje is een hemdsmouw in een jaartje. Maar mensen zijn geen stenen en geen uit losse draadjes geweven hemdsmouwen. In luttele jaren zijn hun attitudes gevormd - taal, gedrag, karakter, voorstellingen, begrippen. Waar blijft daar de tijd voor het leren bij kleine stapjes, de talloze ervaringen, om dat allemaal te modelleren? Toch schuilt er een waarheid in dit verhaal van de druppel die de steen uitholt, van het ‘elke dag een draadje’. Dit vind je niet zo maar uit. ‘Ik heb het je nu al honderd keer gezegd’ is het bij het opvoeden. 99 keer is klaarblijkelijk niet voldoende. Trouwens dit ‘ik heb het je al honderd keer gezegd’ heeft de moeder ook al honderd keer gezegd. De 99e keer is ze nog niet van de nutteloosheid overtuigd geraakt. Vaders maken kortere metten. Maar onderwijzers doen het als de moeders. Als 99 sommetjes voor het begrip van de breuken of de staartdeling niet voldoende blijken, moet er een honderdste bij. Of om het met de moderne onderwijskundige methoden van differentiatie te zeggen: Wat de A-leerling met één som bijgebracht wordt, daarvoor krijgt de B-leerling er tien, en de C-leerling er honderd, terwijl men zich zou moeten afvragen of niet juist de C-leerling behoefte had aan de unieke, de paradigmatische opgave.

Er is dus toch iets van aan, van dit leren uit talrijke voorbeelden, in eindeloze herhaling, om algemene voorstellingen, begrippen, inzichten, attitudes te verwerven. Niet als fundamentele waarheid, maar als een techniek van onderwijzen en opvoeden, die eenvoudig helemaal mis zou kunnen zijn. Maar het kost veel minder moeite de lerende met een douche van talloze voorbeelden te overspoelen, dan naar het ene - paradigmatische - voorbeeld te zoeken dat het hem doet.

Ziedaar een verkeerde filosofie, die een verkeerde techniek heeft voortgebracht - de filosofie alsof algemene voorstellingen, begrippen, inzichten,

[p. 103]

attitudes door generalisatie uit talloze voorbeelden verworven worden, alsof leren een proces van kleine stapjes, een continu proces was. Wel ja - het opdreunend leren van tafels van vermenigvuldiging en het steeds maar verder trainen naar nieuwe snelheidsrecords op de korte baan - daar klopt het voor. Maar in de echte leerprocessen, wat daar telt, zijn de discontinuïteiten, de sprongen.

Hoe kun je cognitieve ontwikkeling achterhalen - ik bedoel van het individu, niet van de gemiddelde mens? Een longitudinale observatie - dit is onhaalbaar; en het hoeft ook niet. Als er niets gebeurt, hoef je ook niets te observeren. Wat je wel kunt, is: uitkijken naar de discontinuïteiten, de sprongen in de ontwikkeling. En daarvoor moet je naar het individuele kind kijken. Elk kind heeft in zijn ontwikkelingslijn van die discontinuïteiten. Neem je het gemiddelde over zoveel kinderen, dan vlak je die sprongen uit. Het gemiddelde kind vertoont inderdaad een continue ontwikkeling. Maar kijk je scherper, naar de enkeling, dan neem je de sprongen waar, en wat mij betreft, zijn zij het enige waar het op aankomt.

Daarom heb ik dan in de laatste jaren mensen geobserveerd. Ter wille van inzicht in de cognitieve ontwikkeling heb ik getracht discontinuïteiten in hun leerprocessen op te sporen. Dit is bij kleine kinderen gemakkelijker dan bij grote mensen. Zo'n discontinuïteit is vaak een Aha-Erlebnis, dat met grote emotie gepaard gaat. Ouderen laten daar minder van blijken - ze zijn wat je noemt - blasé. Kinderen zijn minder geremd. Ze laten, wanneer ze iets groots ontdekt hebben, hun gevoelens de vrije loop. Ik heb bij mijn observaties ook deze affectieve uitingen genoteerd. Ik deed het heel bewust; ik zei immers daarstraks al dat in de ontwikkeling het cognitieve, het taalkundige en het affectieve niet van elkaar te scheiden zijn. Weer eens het jongetje van de fietsbel (2:8):

We rijden met hem door de Veluwe waar een geweldige storm veel bomen heeft geveld. Het meest indrukwekkende voor hem is, dat dit hetzelfde hout is als waarmee zijn vader thuis timmert. Hij raakt er niet over uitgepraat - een hele week niet - ‘Bastiaan bomen zagen.’

Ik vertel hier heel onbenullige verhaaltjes - ik waarschuwde u al eerder. Misschien vindt u me kinds. Inderdaad, ik leef mee met een jongetje van nog geen drie, voor wie dit - de gelijksoortigheid van hout in het bos en houten planken - een geweldige ontdekking is en ik ben niet te oud om zijn Aha-Erlebnis mee te voelen. (Of ben ik er net weer oud genoeg voor?) Al dergelijke dingen heb ik immers ook eens een keer geleerd, zeker ook met Aha-Erlebnissen, die ik inmiddels vergeten ben. (Maar ik herinner me nog tal van discontinuïteiten uit mijn eigen leerprocessen, vanaf de prilste jeugd tot nu toe.)

Een leerproces van een achtjarige.

Na een gemodder in tegenstrijdigheden ontdekt hij plotseling dat een honderdste meer is dan een duizendste. Opgewonden loopt hij met de vraag ‘wat is meer, een honderdste of een duizendste?’ naar zijn vader, naar zijn moeder, naar alle buren

[p. 104]

- ik weet niet naar wie nog meer. Twee weken later is hij van deze ontdekking nog dusdanig van streek, dat hij ook mij weer die vraag stelt.

Een ander verhaal van de knutselaar (4:3):

Op straat vindt hij een stuk van een hek, een platte ijzerspiraal. Al wandelende experimenteert hij met een dikke rubberring die hij eerst horizontaal over de draad schuift (‘de loopweg’), dan schuiner. Tenslotte houdt hij de draad loodrecht, waarbij de vallende ring koddige toertjes uithaalt. Hij pakt een klein stukje plastic met een gat erin uit zijn zak, waarmee het effect nog fraaier wordt. Hij neemt een dop van een fles: ‘Daarmee moet ik ook iets doen.’ Ik vertel hem dat hij er een gat in kan boren, hetgeen tot een technisch gesprek aanleiding geeft. Hij denkt - zoals altijd - hardop na. Hij zegt ongeveer ‘een moer heeft een gat waar de schroef in past,’ haalt met vakkundig gebaar een moer uit zijn zak (er zaten er twee in) en laat die langs de ijzerdraad zakken - een allerkoddigst effect. Ik: ‘Je bent een uitvinder, wat heb je daar allemaal uitgevonden!’ Ik betwijfel of hij het woord ‘uitvinder’ kent, maar eventjes later zegt hij: ‘Ja, ik heb iets uitgekiend.’ Hij demonstreert zijn ontdekking trots bij Oma en thuis.

Ik vertel dit zo uitvoerig, omdat je er zoveel van kunt leren. De jongen heeft nooit iets dergelijks gezien - hij had er anders gewag van gemaakt. Hij hoefde niet talloze malen te proberen. Na de eerste proef voltrok hij de juiste generalisatie: het ding moest een gat hebben. Mijn ingrijpen veroorzaakte alleen de formulering met het woord ‘gat’, maar beter had ik helemaal niet ingegrepen. De jongen generaliseert niet alleen, hij zoekt ook naar verbeteringen. Bovendien weet hij, dat hij iets belangrijks heeft ontdekt. Kan hij verklaren, waarom de dingen zo koddig tuimelend vallen? Ondertussen misschien wel - hij is nu 2½ jaar ouder.

Nog een voorbeeld van de signalerende emotie, waarmee een grote ontdekking gepaard kan gaan.

Ik wandel met het jongetje (haast 5 jaar) langs het Amsterdam-Rijnkanaal, waar bij de Meernbrug een - ondertussen weer onderbroken - verbreding van de kanaalbedding begonnen is. Ineens barst hij uit in een opgewonden onsamenhangende stortvloed van woorden, zoals ik niet eerder van hem heb gehoord. Wanneer hij gekalmeerd is, verneem ik iets, dat mij aan de geloofwaardigheid van mijn eigen oren zou kunnen doen twijfelen. Het komt er op neer dat ze er voor de weggebaggerde aarde water moeten bij doen. Ik was er zo verbaasd over dat ik op het formele element niet inging en hem een lezing hield over waar het water vandaan kwam en de kringloop van het water.

Het hier gebeurde is zo verbazend, omdat het een teken is van wat Piaget conservatie noemt, ver beneden de leeftijd die volgens de psychologische laboratoriumproeven hiervoor bepaald is - ontdekkingen in het vrije veld contra de dwangbuis van het laboratorium. Meermalen in de volgende maanden geeft hij - met dezelfde opwinding - blijk van het ontdekken van conservatieverschijnselen, wanneer iets overgegoten wordt van een breed in een smal vat, wanneer bij het indompelen van zijn hand het water in een weckglas stijgt. Wanbegrip ten aanzien van conservatie doet zich, volgens mijn ervaringen, bij kinderen alleen in kunstmatige laboratoriumsituaties voor.

[p. 105]

U mag van mij als wiskundige verwachten, dat ik ook aandacht heb geschonken aan de ontwikkeling van het getalbegrip, vooral aan zijn eerste opkomst in de ontwikkeling. In één geval ben ik er vlak bij geweest en in een ander heb ik haar meebeleefd. U weet zeker dat vele kinderen lang voor ze enig getalbegrip hebben, leren tellen, aanvankelijk wanordelijk, later op orde, maar met omissies en tenslotte netjes, soms tot 100 toe, zonder dat ze weten wat de getallen betekenen. Het tellen is een ritmisch gebeuren, zoals een versje opzeggen, een liedje zingen of touwtje springen. Het jongetje dat ik bedoel (4:3) weigerde te tellen, hoewel hij al heel wat telwoorden behoorlijk kende.

Op een avond - we zaten met zijn zessen aan tafel - heft hij triomfantelijk zijn lepeltje met zes aalbessen op: ‘Zoveel zijn wij.’ Ik: ‘Waarom?’ Hij: ‘Ik zie het zo.’ En dan doorgaande: ‘Twee kinderen, twee volwassenen, twee Opa en Oma.’ We zaten inderdaad zo aan tafel, hij en zijn zusje tegenover elkaar, zijn ouders, zijn grootouders.

Een dag later, in het Park Oog in Al.

Hij neemt vier sneeuwbessen op zijn handpalm: ‘Zoveel wonen we thuis.’

Kenmerkend voor het gebeurde is de emotionele binding van het getal: een hoeveelheid voorwerpen met een hoeveelheid mensen. Niet veel later begon hij systematisch te tellen.

Dit is, naar ik al opmerkte, een ongewone ontwikkeling. Kinderen verschillen. Wat is dan de zin van de individuele observaties? Wat heb je eraan de afzonderlijke kinderen in hun ontwikkeling te observeren, wanneer die observaties niet voor generalisatie vatbaar zijn? Ik zou hierop met een tegenvraag kunnen antwoorden: Wat heb je aan generalisatie van ervaringen, die opgedaan zijn in kunstmatige laboratoriumsituaties? Maar zo gemakkelijk wil ik het me niet maken.

Het zal u - aangenaam of onaangenaam - hebben getroffen, dat ik over doodsimpele gebeurtenissen heb bericht alsof ze grote ontdekkingen waren. Alsof? Neen, het waren echt grote ontdekkingen, en het zullen grote ontdekkingen blijven, voor elk kind dat ze in zijn ontwikkeling opnieuw moet doen. Je kunt er later de schouders over ophalen, en ook dit is een teken van ontwikkeling. Maar wie cognitieve ontwikkeling wil bestuderen, mag er zijn schouders niet over ophalen. Integendeel, hij moet er naarstig naar zoeken. Als we weinig van cognitieve ontwikkeling afweten, zou de reden ervan niet kunnen zijn, dat we het tot nu toe te ver, te hoog hebben gezocht, dat we over wat ons onbelangrijk leek, argeloos heen zijn gestapt? Als we willen weten wat in de ontwikkeling belangrijk is, moeten we naar de onbelangrijkst lijkende gebeurtenissen speuren en als we er een hebben gevonden, moeten we zeggen: Ja, ook dit moet worden geleerd.

Want, weten we wat een mens allemaal moet leren? We hebben langzamerhand een berg van tradities in leerplannen opgetast en in leerboeken en lessen geëxpliciteerd. Het meeste en belangrijkste leren wij mogelijk buiten die boekjes en de officiële lessen om. Wij? Ja, wij - de bevoorrechten. Ook zij? De andere helft? Die helft, die geen breuken kent, geen staartdeling,

[p. 106]

geen verhoudingen - ik houdt het maar bij het rekenen, maar u mag er best ook taal bij halen en wat in de CITO-toetsen algemene kennis heet.

We hadden eens een themaatje - drie à vier lesuren voor een lbo-klas ontworpen, een detectiveverhaal met wat wiskunde erin. Heel leuk - zei iemand - maar er zijn geen wiskundige leerdoelen uit te halen. We probeerden het desniettemin in de klas uit; wij lieten de leerlingen in leerprocessen op het ontwerp reageren, en ziedaar, er bleken er wel twintig in te zitten. Twintig wiskundige doelen, waard om in leerprocessen na te streven en alle gloednieuw, in geen leerdoelenlijst te vinden.

Waarom leerprocessen te observeren? Alleen al om - vooroordelen overboord zettend - erachter te komen wat mensen allemaal moeten leren. Ook hoe ze leren, hoe ze kunnen leren, hoe geleerd kan worden - uiteraard. Erachter trachten te komen, niet ter wille van de wetenschap, maar om er iets mee te doen.

Maar wat heb je aan die berg van ervaringen - het is langzamerhand een berg geworden. Ze zijn in ontwikkeld onderwijs ingebouwd, zwart op wit op werkbladen en in cursussen. Is dit voldoende? Je moet ook eisen, dat zij die ermee willen werken - onderwijzers, leraren - het eruit kunnen halen en om daar zeker van te zijn moet je ook hun leerprocessen observeren. Je vraagt echter nog iets anders: die berg van ervaringen te ordenen - theorie noem je het dan. Waar haal je de middelen om te ordenen vandaan? Uit een theorie, die je zelf nog moet ontwikkelen? Het lijkt een vicieuze cirkel, maar ergens moet je hem trachten te doorbreken. Je wilt iets te weten komen over cognitieve ontwikkeling. Wat heb je dan aan al die anekdoten, waarvan ik u er enkele heb verteld?

Wel, uit de wijze waarop ik ze heb verteld, zal u duidelijk zijn geworden, dat het voor mij meer waren dan anekdoten. Ik heb niet wat ik heb waargenomen te kust en te keur genoteerd, maar alleen datgene wat me te denken gaf. Gedachten bij elkaar vormen nog geen theorie, maar elke gedachte kan aanzet tot theorie zijn.

Laat ik u dit besparen. Het was mij nimmer om theorie begonnen. Ik deed - met anderen - aan ontwikkeling van wiskundeonderwijs. Om er iets aan te kunnen doen, heb ik - hebben wij - leerprocessen geobserveerd, en in de leerprocessen het meest frappante, de discontinuïteiten. We hebben er bij het ontwikkelen van wiskundeonderwijs van geprofiteerd. Daar had ik het al over. Ik wil toch nog iets anders beklemtonen, een meer formeel element: het feit als zodanig van het kijken naar leerprocessen, met het doel er iets van te begrijpen - de bewustmaking van wat je beleeft en doet. Ik beschouw dit voorlopig als het meest essentiële; de mentaliteit van het intelligent observeren van leerprocessen. Het is niet iets dat we voor de ontwikkelaar en de onderzoeker willen reserveren. We propageren dit bewust beleven van het onderwijsleerproces bij anderen, bij onderwijzenden, bij opleiders en bij hen die opgeleid worden en we bieden hun materiaal aan, dat deze mentaliteit moet bevorderen. Op die manier hebben we bijvoorbeeld stagemateriaal voor toekomstige onderwijzers, de studenten van de Pedagogische Academies, ontworpen.

[p. 107]

Een opleiding is een ingewikkeld systeem van onderwijs-Ieer-relaties. Kinderen, onderwijzers die als onderwijzers van kinderen maar ook als mentoren van studenten optreden, studenten die kinderen onderwijzen en door mentoren en leraren onderwezen worden, P.A.-opleiders die voor de klas en in de klas staan en van elkaar leren, onderwijsontwikkelaars die met de opleiders een team vormen. Iedereen in dit stelsel ondergaat leerprocessen en neemt leerprocessen waar, van kinderen, van studenten, van zijnsgelijken, van hogergeplaatsten in het onderwijsleerproces, van anderen, maar ook van zichzelf. Wat we trachten te doen, is deze processen bewust te maken, in discussies en in verslagen. Of preciezer: we trachten middelen te vinden om ze bewust te maken en de mentaliteit te kweken, ze bewust te willen maken.

Terug- en vooruitblik

Veel losse observaties en enkele conclusies? Zijn ze terecht? Denk er eens over na.

Maar nu laat ik u alle vrijheid. Observaties zonder conclusies, soms zelfs zonder vragen, die u dan maar zelf moet verzinnen.