De cijfferinghe (1604)

Het rekenboek van de beroemde schoolmeester

[p. 54]

Hoofdstuk 5
De rekenboeken van Willem Bartjens

In dit hoofdstuk staat de inhoud van de rekenboeken van Bartjens centraal. De eerste paragraaf biedt een rekenkundige inleiding op De Cijfferinghe uit 1604, die het bestuderen van het facsimile kan vergemakkelijken. De tweede paragraaf beschrijft de aanpassingen die Bartjens in de loop der jaren in zijn boek aanbracht, culminerend in de publicatie van de Vernieuwde cijfferinge uit 1633. Paragraaf drie bevat een beschrijving van de inhoud van het tweede deel van De Cijfferinghe uit 1636. Het hoofdstuk eindigt met een vergelijking van Bartjens' werk met de rekenboeken van zijn voorgangers en tijdgenoten. Daarmee wordt een antwoord gegeven op de vraag hoe bijzonder de boeken van de beroemde rekenmeester waren in rekenkundig en didactisch opzicht.

5.1 De Cijfferinghe (1604)

Na het voorwerk met privilege, gedichten, opdrachten aan de notabelen van de stad (zie paragraaf 2.5), begint De Cijfferinghe met een inhoudsopgave en een lijst van symbolen en afkortingen die in het rekenboek gebruikt worden om munten, maten en gewichten te noteren. Op p. 117 en 118 wordt de waarde ervan aan de orde gesteld. In het rekenboek komen echter nog vele andere munten, maten en gewichten voor. Een complete lijst bevindt zich achter het facsimile.

Het rekenen met gehele getallen begint met het hoofdstuk Numeratio waarin de leerling de Hindoe-Arabische getallen leert noteren en lezen. De cijfers van 1 tot en met 9 heten beduydelijck. Het cijfer 0 is nullo ofte niet. Bartjens legt uit dat dit cijfer van zichzelf geen waarde heeft, maar gevoegd achter een der andere de waarde ervan kan vertienvoudigen. De getallen worden in drie groepen verdeeld: digitus (naar het Latijnse woord voor ‘vinger’) voor de eenheden, articulus, voor de tienvouden, compositus voor de getallen die zijn samengesteld uit een digitus en een articulus. Op p. 102 geeft de auteur veel voorbeelden van samengestelde getallen in oplopende grootte.

In de lijst daarna (p. 102-103) worden de machten van tien genoteerd. De auteur gebruikt niet de woorden ‘miljoen’ en ‘miljard’, maar kiest voor het meer traditionele duysend-mael-duysend en duysend-duysend-mael-duysend. Numeratio eindigt met een alternatieve getallennotatie - een combinatie van Romeinse cijfers en een positiestelsel - die in de late Middeleeuwen wel vaker gebruikt werd, maar in de tijd van Bartjens geen rol meer zal hebben gespeeld. In de rest van het boek keert deze notatie niet meer terug.

[p. 55]

Bartjens behandelt achtereenvolgens de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen voor gehele getallen. Elke bewerking wordt ingeleid door een soort van definitie, dan volgt een uitgewerkt voorbeeld met wat toelichting en daarna komen rijen opdrachten waarmee de leerling zijn rekenvaardigheid kan ontwikkelen.

Bij het optellen en het delen worden de uitkomsten gecontroleerd met de negenproef, herkenbaar aan de getallen naast de uitwerking. Bij aftrekken wordt gecontroleerd met de inverse bewerking optellen. In het hoofdstuk over vermenigvuldigen komen geen controles voor, maar de laatste 13 vraagstukken uit het hoofdstuk over delen zijn de inversen van de laatste 13 vraagstukken van het hoofdstuk over vermenigvuldigen. Bartjens zag een verband tussen beide bewerkingen, maar vond het kennelijk niet nodig om dit expliciet aan zijn lezers mee te delen.

Het optellen, aftrekken en vermenigvuldigen gebeurt op een manier die de moderne lezer vertrouwd voor zal komen. Bij optellen worden de kolommen van onder naar boven opgeteld en niet andersom, maar dat heeft voor de procedure weinig consequenties. Bij aftrekken volgen eerst enkele voorbeelden zonder lenen, daarna enkele met lenen, maar omdat hier verdere uitleg ontbreekt is niet duidelijk hoe dat lenen precies werd uitgevoerd. De tafels van vermenigvuldigen worden in kolomvorm gepresenteerd.

Bij de bewerking ‘delen’ kiest Bartjens voor de galei-deling, al hanteert hij deze benaming niet. Deze manier van delen heeft veel overeenkomsten met de ons bekende staartdeling al ziet het resultaat er anders uit. Aan het begin wordt de deler links onder het deeltal genoteerd, na elke tussenstap in de berekening wordt de deler doorgestreept en vervolgens opnieuw een positie verder naar rechts genoteerd. De resten die tijdens de berekening ontstaan worden boven het deeltal geschreven, zodat er een omhoog gerichte ‘getallenstaart’ ontstaat. Bij grotere delingen herkende men in de vorm van de berekening een zeilschip, waar de naam ‘galei-deling’ naar verwijst. Het quotiënt staat op het roer.

Bartjens' rekenboek moet leerlingen voorbereiden op de rekenkunde die nodig is bij de uitoefening van allerlei commerciële en technische beroepen. Rekenen met munten, maten en gewichten in allerlei praktijksituaties vormt dan ook de hoofdmoot van het boek. Bartjens hanteert de Amsterdamse munten en maten. Ook komen er enkele Vlaamse munten voor. Dat was niet ongebruikelijk. Veel rekenmeesters waren immers uit de Zuidelijke Nederlanden afkomstig.

Het rekenen in gelden is niet eenvoudig en vraagt veel oefening. Het eerste voorbeeld, een optelling van drie geldbedragen bestaande uit guldens, stuivers en penningen, is nog betrekkelijk eenvoudig, maar maakt duidelijk hoe het principe werkt (p. 119):

[p. 56]

De galeideling was de gebruikelijke manier waarop in de zestiende en zeventiende eeuw delingen werden uitgevoerd. Na afloop van de deling kon men in de berekening de vorm van een zeilschip herkennen. Afbeelding van fol. 10r van het manuscript van Josse Verniers (hs. 694) uit 1584, collectie Universiteitsbibliotheek Gent.

377 guldens	17 stuyvers	8 penningen
423 guldens	12 stuyvers	4 penningen
313 guldens	9 stuyvers	0 penningen	+
_____
1114 guldens	18 stuyvers	12 penningen

De optelling begint rechts aan de zijde van de penningen. Zodra een kolom is opgeteld, wordt de som, indien mogelijk, omgerekend naar de muntsoort van de volgende kolom. 16 penningen zijn 1 stuiver waard en 20 stuivers vormen 1 gulden.

Ook bij het aftrekken met lenen, moet de rekenaar zich voortdurend de waarde van de gebruikte munten, maten of gewichten bewust zijn. Vermenigvuldigen in gelden komt voor in situaties waarin men de waarde van grote munten of maten wil uitdrukken in een kleinere munt of maat. In vraagstuk 20 (p. 125) wordt bijvoorbeeld gevraagd hoeveel penningen een bedrag van 306 goudguldens 17 stuivers 14 penningen waard is. Aangezien een goudgulden 28 stuivers en een stuiver 16 penningen waard was, komt het voornoemde bedrag na twee vermenigvuldigingen op 137.374 penningen uit.

Delen is de volgende bewerking. Divisie in gelden, wordt gebruikt in situaties waarin men munten, maten of gewichten van een kleine waarde om wil rekenen in eenheden van een grotere waarde. In vraagstuk 18 (p. 127) wordt bijvoorbeeld gevraagd hoeveel ponden 182.615 groten waard zijn. Aangezien 12 groten gelijk zijn aan één schelling en er 20 schellingen in één pond gaan volgt na twee delingen het resultaat van 760 ponden, 17 stuivers, 11 groten. De 25 vraagstukken die Bartjens bij Divisio in gelden aanbiedt, zijn de inversen van de vraagstukjes die hij bij het hoofdstuk over vermenigvuldigen met geld behandelt (p. 123 e.v.).

[p. 57]

Nadat de lezer het delen en vermenigvuldigen in gelden onder de knie heeft, mag hij de twee bewerkingen door elkaar gaan toepassen in allerlei omwisselvraagstukken. De 39 vraagstukken die bij dit hoofdstuk horen worden steeds complexer. Dat wil zeggen dat er munten gebruikt worden met een waarde waar niet makkelijk mee te rekenen is. In vraagstuk 61 (p. 131) gaat het bijvoorbeeld om Henriks nobels die per stuk 7 gulden min 3 stuyvers waard zijn. Bovendien worden er gaandeweg binnen een opgave steeds meer verschillende munten met elkaar gecombineerd. In vraagstuk 64 moeten rosenobels, schellingen, rijcxdaelders en koningsdaelders via stuyvers tot guldens omgerekend worden.

De lezer die op dit punt in het boek is aangeland is goed ingeleid en voorbereid op de regel van drieën. Dit is de belangrijkste regel uit het rekenboek waarmee - in moderne bewoordingen - uit drie gegeven getallen het vierde evenredige getal berekend kan worden. Bartjens legt uit dat de rekenaar die de regel wil toepassen, de drie gegeven getallen op een rij moet zetten en daarna als volgt moet rekenen: multipliceert 't getal dat tegen de rechterhand staet, met 't middelste getal: 't product divideert door 't getal dat tegen de luchterhand staet. Zie bijvoorbeeld vraagstuk 1 (p. 133): 2 pond boter kost 7 stuivers. Hoeveel kost 10 pond? De gegeven getallen worden op een rij gezet: 2 - 7 - 10. Het product van de beide laatste getallen gedeeld door het eerste getal levert als uitkomst 35 op. Dus kost 10 pond 35 stuivers.

De berekening wordt gecontroleerd door het vraagstuk om te keren: 10 pond kost 35 stuivers. Hoeveel kost 2 pond? De regel van drieën wordt weer toegepast en laat zien dat 2 pond 5 stuivers kost. Daaruit concludeert Bartjens dat de berekening correct was uitgevoerd. Bartjens controleert uitsluitend het eerste vraagstuk uit dit hoofdstuk.

Uiteraard kan men dit vraagstuk sneller oplossen, maar alternatieve, snelle oplossingsmanieren worden op deze plaats in de rekenboeken nooit behandeld. Het doel van de auteur is om de lezer uit te leggen hoe de regel van drieën in zijn werk gaat. Dat recept moet ingeoefend worden. Alternatieve oplossingsmanieren worden vooralsnog vermeden, wellicht omdat ze de leerling in verwarring kunnen brengen.

Dat Bartjens de regel van drieën belangrijk vond blijkt uit het grote aantal vraagstukken dat hij aanbiedt om deze regel te oefenen, maar liefst 98 stuks (door vergissingen in de opgavenummers heeft de laatste opgave nummer 99). Het zijn vrijwel allemaal vraagstukken waarin de prijs van een hoeveelheid goederen moet worden uitgerekend. De inkleding is zo stereotiep dat hij geleidelijk aan steeds meer verkort wordt. Vraagstuk 6 (p. 133) luidt nog: Een last rog kost 76 gulden. Hoeveel 10 last? Maar in vraagstuk 11 (p. 133) staat slechts: 75 pond tot 5 stuivers 't pond? Bedoeld wordt: ‘Bereken de prijs van 75 ponden die 5 stuivers per pond kosten.’ Vraagstuk 66 (p. 140) luidt: 19 schippond 8 lijspond 7 pond hennip, tot 46 rijcx-dalers 't schippond, tot 46 stuyvers 't stuck hoe veel ist? Bedoeld wordt: Bereken de prijs van 19 schip-pond, 8 lijs-pond, 7 pond hennep, als 1 schip-pond hennep 46 rijcx-daelders kost van 46 stuyvers per stuk.

[p. 58]

In dit hoofdstuk worden af en toe breuken gebruikt om de uitkomst van een berekening te noteren, terwijl het rekenen met breuken pas later in het boek voorkomt In eerdere hoofdstukken werden resten van delingen omgerekend naar kleinere muntsoorten en dan alsnog gedeeld, waardoor breuken vermeden konden worden.

De vraagstukken nemen toe in moeilijkheidsgraad. Dat gebeurt op twee manieren. Allereerst wordt het gebruikte getallenmateriaal complexer door het gebruik van allerlei verschillende maatsoorten. Vraagstuk 2 (p. 133) luidt: 1 el kost 4 stuivers. Hoeveel kosten 50 ellen? Vraagstuk 61 (p. 139) luidt: 1 last rogge kost 97 goudguldens 18 stuivers 12 penningen. Hoeveel kosten 30 lasten 16 mudden 2 schepels rogge? Geleidelijk aan wordt ook de inkleding van het vraagstuk ingewikkelder. Vraagstuk 58 (p. 138): 1 ton bier kost 7 guldens, 6 stuivers min 8 penningen. Daar komt 6 guldens 5 stuivers accijns bovenop. Voor het thuisbrengen moet 2 stuivers per ton betaald worden. De vraag is hoeveel 1 last bier kost.

In de handel kan het voorkomen dat een deel van de aangeboden goederen ‘wrack’ is, dat wil zeggen niet meer van topkwaliteit is. In vraagstuk 80 (p. 143) wordt uitgelegd hoe je daar in je berekeningen mee om kunt gaan. 't Last Teer tot 86 guldens derdenhalven braspenning. Hoeveel 12 last 11 ton? Waar of de 7 last wrack zijn, hebbende 3 wracken voor 2 goede tonnen. De leerling krijgt het advies om de 7 last wrack naar goede tonnen om te rekenen. Aangezien 1 last gelijk is aan 12 tonnen, zijn 7 lasten dus gelijk aan 84 tonnen. Drie wracke tonnen zijn, vanwege de ‘korting’, evenveel waard als 2 goede tonnen, dus 84 wracke tonnen kosten even veel als 56 goede tonnen, wat gelijk is aan 4 last 8 tonnen. Dit gevoegd bij de 5 last 11 ton die goed was, maakt dat we in onze berekening uit mogen gaan van 10 last 7 ton, ofwel 127 ton goed materiaal. Aangezien één last 86 guldens en derdenhalven (=2½) braspenning kost en één braspenning gelijk is aan 20 penningen kunnen we het vraagstuk herformuleren tot: 12 ton kost 27.570 penningen. Hoeveel kost 127 ton? Met de regel van drieën vindt men dan 911 guldens, 16 stuyvers, 6½ penningen.

Vlak voor het hoofdstuk over het rekenen met breuken staat een rijmpje (p. 147) dat de leerling aanmoedigt om zich goed in het volgende onderwerp te verdiepen. Degene die met hele getallen kan rekenen heeft nog niet zo veel in zijn mars. Het rekenen begint pas echt vruchten af te werpen als ook het rekenen met breuken wordt beheerst.

Voordat de leerling aan het rekenen met breuken toe is, moet hij eerst een aantal basisvaardigheden met breuken onder de knie hebben. Bartjens begint met het lezen en schrijven van breuken (p. 148), waarbij opvalt dat hij in het rijtje stambreuken dat hij geeft, de breuk 1/12 is vergeten. Daarna volgt het schrijven van een breuk als gemengd getal en vice versa (p. 149 Bijvoorbeeld: 8/3 doet 2⅔. Verderop in het boek laat hij breuken die kleiner dan 1 zijn soms door een nul voorafgaan. Bijvoorbeeld: 0 9/20 penningen (p. 159). Hij is daar niet consequent in. Ook het vereenvoudigen (abbriveren) van breuken behoort tot de basisvaardigheden. Teller en

[p. 59]

noemer worden door hetzelfde getal gedeeld (p. 150). Abbriveert 221/247 komt 17/19. Bartjens onderwijst het algoritme van Euclides waarmee de gemeenschappelijke deler van de teller en de noemer van een te vereenvoudigen breuk kan worden gevonden. Voordat de leerling aan het rekenen met breuken toe is moet hij ook nog kunnen vaststellen welke van twee breuken de grootste is (p. 150). Dit gebeurt door kruiselings vermenigvuldigen van de tellers en de noemers. Als voorbeeld wordt gegeven: Wat is meerder 24897/33196 of ¾? Beide breuken blijken even groot te zijn. Dat wisten we eigenlijk al, want de breuk 24897/33196 was eerder een voorbeeld bij abbriveren. De volgende basisvaardigheid is het gelijknamig maken van twee breuken (p. 151), reductio of ook wel reduceren onder eenen noemer genoemd. Bartjens vermenigvuldigt teller en noemer van beide breuken kruiselings en neemt als gelijknamige noemer het product van de twee oorspronkelijke noemers. Bijvoorbeeld ¾ ende ⅚ komt 18/24 en 20/24. Op p. 152 volgen voorbeelden waarbij meer dan twee breuken gelijknamig worden gemaakt. De laatste basisvaardigheid betreft het ‘deel van een breuk berekenen’ (gebrokens uyt gebrokens reduceren, p. 153) Bartjens maakt onderscheid tussen het berekenen van een deel van een breuk en het vermenigvuldigen van breuken. Een voorbeeld van een deel van breuk is: Reduceert 3/7 uyt 8/12 komt 2/7 (voorbeeld 9, p. 153), een voorbeeld van vermenigvuldigen van breuken luidt: Multipliceert 3½ met ¾. Antw. 2⅝ (voorbeeld 11, p. 160). Het eerste is een basisvaardigheid, het tweede komt bij het rekenen met breuken aan de orde.

Wie deze basisvaardigheden onder de knie heeft is toe aan het rekenen met breuken. Bij het optellen en aftrekken maakt Bartjens onderscheid tussen gelijknamige breuken, waarbij je uitsluitend de tellers hoeft op te tellen of af te trekken, en ongelijknamige breuken, die eerst gelijknamig gemaakt moeten worden. Maar zoo de noemers ongelijck zijn, zo wercktse in 't cruys om [ze] in ghelijcke noemers te brenghen. Bij het vermenigvuldigen met breuken legt Bartjens uit dat je de tellers van de breuken met elkaar kunt vermenigvuldigen tot de generale teller en de noemers tot de generale noemer. Hij wijst niet op de overeenkomst met ‘deel van een breuk berekenen’ op p. 153. Het recept dat Bartjens bij het delen van breuken toepast, luidt: Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde. Tot slot van het rekenen met breuken wordt het onderwerp Veranderinge van ghedeelten behandeld. Een gedeelte van een munt, maat of gewicht wordt omgerekend naar een kleinere eenheid. Vraagstuk 1, p. 163: ⅘ van een gulden, hoeveel stuyvers zijn 't? De omgekeerde weg wordt op p. 165 uitgelegd. Vanaf vraagstuk 23 op p. 166 gaat het niet meer om maatgetallen, maar om ‘kale’ getallen: Hoeveel is ⅔ van 6? Ook dit type vraagstukken wordt later ‘omgekeerd’. Vraagstuk 31, p. 167: Als 4 is ⅔, hoe veel is 't geheel? Verbanden met eerder geleerde bewerkingen zoals het vermenigvuldigen met breuken worden niet gelegd.

Vervolgens behandelt Bartjens vanaf pagina 168 allerlei vraagstukken waarbij het rekenen met breuken een belangrijke rol speelt. Een groot deel van deze vraagstukken is niet afkomstig uit de dagelijkse praktijk van de koop- of am-

[p. 60]

bachtsman. Het zijn problemen die tegenwoordig met algebraïsche vergelijkingen opgelost worden, maar Bartjens blijft zich van de rekenkunde bedienen. Bijvoorbeeld vraagstuk 42: ‘Zoek twee getallen waarbij ⅔ deel van het ene getal evenveel is als ⅗ deel van het andere.’ Bartjens vermenigvuldigt de twee breuken kruiselings, dat levert 9/10 op en dus is het ene gezochte getal 9 en het andere 10. Dat er nog veel meer antwoorden mogelijk zijn wordt niet vermeld.

Andere vraagstukken in dit hoofdstuk vallen op door een afwijkende formulering. Vraagstuk 60, p. 170: Substraheert ¾ schelling met ½ uyt 9¾ groten van 17½ schellingen min 9½ groten, dat de reste sy 15 schellingen 6⅝ groten. Bedoeld wordt (17½ schellingen - 9½ groten) - (¾ schelling + ½ × 9¾ groten) = 15 schellingen 6⅝ groten.

Op p. 171 geeft Bartjens uitleg over de regel van drieën met breuken. De 66 vraagstukken die volgen nemen zoals gebruikelijk toe in moeilijkheid. In het eerste voorbeeld komt slechts één breuk voor. In vraagstuk 45 (p. 178) gaat het om drie gebroken getallen 2½ ellen tot 7¾ stuyvers, hoeveel 26⅛ ellen? Bartjens zet de breuken in de regel: 5/2 - 31/4 - 209/8 en rekent ze om te beginnen om naar gehele getallen. Hiertoe vermenigvuldigt hij het eerste getal met 64 en het tweede en derde getal elk met 8. De regel wordt nu: 160 - 62 - 209. Nu kan gewoon de regel van drieën worden toegepast, dat wil zeggen: vermenigvuldig de laatste twee getallen en deel door het eerste. Dat levert 4 guldens 0 stuivers 15⅘ penningen op.

In het hoofdstuk Practijke ofte korte Rekening (p. 182) dat maar liefst bijna 40 bladzijden met in totaal 225 vraagstukken beslaat, laat Bartjens allerlei aanpakken zien waarmee het complexe en in de praktijk veel voorkomende rekenwerk met munten, maten en gewichten vereenvoudigd kan worden, mits de getallen in de opgave zich daartoe lenen. Bij de gewone rekenwijzen is het gebruikelijk om gemengde getallen in ‘gewone’ breuken om te zetten en bedragen, maten of gewichten naar de kleinste eenheid om te rekenen. Dat is soms omslachtig en kan ingewikkeld rekenwerk en dus rekenfouten opleveren. Vaak is het mogelijk om de getallen in de berekening te splitsen in handige delen, waardoor het rekenwerk eenvoudiger wordt. Dat vraagt wel veel rekenvaardigheid van de rekenaar, die hierbij immers niet langer blindelings standaardregeltjes kan toepassen.

Als voorbereiding op het handige rekenen geeft Bartjens op p. 182 en 183 lijsten waarin hij aangeeft hoe je hoeveelheden stuivers in voor het rekenwerk handige porties kan verdelen. Hij verdeelt bijvoorbeeld 19 stuivers in 10 + 5 + 4 want dat is ½ gulden + ¼ gulden + ⅕ gulden. En in het volgende lijstje verdeelt hij bijvoorbeeld 13 penningen in 8 + 4 + 1 want dat is ½ + ¼ + 1/16 schelling. Deze breuken worden ingezet om tijdens de berekening handige tussenuitkomsten te produceren. Zie bijvoorbeeld vraagstuk 25 op p. 187: 1 el caffa kost 13 schellingen 3½ grote. Hoeveel kosten 390½ ellen? Bij de gangbare oplossingsmanier wordt eerst het bedrag van 13 schelling en en 3½ groten omgerekend naar groten (1 schelling = 12 groten en 1 grote = 8 penningen): 13 schellingen zijn 156 groten, met de

[p. 61]

3½ groten komt de prijs van 1 el op 159½ groten. Dat bedrag wordt vervolgens met 390½ vermenigvuldigd en het product weer omgerekend naar grotere muntsoorten. In Practijke ofte korte Rekening wordt het omrekenen naar kleine munteenheden zo veel mogelijk vermeden. De vermenigvuldiging van 13 schelling 3½ groten met 390½ wordt op verkorte wijze als volgt uitgevoerd, waarbij 3½ groten verdeeld zijn in 3 groten + ½ grote. Ook de 390½ ellen zijn verdeeld:

3 schellingen:	3 × 390 =	1170 schellingen
10 schellingen:	10 × 390 =	3900 schellingen
3 groten = ¼ schelling:	¼ × 390 =	97 schellingen	- 6 groten
½ grote = ⅙ deel van 3 groten:	⅙ × (97 - 6) =	16 schellingen	- 3 groten
½ el:	½ × (13 - 3½) =	6 schellingen	- 7¾ groten
	Opgeteld: 5190 schellingen - 4¾ groten
	= 259 ponden 10 schellingen 4¾ groten

Nadat 116 van dergelijke vraagstukken in opklimmende moeilijkheid zijn gepresenteerd, begint op p. 203 een tweede groep vraagstukken uit het hoofdstuk over Practijke ofte korte Rekening. Bij dit type vraagstukken gaat het om de bewerking delen en ook hierbij is het niet altijd noodzakelijk om geldbedragen eerst helemaal om te rekenen naar de kleinste munteenheid. Tussentijdse delingen kunnen het rekenwerk vereenvoudigen. Vraagstuk 23 op p. 208 luidt bijvoorbeeld: 220 ponden kosten 2842 ponden 15 schellingen 5½ groten. Hoeveel kost 1 pond? De gebruikelijke aanpak is om het geldbedrag eerst om te rekenen naar groten en dat bedrag door 220 te delen. Maar Practijke leert hoe je ook meteen kunt beginnen met delen en de resten steeds bij de kleinere munteenheden kunt voegen. Om te beginnen wordt 2842 gedeeld door 220. Dat geeft 12 pond rest 202. Die rest van 202 pond is gelijk aan 202 maal 20 schellingen, gevoegd bij de 15 schellingen van de opgave wordt 4055 schellingen. Deze worden vervolgens gedeeld door 220, er ontstaat weer een rest, enzovoort.

Tot en met vraagstuk 46 is steeds een van de getallen in de regel van drieën 1. Vanaf vraagstuk 47 is dat niet meer het geval. Voorbeeld 57 (p. 216) luidt bijvoorbeeld: 6 ponden kosten 24 ponden 12 schellingen 8 groten. Hoeveel kosten 54 ponden? Berekening:

4 ponden × 54 =		216 ponden
20 ponden × 54 =		1080 ponden
10 schellingen = ½ pond:	½ × 54 =	27 ponden
2 schellingen = ⅕ deel van ½ pond:	⅕ × 27 =	5 ponden	- 8 schellingen
6 groten = ¼ deel van 2 schellingen: ¼ × (5 - 8)=		1 pond	- 7 schellingen
2 groten = ⅓ van 6 groten:	⅓ × (1 - 7) =		9 schellingen
	Opgeteld:	1330 ponden - 4 schellingen
	(1330 - 4): 6 = 221 ponden 14 schellingen

[p. 62]

Voor dit vraagstuk worden nog drie alternatieve oplossingsmanieren gegeven. Dat illustreert hoe vaardig men in de praktijk met getallen en rekenregels moest kunnen omgaan. De leerling krijgt in dit hoofdstuk veel strategieën aangereikt die hem rekenvaardiger maken.

Vanaf p. 224 worden in het hoofdstuk over Cassiers Rekeninghen allerlei vraagstukken berekend die uit de beroepspraktijk van kassiers afkomstig zijn. Dat zijn onder andere vraagstukken over het wisselen van geld en het aflossen van schulden. Zie bijvoorbeeld vraagstuk 7 (p. 225): Iemand moet in totaal 1000 gulden aflossen. Na 2 maanden moet hij 250 gulden betaald hebben. Na 3 maanden moet hij 200 gulden betaald hebben en na 4 maanden 550 gulden. Hij biedt aan om het hele bedrag in een keer te betalen. Na hoeveel tijd moet hij dat gedaan hebben? Daartoe wordt het (naar bedrag gewogen) gemiddelde bepaald over de tijd die het afbetalen normaal gesproken zou kosten. De regel van drieën speelt in dergelijke berekeningen nog slechts een ondergeschikte rol.

Van vraagstuk 12 tot en met 19 gaat het om situaties waarin een schuld na een bepaalde periode moet worden afbetaald, maar aangezien de schuldenaar besluit om de schuld terstond af te lossen, krijgt hij een paar procenten korting. Ook het onderwerp Van worpen (p. 229) vormt een onderdeel van Cassiers Rekeningh. Een worp is een groepje munten. Worpen kunnen het omrekenen van grote hoeveelheden gelijke munten vergemakkelijken. Stel dat men wil weten hoeveel gulden 1440 blancken waard zijn. 1 blanck = ¾ stuiver en dat levert tamelijk lastig rekenwerk op. Door voor een worp te kiezen kan het rekenen met de breuk omzeild worden. Omdat 4 blancken gelijk zijn aan 3 stuivers, heeft men in vraagstuk 20 (p. 229) worpen van 4 blancken (oftewel 3 stuivers) gekozen. Nu zijn 1440 blanken gelijk aan 360 worpen. Hoeveel zijn 360 worpen waard? Eenvoudig vermenigvuldigen met 3 leert dat 360 worpen 1080 stuivers, ofwel 54 guldens waard zijn.

In het hoofdstuk Interest bij maanden (p. 231) worden rentevraagstukken berekend. Het gaat daarbij om enkelvoudige rente en niet om rente op rente. Zie bijvoorbeeld vraagstuk 1 (p. 231): Als 100 ponden winnen 10½ pond hoeveel (winnen) dan 366 ponden 12 schellingen 8 penningen? De regel van drieën wordt ingezet. De vermenigvuldiging van de laatste twee getallen wordt op verschillende handige manieren berekend. Het product wordt tot slot gedeeld door het eerste getal, 100.

In het hoofdstuk Oeffeninghe vanden regel van dryen (vanaf p. 235) worden vraagstukken over allerlei situaties uit de handel aan de orde gesteld: kopen, verkopen, winst maken, afdingen,...enzovoort. Het gaat om verschillende prijzen en goederen, bedorven waar, kwaliteitsverschillen, contant betalen of in natura, enzovoort. Vraagstuk 24 (p. 240) luidt bijvoorbeeld: Een koopman koopt in Amsterdam drie soorten specerijen. 100 pond pepervoor 44½ groten per pond, 50 pond noten muscaten voor 38¾ groten per pond, 600 ponden amandelen. Hij betaalt 50 ponden. De vraag is hoeveel de amandelen per pond hebben gekost. Dit hoofdstuk geeft niet alleen allerlei verschillende handelssituaties, ook rekentechnisch gezien zijn

[p. 63]

er allerlei varianten aanwezig, waarin overigens steeds de regel van drieën een (soms geringe) rol speelt. Ook het onderwerp Van tara (vanaf p. 249) valt onder Oeffeninghe vanden regel van dryen. Weer passeren allerlei vraagstukken uit de handel de revue, maar nu speelt het gewicht van de verpakking steeds een rol.

In het laatste deel van het rekenboek worden allerlei regels behandeld die in rekenkundig opzicht variaties zijn op de regel van drieën. Als eerste stelt Bartjens Den Regel van dryen verkeert (vanaf p. 255) aan de orde. Zie bijvoorbeeld vraagstuk 6 (p. 256): Als 6 timmermannen in 186⅔ dagen een schip van 66 lasten maken: vrage so men der 10 mannen aan stelden/ in hoeveel daghen die dat opmaken zouden? De gegeven getallen worden ook nu weer in de regel van drieën gezet: 6 - 186⅔ - 10, maar de leerling moet hier herkennen dat hij nu de omgekeerde regel van drieën moet toepassen, omdat meer timmerlieden juist minder tijd nodig hebben om het karwei te klaren. In de omgekeerde regel van drieën moet de rekenaar, volgens Bartjens, de eerste twee getallen met elkaar vermenigvuldigen en het product delen door het laatste getal uit de regel. De vraagstukken die bij deze regel gegeven worden beschrijven allerlei uiteenlopende situaties uit de handel, het geldwezen, de techniek en zelfs uit de praktijk van oorlogsvoering.

De tweede variant op de regel van drieën is de Reghel van vyven, ofte anders genaamt den dobbelen Regel van dryen (vanaf p. 261). Met behulp van deze regel kan men bij vijf gegeven getallen het zesde onbekende evenredige getal berekenen. Zie bijvoorbeeld vraagstuk 1 (p. 261): Als 100 ponden in 12 maanden een winst van 9 pond opleveren, hoeveel winst leveren dan 400 ponden in 5 maanden op? De vijf gegeven getallen worden op een rij gezet: 100 - 12 - 9 - 400 - 5. Door de eerste twee getallen en de laatste twee getallen met elkaar te vermenigvuldigen ontstaat het materiaal voor de regel van drieën: 1200 - 9 - 2000. In een alternatieve berekening laat Bartjens zien dat het ook mogelijk is om tweemaal de regel van drieën na elkaar toe te passen.

Den verkeerden ofte gecomposeerde regel van vyven (vanaf p. 265) is een regel om bij vijf gegeven getallen het zesde onbekende omgekeerd evenredige getal te berekenen. Zie bijvoorbeeld vraagstuk 1 (p. 266): Als 3 ruiters voor 162 gulden zijne excellentie 2 maanden lang dienen. Hoeveel ruiters zullen hem dan 9 maanden lang voor 24300 gulden dienen? Ook dit vraagstuk wordt op verschillende manieren berekend. In het ene geval is er sprake van een soort kruiselings vermenigvuldigen. In het ander geval wordt de regel van drieën twee keer uitgevoerd: een keer gewoon en een keer verkeert.

De laatste rekenregel die Bartjens behandelt is de samengestelde regel van drieën of regel conjoint (vanaf p. 272). Bij deze regel moet men de regel van drieën net zo vaak toepassen als nodig is. Zie bijvoorbeeld vraagstuk 1 (p. 272): Hoe veel ellen Antwerps doen 87½ el Franckforts, als 10 ellen Franckforts doen 7 ellen te Vienne in Oostenrijck: ende 35 ellen te Vienne doen 24 ellen te Lion, ende 3 ellen te Lion doen 5 ellen t'Antwerpen? Antwoord: 70 ellen.

[p. 64]

5.2 Op weg naar de Vernieuwde cijfferinge (1633)

In 1633 verscheen de Vernieuwde cijfferinge. In het voorwoord van dit boek meldt Bartjens dat er tot dan toe maar liefst tien edities van De Cijfferinghe zijn verschenen. Van de herdrukken zijn echter geen exemplaren meer bekend. De Vernieuwde cijfferinge vertoont bijzonder veel overeenkomsten met de oorspronkelijke Cijfferinghe uit 1604, maar er zijn enkele verschillen. Een deel van deze verschillen zijn al in eerdere edities van De Cijfferinghe aangebracht. Sommige aanpassingen komen namelijk ook al voor in een roofdruk van De Cijfferinghe die wel is overgeleverd. Deze

Titelblad van de roofdruk die de Amsterdamse uitgever Cloppenburg in 1632 van De Cijfferinghe van Bartjens produceerde. De roofdruk vertoont grote gelijkenis met het facsimile en met de latere edities van de Vernieuwde cijfferinge. (Collectie Universiteitsbibliotheek van Amsterdam ok91-59)

[p. 65]

roofdruk werd in 1632 gedrukt door de Amsterdamse boekdrukker Jan Cloppenburg. De verschillen tussen dit boek en De Cijfferinghe - die ook weer in de Vernieuwde cijfferinge voorkomen - laten zien dat Bartjens in minstens een van zijn herdrukken van voor 1632 al herzieningen heeft aangebracht. Daar waar de Vernieuwde cijfferinge verschilt met de roofdruk en De Cijfferinghe heeft Bartjens ‘nieuwe’ wijzigingen aangebracht. Kortom, de roofdruk van Cloppenburg vormt een schakel tussen De Cijfferinghe en de Vernieuwde cijfferinge waarmee men kan vaststellen wat werkelijk ‘nieuw’ is.

Een zeer in het oog springende wijziging die op een gegeven moment bij een van de herdrukken heeft plaatsgevonden betreft het portret op de titelpagina. In 1604 prijkt een 34-jarige Bartjens op zijn rekenboek. Later, waarschijnlijk bij een herdruk omstreeks 1615, is dit portret vervangen door een portret van Bartjens op 46-jarige leeftijd.

Een andere wijziging betreft de gedichten in het rekenboek. De gedichten ‘Carmen Hexametrum’ van Josephus van der Rozieren en ‘Achteling’ van I.B. verdwenen op den duur en de ‘Lof-zangh’ van Joost van den Vondel werd toegevoegd. Bartjens heeft op verschillende plaatsen in zijn Cijfferinghe enkele zelfgemaakte gedichtjes opgenomen om de ijver van zijn leerlingen te bevorderen. Inhoudelijk zijn deze gedichtjes in de herdrukken steeds gelijk, maar aan de vorm is in de loop der jaren wel wat gesleuteld.

Zo worden in het rekenboek uit 1604 bijvoorbeeld de tafels van vermenigvuldiging ingeleid met het volgende gedicht (p. 109):

Wildy uw' rek'ning recht besluyten
Leert wel dese tafel van buyten.

Cloppenburg heeft op deze plaats genoteerd:

So yemand wil sijn Rek'ning recht besluyten
Dees Tafel moet hy leeren vast van buyten.

En in de Vernieuwde Cijfferinge (1633) werd het:

Om Reeckeninghen recht te sluyten,
Leertmen des' Tafel vast van buyten.

Ook van andere verzen zijn varianten in omloop. Aan het eind van het hoofdstuk over Practijcke ofte Korte rekeninge is later een gedicht toegevoegd.

Ook zijn er in de loop der jaren enkele fouten verbeterd. In de eerste editie van De Cijfferinghe zijn bijvoorbeeld fouten gemaakt bij het nummeren van de vraagstukken in het hoofdstuk over de regel van drieën. In latere edities is dat aangepast. Enkele rekenfouten zijn verdwenen. Zo staat bijvoorbeeld in het rekenboek uit 1604 een fout in de tweede optelling van ‘Additie in gelde’ (p. 119). In latere drukken is de kolom van de guldens correct opgeteld. Ook is er een fout in de eer-

[p. 66]

ste aftrekking van het hoofdstuk ‘Substractie in gelde’ (p. 121). Het getal 135 is in latere drukken gecorrigeerd in 133. Daar staat tegenover dat er in latere drukken weer nieuwe fouten gemaakt zijn, die in de editie van 1604 niet voorkwamen. Bij het aftrekken van breuken noteert Cloppenburg bijvoorbeeld als negende vraagstuk: Substraheert 5⅛ van 1/16 rest 15/16. Aanvankelijk stond er 61/16, maar de 6 is in de loop der tijden verdwenen. In de Vernieuwde cijfferinge staat op deze plaats ten onrechte 91/16.

In de loop der jaren zijn er twee onderdelen aan De Cijfferinghe toegevoegd. In latere drukken volgt aan het eind van het hoofdstuk over het rekenen met munten, maten en gewichten een soort herhalingshoofdstuk. In deze Oeffeninge der spetie mag de leerling aantonen dat hij de tot nu toe behandelde stof goed onder de knie heeft. Bij de vraagstukken die volgen moet hij zelf bepalen welke bewerking of combinatie van bewerkingen nodig is voor het oplossen ervan. Vraagstuk 10 in dit hoofdstuk luidt bijvoorbeeld: Hebbende verwisselt aen een vaetjen vol duyten 66 pistoletten tot 3 guldens 10 stuyuers 't stuck, ende alsomen my 9 duyten voor een stuyver gaf: vraghe hoe veel duyten in 't tonneken geweest zijn? Facit 41580 duyten.

Aan het eind van het boek werd door Bartjens een extra hoofdstuk toegevoegd: den regel van esgualisatien ofte even-gelijck-makinge. Hierin zijn vraagstukken opgenomen die tegenwoordig met eerstegraads-vergelijkingen opgelost zouden worden. Bartjens gebruikt geen algebra en lost elk vraagstuk rekenkundig op. De woorden plus en minus, of ook wel boven en onder - in de betekenis van meer en minder - spelen in de vraagstelling steeds een rol. Zo luidt bijvoorbeeld vraagstuk 23: Een man koopt ettelijcke even-veel weghende stuckx kasen voor de somme van 135 guldens, bevind dat hem de 3 stucx kosten soo veel boven de 3 guldens als de 9 stucx bedragen onder 12 guldens. Vraghe hoeveel stucx kasen hy kochte? Ant. 108.

In de loop der jaren heeft Bartjens in de herdrukken van De Cijfferinghe enkele wijzigingen aangebracht die we met een moderne term ‘didactische verbeteringen’ zouden kunnen noemen. We kunnen ons voorstellen dat Bartjens als schoolmeester werkend met zijn eigen rekenboek gemeend heeft dat zijn boek op enkele punten verbeterd zou kunnen worden. Het gaat om geringe aanpassingen:

-	Het hoofdstuk over delen begint in alle boeken met de deling 96 : 6. In De Cijfferinghe geeft hij alleen het uitgewerkte eindresultaat weer. In latere edities is ook een tussenstadium van de berekening afgedrukt.
-	Als hij overstapt op delingen met een meercijferige deler geeft hij oorspronkelijk het voorbeeld 8439 : 49 en in latere edities het voorbeeld 943 : 43. Hoewel het in beide gevallen een deling met rest betreft, is het laatste een eenvoudiger voorbeeld, dat meer geschikt lijkt als eerste kennismaking.
-	In De Cijfferinghe schrijft Bartjens in het hoofdstuk over Additie in Gelde dat het optellen van verschillende soorten gewichten op dezelfde wijze gaat als het optellen van verschillende muntsoorten. In latere edities is deze opmerking vervangen door een uitgewerkt voorbeeld over het optellen van gewichten.

[p. 67]

-

Een enkele keer verandert Bartjens iets aan de indeling van vraagstukken in categorieën. Binnen het hoofdstuk Cassiers Rekeningh zet hij in latere edities boven een bepaalde groep vraagstukken over het aflossen van schuld de titel Van Rabateren. Na het hoofdstuk over rekenen met breuken volgen vanaf pagina 163 allerlei vraagstukken waarbij het rekenen met geldbedragen en breuken een belangrijke rol speelt. In latere edities worden de laatste 21 vraagstukken van dit deel Sinrijcke Vragen genoemd.

Tevens zijn er enkele verschillen in de gebruikte munten, maten en gewichten. In De Cijfferinghe komen bijvoorbeeld nog vierijsers en zevenduytspenningen voor, in

Titelblad van het eerste deel van de Vernieuwde cijfferinge (editie 1636). De veranderingen die Bartjens in het voorwoord aankondigde bestaan uit niet meer dan een paar geringe wijzigingen in de uitgewerkte opgaven en enkele controles van berekeningen. De uitgave van het vernieuwde rekenboek lijkt vooral gedaan om te kunnen optreden tegen roofdrukken die van deze, met privilegie uitgeruste editie verschenen. (Collectie Instituut voor Sociale Geschiedenis, Amsterdam)

[p. 68]

latere edities zijn deze munten verdwenen. In De Cijfferinghe noteert Bartjens: Een Tonne-Last is 12 Tonnen, in latere edities voegt hij hieraan toe: somtijts meer.

In 1633 verscheen de Vernieuwde cijfferinge. Op p. 4 van de inleiding beweert Bartjens dat hij in dit boek zijn Cijfferinghe in vele plaetsen heeft veranderd. Het portret op de titelpagina is vervangen. We zien Bartjens nu als eerbiedwaardige grijsaard van 64 jaar. Het nieuwe boek wordt opgedragen aan de bestuurders van Zwolle, terwijl de opdracht in De Cijfferinghe aan burgermeesters, schepenen en raad van Amsterdam is gericht. Bartjens klaagde in de inleiding van zijn Vernieuwde cijfferinge dat er veel fouten in de nadrukken zitten. Hij maakte zich speciaal boos over de roofdruk van Cloppenburg. In deze nadruk was het aantal fouten overigens gering.

Zoals gezegd lijkt de Vernieuwde cijfferinge in zeer veel opzichten op de editie uit 1604. Vermoedelijk om de indruk te wekken dat het toch om een heel ander rekenboek gaat, heeft Bartjens op een aantal opvallende plaatsen wat vraagstukken gewijzigd. Het gaat dan steeds om volledig uitgewerkte voorbeeldsommen, bij het minder in het oog springende oefenmateriaal, dat slechts een antwoord en geen uitwerking heeft, zijn geen wijzigingen aangetroffen. De wijzigingen betreffen de inkleding van het vraagstuk en soms ook de gebruikte getallen. Zo staat bijvoorbeeld op p. 184 in De Cijfferinghe: een paer kinderkoussen costen 1½ stuyvers: hoeveel 12 paaren? Het betreft een uitgewerkt voorbeeldvraagstuk. In de Vernieuwde cijfferinge staat op dezelfde plaats: een paer gebreyde koussen kosten 3½ stuyuer: hoeveel 27 paer? Van de 950 vraagstukken in de Vernieuwde cijfferinge zijn er zo'n 30 niet volledig identiek met de herdrukken van De Cijfferinghe.

Er is slechts één wat groter verschil tussen de edities van De Cijfferinghe en de Vernieuwde cijfferinge op te merken. Bartjens voert in zijn ‘vernieuwde’ werk meer controles op zijn berekeningen uit. Zo worden bijvoorbeeld van de honderd vraagstukken bij de regel van drieën er 29 ‘geproefd’. Terwijl in de edities van De Cijfferinghe bij de regel van drieën alleen het eerste vraagstuk gecontroleerd wordt. In dit hoofdstuk komt op een gegeven moment wel het kopje ‘proeven’ voor (p. 144), maar daar wordt dan uitgelegd hoe je de stukprijs van goederen kunt berekenen als de prijs van een aantal gegeven is.

Samenvattend kunnen we zeggen dat De Cijfferinghe uit 1604 in de eerste dertig jaren van haar bestaan veel na- en herdrukken heeft beleefd, die op enkele aspecten gering verschillen van de eerste druk. De verschillen tussen deze edities en het eerste deel van de Vernieuwde cijfferinge uit 1633 zijn nog geringer. Dus als Bartjens in de inleiding van de Vernieuwde cijfferinge aankondigt dat hij De Cijfferinghe op vele plaatsen veranderd en verbeterd heeft, dan blijkt dat niet in overeenstemming met de werkelijkheid te zijn en kunnen we slechts concluderen dat hij die opmerking vanuit een commercieel oogpunt maakt. ‘Vernieuwd’ is immers tot op de dag van vandaag een veel gehoorde kreet in de reclamewereld.

[p. 69]

Pagina 80 van de Vernieuwde cijfferinge (editie 1636) is een representatief voorbeeld van de wijze waarop Bartjens in zijn vernieuwde rekenboek kleine wijzigingen op in het oog springende plaatsen aanbracht. Vergelijking met p. 175 en 176 van het facsimile laat zien dat er verschillen optreden in de vraagstukken 21 en 27. Hier gebruikt Bartjens andere, maar wel vergelijkbare getallen en een andere inkleding. Deze twee vraagstukken zijn uitgewerkt en vallen dus meer op dan de overige vraagstukken waarvan alleen het antwoord is gegeven en die volkomen identiek zijn. (Collectie Instituut voor Sociale Geschiedenis, Amsterdam)

5.3 De Cijfferinghe, tweede deel (1636)

In 1636 publiceert Bartjens deel 2 van zijn Cijfferinghe. Ook voor dit boek krijgt zijn zoon Geraert Bartjens het privilege om het gedurende 11 jaar te mogen drukken en verkopen. In het eerste hoofdstuk van dit boek wordt de stof uit deel 1 in het kort herhaald om het goed in het geheugen te prenten, zoals Bartjens zegt: als de schaepen doen die haer ghegeten gras herknauwen. In de volgende hoofdstukken worden allerlei nieuwe rekenregels aan de orde gesteld. Deze zijn grotendeels toepassin-

[p. 70]

gen van de regel van drieën binnen een specifieke context uit de handel of techniek. Bijvoorbeeld: winningh en verlies, geselschaps-rekeninghen, wissel-rekeninghen, van mangelingh, en andere. De regel van drieën blijkt, zoals Bartjens zelf zegt, in deze regels vermomt te wesen. Daarnaast behandelt hij onderwerpen waarin de regel van drieën geen of een ondergeschikte rol speelt. Bijvoorbeeld: regel van valsche positien, rekening coecis, progressio, van den quadraet, en andere. Bartjens geeft over het algemeen weinig uitleg, maar het aantal vraagstukken dat ter oefening wordt aangeboden is zeer groot. Enkele van deze vraagstukken zijn als voorbeeld volledig uitgewerkt, bij het merendeel is uitsluitend het antwoord gegeven. In deze paragraaf volgt een overzicht van de onderwerpen die in het tweede deel van de Cijfferinghe aan de orde worden gesteld.

De vraagstukken uit de Herhalingh van 't eerste Deel (26 opgaven) hebben voor het grootste deel betrekking op allerlei handels- en geldsituaties en worden opgelost met de regel van drieën.

In het hoofdstuk over Winningh en verlies (69 opgaven) gaat het om het berekenen van winst of verlies bij een gegeven handelstransactie. Of omgekeerd: De winst of het verlies zijn bekend en de vraag is voor welk bedrag de goederen verkocht of ingekocht zijn. Allerlei munten, maten en gewichten spelen een rol. In een groot aantal vraagstukken is sprake van winst of verlies ten hondert, waarmee winst- of verliespercentages worden bedoeld.

De vraagstukken uit Winst en verlies met tijdt (32 opgaven) hebben te maken met kopen op afbetaling. Een koopman kan er voor kiezen om iemand die zijn goederen koopt een bepaalde betalingstermijn te geven. De prijs stijgt dan een bepaald percentage afhankelijk van de termijn. Op deze manier maakt de koopman winst. Bijvoorbeeld vraagstuk 89: Iemand koopt 100 pond rozijnen voor 7 gulden en 10 stuivers en hij betaalt contant. Hij verkoopt het weer voor 8 gulden. De helft daarvan moet binnen 4 maanden betaald worden en de andere helft binnen 8 maanden. De vraag is hoeveel procent winst per jaar hij maakt (13⅓%).

Van Geselschaps rekeninghen (26 opgaven) is sprake in situaties waarin kooplieden samenwerken. Ieder legt een bepaald bedrag in, waarmee handel wordt gedreven. Na afloop wordt de winst of het verlies verdeeld onder de compagnons in evenredigheid met ieders ingelegde som. In paragraaf 3.2 is beschreven hoe kooplieden het risico van transport over zee konden verkleinen door hun handelswaar over verschillende schepen te verspreiden. De opbrengst van elk schip werd verdeeld onder de kooplieden die parten van de lading hadden bezeten. Bartjens rept in zijn boek niet van partenvaart, maar het is duidelijk dat de winst of het verlies voor elke deelnemende koopman in dergelijke situaties berekend kan worden met geselschapsrekeninghen.

Geselschap met tijdt (38 opgaven) betreft eveneens situaties waarin kooplieden gezamenlijk handel drijven en de opbrengst na afloop evenredig moeten verdelen. Maar daarbij geldt nu bovendien dat iedere compagnon gedurende een zekere periode aan de samenwerking deelneemt. Die periode verschilt per persoon. Het aandeel in de winst dat ieder krijgt wordt bepaald door de grootte van zijn ingelegde

[p. 71]

som en de omvang van de periode waarin hij aan de transactie heeft deelgenomen. Bijvoorbeeld vraagstuk 36: Klaas en Jaap drijven gezamenlijk handel. Klaas legt 800 gulden gedurende 3 maanden in. Vraag: Hoe lang moet Jaap 600 gulden inleggen om recht te hebben op ⅗ deel van de winst? Antwoord: 6 maanden.

In de vraagstukken van het hoofdstuk Factorie (20 opgaven) draait het steeds om een facteur. Dat is iemand die in opdracht van een koopman met diens kapitaal handel drijft en na afloop als beloning voor zijn inspanningen een gedeelte van de winst mag behouden. Bijvoorbeeld vraagstuk 1: Een koopman geeft zijn facteur 2400 gulden om handel mee te drijven. Van 400 gulden van dit bedrag mag de facteur de winst opstrijken (als beloning). Als hij met het totaalbedrag 600 gulden winst maakt, hoeveel gulden mag hij daarvan behouden? Antwoord: 100 gulden.

In het hoofdstuk over Vee-weydinghe (8 vraagstukken) worden allerlei vraagstukken opgelost waarin veeboeren gezamenlijk een stuk land huren en vervolgens opbrengsten en onkosten met elkaar delen. Variabelen zijn de huurprijs, het aantal betrokken boeren, het aantal dieren dat ieder de wei in stuurt, omvang van de periode waarin ieder de wei gebruikt, kosten voor voeding en opbrengsten van hooi. Bijvoorbeeld vraagstuk 5: Drie ossenkopers huren een wei waarin ze 90 ossen houden. De eerste betaalt voor 60 dagen 240 gulden. De tweede voor 75 dagen 225 gulden. De derde voor 48 dagen 96 gulden. De vraag is hoeveel ossen ieder had. Antwoord: de eerste 40, de tweede 30, de derde 20 ossen.

Bij Rekeningen van interest ofte van ghewin (76 opgaven) gaat het om het berekenen van rente. Een geldbedrag wordt voor een bepaalde periode tegen een afgesproken rentepercentage uytgestelt. Wat levert dat op? Het gaat hier om kleynen of simpelen interest, rente op rente komt pas in het volgende hoofdstuk aan bod. Dat hoofdstuk heeft als titel Winst-gewin ofte interest op interest (24 opgaven). De rente op rente wordt bij een deel van de opgaven per jaar berekend, bij andere per maand. Bij sommige vraagstukken wordt gebruik gemaakt van een tabel van interest op interest om het rekenwerk te vereenvoudigen.

In het hoofdstuk Wissel-Rekeninghen (40 opgaven) komen twee typen vraagstukken voor. Allereerst de vraagstukken waarin iemand een bepaald bedrag om wil wisselen in een andere muntsoort. Dit type vraagstukken is ook al in De Cijfferinghe (en in de Vernieuwde cijfferinge) behandeld in het hoofdstuk Cassiers Rekeningh. Daarnaast zijn er vraagstukken waarin de waarde van een bepaald geldbedrag berekend wordt op basis van een geldende koers in een andere plaats. Een voorbeeld van die laatste categorie is vraagstuk 17: Als de koers van 1 gulden in Dantzig 1 5/12 mark is. En 1 mark is 30 grossen waard. Hoeveel grossen krijg je dan voor 1500 gulden? Antwoord: 63750 grossen.

Mangelen is het ruilen van verschillende hoeveelheden goederen van verschillende waarde, soms met gesloten beurzen maar het gebeurt ook wel met bijbetaling. In het hoofdstuk Van Mangelingh behandelt Bartjens 33 opgaven zoals bijvoorbeeld vraagstuk 19: A en B gaan samen mangelen. A heeft Camerijks doek dat 28 stuiver per el kost, maar in mangeling (dus als er niet in geld maar in goederen be-

[p. 72]

taald wordt) is de prijs 32 stuivers per el. B heeft enkele stukken boratten (bepaald soort stof) van 22 stuivers per el contant of 25 stuivers in mangeling. Hoeveel moet de een de ander nog bijbetalen om een gelijke ruil te doen? Antwoord: A doet de beste manghelingh en moet B op d'elle een stuiver toegeven.

Bij Mangelingh met tijd (47 opgaven) gaat het om ruilkwesties waarbij ook de tijd een rol speelt. Bijvoorbeeld vraagstuk 34: Als iemand handelswaar heeft die 8 stuivers per el kost, en deze in mangeling stelt voor 13 stuivers per el met 9 maanden als betalingstermijn. En als een ander goederen heeft die 12 stuivers per pond kosten, en als hij in mangeling een betalingstermijn van 6 maanden wil geven. Welke waarde moet hij dan aan een pond van zijn goederen toekennen om op een gelijkwaardige mangeling uit te komen? Antwoord: 17 stuivers per pond.

Het eerste deel van de vraagstukken in het hoofdstuk Rekeninghen van versenden (14 opgaven) gaat over handelssituaties waarin de koopman naast de prijs van de goederen die hij gekocht heeft, ook nog moet betalen voor transport, invoer, tol en dergelijke. Het tweede deel bevat omwisselvraagstukken die ook al in het hoofdstuk over wissel-rekeninghen behandeld zijn. Een voorbeeld uit het eerste deel van dit hoofdstuk is vraagstuk 5: Een koopman koopt in Frankfurt 560 riemen papier voor 2 florijnen min 16 kreytzers de riem. Die brengt hij naar Amsterdam. Dat kost hem aan vracht, tol en inkom-geldt 120 guldens. De vraag is, als de koers van 1 florijn gelijk aan 40 stuivers en tevens gelijk aan 65 kreytzers is, wat hij in Amsterdam voor 1 riem papier moet betalen. Antwoord: 3 gulden 82/7 stuivers.

In het hoofdstuk over silver ende goud-rekeninghe (28 opgaven) leert de leerling allereerst hoe hij om moet gaan met de verschillende gewichten die in de handel met edelmetalen gebruikelijk zijn. In de eerste vraagstukken van dit hoofdstuk gaat het om het omrekenen van hoeveelheden goud of zilver naar een andere gewichtseenheid. In de overige vraagstukken moet de hoeveelheid zuiver zilver of goud in een klomp erts of een mengsel berekend worden.

In de vraagstukken bij de regel van Alligationis ofte menginghe (34 opgaven) worden stoffen van verschillende waarde met elkaar vermengd (of gezamenlijk ter verkoop aangeboden) en de vraag is wat de waarde van het mengsel is. In de vraagstukken worden soms kruidenierswaren gelijktijdig aangeboden (gember, meel, e.d.), ook gaat het regelmatig om het mengen van verschillende wijnsoorten. Het merendeel der vraagstukken betreft mengsels van edelmetalen van verschillend allooi. Dergelijke mengsels worden onder andere door muntmeesters en edelsmeden gebruikt. Bijvoorbeeld vraagstuk 8: Een muntmeester heeft 28 marck zilvermengsel dat per marck 8½ penningen zuiver zilver bevat. Hoeveel zuiver zilver moet hij aan het mengsel toevoegen om een zilvergehalte van 10 penningen per marck te krijgen? (1 marck = 12 penningen) Antwoord: 21 marck.

De Regel van valsche positien, ofte gheveynsde ghetalen (27 opgaven) wordt ook wel ‘regula falsi’ genoemd. Het is een rekenregel om met behulp van veronderstelde waarden de juiste waarde van de onbekende te berekenen. De regel wordt gebruikt in vraagstukken die men tegenwoordig met een eerstegraads-vergelijking

[p. 73]

of een stelsel van eerstegraads-vergelijkingen zou oplossen. Bijvoorbeeld vraagstuk 3: In het jaar 1627 werd Bartjens gevraagd hoe lang hij al school hield. Hij antwoordde dat als je het aantal zou verdubbelen en daarbij nog de helft, het vierdedeel en 1 jaar zou optellen, dan zou het precies 100 jaar zijn. Hoe lang hield Bartjens al school in 1627?

In Rekening coecis ofte virginum (8 opgaven) gaat het om vraagstukken waarin een gezelschap drinkers aan het eind van hun gelag de rekening moet betalen. De mannen moeten een hogere prijs betalen dan de vrouwen, omdat mannen altijd meer drinken(!). De vraag is hoeveel mannen en hoeveel vrouwen er in dit gezelschap aanwezig waren. Soms nemen ook kinderen aan zo'n drinkgelag deel. Er zijn ook varianten op deze inkleding waarbij de samenstelling van een groep handelswaar moet worden berekend. Bijvoorbeeld vraagstuk 8: Een boer uit Mastenbroek brengt in Zwolle 50 vogels op de markt. Te weten: ganzen, hennen, eenden, teilingen en kieften. Hij ontvangt 5 gulden voor de hele groep. De vogels kosten per stuk respectievelijk 12, 8, 5, 2 en 1 stuivers. Hoeveel van elke soort waren er in die groep aanwezig? Antwoord: 2 ganzen, 2 hennen, 2 eenden, 6 teilingen, 38 kieften.

Bartjens sluit het tweede deel af met een hoofdstuk getiteld Besluyt-vraghen. Het hoofdstuk bevat een bonte verzameling vraagstukken. De meeste vraagstukken kwamen met iets andere getallen en een andere inkleding al in eerdere hoofdstukken voor, maar er is ook een aantal ‘nieuwe’ vraagstukken. Dat wil zeggen ‘nieuw’ voor het werk van Bartjens want ze komen vrijwel allemaal ook in de rekenboeken van zijn voorgangers voor. Ze zijn in sommige gevallen al eeuwenoud en uit andere culturen afkomstig. Het praktisch nut voor de handel en het geldwezen is veelal ver te zoeken. Dergelijke vraagstukken, die door sommige rekenmeesters Questien uut ghenouchten worden genoemd, zijn mogelijk ter vermaak in de rekenboeken opgenomen, tevens kon de rekenmeester er zijn rekenvaardigheden en zijn bekendheid met dergelijke vraagstukken mee demonstreren. Bij de vraagstukken in dit hoofdstuk is niet alleen het antwoord vermeld, maar in tegenstelling tot het merendeel van de vraagstukken elders in het boek, ook een volledige berekening. Vraagstuk 24 bijvoorbeeld is een opgave die reeds uit het oude Egypte stamde: Een leeuw, een wolf en een hond willen een schaapje verslinden. De hond kan het schaap in zijn eentje in 5 uur opeten, de wolfkan dat in 3 uur, de leeuw in 1 uur. De vraag is in hoeveel tijd het schaapje verslonden zal zijn als de drie dieren zich er gezamenlijk op storten. Antwoord: 15/23 uur ofwel 393/23 minuten

In de toe-gift (85 opgaven) behandelt Bartjens enkele onderwerpen die naar zijn eigen zeggen voor de liefhebbers bestemd zijn. Die onderwerpen zijn: Progressio waarin de leerling leert de som te bepalen van reken- en meetkundige reeksen. Van den quadraet over machtsverheffen en het trekken van tweede- en hogere-machtswortels. Bij beide onderwerpen worden toegepaste (ongenummerde) vraagstukken aangeboden. Bijvoorbeeld: Een kolonel wil zijn regiment van 1296 mannen in vierkante slagorde opstellen. De vraag is hoe breed de rijen worden. Antwoord: 36.

[p. 74]

Gedurende zijn leven werd het portret op de titelpagina van Bartjens' rekenboeken twee keer vervangen door een recenter exemplaar. Linksboven: Portret van Bartjens op 34-jarige leeftijd van De Cijfferinghe uit 1604, rechtsboven: Bartjens als 46-jarige van de roofdruk die Cloppenburg in 1632 liet drukken, onder: Bartjens 64 jaar oud van het tweede deel van De Cijfferinghe uit 1636.

[p. 75]

5.4 Voorgangers en tijdgenoten

De Cijfferinghe van Bartjens was beslist niet het eerste rekenboek in de Nederlandse taal. Gedurende de zestiende eeuw waren er al heel wat rekenboeken gedrukt of geschreven, wat de vraag oproept in hoeverre de rekenboeken van Bartjens overeenkomen met het werk van zijn voorgangers en tijdgenoten.

De overeenkomsten zijn groot. In paragraaf 4.1 is de inhoud van de vijftiende-en zestiende-eeuwse rekenboeken beschreven en ook het werk van Bartjens voldoet aan deze beschrijving. Soms zijn er opvallende overeenkomsten. Vergelijk bijvoorbeeld wat Peter Heyns in 1561 over het getal nul zegt (zie p. 48) maar eens met wat Bartjens over dit getal te melden heeft (p. 101). Bartjens rekenboeken hebben de gebruikelijke opbouw. Na een instructie over het lezen en schrijven van de Hindoe-Arabische cijfers, volgen de basisbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Het rekenen met breuken en met munten, maten en gewichten vormt de basis voor het oplossen van allerlei vraagstukken die voor het grootste deel handelssituaties betreffen. De regel van drieën is de belangrijkste regel voor het oplossen van deze vraagstukken. Er is een hoofdstuk waarin het handig rekenen centraal staat, daar buiten gaat het vooral om het aanleren en inoefenen van standaard-oplossingsrecepten.

Bartjens' rekenboeken onderscheiden zich niet noemenswaardig van de rekenboeken van voorgangers en tijdgenoten, hoewel Bartjens dat wel wil doen geloven. In het voorwoord van zijn rekenboek uit 1604 schrijft hij: In welck werck dan seer rijckelijck gheleert wort [...] Alle de grond-regulen der Cijffer-konst welck hier bevoorens [...] by geen Autheuren [...] den leerlingen is voorgegeven. Misschien is hij later door collega's om deze uitspraak op de vingers getikt, want in de herdrukken voegt hij het woordje ‘ordeninge’ toe:...welcke ordeninge hier bevorens [...] by geen Autheuren den leerlingen is voorgegeven. Maar ook de volgorde waarin Bartjens zijn onderwerpen presenteert is niet afwijkend, op één plaats na. Bartjens behandelt eerst de regel van drieën en daarna pas het rekenen met breuken. Dat is minder gebruikelijk - maar niet uitzonderlijk - en het levert soms problemen op omdat bij toepassing van de regel van drieën breuken kunnen ontstaan.

Er zijn slechts enkele verschillen met het werk van voorgangers en tijdgenoten, en die zijn niet erg opvallend. Bartjens behandelt in De Cijfferinghe vergeleken met de andere rekenboeken niet zo erg veel variaties op de regel van drieën. Die komen later wel aan bod in deel 2 van zijn Cijfferinghe. Bij deze rekenregels behandelt Bartjens relatief veel oefenvraagstukken. Door dalende druk- en papierprijzen verschijnen er in de loop der tijd omvangrijkere rekenboeken. Bartjens werk past in deze ontwikkeling. Hij verzamelt zelfs zoveel vraagstukken dat hij de stof over twee boeken kan verdelen. Bij het merendeel van de vraagstukken is alleen het antwoord gegeven en ontbreekt een uitwerking. In deel 2 behandelt Bartjens enkele onderwerpen die sommige van zijn voorgangers en tijdgenoten achterwege

[p. 76]

laten, zoals reeksen, machtsverheffen en worteltrekken. In De Cijfferinghe staat een opmerkelijk onderwerp helemaal aan het eind. Bartjens legt daar uit hoe men een magisch vierkant kan samenstellen. Dat onderwerp komt in de rekenboeken van zijn collega's niet voor.

Het omvangrijkste hoofdstuk uit De Cijfferinghe - en de Vernieuwde cijfferinge deel 1 - is dat over de Welsche en Italiaanse praktijk, door Bartjens Practijke ofte korte Rekening genoemd. In rekenboeken van tijdgenoten en voorgangers komt het onderwerp veel minder uitvoerig of soms zelfs helemaal niet aan bod. Bartjens behandelt ook hier weer veel meer oefensommen (115 stuks) dan gebruikelijk is. De rekenvaardigheid die Bartjens in zijn werk laat zien is soms iets flexibeler dan de vaste receptenkunst van zijn tijdgenoten. In de meeste gevallen kiest hij weliswaar ook een vaste oplossingsmanier behorend bij een bepaald type vraagstuk, maar af en toe biedt hij daarnaast nog alternatieve oplossingen. Dat doet hij niet alleen in het hoofdstuk over het ‘verkorte’ rekenen, maar soms ook daar buiten. Zie bijvoorbeeld in De Cijfferinghe vraagstuk 16 op p. 160 waar de leerling 25 × 14½ moet berekenen. In het voorgaande hoofdstuk heeft de schoolmeester onderwezen en met veel voorbeelden geoefend, dat men bij dergelijke sommen beide getallen als breuk moet schrijven en de tellers en de noemers met elkaar moet vermenigvuldigen. Bij dit vraagstuk schrijft Bartjens: Dit op de voorgaande maniere te wercken, soude wat swaar vallen, maar op de naar volghende wyse gansch licht. Vervolgens berekent hij 25 keer 14 en 25 keer ½, wat inderdaad in dit geval handiger is. Met dit voorbeeld van flexibele rekenkunst onderscheidt Bartjens zich van zijn collega's. Hij laat echter buiten het hoofdstuk over Practijke ofte korte Rekening maar zeer weinig van dergelijke staaltjes zien. Even incidenteel zijn de plaatsen waarop Bartjens laat merken dat hij verbanden ziet. Zo kwam bijvoorbeeld hiervoor reeds aan bod dat hij verband zag tussen vermenigvuldigen en delen. Zijn collega's zijn vrijwel nooit op zulke inzichten te betrappen.

Hoewel Bartjens iets vaker handiger rekent dan zijn tijdgenoten en soms iets flexibeler met getallen omgaat, was het niet zijn doel om daarmee het wiskundige inzicht van zijn leerlingen te vergroten. Ook voor hem waren handige rekenstrategieën belangrijk omdat je daarmee sneller kon rekenen. Wie goed kon rekenen kon een goede baan als koopman of geldwisselaar krijgen. Dat was ook wat de leerlingen wensten. Voor de rekenles moesten ze extra schoolgeld betalen. Dat hoopten ze later terug te kunnen verdienen.

De rekenboeken van Willem Bartjens onderscheiden zich in didactisch en rekenkundig opzicht nauwelijks van het werk van zijn collega's. Toch wist Bartjens door zijn boeken eeuwige roem te vergaren. Hoe dat kon wordt in het volgende hoofdstuk nader toegelicht.