|
| |
| |
| |
De wiskunde in de moderne economie
HOEWEL ze bedreven genoeg zijn op papier in het hanteren van een lineaal, potlood en pendel, toch heb ik in de gewone handel en wandel van het leven nooit plomper, dommer en onhandiger mensen gezien; of mensen die zo langzaam en verward zijn in hun ideeën over alle andere onderwerpen dan wiskunde en muziek. Zij kunnen zeer slecht redeneren en keren zich heftig tegen oppositie, tenzij ze toevallig gelijk hebben, hetgeen zelden het geval is. Verbeelding, verdichting en uitvinding kennen zij niet, zij hebben zelfs geen woorden in hun taal om die begrippen uit te drukken; hun gehele gedachten en ideeën-wereld is opgesloten binnen die twee genoemde wetenschappen.
De meesten van hen en vooral diegenen, die zich bezig houden met de astronomie, hebben groot vertrouwen in de astrologische krachten, hoewel ze zich schamen om het openbaar te bekennen. Maar wat ik vooral bewonderde, alhoewel het volkomen onbegrijpelijk is, was hun sterke neiging, die ik bemerkte voor nieuws en politiek, hun voortdurende belangstelling voor het openbare leven, waarbij ze hun oordeel gaven over staatszaken en, uit hun partij-opvatting, opgewonden discussieerden over ieder detail. Ik heb inderdaad diezelfde neiging gezien bij de meeste wiskundigen, die ik in Europa heb gekend, hoewel ik nooit enige analogie tussen die twee wetenschappen kon ontdekken; tenzij die mensen veronderstellen, dat de regeling en de regering van de wereld niet meer capaciteiten vereisen dan het behandelen en het draaien van een globe, omdat de kleinste cirkel evenveel graden heeft als de grootste; maar ik denk eerder, dat deze eigenschap voortspruit uit een zeer algemene zwakheid van de menselijke natuur, die er ons toe brengt vooral nieuwsgierig en verwaand te zijn in zaken waarmee we het minste te maken hebben en waartoe we het minst door studie of door aanleg voorbereid zijn.
Tot zover een van de vele teksten uit de wereldliteratuur, rijk aan hoon en spot ten opzichte van de wiskundigen, in het bizonder van die ‘onpractische’ wiskundigen, die zich met ‘practische’ problemen, nl. met de sociale wetenschappen wensen bezig te houden. Het citaat is ontleend aan het relaas van kapitein Gulliver over zijn reis naar het vliegende eiland Laputa. Vermoedelijk werd Swift tot deze aanval mede geïnspireerd door de kort tevoren verschenen werken van John Graunt (Natural andpoliticalobservationsuponthe Bills of Mortality) en William Petty (Political Arithmetic), die kunnen gelden
| |
| |
als de eerste pogingen van toepassing van wiskunde - nog uitsluitend: rekenkunde - in de sociale wetenschappen.
Indien de wiskundigen inderdaad Laputianen waren, dan zou deze uitlating van Swift een rechtvaardige veroordeling van alle gebruik van wiskunde in sociale wetenschappen en in het bizonder in economie betekenen. Nu willen we echter trachten enige argumenten van een andere mening naar voren te brengen.
Er zijn inderdaad andere mensen, die over de wiskunde spreken als over de Koningin der Wetenschappen. En zonder de Koningin kan er geen wetenschap zijn, geen kennis. Het ongelukkige is, dat het meestal wiskundigen zijn, die aldus redeneren.
We zullen moeten trachten een algemeen aanvaardbare middenweg te vinden. En allereerst moeten we dan tot de erkenning komen, dat wiskunde geen finale wetenschap is, maar veeleer een methode. De wiskunde is niet finaal omdat ze ons niets leert, niet kan leren over zijn en niet-zijn, over kosmos en mens. In een kernachtige definitie van de wiskunde wordt de taak van de wiskunde beschreven als ‘het denken over het denkbare’ (to think the thinkable); het is dus een denkmethode. Kenmerkend is echter, dat de wiskunde zich niet beperkt tot het denken over de feiten en waarnemingen uit de menselijke ervaring; zij wordt van lieverlede een zodanige oefening van het denkvermogen, dat ze het ‘denkbare’ zelf steeds uitbreldt en nieuwe terreinen voor het denken open legt.
Zij doet dit vooral door het opstellen van denkschema's, scriptaal en verbaal uitgedrukt door enkele symbolen. Met behulp van enkele vertrouwde schema's kunnen de wiskundigen de vroeger moeizaam en langzaam veroverde terreinen snel doorkruisen om nieuwe gebieden binnen te trekken en te verkennen. Herinneren wij bijvoorbeeld aan het oplossen van een kwadratische vergelijking: iedereen, die het middelbaar onderwijs verlaten heeft, kent (of wordt althans verondersteld te kennen) de eenvoudige formule om de twee oplossingen te vinden, hoe die vergelijking er moge uit zien. Maar welk een lange en moeilijke studie is daaraan voorafgegaan; een strijd die vele eeuwen geduurd heeft, een strijd, die eerst enkele speciale gevallen tot een goede oplossing kon brengen en pas veel later de hele redenering door een klein eenvoudig denkschema kon vervangen.
Het is bovendien een ervaringsfeit, dat de aldus ontwikkelde denkschema's uit de wiskunde kunnen overgebracht worden naar het onderzoek van het gebeuren rondom ons, en aldus bijdragen tot het verwerven van werkelijke kennis. Soms beantwoordt de wiskunde aan een vraag van de wetenschap; zo kan men bij benadering wel zeggen, dat de goniometrie en in het bizonder de spherische trigonometrie of boldriehoeksmeting ontstaan is ingevolge de eis van de astronomie. Soms gaat de ontwikkeling van de wiskunde hand in hand met de ‘begunstigde’ wetenschap; bijvoorbeeld bij de ontwikkeling van de elementaire differentiaal- en integraalrekening, samen met de ontdekking van
| |
| |
de beginselen van de kinematica, de bewegingsleer (we behoeven hier slechts Newton te noemen). Maar het kan ook gebeuren, dat de wiskunde nieuwe denkbaarheden verwerft, nieuwe denkschema's opstelt, lang vooraleer er sprake is van een toepassing er van in het onderzoek van onze levenservaringen; maar ook die denkschema's kunnen soms op een goede dag hun ‘nuttigheid’ bewijzen. Een kenmerkend voorbeeld hiervan zijn de niet-Euclidische meetkunden, die men lange tijd als ‘ondenkbaar’ uitschold; in de laatste eeuw is gebleken, dat het heelal, zoals beschreven door de relativiteitsleer, niet meer te persen is in het strakke keurslijf van de Euclidische meetkunde. De denkbaarheid, die men niet-Euclidische meetkunde noemt, is dus op een gegeven ogenblik overgegaan in een realiseerbaarheid.
Deze realiseerbaarheid van de wiskundige denkschema's heeft, van in de vroegste eeuwen van het wetenschappelijk denken af, geleid tot verschillende philosophische stelsels met een wiskundig absolutisme. Het meest kenmerkende is wel de leer van Pythagoras (de man, die peetvader is van het ‘ezelsbruggetje’, maar het waarschijnlijk niet kende) en zijn volgelingen, waarvan de karakteristieke opvatting als volgt geformuleerd is door Aristoteles: ‘De dingen zijn getallen’. Plato geeft aan God een diploma van meetkundige.
En deze opvattingen hebben steeds meer veld gewonnen. Ook al zal niet iedereen de formulering van Jeans kunnen aanvaarden: ‘The Great Achitect of the Universe now begins to appear as a pure mathematician’. Toch zal niemand zich nog langer de huidige wetenschappen ontdaan kunnen denken van de wiskundige impregnatie. Althans, - en hier ligt een belangrijke restrictie, die tegelijkertijd opgekomen is, voor wat betreft de natuurwetenschappen, - de zogenaamde exacte wetenschappen. Naarmate de wiskunde verder doordrong in de natuurwetenschappen, terwijl de wiskundige denkschema's belangrijke veroveringen mogelijk maakten in het gebied van de natuurwetenschappelijke kennis, werd ook de kloof breder, die de moderne natuurwetenschappen scheidde van de sociale wetenschappen.
Het doordringen van de klassieke exacte wiskunde heeft Inderdaad op de natuurwetenschappen een stempel gedrukt van absoluut determinisme. De zekerheid Gods van het Middeleeuwse denken werd vervangen door de zekerheid van de logische eenduidige causale keten: indien A dan moet B, dus dan moet C volgen enzovoorts; twijfelen is niet mogelijk tenzij uit onkunde. Kenmerkend is bijvoorbeeld het trotse antwoord, dat Laplace gaf aan Napoleon, toen de Keizer hem vroeg naar de rol van de Schepper in dezes wetenschappelijk stelsel: Sire, je n'avais pas besoin de cettehypothèse-là.
En de ontwikkeling van dit mechanistische wereldbeeld was niet alleen eenduidig, maar ook continu, geleidelijk. Zelfs de biologie, zelfs het leven kon in deze continuïteit betrokken worden, toen Pasteur de onmogelijkheid aantoonde van de generatio spontanea en toen Darwin zijn ‘Origin of Species’ schreef.
| |
| |
Ondertussen maakten ook de sociale wetenschappen zich los van het ingrijpen van een of meer Goden of van geesten. Maar noch de eenduidigheid, noch de continuïteit konden hier over het algemeen aanvaard worden. Tegenover de eenduidige causaliteit stelde men de meervoudige mogelijkheid van de vrije wil en tegenover de continuïteit verwees men naar plotselinge gebeurtenissen en catastrophen zonder enige aankondiging.
Maar de wiskunde van toen was onverbrekelijk verbonden aan de eenduidige causaliteit; en ze was, met haar grote verovering: de differentiaal- en integraalrekening, verbonden aan de continuïteit. Zodat ieder gebruik van de wiskundige denkschema's in de methodes van de sociale wetenschappen op voorhand veroordeeld scheen.
Niettemin heeft het, van de eerste helft van de negentiende eeuw af, niet aan pogingen ontbroken om ook de sociale wetenschappen in de sfeer van de exacte wetenschappen te betrekken. Het meest bekend in dit verband is wel het werk van de Belg Adolphe Quetelet; de titel van zijn belangrijkste werk kan reeds gelden als een programma: ‘Sur l'homme et le développement de ses facultésou Essai de physique sociale’. Men zou zijn stelling ongeveer als volgt kunnen formuleren: als individu heeft de mens wel is waar een vrije wil, maar wanneer men de mens als massaverschijnsel beschouwt, blijkt deze wilsuiting gedetermineerd; op ‘l'homme moyen’ kan men een eenduidige causaliteit toepassen. En Quetelet toont deze stelling aan door uitgebreide statistische onderzoekingen, o.a. uit de criminologie. De individuele afwijkingen door de uiting van de vrije wil zijn verwaarloosbaar klein tegenover het streng causaal-gedetermineerde massaverschijnsel. Bij de studie van de maatschappij in haar geheel, zoals bijvoorbeeld bij de economie en de sociologie, kan men zich derhalve beperken tot de ‘physique sociale de l'homme moyen’.
Terwijl de astronoom en meteoroloog Quetelet uitging van het waargenomen statistische materiaal, kozen enige ingenieurs en wiskundigen, meestal Fransen, een zuiver deductieve weg. (Het is opvallend en misschien wel te verklaren, dat al deze vroege toenaderings-pogingen kwamen van de zijde van de exacte wetenschappen!) We noemen enkele namen: Canard, Dupuit en vooral Cournot. Zij gingen uit van de veronderstelling, dat men het sociale en in het bizonder het economische gebeuren kan ontbinden in enige bouwelementen, juist zoals dit het geval is voor het natuurkundige gebeuren. Deze elementaire situaties, ontdaanvan alle bijkomstigheden, kan men met de wiskundige denkschema's onderzoeken; door een geleidelijke opbouw van die elementen kan men dan komen tot een begrip van de werkelijke, complexe maatschappij in economisch of enig ander opzicht. Dit is een denkmethode en niet meer dan dat en kan als zodanig zeer zeker niet a-priori verworpen worden.
Nadat enige voorgangers de eerste elementaire bouwsteen hadden onderzocht, nl. de prijsvorming op een ruilmarkt van twee goederen tussen twee personen, heeft Leon Walras een heel bouwwerk opgetrokken, dat dan later nog uitgebouwd en aangevuld is geworden, vooral door zijn leerling Pareto en
| |
| |
zijn verdere volgelingen uit de School van Lausanne. Dit bouwwerk, dat hij voorstelde als een model van het economisch gebeuren, bestond uit een zeer groot aantal vergelijkingen met talrijke onbekenden. Daarmede wordt bedoeld: een aantal relaties tussen de verschillende grootheden, die men in het economisch leven kan waarnemen, zoals prijzen, productie, gespaarde kapitalen, enz. enz. En er zijn juist evenveel relaties als onbekende grootheden, zodat het stelsel, zoals de lezer het zich zal herinneren uit zijn schooltijd, juist een bepaalde oplossing geeft voor ieder van die onbekenden. Gezien de grote verscheidenheid van de gebeurtenissen in het economische leven, is het wel duidelijk, dat het aantal van die onbekende grootheden en dus ook van het aantal relaties ontzaglijk groot is. Toen dit stelsel opgesteld werd, kon het aanvankelijk niet anders hebben dan een louter theoretische waarde; niemand kon de illusie koesteren er ooit een werkelijke oplossing voor te vinden. Merkwaardig is, dat men dit thans misschien wel zou kunnen: het statistisch materiaal staat in veel ruimer mate ter onzer beschikking; met behulp van de verfijnde techniek van index-cijfers kan men misschien groepen van onbekende grootheden samenvatten en daarmee ook het aantal relaties kleiner maken; vooral bezit men ook machtige electronische rekenmachines met een capaciteit waarvan men toen ter tijd nog niet kon dromen.
Maar ondertussen heeft het stelsel van Walras zijn betekenis verloren. Het was op het moment van zijn ontstaan het meest volledige denkbare stelsel; sedertdien echter zijn er nieuwe denkbaarheden ontstaan, waardoor het onvoldoende karakter van dit streng deterministische stelsel van Walras uitgewezen werd.
Terloops zij eerst nog opgemerkt, dat een deel van de weerstand, die de wiskundige economisten ondervonden, uitgelokt werd door hun eigen overschatting van hun capaciteiten. Zo meende Walras wetenschappelijk te kunnen bewijzen, dat het ‘economisch systeem van grootste welvaart’ noodzakelijk een liberaal stelsel van vrijhandel zou moeten zijn. Onder het mom van exacte wiskundige formulering was hier toch weer het zo gesmade subjectivisme van de economist binnengeslopen. Ik meen integendeel, dat men in de huidige stand van de wiskundige economie eerder een bewijs zou kunnen geven van de onvermijdbaarheid van de een of andere vorm van klassenstrijd, althans van onvermijdelijke strijd tussen de belangen van een klein aantal groepen.
Een eerste vraag, die we ons trouwens naar aanleiding hiervan kunnen stellen is deze: wat verstaat Walras onder een ‘systeem van grootste welvaart’? Zijn definitie is geenszins ondubbelzinnig. En zo is het dikwijls het geval met definities van begrippen uit de wiskundige economie en uit de economie in het algemeen. Deze ondubbelzinnige definiëring van de begrippen is een punt dat in de sociale wetenschappen al te veel werd verwaarloosd. Thans is er overal een gunstige ontwikkeling in dat opzicht waar te nemen. We mogen wel zeggen, dat dit één van de verdiensten is van de toepassing van de wiskundige denkschema's, die immers ondenkbaar is zonder een scherpe formulering van
| |
| |
de begrippen. De econoom Marshall haalt dit zelfs als de hoofdverdienste van de wiskundige economie aan.
De verschillende pogingen tot overbrugging van de kloof tussen natuurwetenschappen en sociale wetenschappen konden geenszins geslaagd heten. En toch is er ondertussen een grote toenadering gekomen. Echter doordat het de natuurwetenschappen zelf zijn, die samen met de wiskunde, hun hoge ongenaakbare troon van eenduidige causaliteit hebben moeten verlaten. Inderdaad heeft ondertussen de onzekerheid onder de vorm van een probabilisme, haar intrede in de natuurwetenschappen gedaan. In de wiskunde was deze ontwikkeling reeds voorbereid door het onderzoek van het kansspel, uitgegroeid tot een speciale tak van de wiskunde: de waarschijnlijkheidsrekening.
Chevalier de Méré is een beroemd man in de geschiedenis van de wetenschappen. Toch was hij niets anders dan een speler, een verwoed liefhebber van kansspelen. Maar zijn belangstelling voor het spel ging zo ver, dat hij door het stellen van zekere vragen twee grote wiskundigen van zijn tijd geïnspireerd heeft tot het leggen van de basis van deze nieuwe tak van de wiskunde, de waarschijnlijkheidsrekening. Die twee grondleggers waren Pascal en Fermat, onmiddellijk gevolgd door de Nederlander Christiaen Huygens (de natuurkundige broeder van de letterkundige Constantijn). Daarmee was een nieuwe dankbaarheid geïntroduceerd in de wiskunde, nl. het begrip waarschijnlijkheid, dat kan gaan van absolute ontkenning tot volkomen zekerheid. Dit begrip is het duidelijkste te onderkennen in allerlei kansspelen en in den beginne bleven de toepassingen er van dan ook tot deze frivole bezigheid beperkt.
Toen men echter de waarschijnlijkheidsrekening ging toepassen op de toevallige waarnemingsfouten, had men de natuur als tegenspeler ontdekt. Een meting, een weging is nooit met absolute nauwkeurigheid uit te voeren. Herhaalt men dezelfde meting enige malen, dan zullen achtereenvolgende resultaten onvermijdelijk kleine afwijkingen vertonen, die aan allerlei oncontroleerbare oorzaken moeten toegeschreven worden, en die we daarom als toevallige fouten beschouwen. Maar meteen leerde de natuur ons hier een andere karakteristiek van het door haar gevoerde spel, nl. de regelmaat. Maken we een beeldstatistiek op van de verschillende waarnemingen, dan zien we bijna steeds dezelfde figuur verschijnen, nl. met klokvorm, die men de curve van Gauss noemt. Dit wil zeggen dat de meeste waarnemingen dicht bijeen liggen in het middengedeelte van die figuur; naarmate we ons verder van dat midden, in één van de beide richtingen verwijderen, zullen de waarnemingen in onze beeldstatistiek steeds schaarser worden. Het midden van de klokcurve, berekenen we gewoonlijk als het gemiddelde van de gevonden waarnemingen. En overeenkomstig de bekende wet van de grote getallen van Bernoulli zal onze beeldstatistiek des te beter op de klokvorm van Gauss gelijken, naarmate we een groter aantal waarnemingen doen. In het spel van de natuur is er dus tegelijkertijd onberekenbaar toeval en vaste regelmaat.
| |
| |
En bij steeds meer verschijnselen vond men, dat ze in beeldstatistiek gebracht een figuur gaven die gelijkenis vertoonde met de klokcurve van Gauss. Een bekend voorbeeld zijn de metingen van lichaamslengte en borstomvang van duizenden soldaten. Een gemiddelde gestalte is de normale en meest voorkomende. Lange figuren met een smalle borstkas zijn zeldzaam. Hetzelfde kan men waarnemen bij allerlei sorteren volgens grootte of volgens kwaliteit, bijv. van fruit. En nog kan men hetzelfde vinden bij zeer veel maatschappelijke verschijnselen. Het was juist dat laatste feit, dat Quetelet aanleiding gaf tot het opstellen van zijn Physique sociale. Maar zijn fout was, dat hij alleen belang toekende aan de meest voorkomende of gemiddelde mens, l'homme moyen, terwijl in de sociale wetenschappen in zeer veel gevallen juist de verscheidenheid van groot belang is.
De toepassing van de waarschijnlijkheidsrekening in de natuurwetenschappen beperkte zich trouwens niet tot de toevallige waarnemingsfouten, die als niet-essentieel konden beschouwd worden. Een belangrijk succes was het opstellen van de statistische gastheorie. Ieder atoom heeft zijn eigen beweging, die geheel onafhankelijk is van de beweging van de andere atomen. Slechts tijdens de ontmoetingen, de botsingen, werken ze op elkaar in. De verscheidenheid is hier essentieel. Maar ook in dat geval is er weer regelmaat in de verscheidenheid. En wanneer we bijvoorbeeld de druk van het gas meten in atmosferen, dan zal deze druk constant blijven, behoudens bepaalde uitwendige oorzaken; de inwendige verscheidenheid heeft door het grote aantal (wet van de grote getallen!) geen invloed.
Ook voor de statistische gastheorie zou men de toepassing van de waarschijnlijkheidsrekening kunnen verklaren door een gebrek aan kennis. Indien er een menselijke geest was, die op een gegeven moment van alle individuele atomen apart de plaats, de richting en de snelheid zou kunnen registreren, dan zou die geest alle bewegingen van al die atomen verder door berekening kunnen voorspellen. Wel te verstaan, zou deze geest, die men wel eens de demoon van Laplace noemt, slechts menselijke denkbaarheden gebruiken, al zou zijn capiciteit onmenselijk groot dienen te zijn.
Vanzelfsprekend, heeft men dit beeld van de statistische gastheorie onmiddellijk naar het maatschappelijk gebeuren willen overbrengen. Ook in de maatschappij zijn er individuen, die over het algemeen onafhankelijk van elkaar evolueren, tenzij in een reeks van ontmoetingen met andere individuen, die men met de botsingen kan vergelijken. De vrije wil wordt in dit model gedegradeerd tot een ‘probabilisme uit onwetendheid’. Zo is bijvoorbeeld bij de Deense atoomgeleerde Niels Bohr de enige principiële reden (voor anderen is het zelfs slechts een practische reden!) waarom we het menselijk gedrag niet kunnen voorspellen, dat, om aan al de atomen van die mens de nodige waarnemingen te kunnen doen, we hem eerst zouden moeten in fijne stukjes kappen.
Hoe het zij, ondertussen is de natuurwetenschap nog een stap verder gegaan en is ze gekomen tot een probabilisme dat niet te verklaren is door de men- | |
| |
selijke geest, zelfs niet door de demoon van Laplace. Sommige gedragingen van de delen van het atoom, van de individuele electronen, protonen, neutronen, e.d. blijken principieel onvoorspelbaar te zijn. Het duidelijkste komt dit tot uiting in de moderne opvattingen omtrent de theorie van het licht.
In die lichttheorie is trouwens ook de tweede factor in de onttroning van de klassieke natuurwetenschappen te vinden, nl. de invoering van de discontinuïteit. Max Planck heeft lang gezocht naar een meer aanvaardbare uitweg, maar op den duur kon hij niet anders dan zijn quanten-theorie formuleren, die een einde stelde aan de heerschappij van het ideale continue wereldbeeld. En zo kan men thans de volgende omschrijving geven van een lichtgolf: het is een speeltafel met deeltjes, de quanta, als kansen. Een beeld, dat zowel discontinu als probabilistisch is.
Ook in de biologie had men ondertussen weer gebroken met de causale continuïteit na de formulering van de probabilistische discontinue mutatietheorie van de Vries.
Vanzelfsprekend is aan deze nieuwe ontwikkeling in de natuurwetenschappen beantwoord geworden door een verdere uitbouw van het wiskundig denken (men kan zelfs zeggen, dat een groot deel van de natuurkundige ontdekkingen eigenlijk wiskundige ontdekkingen zijn). Zodanig, dat de wiskunde samen met de natuurwetenschappen heel dicht genaderd is tot de sociale wetenschappen en thans ook gereed schijnt te zijn voor een succesrijke toepassing op die gebieden.
Ook het maatschappelijk leven is immers probabilistisch en discontinu. Of we dit probabilisme moeten opvatten als een probabilisme bij gebrek aan voldoende kennis of als een essentieel probabilisme, kunnen we gerust voorlopig in het midden laten. Het studieobject van de maatschappelijke wetenschappen - economie en sociologie - is immers evenmin als in de natuurkunde het gedrag van het aparte individu (resp. geïsoleerd atoom), maar wel het massaverschijnsel, het maatschappelijk gedrag van alle individuen tesamen of van een grote groep. Zonder daarbij, zoals Quetelet, de verscheidenheid te verwaarlozen; immers, maakt de verscheidenheid een essentieel aspect van het massaverschijnsel uit.
En toch zijn we nog niet aan het einde van ons relaas; nog steeds kunnen we geen onmiddellijk succes van de wiskundige methodes in de sociale wetenschappen verwachten. De moeilijkheden zijn nog zeer groot; we kunnen ze samenvatten in twee groepen en hun aard aantonen door vergelijking met de natuurwetenschappen.
De eerste moeilijkheid is de ver gaande complexiteit van het maatschappelijk gebeuren. In de natuurwetenschappen kunnen de elementaire verschijnselen geïsoleerd worden; men kan de omstandigheden in een experiment beheersen en variëren om aldus des te beter het verschijnsel in zijn essentie te kunnen bestuderen. In de maatschappij is een dergelijk isolerend experiment niet mogelijk. Terwijl men in de klassieke natuurwetenschappen via het
| |
| |
isolerend experiment kan komen tot gescheiden enkelvoudige oorzaken, is deze mogelijkheid voor de sociale wetenschappen uitgesloten. Reeds in het stelsel van Walras hebben de simultane relaties de plaats ingenomen van de enkelvoudige oorzaken. En wanneer daarbij de onzekerheid van het probabilisme zijn intrede doet moet de relatie vervangen worden door de correlatie. Men kan dit als volgt omschrijven: indien er een preciese relatie zou bestaan tussen twee verschijnselen A en B, dan moeten deze steeds en overal samen optreden en is de verhouding van hun intensiteiten welbepaald. Een correlatie duidt echter slechts op een neiging tot samengaan, welke neiging kan gemeten worden door een coëfficiënt van correlatie, zonder dat er zekerheid omtrent hun samengang bestaat; het kan gebeuren, al is het niet waarschijnlijk, dat A verschijnt zonder B, of dat B een afwijkende intensiteit vertoont. Deze onzekere correlatie is niet of zeer moeilijk uit te schakelen: de maatschappelijke complexiteit is niet te ontwarren.
De tweede moeilijkheid is, uit methodisch oogpunt beschouwd, misschien nog fataler. Het experiment in de natuurwetenschappen is onbeperkt repeteerbaar. Men behoeft niet eens steeds hetzelfde object te nemen, aangezien natuurkundige objecten van dezelfde soort als identiek mogen beschouwd worden. Dit is vooral van groot belang geworden na de invoering van het probabilisme. Immers daardoor wordt alles mogelijk, ook al is het onwaarschijnlijk. In het gedetermineerde mechanistische wereldbeeld van de klassieke natuurwetenschappen kon Pascal zeggen, dat een hypothese bewezen wordt wanneer het tegendeel tot een tegenspraak leidt en dat die hypothese radicaal verworpen dient te worden wanneer ze zelf tot een tegenspraak leidt. Dit kan een beredeneerde of een experimentele tegenspraak zijn. Zonder te vervallen in het andere uiterste van de volkswijsheid, die zegt dat uitzonderingen de regel bevestigen, kunnen we toch constateren, dat in het probabilistische wereldbeeld één enkele experimentele tegenspraak geen absolute verwerping van een hypothese kan meebrengen. Een hypothese in de moderne opvatting bevat slechts waarschijnlijkheden, maar sluit binnen zekere logische grenzen, geen enkele afwijking uit. Wel kunnen we zeggen, alweer op grond van de wet van de grote getallen van Bernoulli, dat bij een herhaalde tegenspraak de hypothese steeds onwaarschijnlijker wordt, zodat het verstandiger zal zijn naar een andere meer waarschijnlijke hypothese uit te zien. Het natuurkundig onderzoek van een hypothese moet zich dus baseren op de repeteerbaarheid van het experiment op identieke objecten.
In de sociale wetenschappen blijft er van die mogelijkheid niet veel over. Het experiment op een sociaal object, bijvoorbeeld een groep individuen, is essentieel eenmalig, omdat de maatschappij voortdurend evolueert. Al was het trouwens maar omdat het individu na het experiment, bijvoorbeeld na het beantwoorden van een enquete, niet meer juist hetzelfde is (denk aan de verkiezings-voorspellingen in Amerika en aan de invloed van die voorspellingen op de verkiezing zelf!). En van identiteit tussen gelijksoortige individuen kan
| |
| |
er strikt genomen al evenmin sprake zijn. Toch ligt hierin het enige redmiddel van de statistische test-methoden van onze hypothesen; we moeten telkens voor groepen van individuen een zekere gelijkenis postuleren betreffende die eigenschappen, welke essentieel zijn voor het onderhavige onderzoek. Het zal wel duidelijk zijn, dat het hier gaat om een moeilijk en delicaat deel van ieder statistisch maatschappelijk onderzoek.
Nochtans kunnen we deze verschilpunten met de natuurwetenschappen niet zien als principieel onoverkomelijke moeilijkheden voor de toepassing van de wiskunde in de sociale wetenschappen. De verschillen zijn niet essentieel maar gradueel; de moeilijkheden zijn weliswaar veel groter, maar niet nieuw. Alleen moeten we op dit ogenblik constateren, dat de moeilijkheden zo veel groter zijnde, voorlopig nog niet kunnen overwonnen worden door de huidige wiskunde. Onze eerste taak is het verder ontwikkelen van de wiskundige denkmethode.
En deze nieuwe wiskunde, waarvan we op dit ogenblik nog slechts een schuchter elementair begin zien, moet gaan in de richting van een analyse van simultane onzekere massaverschijnselen met actuele en historische afhankelijkheden. Laat ons deze omschrijving in het kort ontleden, waarbij we meteen nagaan, wat reeds gedaan is.
Allereerst heeft deze studie onzekere, probabilistische verschijnselen tot object. We hebben gezien dat de eerste onderzoekingen over dergelijke verschijnselen het kansspel betroffen. Nadat men lange tijd met een beetje misprijzen op deze voedstermoeder van de moderne wiskundige statistiek had neergezien, is men thans teruggekeerd tot de studie van het spel. Maar deze nieuwe studie heeft men veel ruimer opgevat en niet meer beperkt tot de zuivere kansspelen. Ook het menselijke element is er in betrokken, de mogelijkheid van eigen beslissingen; in de wiskundige wereld heeft de vrije wil zijn intrede gedaan. Daaruit heeft men onmiddellijk de consequentie getrokken, dat het economisch gebeuren als een spel kan worden beschouwd; binnen zekere grenzen, de regels van het spel, kan ieder individu echter zijn vrije wil tot uiting laten komen, kan ieder individu zijn eigen strategie volgen. Een bizonder belangrijk aspect van deze spel-studie is de theorie van het onderhandelingsproces, bijvoorbeeld tussen de syndicaten en de ondernemersverenigingen. Het standaardwerk over deze nieuwe wiskundige denkschema's en hun economische toepassingen is de ‘Theory of games andeconomicbehavior’ van de veramerikaniseerde Oostenrijkers Von Neumann en Morgenstern.
Een tweede aspect van de gedroomde wiskunde is de actuele en historische afhankelijkheid, die begrepen moet worden in de zin van de vroeger besproken correlatie. Maar niet alleen correlatie tussen gelijktijdige, actuele verschijnselen, maar ook een correlatie-afhankelijkheid van het huidige gebeuren van gebeurtenissen, die er onmiddellijk aan vooraf gingen of zelfs veel vroeger plaats hadden. Deze zijde van de voor ons gestelde problemen wordt onderzocht in de studie van de zogenaamde tijdreeksen. Dit zijn niet anders dan reeksen
| |
| |
van elkaar regelmatig opvolgende waarnemingsresultaten. Een economisch voorbeeld vinden we in de reeksen van index-cijfers. Een belangrijke toepassing in de economie hiervan is de conjunctuurstudie, waarvan de rol in de practische economische politiek door niemand onderschat zal worden. De bekende conjunctuur-barometer van Harvard maakt gebruik van correlaties in tijdreeksen.
En het laatste en misschien wel moeilijkste aspect is te vinden in de simultaniteit van de maatschappelijke verschijnselen; van de vrijwel onontwarbare complexiteit. Een eerste probleem dat zich hier stelt is het samenvoegen van sommige groepen gelijksoortige gebeurtenissen in zogenaamde aggregaten. De theorie van de index-cijfers, waarover nog zo veel verschil van mening bestaat, is een deel van dit probleem, dat nog nauwelijks aangevat is, laat staan opgelost. Toch lijkt dit probleem preliminair, omdat we alleen door aggregaties zullen kunnen komen tot een vereenvoudiging van de simultanlteit. Een eerste poging tot het omvatten van de simultaniteit wordt gedaan door het opstellen van de theorie van de structuren. Een structuur kan omschreven worden als een stelsel van vergelijkingen, waarbij echter de relaties vervangen worden door waarschijnlijkheidsrelaties (correlaties) en die bovendien gestoord kunnen worden door allerlei toevallige probabilistische oorzaken. Als één van de belangrijkste autoriteiten op dit gebied kan de veramerikaniseerde Nederlander Koopmans genoemd worden.
Het is trouwens o.a. ook in Nederland, dat bewezen wordt, dat al deze pogingen geen loutere theorie-dromen zijn. Daar wordt inderdaad op het Centraal Planbureau werk verricht dat nauw verband houdt met de bovengeschetste theorieën; daar wordt aan practisch econometrisch werk gedaan (d.i. toepassing van de statistiek op de theoretische modellen van de wiskundige economie), als voorbereiding van de waardevolle prae-adviezen, die door dit bureau worden gegeven. De leider van dit Bureau is Prof. Jan Tinbergen.
Zo kunnen we, naar mijn mening, samenvattend de huidige situatie van de wiskunde in de moderne economie als volgt schetsen. Door de ontwikkeling van de wetenschappen in de laatste decennia is het pleit gewonnen ten gunste van de wiskundige economie. Echter dient de wiskunde eerst nog wat te groeien alvorens van dit toegewezen recht met succes gebruik te kunnen maken. We hebben gezien, dat de theorie van de sociale wetenschappen en in het bizonder van de economie reeds binnen het bereik van de wiskundige denkbaarheid ligt. Men is er echter nog niet in geslaagd de vereiste denkschema's op te stellen, die tot theoretische en vooral ook practische belangrijke verwezenlijkingen zullen kunnen leiden.
Gent, December 1952.
Hein PICARD
|
|
Gedeeltelijk auteursrechtelijk beschermd