Vaderlandsche letteroefeningen. Jaargang 1844

Theoretisch en Practisch Leerboek der Algebra, of Stelkunst, voor de Scholen. Door F. Lagerwey, Kostschoolhouder te Weesp. IIde Deel. Te Dordrecht, bij H. Lagerwey. 1843. In kl. 8vo. X en 256 bl. f 1-80.

Was het eene aangename taak, het eerste Deel van dit leerboek te beoordeelen, eene niet minder aangename is het, deze beoordeeling voor het tweede Deel te vervolgen; want ook dit verdient alle aanbeveling, en maakt, naar onze gedachten, met het eerste zulk een goed geheel uit, dat zij te zamen, als een beknopt en tevens volledig leerboek voor de gronden der algebra, veilig door iedereen kunnen gebruikt worden.

Uit de voorrede blijkt, dat de eerste, ongenoemde, bewerker reeds in het begin van het eerste Deel door omstandigheden gedrongen werd, zijnen arbeid te staken, om denzelven aan een ander te zien overdragen. - Of het werk al of niet hierbij gewonnen heeft, valt moeijelijk te bepalen; maar daar zich noch in plan, noch in uitvoering eenig verschil tusschen het begin en het verdere bespeuren laat, gelooven wij, den Heer lagerwey, die zoo bescheiden was, eerst nu zijnen naam bekend te maken, gerust den lof te mogen geven, die den bewerker van het geheele leerboek toekomt.

Ook in dit stuk bestaat die juiste verdeeling, waardoor de onderwerpen elkander in eene natuurlijke en geleidelijke orde opvolgen en de overgangen gemakkelijk worden gemaakt, iets, dat van zoo veel belang is bij de beoefening eener kunst, waarin iedere volgende stap tot eenen voor-

[p. 738]

gaanden in een noodzakelijk verband staat, en uitermate veel bijdraagt tot de ontwikkeling van een jeugdig verstand. - Men vindt hier weder kortheid en juistheid in de bepalingen, volledigheid in de theoriën en grondregels, die door even goede voorbeelden gevolgd, als door degelijke bewijzen voorafgegaan worden. Van iedere gelegenheid wordt weder gebruik gemaakt tot het maken van belangrijke aanmerkingen, en allerwege komen weder die nuttige wenken voor, die den leerling leiden kunnen en zijnen aanleg ontwikkelen, en die den kundigen onderwijzer zoo gunstig doen uitkomen. Het is gelukkig thans niet meer noodig, aan te toonen, dat eene zoodanige leerwijze, behalve dat zij den geest juistheid geeft en levendig houdt, bij slot van rekening ook veel korter is, dan die, welke men gewoon is, eene korte te noemen, en die daarom, ten minste stellig in vele gevallen, voor de beste gehouden wordt, - dit is voor lang door verdienstelijke geleerden, ook in ons land, gedaan, die op deze leest hunne leerboeken geschoeid hebben. Van het vele goede, dat in zoodanige werken te vinden was, heeft de Schrijver een verstandig gebruik gemaakt; en geeft het hier en elders opgezamelde, met de vruchten van eigene studie en ondervinding verrijkt, als een goed en bruikbaar geheel terug.

Bepaalde het eerste Deel zich enkel tot onderwerpen, waarbij slechts de eerste magt voorkomt, het tweede houdt zich bezig met die, waarbij hoogere magten, en meer bepaald de tweede magt, voorkomen en worden daarin magten en wortelgrootheden, magtsverheffing en worteltrekking, en verder de vergelijkingen van de tweede magt behandeld, terwijl de leer der reeksen en der logarithmen, voor zoo ver dezelve niet reeds in de beginselen der cijferkunst te huis behooren, hoewel vroeger beloofd, uit vrees voor te groote wijdloopigheid, geheel achterwege gelaten worden.

Reeds in het eerste gedeelte, over ontwikkeling en herleiding van magten en van wortelgrootheden handelende, vonden wij die vroeger zoo geprezene goede volgorde, deugdelijke bewijzen en volledigheid weder. De optelling, aftrekking, vermenigvuldiging en magtsverheffing der wortelgrootheden konden om die reden beknopt worden afgehandeld. De deeling van deze en van de onbestaanbare vormen wordt duidelijk voorgedragen, en hoewel slechts de eenvoudigste uitdrukkingen behandeld worden, wordt er genoegzame aan-

[p. 739]

leiding tot meer zamengestelde gegeven. Zeer goed beviel ons ook de behandeling van de worteltrekking uit wortelgrootheden, terwijl de bewijzen, die bij de tweedemagtsworteltrekking uit tweeledige vormen, zoo als later ook voor de cubiekworteltrekking, gegeven worden, nuttige voorbeelden in hoogere beschouwingen kunnen zijn. Hierop volgt eene nette behandeling van de leer der gebrokene exponenten, welke, gevoegd bij de bovengenoemde beschouwing der magten en wortelgrootheden, den leerling genoegzaam in staat zal stellen, om zich verder in de door alle deelen der algebra zoo noodzakelijke kunst van herleiden te oefenen. - Het Binonium wordt, op het voetspoor van meerdere schrijvers, op de leerstukken van combinatiën en permutatiën gegrond. Mogten sommigen van oordeel wezen, dat die theoriën, zoo als zij hier voorgedragen zijn, wat te hoog loopen voor een leerboek, dat de vergelijkingen van de tweede magt niet te boven gaat - anderen gelooven weder, dat men leerlingen, die, op welke wijze ook, nut van hunne studiën zullen trekken, zoo spoedig mogelijk met deze voor het regelmatig leeren denken zoo geschikte leerstukken bekend moet maken, en wat meer is, ze zelfs eenigzins in toepassing leeren brengen. De gebezigde notatie kan tevens een klein denkbeeld geven van de wijze, waarop men in de algebra zijne gedachten beknopt en duidelijk weet uit te drukken, en den jongen beoefenaar vroegtijdig gewennen, om toch nooit bang te worden voor dingen, zoo als vreemde teekens, waarvan de moeijelijkheid slechts ingebeeld is.

Langs eenen goed gebaanden weg komt men zoo tot de algemeene formule van magtsverheffing, waarna eenige fraaije eigenschappen van de binomiaal-coëfficiënten, een proefje van herleiding van onbestaanbare vormen en in weinige regels de beginselen van de magtsverheffing van veelledige uitdrukkingen gegeven worden. Hierna worden op eene zeer duidelijke wijze de vierkants en ook de hoogere magtsworteltrekking uit getallen en uit stelkunstige uitdrukkingen behandeld. Door gepaste en zelfs noodzakelijke uitvoerigheid en door gegronde redeneringen en goede aanwijzingen wordt de leerling in staat gesteld, om zich in deze bewerkingen, welker gronden veelal een struikelblok zijn, op eene begrijpelijke wijze te oefenen, en tevens voorbereid tot juist en regelmatig benaderen, zoo als hij dit in de toepassing iederen oogenblik zal noodig hebben. Daarop volgen de bepaalde

[p. 740]

vergelijkingen van de tweede magt, welker theorie door het behandelen van de verschillende gevallen, die er kunnen voorkomen, de noodige volledigheid heeft om met vrucht te kunnen gebruikt worden, en waarbij een bewijs, dat eene tweedemagtsvergelijking slechts twee wortels hebben kan, de ontbinding van stelkunstige uitdrukkingen van den tweeden graad in hare factoren en de nette verklaring van een bijzonder geval, dat zich meermalen bij de oplossing van vergelijkingen van de tweede magt voordoet, den gebruiker ongetwijfeld welgevallig zullen zijn. - Dit nuttig gedeelte wordt met eene menigte goed gekozen en volledig opgeloste vraagstukken besloten, waarbij duidelijk de kracht van beide wortels wordt aangetoond en die, van gepaste aanmerkingen vergezeld gaande, den leerling als voorbeelden tot oefening kunnen wezen, waar vaste regels niet wel te geven zijn. - De beknopte behandeling der vergelijkingen van twee termen, waarvan hier slechts de beginselen konden gegeven worden, wordt met een paar nuttige opmerkingen besloten en gevolgd door de hoogere magtsvergelijkingen van den tweeden magtsvorm en de oplossing van stelsels van vergelijkingen van de tweede magt tot meerdere onbekenden, welk laatst belangrijk onderwerp ook, zoo ver dit hier geschieden kon, duidelijk behandeld en door goede voorbeelden en nuttige aanmerkingen is opgehelderd.

Het theoretische gedeelte eindigt met de leer der onbepaalde vergelijkingen van de tweede magt, door eenige goede voorbeelden genoegzaam, voor dit leerboek, toegelicht, en het geheel wordt, even als het eerste Deel, door een' ruimen voorraad van vraagstukken besloten, waarvan de antwoorden, en van vele uitvoerige oplossingen, in een apart stukje gegeven zijn.

Allerwege vindt men belangrijke noten, die van zelve in het oog vallen, en daar de gezegde aanmerkingenen nuttige wenken zoo veelvuldig voorkomen, meenen wij ons veilig van aanhalingen te mogen ontslaan.

Wij wenschen nogmaals den Schrijver met zijn, thans geheel, volbragt werk geluk en hopen, dat vele jonge lieden, aan zijne leiding toevertrouwd of door zijn leerboek in de beginsels van de kunst ingewijd, lust en geschiktheid zullen gekregen hebben, om haar ook verder met ijver en goed gevolg te blijven beoefenen.

Voor de zeer nette en tevens min kostbare uitvoering van

[p. 741]

het geheele werk mag den Uitgever wel een ruim debiet ten deel vallen - hij hebbe daardoor de aangename zelfvoldoening, aan de verspreiding van nuttige kennis, in groote mate, bevorderlijk geweest te zijn.