Vaderlandsche letteroefeningen. Jaargang 1840

Uitvoerige Lessen over Verhoudingen en Evenredigheden, doorvlochten met toepasselijke aanmerkingen en ophelderingen van vele gewigtige zaken, door Jacob de Gelder, Hoogleeraar te Leiden. 's Gravenhage en Amsterdam, bij de Gebr. van Cleef. 1839. In gr. 8vo. X en 207 bl. f 2-40.

Wanneer wij de behandeling der getallen-evenredigheden, voorkomende in de allereerste gronden der Cijferkunst van den Hoogleeraar de gelder, kennen, en vervolgens nagaan hetgeen Zijn Hooggel. in zijne Beginselen der Meetkunst over de evenredigheden zegt, dan zoude de vraag kunnen ontstaan: wat noopte den geleerden Schrijver, om nog eens de

[p. 634]

verhoudingen en evenredigheden in een afzonderlijk werk te behandelen? Het antwoord op deze vraag vinden wij in de Voorrede. Wanneer de Hoogleeraar in den loop zijner akademische lessen de leer der evenredigheden behandelde, zoo gaf dit aanleiding tot meerdere duidelijkheid in de verklaring van vele hoofdpunten, benevens meer algemeene en beknopter betoogen van voorname hoofdstellingen. De lessen, welke ons hier door den Hoogleeraar aangeboden worden, zijn de zakelijke inhoud der mondelinge lessen, door hem in de twee laatste jaren voorgedragen. Wanneer hij deze lessen uitvoerige lessen noemt, dan valt er wel niet aan te twijfelen, of men zal hier alles vereenigd vinden, wat over verhoudingen en evenredigheden gezegd kan worden. De behandeling is dan ook zoo algemeen mogelijk, en leert de verhoudingen en evenredigheden uit een onbekrompen oogpunt beschouwen; ieder hoofdpunt wordt in den vorm van eene stelling voorgedragen, terwijl de betoogen nieuwe bewijzen dragen van de bekende gestrengheid en naauwkeurigheid des geleerden Schrijvers. Zoo vindt men in § 45 en 46 met eenvoudigheid en duidelijkheid aangetoond, dat, wanneer het ons, practisch genomen, onmogelijk is, door dadelijke afpassing de wijzergetallen van den verhoudingswijzer van twee onderling onmeetbare uitgebreidheden met de vereischte naauwkeurigheid te bepalen, de rede en de zuivere getallenleer, in dezelve gegrond, ons in staat stellen, om datgene uit te voeren, waartoe onze beste werk- en scherpste zintuigen ontoereikend zijn. Door deze lessen leert men de verhoudingen en evenredigheden als onmisbare hulpmiddelen kennen, zoo tot het nasporen van de eigenschappen der figuren, als tot het oplossen van vraagstukken, en om uit de beschouwing der natuur, door waarnemingen en proeven, hare wetten, als oorzaken der verschijnselen, te bepalen.

Nadat de Hoogleeraar aangetoond heeft, dat er in de meetkunstige figuren werkelijk onmeetbare verhoudingen bestaan, zoo neemt hij hieruit aanleiding, om te betoogen, dat de verhouding van den omtrek eens cirkels tot zijne middellijn onmeetbaar is. In dit gedeelte der lessen van § 49 tot § 60 vindt men, behalve het betoog van het onmogelijke, om eenen cirkel in eenen quadraat te transformeren, de verschillende reeksen, zoo van boog sinus, boog tangens, de reeks van leibnitz, de formule van wallis

[p. 635]

enz., welke dienen kunnen om de betrekking van den omtrek eens cirkels tot zijne middellijn te benaderen, opgegeven, en aan deze reeksen de waarheid van het Ludolphiaansche getal tot in vijfendertig cijfers van de tiendeelige schaal getoetst. Dit gedeelte is door het groot aantal aanmerkingen en noten ook van eene geschiedkundige waarde. - Ten einde verhoudingen en evenredigheden niet met elkander te verwarren, behandelt de Hoogleeraar in § 67: Verhoudingen, die uit eene gestelde verhouding volgen; terwijl, hoe vele overeenkomst er oppervlakkig ook in moge bestaan, in § 74 Evenredigheden, die uit elke voorgestelde evenredigheid als noodzakelijke gevolgen ontstaan, afzonderlijk nagegaan worden. Alle die eigenschappen worden betoogd voor de twee gevallen, wanneer de verhoudingen in de onderstelde evenredigheid meetbaar en onmeetbaar zijn.

De aaneengeschakelde evenredigheden, de evenredigheden, die uit twee of meer anderen worden afgeleid, de omgekeerde en zamengestelde evenredigheden, worden op dezelfde grondige en uitvoerige wijze behandeld.^(*) Eindelijk besteedt de Hoogleeraar een gedeelte van den inhoud dezer lessen, om het nuttig gebruik der omgekeerde en zamengestelde evenredigheden in de meetkunst en de verklaring der natuurwetten aan te toonen. Ook dit gedeelte getuigt, dat de Schrijver niet uit het oog verloren heeft, dat weten leidt tot oppervlakkigheid en grondig kennen tot ware geleerdheid.

Heeft de keurige behandeling der getallen-evenredigheden, vervat in de allereerste gronden der Cijferkunst, (een werkje, waarvan reeds een vijfde druk bestaat) de cijfer-

(*) In de noot onder bl. 169 en 170 trekt de Hoogleeraar te veld tegen de zoo algemeen in gebruik zijnde gezegden, dat eene lijn slechts eene afmeting, een vlak twee afmetingen en een ligchaam drie afmetingen heeft. Men zie den zin, welken de Hoogleeraar aan het woord afmeting hecht, uit hetgeen omtrent de Parabola, Ellips, Hyperbola en driehoek in § 96 gezegd wordt. Wij zullen ons wel wachten, den geleerden Schrijver hier tegen te spreken, maar vragen alleen, of de, volgens hem, hieruit te verwachten verwarring niet meer voor de leerlingen, die het voorregt genieten van door den Hoogleeraar zelven onderwezen te worden, in het bijzonder, dan wel voor de leerlingen in het algemeen te vreezen is.

[p. 636]

kunst ontdaan van een aantal regelen en barbaarsche benamingen, waaronder de waarheid vroeger als bedolven lag, door alles onder het gebied der evenredigheden te brengen; heeft de behandeling der evenredigheden, voorkomende in de Beginselen der Meetkunst, (waarvan in 1829 reeds een derde druk noodzakelijk was) den pasbeginnenden leerling op het goede standpunt geplaatst, niet minder zal de inhoud dezer uitvoerige Lessen nut stichten bij de meergevorderde leerlingen. Wij zeggen meergevorderde leerlingen, want het kan het doel van den Schrijver niet zijn, deze lessen in handen te geven aan dezulken, die nog geene vorderingen in de stel- en meetkunst gemaakt hebben; men zie slechts de terugwijzingen naar de verschillende boeken, waarin de Beginselen der Meetkunst van den Hoogleeraar verdeeld zijn, de aanmerkingen, betrekking hebbende op de theorie der hoogere magtsvergelijkingen en de analytische meetkunst, welke bij herhaling in deze lessen voorkomen. Doch zelfs dit geeft aan deze lessen eene nieuwe waarde: met een meergeoefend oog nog eens eenen blik te slaan op hetgeen men van verhoudingen en evenredigheden in den onbekrompensten zin bij de verdere beoefening der wetenschappen verwachten mag, kan niet anders dan medewerken tot verkrijging van ware geleerdheid. Wij wenschen hartelijk den Hoogleeraar de ervaring toe, dat ook dit zijn werk met graagte gezocht wordt; en, ofschoon deze lessen voor leerlingen bijeengebragt en uitgegeven zijn, kunnen wij niet nalaten, derzelver inhoud, als hoogst nuttig, ook diegenen aan te bevelen, welke reeds in de beoefening der wetenschappen anderen moeten voorgaan.

De correctie is voor een werk van dien aard goed; wel hebben wij eenige drukfouten gevonden, doch deze vallen over het algemeen dadelijk in het oog en geven geene aanleiding tot verwarring in formules.