De Tijdspiegel. Jaargang 21

Suum cuique.

III.

Antwoord op ‘eene beoordeeling van eene recensie van het leerboek der beschrijvende meetkunst van den Heer v.d. Speck Obreen’ in de November-aflevering van de Tijdspiegel.

Is het reeds eene niet aangename taak ver een boek, in eene recensie, een afkeurend oordeel uit te spreken, nog onaangenamer is het nogmaals op datzelfde onderwerp te moeten terugkomen, en toch wordt ik daartoe gedwongen door de ‘beoordeeling van eene recensie van het leerboek der beschrijvende meetkunst van den heer H.A.

[p. 508]

van der Speck Obreen’ geplaatst in de Tijdspiegel van November l.l.

In één opzigt doet het mij evenwel genoegen nog eens op die recensie terug te komen, en wel tot het uit den weg ruimen van een misverstand. Toen ik de drukproef corrigeerde hadden de benoemingen voor de Polytechnische school plaats gegrepen, waaruit bleek dat de heer v.d. Speck Obreen aldaar geen onderwijs in de beschrijvende meetkunst meer zou geven. Dat ik dit toen in het aan mijne recensie toegevoegde naschrift vermeldde, was slechts tot verbetering van het in den aanhef gezegde. Ik moest uit de stad, en had dus geen tijd mijne drukproef en het naschrift nog eens over te lezen, ik had anders waarschijnlijk bespeurd dat men dit als eene hatelijkheid zou kunnen opvatten; ik bemerkte ten minste later, tot mijn leedwezen, dat enkelen het naschrift, geheel ten onregte, als zoodanig hadden beschouwd. Hoe de heer v.d. Speck Obreen het heeft opgevat, weet ik niet, maar mogt ik hem er eenig leed door veroorzaakt hebben, dan vraag ik hem verschooning voor de met eene gansch andere bedoeling daar nedergeschrevene woorden.

En nu over mijne recensie zelve. - Zij had tot doel, zooals ik ook in de Gids schreef, hen, die zich van het leerboek van den heer v.d. Speck Obreen wilden bedienen, daartegen te waarschuwen, daar het mij gebleken was voor zijn doel ongeschikt te zijn. Een overzigt van het geheele boek, zooals de heer v.d. Speck Obreen wenscht, scheen mij daartoe onnoodig, daar in het algemeen dezelfde zaken, in ongeveer dezelfde volgorde behandeld worden als in andere werken over beschrijvende meetkunst. Ik had er welligt van kunnen zeggen, dat het mij niet gelukkig voorkwam, dat eene indeeling in hoofdstukken of afdeelingen gemist wordt, zoodat, in afzonderlijke paragraphen, het eene werkstuk onmiddellijk op het andere volgt; maar dit scheen mij ten opzigte van mijne andere bedenkingen van minder gewigt. Tegen deze oppert de heer v.d. Speck Obreen eenige bezwaren, maar met geen gelukkig gevolg.

Alleen hetgeen ik tegen § 96 in het midden heb gebragt, wordt voor een klein deel opgeheven zoo men in den tekst de volgende veranderingen maakt: men late de woorden ‘zie fig. 180’ weg en verandere vervolgens 12 maal de letter sʹ in pʹ. Ik had de redenering bijna onbegrijpelijk genoemd, en men kan ligt inzien dat ze niet duidelijk was, indien men zulke veranderingen moet maken om haar begrijpelijk te doen zijn. Mijne overige bedenkingen tegen den noodeloozen omhaal van redeneringen, en tegen de ongeoorloofde gevolgtrekking blijven evenwel van kracht.

Wat de andere aanmerkingen van den heer v.d. Speck Obreen betreft, het zou, naar ik meen, voor zijn naam als wetenschappelijk man beter geweest zijn, zoo hij ze maar achterwege had gelaten. Een ieder oordeele.

Ik opperde bezwaar tegen het bepalen van een beschrijvende lijn van een kegel, door een punt van het oppervlak. De heer v.d. Speck Obreen wilde daartoe een vlak brengen door den top en dat punt en hiervan de doorsnede zoeken met den kegel, terwijl ik eenvoudig dat punt met den top wilde vereenigen. Neen, zegt de heer v.d. Speck Obreen, dat gaat niet, want gij kent slechts ééne projectie van dat punt en om de tweede te vinden moet gij dat vlak toch gebruiken. Ik geloof niet dat wie ook, die iets van beschrijvende meetkunst kent, ook niet de heer v.d. Speck Obreen, dien weg zou volgen. Men kent immers de projectiën van de rigtlijn, en heeft dan dadelijk uit de eene projectie der beschrijvende lijn de andere: Deze aanmerking kan geen ernst geweest zijn. Tegen mijn bezwaar dat de schrijver niet zou bekend zijn met de constructie van eene raaklijn aan eene lijn van dubbele kromming, komt deze niet op. Evenmin tegen hetgeen over § 122 gezegd is; de heer v.d. Speck Obreen bekent ‘zich hier aan overijling te hebben schuldig ge-

[p. 509]

maakt.’ 't Is toch eene vreemde overijling, niet dat men een enkel punt van verschil tusschen scheeve en ontwikkelbare oppervlakten uit het oog verliest, maar dat men geheel ignoreert dat er eenig onderscheid tusschen bestaat, zoodat men op een van de eerste soort de eigenschappen der ontwikkelbare oppervlakten toepast, en er eene uitvoerige teekening van mededeelt zonder te bespeuren dat men tot onjuiste uitkomsten geraakt. Gaf het lezen van de paragraaph, waarin dit voorkomt, ons niet het regt neder te schrijven: dat die regels ons op eene droevige wijze een blik doen werpen in de bekrompen kennis van den schrijver?

Met betrekking tot § 127 erkent de heer v.d. Speck Obreen zich ook in mindere of meerdere mate vergist te hebben, maar hij gelooft toch dat ik de zaak ook niet bij het regte einde aanvat. Reeds in het begin der § moet, volgens schrijver, de leemte gezocht worden; daar wordt, volgens S., gezegd dat drie meetkunstige plaatsen elkander in een enkel punt snijden. Op die aanwijzing hebt ik gezocht, maar niet gevonden. Misschien is in den afdruk van het boek, die voor mij ligt, het woordje ‘drie’ uitgelaten, ten minste ik lees vóór de woorden, waartegen ik bezwaar maakte, alleen dat men het snijpunt der vlakken moet zoeken, onbepaald dus hoeveel zij in aantal zijn; en dat is juist. De fout, waarop ik gewezen heb, en die, naar het mij voorkomt, eene groote fout is, bestaat daarin dat de schrijver beweert dat een bol bepaald is door drie lijnen, waaraan hij moet raken, terwijl dit in werkelijkheid eerst plaats vindt, zoo men vier lijnen geeft. Dat men een oneindig aantal bollen vindt, zoo de drie raaklijnen elkander in één punt snijden, moet dan ook niet gezocht worden in de onderlinge afhankelijkheid der lijnen, want al waren die lijnen geheel willekeurig, zoo zou men toch een oneindig aantal bollen vinden. De heer v.d. Speck Obreen geeft verder eenige beschouwingen, waardoor de zaak zoo plastisch wordt voorgesteld, dat het mij spijt tegen hare juistheid bedenkingen te moeten maken. Hij stelt namelijk tegen elkander over het oneindig aantal bollen, die drie onderling evenwijdige lijnen raken, en die, welke drie lijnen raken, die elkander in een punt snijden. Zoo men nu eene willekeurige vierde lijn trekt, zegt de heer v.d. Speck Obreen, dan zal de kans dat zij een van de bollen van de eerste reeks aanraakt veel kleiner zijn dan de kans dat zij een van de bollen in het laatste geval raakt, want deze zijn dan verschillend van grootte, en men heeft meer oneindige reeksen bollen. Men ziet, de voorstelling is aanschouwelijk genoeg, maar nu de conclusie: schrijver gelooft niet dat het onjuist is deze grootere kans aan de onderlinge afhankelijkheid der gegevens in dit geval toe te schrijven. Zou de opmerking dat drie onderling evenwijdige lijnen evenzeer van elkander afhankelijk zijn als drie lijnen, die elkander in een punt snijden, dat geloof niet aan het wankelen brengen? Waarlijk, de heer v.d. Speck Obreen doet zich zelven geen dienst met zijne opmerkingen.

Vóór dat de schrijver in zijn boek over de raakvlakken handelt, plaatst hij aan het begin van eene nieuwe paragraaph met curcijfletters: ‘Raakvlakken zijn platte vlakken, die met een gebogen oppervlak of eene lijn of een enkel punt gemeen hebben.’ Ik had hier bedenkingen tegen gemaakt, omdat men met hetzelfde regt kan zeggen: snijvlakken zijn platte vlakken, die enz. Deze aanmerking mist, volgens den heer v.d. Speck Obreen, allen grond, omdat hij geene bepaling heeft willen geven. Het zou in dit geval goed geweest zijn zoo in het boek zelf, achter de aangehaalde woorden, toegevoegd was: dit is geene bepaling, want ik vrees dat iedereen ze er anders voor houden zal. Wat die woorden dan eigenlijk wel beteekenen is moeijelijk uit te maken.

De schrijver vindt dat ik mijn ongunstig oordeel niet genoeg heb gestaafd. Ik meende echter dat als de schrijver van een boek

[p. 510]

over beschrijvende meetkunst niet schijnt te weten, zoo als uit het medegedeelde in mijne recensie in de Gids en ook hier blijkt, hoe eene raaklijn aan eene lijn van dubbele kromming moet getrokken worden, wat scheeve, wat ontwikkelbare oppervlakten zijn, hoeveel gegevens noodig zijn om een bol te bepalen, hoe men het eenvoudigste eene beschrijvende lijn op een kegel trekt door een punt van het oppervlak, enz. dat men dan, zeg ik, vrij wel in staat is om de wetenschappelijke waarde van zijn boek te beoordeelen. Wil men echter meerdere bewijzen voor de juistheid van mijn oordeel, zoo behoeft men niet met groote moeite te zoeken. Tot bevrediging van den schrijver wil ik nog een paar plaatsen uit zijn boek aanhalen. In § 119 wordt het vraagstuk behandeld om de doorsnede te vinden van een plat vlak en een ring, waarvan de beschrijvende lijn en de rigtlijn cirkels zijn, terwijl de as van den ring den beschrijvenden cirkel raakt noch snijdt. Bij de oplossing op pag. 146 leest men: ‘bij eenig nadenken zal men inzien dat men voor de doorsnede verkrijgt eene enkele of twee kromme lijnen, van welke laatste de eene dan binnen de andere gelegen zal zijn.’ Dit is onjuist; die kromme lijnen kunnen geheel buiten elkander liggen; onder de oneindig vele gevallen, waarbij dit geschieden zal, denke men slechts aan dat, waarbij het snijvlak door de as van den ring wordt gebragt. Verder stelle men zich voor, volgens den heer v.d. Speck Obreen, een vlak door de as van den ring loodregt op het snijvlak, dan wordt de ring volgens twee cirkels gesneden, het vlak waarop hij rust, volgens eene raaklijn aan beide cirkels, het snijvlak volgens eene willekeurige regte lijn. Indien deze laatste lijn de raaklijn snijdt in een punt tusschen de raakpunten van de beide cirkels, dan zouden, volgens S. de beide doorsneden aan elkander sluiten (zie de onderste regels van pag. 146). Dit is wederom verkeerd. De doorsneden kunnen geheel buiten elkander vallen, zonder eenig punt gemeen te hebben. Men denke wederom aan een snijvlak door de as. Eveneens is onjuist wat men verder boven aan pag. 147 leest. Ik geloof echter niet dat het noodig is hier meerdere aanhalingen te doen, om mijn oordeel over de geringe wetenschappelijke waarde van het leerboek verder te staven. Elk oordeele zelf.

Het schijnt dat de heer v.d. S.O. mijne recensie niet goed gelezen heeft, anders had hij gezien dat mijn bezwaar tegen de behandeling van het vraagstuk, om een punt op het oppervlak van een een cilinder of kegel te bepalen, hierin bestaat, dat voor vier afzonderlijke standen van den cilinder ook afzonderlijke oplossingen worden medegedeeld, en evenzoo bij den kegel slechts een bijzonder geval wordt behandeld, zonder dat, hetzij vooraf, hetzij later, eene algemeene oplossing wordt gegeven. Deze ontbreekt insgelijks voor de omwentelingsoppervlakken, en het spreekt van zelf dat men dus ook te vergeefs de opgave van eene handelwijze zoekt, om de projectiën van een punt te bepalen op een willekeurig gebogen oppervlak, waarvan men de wording kent. Evenmin vindt men opgegeven hoe men de doorsnede bepaalt van een plat vlak met een willekeurig kegelvlak; alleen wordt het bijzondere geval behandeld, dat de kegel regt cirkelvormig is. Te vergeefs zou ook een leerling het boek raadplegen, zoo hij de doorsnede wil bepalen van een plat vlak en een omwentelingsligchaam, enz. Dit was het wat mij deed spreken van eene hoogst bekrompene opvatting der verschillende vraagstukken.

Hoewel de heer v.d. Speck Obreen toegeeft zoo weinig mogelijk bewijzen te hebben gegeven, gelooft hij toch dat zij in genoegzame mate voorhanden zijn, en de leerling zelf wel de overige, zoo zij noodig zijn, kan vinden. In dit geval zou het toch goed geweest zijn dat, bij de beschouwing van de doorsnede van een bol, cilinder of kegel, in een enkel vraagstuk verklaard werd, waarom

[p. 511]

eene zekere lijn de groote of kleine as van de ellips van doorsnede is; die verklaring vindt men echter bij niet ééne der oplossingen. Zoo een leerling op eene andere plaats leert, dat het zeer toevallig is dat men aan een kegel of cilindervlak, door eene lijn er buiten gelegen, een raakvlak kan brengen, en dat dit mogelijk is voor vele andere oppervlakten niet door de beweging van eene regte lijn voortgebragt, zal hij dan, zonder daartoe eenige gegevens te vinden, kunnen bewijzen, in welke gevallen, en bij welke oppervlakten dit plaats kan vinden? Ik zou het zeer betwijfelen. Neen, zulke bewijzen en ook andere b.v. dat de projectie van eene raaklijn aan een kromme lijn ook raaklijn is aan de projectie van die kromme, dat een raakvlak al de raaklijnen in zich bevat aan een punt van een gebogen oppervlak getrokken, enz. mogen, naar het mij voorkomt, in een leerboek van de beschrijvende meetkunst niet ontbreken.

De heer v.d. Speck Obreen vindt mijn oordeel over figuren en platen onbillijk. Hij erkent dat er fouten in voorkomen, maar daar zou niet uit volgen dat zijne figuren slecht zijn. Ik weet niet wat schrijver's criterium van goede en slechte platen is, maar om anderen in staat te stellen over de meerdere of mindere verdienste der figuren te oordeelen, heb ik al die bij elkander gezocht, welke betrekking hebben op werkstukken, waarin de doorsneden van ligchamen worden bepaald, en wel diegene, waarbij de doorsneden werkelijk geconstrueerd zijn. Zij zijn 15 in getal en onder die allen is er slechts één, die dan ook zeer eenvoudig is, namelijk figuur 258, waarin geen fouten voorkomen in het aanteekenen van wat zigtbaar en onzigtbaar is, zonder nog van andere fouten te spreken, want in dat geval zou ook figuur 258 moeten worden afgekeurd, die tot doorsnede van een plat vlak met een cilinder eene regte in plaats van eene kromme lijn vertoont. Zijn die figuren nu ‘zeer bruikbaar’, zoo als de heer v.d. Speck Obreen zegt; zal men er uit zien hoe het zigtbare en onzigtbare in zulke figuren moet bepaald worden, of is dit misschien niet noodig? Zal een leerling inzien, hoe hij een door platte vlakken begrensd ligchaam moet ontwikkelen, als in de éénige figuur, fig. 177, die daarvan wordt medegedeeld, op één enkele na, alle afstanden fout zijn, en dat niet ten gevolge van kleine foutjes door het overteekenen te weeg gebragt, maar door dat de heer v.d. Speck Obreen verkeerde lijnen heeft gebruikt? Zal een leerling begrijpen hoe de projectie van een driehoek, welke laatste gelegen is in een hellend vlak tusschen de beide doorgangen van dat vlak, kan vallen buiten den hoek tusschen den overeenkomstigen doorgang en de as? en toch vindt men het in figuur 156, en wel in een zeer eenvoudig geval, waarin men zou meenen dat geene vergissing mogelijk was. Als nu de leerling inziet, dat dit verkeerd is, wat zal hij dan denken als hij twee figuren verder, in figuur 158, op dezelfde moeijelijkheid stuit? Als hij reeds genoeg van de beschrijvende meetkunst kent, dan zal hij bespeuren dat dit wederom fout is, en wel dat het punt cʹ2 duim, het punt cʺl duim verkeerd geteekend is; maar als hij nog niet zoo zeer op zijn kennis durft vertrouwen, zal hij dan daardoor geene onjuiste in plaats van juiste begrippen verkrijgen?

Tegen het gebruik van passer en liniaal, bij het nagaan zijner figuren, is de heer v.d. S.O. volstrekt niet gunstig gestemd; zoo zeer keurt hij dit zelfs af, dat hij het tot de ‘kwade praktijken’ rekent, als een leerling, die nog niet goed begrijpt wat in den tekst is medegedeeld, die beide instrumenten te baat neemt om in de figuur te onderzoeken, hoe men aan al die punten en lijnen is gekomen, vooral daar, zooals natuurlijk is, in den tekst dit niet altijd wordt opgegeven. Ik voor mij zou het volgen van zulk eene handelwijze beter achten, dan het zich tevreden stellen met een onvolledig begrip der medegedeelde constructie, en moet dus bij mijne meening volharden dat

[p. 512]

als men dan door de slecht geteekende figuren op het dwaalspoor wordt gebragt, dit een werkelijk gebrek in die figuren is.

In zijne antikritiek wil de heer v.d. Speck Obreen niet alleen bewijzen dat ik ongelijk heb, maar op het einde geeft hij ook een bewijs dat zijn boek goed is, op gronden, ‘waar tegen niet veel kan worden ingebragt.’ Hij verzekert namelijk dat hij goede resultaten van zijn onderwijs gezien heeft, maar voornamelijk voert hij aan, ‘dat hij het geluk heeft gehad onder zijne hoorders eenige te tellen, die zoowel door aanleg als door ijver uitmuntten, en bij dezen is de uitkomst van het onderrigt uitstekend geweest.’ Ik kan de waarde van den heer v.d. Speck Obreen als onderwijzer niet beoordeelen, maar ik ontken dat men uit de wetenschappelijke ontwikkeling van enkelen, die door aanleg en vlijt uitmunten, ièts mag afleiden omtrent het onderwijs. Zelfs op eene gewone school is dit geen goed criterium, maar hoeveel te minder nog aan eene akademie, waar men niet zelden ziet dat jongelieden, met uitmuntenden aanleg en vlijt, zich door eigen studie uitstekend ontwikkelen, zonder veel collegiën te volgen.

Dat de heer v.d. Speck Obreen niet genoelijk gestemd was over mijne recensie, kan ik mij best voorstellen; 't was echter niet noodig om zich op eene wijze, zooals hij in de Tijdspiegel gedaan heeft tegen mij uit te laten. De recensie was niet zacht, ik erken het gaarne; ik heb onbewimpeld gezegd wat ik dacht van de wetenschappelijke waarde van het werk, doch niet zonder mijn oordeel telkens met aanhalingen uit dat werk te staven. Ieder deskundige kan dus zelf oordeelen. Ware het geen leerboek geweest, ik had gezwegen, maar vooral nu, daar de beschrijvende meetkunst op vele inrigtingen zal onderwezen worden, en men dus al ligt het werk van den heer v.d. Speck Obreen zou willen gebruiken, daar het zich, èn als het nieuwste, èn als een boek van een der leeraren aan de Delftsche akademie, èn door zijne nette uitvoering, als het beste scheen aan te bevelen, meende ik niet te mogen zwijgen.

Dat ik de recensie zou geschreven hebben, om den heer v.d. Speck Obreen in een ongunstig daglicht te stellen is onjuist; mijne geheele recensie, waarin niets dan zuiver wetenschappelijke quaesties behandeld worden, pleit er tegen. Het spreekt echter van zelf dat, als gebreken in een werk worden aangetoond, dit niet kan strekken om den schrijver, uit een wetenschappelijk oogpunt, van eene gunstige zijde te doen kennen.

En nu nog ten slotte een enkel woord over eene inloyale zijdelingsche beschuldiging van den heer v.d. Speck Obreen, als hij, zonder iets te motiveren zegt, dat men uit mijne recensie kan zien, wat men van mij te verwachten heeft als men mij in een of ander opzigt in den weg staat. Het éénige wat ik hierop heb aan te merken is: dat de heer v.d. Speck Obreen mij niet in den weg staat, of gestaan heeft. Hij is, zoo ik mij niet vergis, hoofdingenieur bij den scheepsbouw, en daarheen strekken zich mijne wenschen niet uit; ik wilde ook geen boek over beschrijvende meetkunst uitgeven, waaraan dat van den heer v.d. Speck Obreen zou kunnen afbreuk doen. Bedoelt de heer v.d. Speck Obreen dat hij mij vroeger in den weg stond als leeraar aan de Delftsche akademie, dan diene het volgende: mijne recensie had ik reeds het vorige jaar geschreven, maar ik had haar laten liggen om bij eene verandering der Delftsche akademie, die op handen was, niet den schijn te hebben van den heer v.d. Speck Obreen in eenig opzigt te willen benadeelen. Om die reden heb ik mijne recensie eerst in de laatste dagen van Junij aan de redactie van de Gids ingezonden, zoodat zij op het vroegst kon verschijnen in de Augustus-aflevering, wanneer de benoemingen in Delft reeds geschied zouden zijn. En hiermede neem ik voor goed afscheid van den heer van der Speck Obreen en zijn boek.

's Gravenhage, November 1864.

H.G. van de Sande Bakhuyzen.