Logo DBNL
Tabu. Jaargang 19 (1989)

Tabu. Jaargang 19

(1989)– [tijdschrift] Tabu–rechtenstatus Auteursrechtelijk beschermd

Vorige Volgende

Semantische relaties tussen nevenschikkingen met genegeerde predikaten
Sietze Looyenga

1 Inleiding*

In de zinnen in (1) is een aantal voorbeelden te vinden van het verschijnsel dat het tweede lid van een nevenschikking gereduceerd kan worden:

(1) a De meeste studenten drinken en stinken
  b Weinig vrouwen joelen of sjoelen
  c Janus leest een boek en eet een koek

In het verleden probeerde men gereduceerde nevenschikkingen als die in (1) met behulp van een optionele syntactische regel, Conjunctie-Reductie, af te leiden uit ongereduceerde nevenschikkingen. De werking van die regel bestond erin dat hij een constituent die zowel in het eerste als in het tweede lid van een nevenschikking voorkwam, in het tweede lid kon deleren. De zinnen in (1) zouden dus met behulp van die regel afgeleid zijn uit de ongereduceerde nevenschikkingen in (2):

(2) a De meeste studenten drinken en de meeste studenten stinken
  b Weinig vrouwen joelen of weinig vrouwen sjoelen
  c Janus leest een boek en Janus eet een koek

Enig nadenken leert al snel dat Conjunctie-reductie niet zonder meer kan worden toegepast op de zinnen in (2). Zo bestaan er duidelijke semantische verschillen tussen de ongereduceerde nevenschikking in (2a) en de gereduceerde nevenschikking in (1a). Deze nevenschikkingen zijn semantisch gezien niet equivalent. Want wanneer het merendeel van de individuen die behoren tot de verzameling van studenten drinkt en tegelijkertijd een even groot deel van de individuen uit diezelfde verzameling stinkt, dan hoeft het niet zo te zijn dat het merendeel van de individuen die behoren tot genoemde verzameling zowel drinkt als stinkt.

In Zwarts (1981, 1986) is overtuigend gedemonstreerd dat degenen die proberen om het verband tussen gereduceerde en ongereduceerde nevenschikkingen te verklaren met behulp van een syntactische regel als Conjunctie-Reductie de verkeerde weg bewandelen, omdat de relatie tussen een ongereduceerde en een gereduceerde nevenschikking niet syntactisch, maar semantisch van aard is, en dus ook alleen met semantische middelen kan worden beschreven. Zwarts heeft aangetoond dat de structuur van de interpretatie van de nominale constituent bepalend is voor de aard van de relatie tussen ongereduceerde en gereduceerde nevenschikkingen. Voor het in kaart brengen van de relaties tussen gereduceerde en ongereduceerde nevenschikkingen maakt Zwarts gebruik van de theorie van gegeneraliseerde kwantoren, oorspronkelijk uiteen-

gezet in Barwise and Cooper (1981).

In dit artikel zal opnieuw worden aangetoond dat de semantische relaties tussen ongereduceerde en gereduceerde nevenschikkingen in het kader van de theorie van de gegeneraliseerde kwantoren niet alleen uitputtend, maar ook uiterst elegant kunnen worden beschreven. In het werk van Zwarts wordt alleen aandacht besteed aan nevenschikkingen met niet-genegeerde predikaten. Uit dit artikel zal blijken dat ook van de semantische relaties tussen ongereduceerde en gereduceerde nevenschikkingen met genegeerde predikaten een volledige beschrijving kan worden gegeven.

Zinnen met genegeerde predikaten leveren alleen maar extra problemen op voor een theorie die gebruik maakt van de regel voor Conjunctie-Reductie. Zijn er in het geval van zinnen met niet-genegeerde predikaten steeds vier zinnen waarvan de onderlinge relaties dienen te worden onderzocht, in het geval van zinnen met een genegeerd predikaat zijn dat er zes. De aanwezigheid van een negatie zorgt daarbij niet alleen voor een groter aantal semantische implicaties en equivalenties, maar ook voor verschillen in betekenis in vergelijking met zinnen waarin geen negatie voorkomt. Zo bestaan er twee verschillende gereduceerde nevenschikkingen met genegeerd predikaat, hetgeen blijkt uit (3):

(3) a Alle jongens drinken niet en alle jongens stinken niet
  b Alle jongens drinken niet en stinken niet
  c Alle jongens drinken en stinken niet

(3b) en (3c) hebben geenszins dezelfde betekenis: (3b) drukt uit dat voor alle jongens in het discussiedomein geldt dat ze drinken noch stinken, terwijl (3c) zegt dat alle jongens niet zowel drinken als stinken, hetgeen niet uitsluit dat bepaalde jongens ofwel drinken ofwel stinken. Dergelijke verschijnselen zijn met behulp van een zuiver syntactische regel voor Conjunctie-Reductie niet te beschrijven. Zoals uit het vervolg zal blijken, zijn ze met behulp van de theorie van gegeneraliseerde kwantoren wel degelijk adequaat te beschrijven. Daarbij spelen een tweetal bekende logische wetten, namelijk de wetten van DeMorgan, een uiterst belangrijke rol.

Een zin met een genegeerd predikaat zal hier worden gerepresenteerd als NP (NEG VP). Voor de beoogde beschrijving moeten dan voor elke klasse van NPs de onderlinge betrekkingen tussen de in (4) ondergebrachte structuren in kaart worden gebracht:

(4) a NP (NEG VP1) en NP (NEG VP2)
  b NP (NEG VP1) of NP (NEG VP2)
  c NP (NEG VP1 en NEG VP2)
  d NP (NEG VP1 of NEG VP2)
  e NP (NEG (VP1 en VP2))
  f NP (NEG (VP1 of VP2))

Wat betreft de indeling in klassen van NPs zal ik hier de voorstellen van Zwarts volgen, die in de eerste plaats een klasse van monotoon stijgende en een klasse van monotoon dalende nominale constituenten onderscheidt en vervolgens die klassen verder onderverdeelt (zie hieronder voor de definities van de verschillende klassen).

In de theorie van gegeneraliseerde kwantoren worden nominale constituenten beschouwd als kwantoren, dat wil zeggen: als uitdrukkingen die als interpretatie een collectie van deelverzamelingen van het discussiedomein krijgen toegekend. Verbale constituenten krijgen in die theorie als interpretatie een deelverzameling van het discussiedomein toegekend. De machtsverzameling P(U) van het discussiedomein U is dus gelijk aan UYP, het universum van mogelijke semantische waarden van verbale constituenten. Dat universum vormt een Boole-algebra. Een NP kan dan ook worden beschouwd als een kwantor op de VP-algebra (vgl. Zwarts 1986, p. 131-133).

Een Boole-algebra is een systeem dat bestaat uit een niet-lege verzameling B en een drietal bewerkingen die, wanneer ze worden toegepast op elementen van B, steeds een element B als resultaat opleveren. Die bewerkingen zijn optelling, vermenigvuldiging en complementvorming. Die bewerkingen vertonen sterke overeenkomsten met de operaties van vereniging, doorsnede en complementvorming uit de verzamelingenleer. Een machtsverzameling als UYP is een duidelijk voorbeeld van een Boole-algebra.

Stel nu dat X de verzameling individuen uit het discussiedomein is waarnaar VP1 verwijst, dat Y de verzameling individuen is waarnaar VP2 verwijst en dat Q de kwantor is waarmee NP correspondeert. Dan kunnen de voorwaarden waaraan moet zijn voldaan voordat de in (4) gegeven zinnen als waar kunnen worden bestempeld respectievelijk als volgt worden geformuleerd (met -X wordt het complement van de verzameling X ten opzichte van u bedoeld):

(5) a -X ∊ Q en -Y ∊ Q
  b -X ∊ Q of -Y ∊ Q
  c -X ∩ -Y ∊ Q
  d -X u -Y ∊ Q
  e -(X ∩ Y) ∊ Q
  f -(X u Y) ∊ Q

Opvallend is dat uit (5) blijkt dat er, ongeacht de klasse waartoe de NP behoort, al het een en ander te zeggen valt over de semantische relaties tussen de zinnen in (4), op grond van de wetten van DeMorgan, die als volgt kunnen worden genoteerd:

(6)   Stel dat B een Boole-algebra is. Dan geldt voor willekeurige elementen X, Y ∊ B:
  a -(X ∩ Y) = -X u -Y
  b -(X uY) = -X ∩-Y

Aangezien Q in (5) een kwantor op een Boole-algebra en dus een deelverzameling van zo'n algebra is, kan uit (6) het volgende worden afgeleid:

(7)   Stel dat B een Boole-algebra is. Voor een kwantor Q op B en voor willekeurige elementen X, Y ∊ B geldt:
  a -(X ∩ Y) e Q <-> -X u-Y ∊ Q
  b -(X uY) ∊ Q <-> -X ∩-Y ∊ Q

Uit (7) volgt dat zinnen die de structuur van (4c) en (4f) hebben in alle gevallen semantisch equivalent zijn, tot welke klasse van nominale constituen-

ten NP ook behoort. Hetzelfde geldt voor zinnen die als (4d) en (4e) kunnen worden gerepresenteerd: ook die zinnen zijn altijd semantisch equivalent.

1 Semantische relaties tussen nevenschikkingen met genegeerde predikaten

1.1 Nevenschikkingen met monotoon stijgende NPs

Een eerste deelverzameling van de klasse van nominale constituenten is die van de monotoon stijgende NPs. De kwantor die met zo'n NP correspondeert wordt als volgt gedefinieerd (vgl. Zwarts 1986, p. 164):

(8) Stel dat B een Boole-algebra is. Een kwantor Q op B is monotoon stijgend desda voor willekeurige elementen X, Y ∊ B geldt: als X ∊ Q en X ⊆ Y, dan Y ∊ Q.

Een voorbeeld van een monotoon stijgende NP is de meeste studenten. De volgende implicatie is immers geldig:

(9) De meeste studenten drinken veel → De meeste studenten drinken.

Met behulp van (4) is een zestal zinnen met de NP de meeste studenten te vormen, waarvan de onderlinge relaties kunnen worden onderzocht:

(10) a De meeste studenten draalden niet en de meeste studenten praalden niet
  b De meeste studenten draalden niet of de meeste studenten praalden niet
  c De meeste studenten draalden niet en praalden niet
  d De meeste studenten draalden niet of praalden niet
  e De meeste studenten draalden en praalden niet
  f De meeste studenten draalden of praalden niet

De met monotoon stijgende NPs corresponderende kwantoren bezitten, naast de in (8) vastgelegde, nog een aantal eigenschappen, die met behulp van (8) kunnen worden afgeleid (vgl. Zwarts 1986, p. 168 en p. 173) en die van belang zijn wanneer het aankomt op het vaststellen van de semantische relaties tussen de zinnen in (10):

(11)   Stel dat B een Boole-algebra is en dat Q een monotoon stijgende kwantor op B is. Dan geldt voor willekeurige elementen X, Y ∊ B:
  a. als X ∩ Y ∊ Q, dan X ∊ Q en Y ∊ Q
  b. als X ∩ Y ∊ Q, dan X ∊ Q of Y ∊ Q
  c. als X ∊ Q en Y ∊ Q, dan X u Y ∊ Q
  d. als X ∊ Q of Y ∊ Q, dan X u Y ∊ Q

Met behulp van (11) kunnen de semantische relaties tussen de zinnen van (10) worden beschreven:

(12) Een NP is monotoon stijgend dan en slechts dan als de volgende schema's logische geldigheid bezitten:
  (1) NP (NEG VP1 en NEG VP2) <-> NP (NEG (VP1 of VP2))
  (2) NP (NEG VP1 of NEG VP2) >-< NP (NEG (VP1 en VP2))
  (3) NP (NEG VP1) en NP (NEG VP2) → NP (NEG VP1 of NEG VP2))
  (4) NP (NEG VP1) en NP (NEG VP2) → NP (NEG (VP1 en VP2))
  (5) NP (NEG VP1) of NP (NEG VP2) → NP (NEG VP1 of NEG VP2)
  (6) NP (NEG VP1) of NP (NEG VP2) → NP (NEG (VP1 en VP2))
  (7) NP (NEG VP1 en NEG VP2) → NP (NEG VP1) en NP (NEG VP2)
  (8) NP (NEG VP1 en NEG VP2) → NP (NEG VP1) of NP (NEG VP2)
  (9) NP (NEG VP1 en NEG VP2) → NP (NEG VP1 of NEG VP2)
  (10) NP (NEG VP1 en NEG VP2) → NP (NEG (VP1 en VP2))
  (11) NP (NEG (VP1 of VP2)) → NP (NEG VP1) en NP (NEG VP2)
  (12) NP (NEG (VP1 of VP2)) → NP (NEG VP1) of NP (NEG VP2)
  (13) NP (NEG (VP1 of VP2)) → NP (NEG VP1 of NEG VP2)
  (14) NP (NEG (VP1 of VP2)) → NP (NEG (VP1 en VP2))

(12.1) en (12.2) zijn altijd geldige schema's, tot welke klasse NP ook behoort (zie (6)). Dat de overige in (12) opgesomde schema's voor een willekeurige monotoon stijgende nominale constituent geldig zijn, kan worden bewezen met behulp van de in (11) vermelde eigenschappen van monotoon stijgende kwantoren:

(12.3) Substitueer in (11c) -X voor X en -Y voor Y: als -X ∊ Q en -Y ∊ Q, dan -X u -Y ∊ Q.
 
(12.4) Substitueer in (11c) -X voor X en -Y voor Y: als -X ∊ Q en -Y ∊ Q, dan -X u -Y ∊ Q. Omdat geldt: -X u -Y ∊ Q <-> -(X ∩ Y) ∊ Q (vgl. (6a)), geldt ook: als -X ∊ Q en -Y ∊ Q, dan -(X ∩ Y) ∊ Q.
 
(12.5) Substitueer in (11d) -X voor X en -Y voor Y: als -X ∊ Q of -Y ∊ Q, dan -X u -Y ∊ Q.
 
(12.6) Substitueer in (11d) -X voor X en -Y voor Y: als -X ∊ Q of -Y ∊ Q, dan -X u -Y ∊ Q. Omdat geldt: -X u -Y ∊ Q <-> -(X ∩ Y) e Q (vgl. (6a)), geldt ook: als -X ∊ Q of -Y ∊ Q, dan -(X ∩ Y) ∊ Q.
 
(12.7) Substitueer in (11a) -X voor X en -Y voor Y: als -X ∩ -Y ∊ Q, dan -X ∊ Q en -Y ∊ Q.
 
(12.8) Substitueer in (11b) -X voor X en -Y voor Y: als -X ∩ -Y ∊ Q, dan -X ∊Q of -Y ∊ Q.
 
(12.9) Substitueer zowel in (11b) als in (11d) -X voor X en -Y voor Y: als -X ∩ -Y ∊ Q, dan -X ∊ Q of -Y ∊ Q, en: als -X ∊ Q of -Y ∊ Q, dan -X u -Y ∊ Q. Uit deze uitspraken en uit de wet van het hypothetisch syllogisme volgt: als -X ∩ -Y ∊ Q, dan -X u -Y ∊ Q.
 
(12.10) Substitueer zowel in (11b) als in (11d) -X voor X en -Y voor Y: als -X ∩ -Y ∊ Q, dan -X ∊ Q of -Y ∊ Q, en: als -X ∊ Q of -Y ∊ Q, dan

  -X u -Y ∊ Q. Uit deze uitspraken en uit de wet van het hypothetisch syllogisme volgt: als -X ∩ -Y ∊ Q, dan -X u -Y ∊ Q. Omdat -X u -Y ∊ Q gelijkwaardig is met -(X ∩ Y) ∊ Q (vgl. (6a)), geldt ook: als -X ∩ -Y ∊ Q, dan -(X ∩ Y) ∊ Q.
 
(12.11) Substitueer in (11a) -X voor X en -Y voor Y: als -X ∩ -Y ∊ Q, dan -X ∊ Q en -Y ∊ Q. Omdat -X ∩ -Y ∊ Q gelijkwaardig is met -(X u Y) ∊ Q (vgl. (6b)), geldt ook: als -(X u Y) ∊ Q, dan -X ∊ Q en -Y ∊ Q.
 
(12.12) Substitueer in (11b) -X voor X en -Y voor Y: als -X ∩ -Y ∊ Q, dan -X ∊ Q of -Y ∊ Q. Omdat -X ∩ -Y ∊ Q gelijkwaardig is met -(X u Y) ∊ Q (vgl. (6b)), geldt ook: als -(X u Y) ∊ Q, dan -X ∊ Q of -Y ∊ Q.
 
(12.13) Substitueer zowel in (11b) als in (11d) -X voor X en -Y voor Y: als -X ∩ -Y ∊ Q, dan -X ∊ Q of -Y ∊ Q, en: als -X ∊ Q of -Y ∊ Q, dan -X u -Y ∊ Q. Uit deze uitspraken en uit de wet van het hypothetisch syllogisme volgt: als -X ∩ -Y ∊ Q, dan -X u -Y ∊ Q. Omdat -X ∩ -Y ∊ Q gelijkwaardig is met -(X u Y) ∊ Q (vgl. (6b)), geldt ook: als -(X u Y) ∊ Q, dan -X u -Y ∊ Q.
 
(12.14) Substitueer zowel in (11b) als in (11d) -X voor X en -Y voor Y: als -X ∩ -Y ∊ Q, dan -X ∊ Q of -Y ∊ Q, en: als -X ∊ Q of -Y ∊ Q, dan -X u -Y ∊ Q. Uit deze uitspraken en uit de wet van het hypothetisch syllogisme volgt: als -X ∩ -Y ∊ Q, dan -X u -Y ∊ Q. Omdat -X ∩ -Y ∊ Q gelijkwaardig is met -(X u Y) ∊ Q (vgl. (6b)) en omdat -X u -Y ∊ Q gelijkwaardig is met -(X ∩ Y) ∊ Q (vgl. (6a)), geldt ook: als -(X u Y) ∊ Q, dan -(X ∩ Y) ∊ Q.

De hierboven gegeven bewijzen van de schema's in (12) tonen onomstotelijk de geldigheid van die schema's aan. Daarmee zijn de onderlinge semantische relaties tussen genegeerde nevenschikkingen met een monotoon stijgende nominale constituent vastgelegd.

1.2 Nevenschikkingen met monotoon dalende NPs

De volgende klasse van nominale constituenten die ter sprake komt is die der monotoon dalende NPs. Wederom correspondeert met elk lid van deze klasse een kwantor, in dit geval een monotoon dalende kwantor, die als volgt kan worden gekarakteriseerd (vgl. Zwarts 1986, p. 176):

(13) Stel dat B een Boole-algebra is. Een kwantor Q op B is monotoon dalend desda voor willekeurige elementen X, Y ∊ B geldt: als X ∊ Q en Y ⊆ X, dan Y ∊ Q.

Omdat de implicatie in (14) als geldig moet worden aangemerkt, moet de NP hoogstens drie dames als een vertegenwoordiger van de klasse van monotoon dalende NPs worden beschouwd.

(14) Hoogstens drie dames breien → Hoogstens drie dames breien een trui

Ook met de NP hoogstens drie dames valt een zestal zinnen te vormen waarin een genegeerd predikaat voorkomt:

(15) a Hoogstens drie dames zingen niet en hoogstens drie dames swingen niet
  b Hoogstens drie dames zingen niet of hoogstens drie dames swingen niet
  c Hoogstens drie dames zingen niet en swingen niet
  d Hoogstens drie dames zingen niet of swingen niet
  e Hoogstens drie dames zingen en swingen niet
  f Hoogstens drie dames zingen of swingen niet

Uit (13) is nog een aantal andere eigenschappen van monotoon dalende kwantoren af te leiden, die in (16) zijn ondergebracht (vgl. voor die afleiding Zwarts 1986, p. 180 en p. 183):

(16) Stel dat B een Boole-algebra is en dat Q een monotoon dalende kwantor op B is. Dan geldt voor willekeurige elementen X, Y ∊ B:
  a. als X u Y ∊ Q, dan X ∊ Q en Y ∊ Q
  b. als X u Y ∊ Q, dan X ∊ Q of Y ∊ Q
  c. als X ∊ Q en Y ∊ Q, dan X ∩ Y ∊ Q
  d. als X ∊ Q of Y ∊ Q, dan X ∩ Y ∊ Q

De uitspraken in (16) kunnen dienen als basis voor de beschrijving van de semantische relaties tussen de zinnen van (15). Die relaties kunnen als volgt worden weergegeven:

(17) Een NP is monotoon dalend dan en slechts dan als de volgende schema's logische geldigheid bezitten:
  (1) NP (NEG VP1 en NEG VP2) <-> NP (NEG (VP1 of VP2))
  (2) NP (NEG VP1 of NEG VP2) <-> NP (NEG (VP1 en VP2))
  (3) NP (NEG VP1) en NP (NEG VP2) → NP (NEG VP1 en NEG VP2))
  (4) NP (NEG VP1) en NP (NEG VP2) → NP (NEG (VP1 of VP2))
  (5) NP (NEG VP1) of NP (NEG VP2) → NP (NEG VP1 en NEG VP2)
  (6) NP (NEG VP1) of NP (NEG VP2) → NP (NEG (VP1 of VP2))
  (7) NP (NEG VP1 of NEG VP2) → NP (NEG VP1) en NP (NEG VP2)
  (8) NP (NEG VP1 of NEG VP2) → NP (NEG VP1) of NP (NEG VP2)
  (9) NP (NEG VP1 of NEG VP2) → NP (NEG VP1 en NEG VP2)
  (10) NP (NEG VP1 of NEG VP2) → NP (NEG (VP1 of VP2))
  (11) NP (NEG (VP1 en VP2)) → NP (NEG VP1) en NP (NEG VP2)
  (12) NP (NEG (VP1 en VP2)) → NP (NEG VP1) of NP (NEG VP2)
  (13) NP (NEG (VP1 en VP2)) → NP (NEG VP1 en NEG VP2)
  (14) NP (NEG (VP1 en VP2)) → NP (NEG (VP1 of VP2))

Omdat de VP-algebra een Boole-algebra is en daarom het dualiteitsprincipe bevat, dat inhoudt dat van een ware uitspraak of een geldige redenering de duale uitspraak of redenering ook waar dan wel geldig is, is het niet nodig om van de in (17) opgesomde equivalenties en implicaties de bewijzen volledig

uit te schrijven. Men verkrijgt die bewijzen onmiddellijk door in de redeneringen die de bewijzen voor de equivalenties en implicaties in (12) leveren consequent u door ∩ en ∩ door u te vervangen en een aantal andere, geringe aanpassingen aan te brengen. Aangezien overigens stijgende en dalende monotonie duale begrippen zijn, volgen de uitspraken in (16) hierboven ook rechtstreeks uit die in (12). Ter illustratie het bewijs voor (12.9) en het daaruit afgeleide bewijs voor (17.9):

(12.9) Substitueer zowel in (11b) als in (11d) -X voor X en -Y voor Y: als -X ∩ -Y ∊ Q, dan -X ∊ Q of -Y ∊ Q, en: als -X ∊ Q of -Y ∊ Q, dan -X u -Y ∊ Q. Uit deze uitspraken en uit de wet van het hypothetisch syllogisme volgt: als -X ∩ -Y ∊ Q, dan -X u -Y ∊ Q.
(17.9) Substitueer zowel in (16b) als in (16d) -X voor X en -Y voor Y: als -X u -Y ∊ Q, dan -X ∊ Q of -Y ∊ Q, en: als -X ∊ Q of -Y ∊ Q, dan -X ∩ -Y ∊ Q. Uit deze uitspraken en uit de wet van het hypothetisch syllogisme volgt: als -X u -Y ∊ Q, dan -X ∩ -Y ∊ Q.

1.3 Nevenschikkingen met filtrerende NPs

Een deelverzameling van de verzameling van monotoon stijgende nominale constituenten wordt gevormd door de verzameling van filtrerende NPs. De met zulke constituenten corresponderende filtrerende kwantoren (die ook gewoonweg filters worden genoemd) voldoen aan alle voorwaarden waaraan monotoon stijgende NPs voldoen en aan een aantal toegevoegde voorwaarden (vgl. Zwarts 1986, p. 324):

(18) Stel dat B een Boole-algebra is. Een kwantor Q op B is een filter desda als voor willekeurige elementen X, Y ∊ B geldt:
  (1) als X ∩ Y ∊ Q, dan X ∊ Q en Y ∊ Q
  (2) als X ∊ Q en Y ∊ Q, dan X ∩ Y ∊ Q
  (3) X u -X ∊ Q

Omdat (19a) en (19b) onder alle omstandigheden geldig respectievelijk waar zijn, moet de NP alle duiven tot de verzameling van filtrerende NPs worden gerekend:

(19) a Alle duiven loeren en alle duiven koeren <->
  Alle duiven loeren en koeren
  b Alle duiven koeren of koeren niet

Met de NP alle duiven is wederom een zestal zinnen met een genegeerd predikaat te maken, waarvan de onderlinge semantische relaties kunnen worden geïnventariseerd:

(20) a Alle duiven loeren niet en alle duiven koeren niet
  b Alle duiven loeren niet of alle duiven koeren niet
  c Alle duiven loeren niet en koeren niet
  d Alle duiven loeren niet of koeren niet

e Alle duiven loeren en koeren niet
f Alle duiven loeren of koeren niet

Omdat de verzameling van filters een deelverzameling is van de verzameling van monotoon stijgende kwantoren, hebben filters ook de volgende eigenschappen (vgl. (11)):

(21) Stel dat B een Boole-algebra is en dat Q een filter op B is. Dan geldt voor willekeurige elementen X, Y ∊ B:
  a. als X ∩ Y ∊ Q, dan X ∊ Q of Y ∊ Q
  b. als X ∊ Q en Y ∊ Q, dan X u Y ∊ Q
  c. als X ∊ Q of Y ∊ Q, dan X u Y ∊ Q

Met behulp van (18) en (21) kunnen de semantische relaties tussen de zinnen van (20) worden gegeven:

(22) Een nominale constituent is filtrerend desda de volgende schema's logische geldigheid bezitten:
  (1) NP (NEG VP1) en NP (NEG VP2) <-> NP (NEG VP1 en NEG VP2)
  (2) NP (NEG VP1) en NP (NEG VP2) <-> NP (NEG (VP1 of VP2))
  (3) NP (NEG VP1 en NEG VP2) <-> NP (NEG (VP1 of VP2))
  (4) NP (NEG VP1 of NEG VP2) <-> NP (NEG (VP1 en VP2))
  (5) NP (NEG VP1) en NP (NEG VP2) → NP (NEG VP1) of NP (NEG VP2)
  (6) NP (NEG VP1) en NP (NEG VP2) → NP (NEG VP1 of NEG VP2)
  (7) NP (NEG VP1) en NP (NEG VP2) → NP (NEG (VP1 en VP2))
  (8) NP (NEG VP1) of NP (NEG VP2) → NP (NEG VP1 of NEG VP2)
  (9) NP (NEG VP1) of NP (NEG VP2) → NP (NEG (VP1 en VP2))
  (10) NP (NEG VP1 en NEG VP2) → NP (NEG VP1) of NP (NEG VP2)
  (11) NP (NEG VP1 en NEG VP2) → NP (NEG VP1 of NEG VP2)
  (12) NP (NEG VP1 en NEG VP2) → NP (NEG (VP1 en VP2))
  (13) NP (NEG (VP1 of VP2)) → NP (NEG VP1) of NP (NEG VP2)
  (14) NP (NEG (VP1 of VP2)) → NP (NEG VP1 of NEG VP2)
  (15) NP (NEG (VP1 of VP2)) → NP (NEG (VP1 en VP2))

Zoals reeds is aangegeven (vgl. (6)), zijn (22.3) en (22.4) op grond van de wetten van DeMorgan voor elk willekeurig type NP geldig. De geldigheid van de andere schema's kan worden bewezen met behulp van de in (18) en (21) vermelde eigenschappen van filters en het gegeven dat de logische representaties van zinsstructuren als (20), die in (4) zijn vastgelegd, qua logische geldigheid gelijkwaardig zijn met het stelsel dat in (5) wordt gepresenteerd. Deze bewijsvoering zal hier achterwege blijven.

1.4 Nevenschikkingen met idealiserende NPs

Zoals de verzameling van monotoon stijgende NPs een tegenhanger kent in de verzameling van monotoon dalende NPs, zo kent de verzameling van filtrerende NPs een tegenhanger in de verzameling van idealiserende NPs, een deelverzameling van de verzameling van monotoon dalende NPs. De met een idealiserende NP corresponderende kwantor wordt een ideaal genoemd en kan

als volgt gedefinieerd worden (vgl. Zwarts 1986, p. 328):

(23) Stel dat B een Boole-algebra is. Een kwantor Q op B is een ideaal desda voor willekeurige elementen X, Y ∊ B geldt:
  a. als X u Y ∊ Q, dan X ∊ Q en Y ∊ Q
  b. als X ∊ Q en Y ∊ Q, dan X u Y ∊ Q
  c. X ∩ -X ∊ Q

De NP geen (enkel) kind is een idealiserende NP, hetgeen blijkt uit het feit dat (24a) en (24b) altijd geldig respectievelijk waar zijn:

(24) a Geen (enkel) kind kleurt en geen (enkel) kind zeurt <->
  Geen (enkel) kind kleurt of zeurt
  b Geen (enkel) kind zeurt en zeurt niet

Ook met de NP geen (enkel) kind en de schema's in (4) is een zestal zinnen te vormen waarvan de onderlinge semantische relaties in kaart worden gebracht:

(25) a Geen (enkel) kind kleurt niet en geen (enkel) kind zeurt niet
  b Geen (enkel) kind kleurt niet of geen (enkel) kind zeurt niet
  c Geen (enkel) kind kleurt niet en zeurt niet
  d Geen (enkel) kind kleurt niet of zeurt niet
  e Geen (enkel) kind kleurt en zeurt niet
  f Geen (enkel) kind kleurt of zeurt niet

Idealen hebben, naast de reeds in (23) vermelde, nog een aantal eigenschappen die alle monotoon dalende NPs hebben (vgl. (16)) en die nodig zijn voor het bewijzen van de onderlinge semantische equivalenties en implicaties:

(26) Stel dat B een Boole-algebra is en dat Q een ideaal op B is. Dan geldt voor willekeurige elementen X, Y ∊ B:
  a. als X u Y ∊ Q, dan X ∊ Q of Y ∊ Q
  b. als X ∊Q en Y ∊ Q, dan X ∩ Y ∊ Q
  c. als X ∊ Q of Y ∊ Q, dan X ∩ Y ∊ Q

De onderlinge semantische relaties zien er voor de zinnen van (25) als volgt uit:

(27) Een nominale constituent is idealiserend desda de volgende schema's logische geldigheid bezitten:
  (1) NP (NEG VP1) en NP (NEG VP2) <-> NP (NEG VP1 of NEG VP2)
  (2) NP (NEG VP1) en NP (NEG VP2) <-> NP (NEG (VP1 en VP2))
  (3) NP (NEG VP1 en NEG VP2) <-> NP (NEG (VP1 of VP2))
  (4) NP (NEG VP1 of NEG VP2) <-> NP (NEG (VP1 en VP2))
  (5) NP (NEG VP1) en NP (NEG VP2) → NP (NEG VP1) of NP (NEG VP2)
  (6) NP (NEG VP1) en NP (NEG VP2) → NP (NEG VP1 en NEG VP2))
  (7) NP (NEG VP1) en NP (NEG VP2) → NP (NEG (VP1 of VP2))
  (8) NP (NEG VP1) of NP (NEG VP2) → NP (NEG VP1 en NEG VP2)
  (9) NP (NEG VP1) of NP (NEG VP2) → NP (NEG (VP1 of VP2))
  (10) NP (NEG VP1 of NEG VP2) → NP (NEG VP1) of NP (NEG VP2)

(11) NP (NEG VP1 of NEG VP2) → NP (NEG VP1 en NEG VP2)
(12) NP (NEG VP1 of NEG VP2) → NP (NEG (VP1 of VP2))
(13) NP (NEG (VP1 en VP2)) → NP (NEG VP1) of NP (NEG VP2)
(14) NP (NEG (VP1 en VP2)) → NP (NEG VP1 en NEG VP2)
(15) NP (NEG (VP1 en VP2)) → NP (NEG (VP1 of VP2))

Zoals de bewijzen voor de semantische relaties tussen nevenschikkingen met monotoon dalende NPs kunnen worden afgeleid uit de bewijzen voor die relaties tussen die met monotoon stijgende NPs, zo volgen de bewijzen voor die relaties tussen nevenschikkingen met idealiserende NPs ook direct uit de bewijzen voor de relaties tussen nevenschikkingen met filtrerende NPs wanneer in die bewijzen steeds ‘u’ door ‘∩’ en omgekeerd ‘∩’ door ‘u’ wordt vervangen. Het dualiteitsprincipe van Boole-algebra's staat er garant voor dat de redeneringen die door die verwisseling ontstaan ook geldig. Daarmee is voor een vierde groep van NPs het geheel aan semantische relaties tussen nevenschikkingen met genegeerde predikaten vastgelegd.

1.5 Nevenschikkingen met ultrafiltrerende NPs

Binnen de verzameling van filtrerende nominale constituenten kan nog een deelverzameling worden onderscheiden, namelijk die van de ultrafiltrerende NPs. Met dergelijke constituenten corresponderen ultrafiltrerende kwantoren, vaak kortweg ultrafilters genoemd. Een ultrafilter kan op de volgende manier worden gedefinieerd (vgl. Zwarts 1986, p. 396):

(28) Stel dat B een Boole-algebra is. Een kwantor Q op B is een ultrafilter desda voor willekeurige elementen X, Y ∊ B geldt:
  a. als X ∩ Y ∊ Q, dan X ∊ Q en Y ∊ Q;
  b. als X ∊ Q en Y ∊ Q, dan X ∩ Y ∊ Q;
  c. als X ∉ Q, dan -X ∊ Q;
  d. als -X ∊ Q, dan X ∉ Q.

Eigennamen worden in alle gevallen tot de verzameling van de ultrafiltrerende NPs gerekend. De zinnen in (29) zijn immers paarsgewijs equivalent aan elkaar:

(29) a Anton schreeuwt en Anton geeuwt <-> Anton schreeuwt en geeuwt
  b Anton schreeuwt niet <-> Het is niet zo, dat Anton schreeuwt

Ook met een eigennaam als Anton is het inmiddels overbekende zestal zinnen te maken waarvan de onderlinge semantische relaties in kaart kunnen worden gebracht:

(30) a Anton schreeuwt niet en Anton geeuwt niet
  b Anton schreeuwt niet of Anton geeuwt niet
  c Anton schreeuwt niet en geeuwt niet
  d Anton schreeuwt niet of geeuwt niet
  e Anton schreeuwt en geeuwt niet
  f Anton schreeuwt of geeuwt niet

Bij de beschrijving van de semantische relaties tussen de zinnen van (30) zijn ook de volgende eigenschappen van ultrafilters, die deels aan alle filters toekomen, van belang (vgl. (21); zie voor de afleiding van (31d), een eigenshap die alleen aan ultrafilters toekomt, Zwarts 1986, p. 397):

(31) Stel dat B een Boole-algebra is en dat Q een ultrafilter op B is. Dan geldt voor willekeurige elementen X, Y ∊ B:
  a. als X ∊ Q en Y ∊ Q, dan X u Y ∊ Q;
  b. als X ∩ Y ∊ Q, dan X ∊ Q of Y ∊ Q;
  c. als X ∊ Q of Y ∊ Q, dan X u Y ∊ Q;
  d. als X u Y ∊ Q, dan X ∊ Q of Y ∊ Q.

Met behulp van deze eigenschappen kunnen de semantische relaties tussen de zinnen in (30) uitputtend worden beschreven:

(32) Een nominale constituent is ultrafiltrerend dan en slechts dan als de volgende schema's logische geldigheid bezitten:
  (1) NP (NEG VP1) en NP (NEG VP2) <-> NP (NEG VP1 en NEG VP2)
  (2) NP (NEG VP1) en NP (NEG VP2) <-> NP (NEG (VP1 of VP2))
  (3) NP (NEG VP1) of NP (NEG VP2) <-> NP (NEG VP1 of NEG VP2)
  (4) NP (NEG VP1) of NP (NEG VP2) <-> NP (NEG (VF1 en VP2))
  (5) NP (NEG VP1 en NEG VP2) <-> NP (NEG (VP1 of VP2))
  (6) NP (NEG VP1 of NEG VP2) <-> NP (NEG (VP1 en VP2))
  (7) NP (NEG VP1) en NP (NEG VP2) → NP (NEG VP1) of NP (NEG VP2)
  (8) NP (NEG VP1) en NP (NEG VP2) → NP (NEG VP1 of NEG VP2)
  (9) NP (NEG VP1) en NP (NEG VP2) → NP (NEG (VP1 en VP2))
  (10) NP (NEG VP1 en NEG VP2) → NP (NEG VP1) of NP (NEG VP2)
  (11) NP (NEG VP1 en NEG VP2) → NP (NEG VP1 of NEG VP2)
  (12) NP (NEG VP1 en NEG VP2) → NP (NEG (VP1 en VP2))
  (13) NP (NEG (VP1 of VP2)) → NP (NEG VP1) of NP (NEG VP2)
  (14) NP (NEG (VP1 of VP2)) → NP (NEG VP1 of NEG VP2)
  (15) NP (NEG (VP1 of VP2)) → NP (NEG (VP1 en VP2))

Hierboven (vgl. (7)) is reeds aangetoond dat de schema's (32.3) en (32.4) geldigheid bezitten voor elk willekeurig type NP, op basis van de wetten van DeMorgan. De geldigheid van de overige schema's kan worden aangetoond met behulp van de in (28) en (31) weergegeven eigenschappen van ultrafilters en het feit dat de logische representaties van zinnen als (30), vastgelegd in (4), qua logische geldigheid gelijkwaardig zijn met het stelsel in (5). Deze bewijsvoering is tamelijk gemakkelijk op te stellen en zal hier daarom met gegeven worden.

1.6 Nevenschikkingen met priemidealiserende NPs

Er rest nog één verzameling van nominale constituenten, de verzameling van priemidealiserende NPs, die een deelverzameling vormt van de verzameling van idealiserende NPs en als de tegenhanger van de verzameling van ultrafiltrerende NPs beschouwd kan worden. Met een priemidealiserende NP wordt in alle gevallen een priemidealiserende kwantor ofwel een priemideaal verbonden. Een

priemideaal kan op de volgende manier worden gedefinieerd (vgl. Zwarts 1986, p. 399):

(33) Stel dat B een Boole-algebra is. Een kwantor Q op B is een priemideaal desda voor willekeurige elementen X, Y ∊ B geldt:
  a. als X u Y ∊ Q, dan X ∊ Q en Y ∊ Q;
  b. als X ∊ Q en Y ∊ Q, dan X u Y ∊ Q;
  c. als X ∉ Q, dan -X ∊ Q;
  d. als -X ∊ Q, dan X ∉ Q.

Uit de geldigheid van de equivalenties in (34) blijkt onmiddellijk dat een genegeerde eigennaam als niet Onno Ruding als een priemidealiserende NP dient te worden beschouwd:

(34) a Niet Onno Ruding graait niet en niet Onno Ruding snaait <->
  Niet Onno Ruding graait of snaait
  b Niet Onno Ruding graait <->
  Het is niet zo, dat Onno Ruding graait

Met de NP niet Onno Ruding wordt het laatste zestal zinnen gevormd waarvan de onderlinge semantische betrekkingen dienen te worden vastgelegd. Wie die zinnen moeilijk te bevatten vindt, dient zich te bedenken dat niet Onno Ruding graait niet niets anders betekent dan dat het individu waarnaar de eigennaam Onno Ruding verwijst geen deel uitmaakt van de verzameling van individuen waarvan met waarheid gezegd kan worden dat ze graaien. Daaruit kan overigens op grond van de bekende logische wet der contrapositie worden geconcludeerd dat het individu Onno Ruding behoort tot de verzameling van individuen die graaien.

(35) a Niet Onno Ruding graait niet en niet Onno Ruding snaait niet
  b Niet Onno Ruding graait niet of niet Onno Ruding snaait niet
  c Niet Onno Ruding graait niet en snaait niet
  d Niet Onno Ruding graait niet of snaait niet
  e Niet Onno Ruding graait en snaait niet
  f Niet Onno Ruding graait of snaait niet

Ook priemidealen beschikken over een aantal eigenschappen die kunnen worden benut in de beschrijving van de semantische relaties van nevenschikkingen waarin een priemidealiserende NP bevat is. Omdat de klasse van priemidealen in een Boole-algebra de tegenhanger van die van de ultrafilters vormt, zijn die eigenschappen rechtstreeks uit (31) af te leiden:

(36) Stel dat B een Boole-algebra is en dat Q een priemideaal op B is. Dan geldt voor willekeurige elementen X, Y ∊ B:
  a. als X ∊ Q en Y Q, dan X ∩ Y Q;
  b. als X u Y ∊ Q, dan X ∊ Q of Y ∊ Q;
  c. als X ∊ Q of Y ∊ Q, dan X ∩ Y ∊ Q;
  d. als X ∩ Y ∊ Q, dan X ∊ Q of Y ∊ Q.

De semantische relaties tussen de zinnen in (35) kunnen nu zonder moeite worden gepresenteerd:

(37) Een nominale constituent is priemidealiserend desda de volgende schema's logische geldigheid bezitten:
  (1) NP (NEG VP1) en NP (NEG VP2) <-> NP (NEG VP1 of NEG VP2)
  (2) NP (NEG VP1) en NP (NEG VP2) <-> NP (NEG (VP1 en VP2))
  (3) NP (NEG VP1) of NP (NEG VP2) <-> NP (NEG VP1 en NEG VP2)
  (4) NP (NEG VP1) of NP (NEG VP2) <-> NP (NEG (VP1 of VP2))
  (5) NP (NEG VP1 en NEG VP2) <-> NP (NEG (VP1 of VP2))
  (6) NP (NEG VP1 of NEG VP2) <-> NP (NEG (VP1 en VP2))
  (7) NP (NEG VP1) en NP (NEG VP2) → NP (NEG VP1) of NP (NEG VP2)
  (8) NP (NEG VP1) en NP (NEG VP2) → NP (NEG VP1 en NEG VP2)
  (9) NP (NEG VP1) en NP (NEG VP2) → NP (NEG (VP1 of VP2))
  (10) NP (NEG VP1 of NEG VP2) → NP (NEG VP1) of NP (NEG VP2)
  (11) NP (NEG VP1 of NEG VP2) → NP (NEG VP1 en NEG VP2)
  (12) NP (NEG VP1 of NEG VP2) → NP (NEG (VP1 of VP2))
  (13) NP (NEG (VP1 en VP2)) → NP (NEG VP1) of NP (NEG VP2)
  (14) NP (NEG (VP1 en VP2)) → NP (NEG VP1 en NEG VP2)
  (15) NP (NEG (VP1 en VP2)) → NP (NEG (VP1 of VP2))

Dat deze schema's geldig zijn, is aan te tonen met behulp van de in (33) en (36) gegeven eigenschappen van priemidealen. Hiermee zijn voor een zestal klassen van NPs de onderlinge relaties tussen nevenschikkingen met genegeerde predikaten voor eens en voor altijd vastgelegd.

2 Besluit

In dit artikel is opnieuw aangetoond dat een adequate analyse van het verschijnsel dat bekend geworden is als Conjunctie-Reductie mogelijk is wanneer het standpunt dat ongereduceerde en gereduceerde nevenschikkingen met behulp van een syntactische regel met elkaar verbonden dienen te worden, wordt verlaten. In de in dit artikel bestudeerde nevenschikkingen, die met een genegeerd predikaat, blijkt nog duidelijker dan in de door Zwarts bestudeerde gevallen, dat een syntactische regel op grond waarvan een constituent die zowel in het eerste als in het tweede lid van een nevenschikking voorkomt, in het tweede lid gedeleerd kan worden, geen enkele uitkomst kan bieden. Wanneer de hulp wordt ingeroepen van de theorie van gegeneraliseerde kwantoren, kan zonder al te veel moeite worden vastgelegd hoe de semantische relaties tussen gereduceerde en ongereduceerde nevenschikkingen er uitzien.

Bepaalde verschijnselen in de natuurlijke taal kunnen tot nu toe niet adequaat worden beschreven met syntactische regels alleen. Zoals is gebleken, speelt de interpretatie van een uitdrukking een uiterst belangrijke rol waar het gaat om inferentiepatronen. Een bepaalde syntactische configuratie heeft andere eigenschappen wanneer er een ander type NP (met andere semantische eigenschappen) in voorkomt. Misschien kunnen de resultaten die in dit artikel zijn vastgelegd een bijdrage leveren aan een nieuwe poging om voor verschijnselen als Conjunctie-Reductie ook een adequate syntactische beschrijving op te stellen. Een aanzet daartoe vormt wellicht de theorie over Determiner Phrases (DPs), waarin een naamwoordelijke constituent als een complement van een

(eventueel abstracte, dat wil zeggen niet lexicaal gerealiseerde) determinator wordt gezien (vgl. Abney (1987)). Binnen die theorie kan de determinator verantwoordelijk worden gesteld voor de specifieke eigenschappen van de constituent, die gereflecteerd worden in inferentiepatronen als in dit artikel beschreven. In deze visie lijkt overigens de invloed die de theorie van gegeneraliseerde kwantoren de afgelopen jaren heeft uitgeoefend, waarneembaar te zijn.

Het grote voordeel van de benadering die in de theorie van gegeneraliseerde kwantoren wordt gevolgd is dat inferentiepatronen formeel beschreven kunnen worden. Zoals uit dit artikel eens te meer is gebleken, is in deze theorie de geldigheid van een bepaalde implicatie te bewijzen. Dit is een forse stap in de richting van wat door velen als het ultieme doel van een semantische theorie wordt beschouwd: het beschrijven van de implicaties van een bepaalde uiting of uitspraak.

Bibliografie

Abney, S.P. (1987) The English Noun Phrase in its sentential aspect. (diss. MIT).
Barwise, J. & R. Cooper (1981) ‘Generalized quantifiers and natural language’. In: Linguistics and Philosophy 4, 159-219.
Zwarts, F. (1981) ‘Negatief polaire uitdrukkingen I’. In: GLOT 4, 35-104.
Zwarts, F. (1986) Categoriale grammatica en algebraïsche semantiek, (diss. RU Groningen).

Vorige Volgende

Over dit hoofdstuk/artikel

auteurs


taalkunde