Tabu. Jaargang 18
(1988)– [tijdschrift] Tabu–
Auteursrechtelijk beschermd
[pagina 2]
| |||||||||||||||||||||
Kwantoren in transitieve zinnen
| |||||||||||||||||||||
| (1) | Alle studenten zijn arm |
De betekenis van alle is in het interpretatiemodel af te leiden uit de verzamelingen waarnaar het subject en het werkwoord verwijzen. De denotatie van studenten, ∥ studenten ∥ of STUDENTEN is de verzameling A van individuen die student zijn. Deze verzameling is een deelverzameling van het domein U van ons model M. De denotatie van arm zijn, ∥ arm zijn ∥ of ARM ZIJN is de verzameling B van arme individuen. Ook B is deelverzameling van U. (1) zegt nu dat alle individuen die lid zijn van de verzameling A tevens lid zijn van de verzameling B. Met andere woorden, A is een deelverzameling van B: A ≤ B. Zo geformuleerd drukt de determinator dus een relatie uit tussen N- en IV-denotaties: Det (N, IV). In het geval van alle is dat de inclusie- of deelverzamelingsrelatie. Andere voorbeelden zijn:
| (2) | Sommige studenten luieren |
Zin (2) beweert dat er individuen zijn die zowel tot de verzameling studenten behoren als tot de verzameling luieraars. Algemeen gesteld:
SOMMIGE (N, IV) is waar dan en slechts dan als N ∩ IV =/= ø. Dus de doorsnede van N en IV mag niet leeg zijn.
| (3) | De meeste babies huilen |
Volgens (3) is de verzameling huilende babies groter dan de verzameling niet-huilende babies. De algemene formulering is dan als volgt:
DE MEESTE (N, IV) is waar dan en slechts dan als ∥N ∩ IV ∥ > ∥N - IV ∥. D.w.z. de cardinaliteit (het aantal leden) van de doorsnede van N en IV is groter dan de cardinaliteit van N - IV.
Zo kunnen we in principe voor alle determinatoren een definitie geven van het verband dat wordt gelegd tussen het subject en het werkwoord. Het blijkt dan al spoedig dat het niet willekeurig is welke relatie wordt uitgedrukt door determinatoren in de natuurlijke taal. Dit heeft ertoe geleid dat men is gaan zoeken naar kenmerkende, universele eigenschappen van determinatoren die bepalen welke deelklasse van alle mogelijke relaties we vinden in de taal. Een van de meest karakteristieke eigenschappen van determinatoren is conservativiteit. Deze eigenschap zorgt ervoor dat de volgende zinnen synoniem zijn:
| (4) | (a) | Alle studenten zijn arm |
| Alle studenten zijn arme studenten | ||
| (b) | Sommige studenten luieren | |
| Sommige studenten zijn studenten die luieren | ||
| (c) | De meeste babies huilen | |
| De meeste babies zijn babies die huilen | ||
Kennelijk hoeven we alleen te kijken naar de denotatie van N (b.v. studenten) en naar de doorsnede van N en IV (b.v. arme studenten). We zijn niet geïnteresseerd in arme individuen die niet tot de verzameling studenten behoren. De verzameling IV - N doet dus niet ter zake. De eigenschap van conservativiteit wordt formeel vastgelegd in de volgende definitie, waarbij R een relatie is tussen paren verzamelingen A en B:
| CONS | R (A, B) = R (A, A ∩ B) |
Een andere nuttige eigenschap, die overigens niet alle determinatoren bezitten, is de eigenschap van kwantiteit. Uit de naam blijkt al dat deze determinatoren alleen kijken naar het aantal leden dat een verzameling kent, zonder acht te slaan op eigenschappen van afzonder-
lijke individuen. Dit geldt voor alle tot nu toe genoemde determinatoren, maar b.v. niet voor bezittelijke voornaamwoorden:
| (5) | Marietjes fiets is gestolen |
In (5) wordt niet alleen gesteld dat de doorsnede van de verzameling fietsen met de verzameling gestolen objecten niet leeg is, er wordt specifiek vermeld dat één van de elementen uit die doorsnede aan Marietje toebehoort. Niet alleen kwantiteit, maar ook kwaliteit dus en hiermee hebben possessieven een wat andere semantische structuur. Formeel komt de eigenschap van kwantiteit overeen met gesloten zijn onder permutaties van individuen. Permutaties zijn functies van een verzameling naar een (andere of dezelfde) verzameling en wel 1-1 afbeeldingen: ieder element wordt precies op 1 element afgebeeld en ieder element heeft een ander beeld. Voor een zin als (2) maakt het niet uit of we onze verzameling studenten eens flink door elkaar husselen: zolang we maar zorgen dat er minstens één student luiert gaat de kwantor akkoord, wie dat ook maar is. Voor (5) ligt dat anders. Als we de verzameling fietsen door elkaar gooien kan Marietjes fiets best verdwijnen uit de doorsnede met de gestolen objecten en het is niet voldoende dat er een andere fiets voor in de plaats komt. Possessieven zijn dus in tegenstelling tot kwantoren als alle, sommige, etc. niet gesloten onder permutaties en niet kwantitatief van aard.
Naast de determinatoren zijn er andere kwantoruitdrukkingen die we willen beschrijven in onze theorie, zoals iedereen, alles, niemand, niets, iemand, iets, etc. Ze komen voor als subject in intransitieve zinnen, b.v.:
| (6) | (a) | Niemand luiert |
| (b) | Iedereen huilt |
Er wordt nu niet een relatie gelegd tussen twee deelverzamelingen van het domein U, gegeven door de denotaties van N en IV, maar tussen het domein U zelf en IV. We spreken dan ook van ongerestringeerde kwantificatie in tegenstelling tot de gerestringeerde kwantificatie die determinatoren uitdrukken. Voor het overige hebben gerestringeerde en ongerestringeerde kwantoren dezelfde waarheidscondities. We kunnen het onderscheid formuleren met behulp van de zogenaamde Lindströmnotatie.
Deze komt overeen met de type-toekenning die gangbaar is in de Montague-grammatika. Een verzameling individuen is van type (e,t). Het is het type van uitdrukkingen die eigenschappen denoteren, zoals N en IV. Determinatoren zijn in dit perspectief functies van verzamelingen individuen naar een deelverzameling van verzamelingen individuen, nl. die deelverzameling waarvoor de kwantor waar is. Determinatoren zijn hiermee van type (e,t)((e,t),t); NPs zijn van type ((e,t),t) en denoteren een verzameling eigenschappen. In de Lindströmnotatie wordt (e,t) geschreven als 1. Als de formule eindigt op t komen er haakjes omheen. ((e,t),t) wordt dus genoteerd als (1) en is hiermee tevens de aanduiding voor de ongerestringeerde kwantoren alles, iedereen, etc. die immers tot de categorie NP behoren. Determinatoren als sommige, geen, ... van type (e, t)((e,t), t) worden geschreven als (1,1). De Lindströmnotatie zal in het vervolg van dit artikel worden gebruikt, omdat ze in dit kader praktischer is dan de Montague schrijfwijzeGa naar eind1.
Het onderzoek naar kwantoren in intransitieve zinnen heeft veel meer belangwekkende resultaten opgeleverd dan in deze beperkte ruimte kon worden besproken. De geïnteresseerde lezer moet worden verwezen naar het overzicht en de bibliografie in van Benthem (1986); de hoofdmoot van dit artikel is nl. gewijd aan kwantoren in transitieve zinnen. Met de analyse daarvan wordt een begin gemaakt in de volgende paragraaf.
1.2 Transitieve zinnen
In deze paragraaf worden de relaties tussen twee kwantoren en een transitief werkwoord (TV) beschreven in eenvoudige zinnen zoals:
| (7) | (a) | Iedere student leest twee boeken |
| (b) | Sommige studenten lezen geen boeken | |
| (c) | Geen student leest alle boeken |
Transitieve zinnen zijn natuurlijk interessant omdat we hier twee kwantoren hebben en we mogelijke interacties kunnen bestuderen. De structuur van de voorbeelden in (7) is globaal:
[NP Dets Ns] TV [NP Deto No]
waarbij s en o als subscripten staan voor respectievelijk het subject
en het object. De vraag is nu hoe we deze zinnen moeten interpreteren met behoud van de bekende eigenschappen die kwantoren in intransitieve zinnen hadden. In (7a) b.v. willen we dat de universele kwantor de inclusierelatie blijft uitdrukken: de verzameling studenten is deelverzameling van de verzameling individuen die twee boeken lezen. We kunnen dit formuleren als:
IEDERE (STUDENT, {x∥x leest twee boeken)})Ga naar eind2
Om vervolgens de kwantor van het object te kunnen analyseren introduceren we het begrip beeldverzameling. De beeldverzameling Lx is de verzameling beelden van x onder de relatie lezen, d.w.z. alles wat door x wordt gelezen. Formeel geldt :
Lx = {y∥<x,y> ∈ L)})
(7a) kan dan als volgt worden geanalyseerd:
IEDERE (STUDENT, {x∥ TWEE (BOEK, Lx)})
De andere zinnen krijgen vergelijkbare analyses, b.v. (7c):
GEEN (STUDENT, {∥ ALLE (BOEK, Lx)})
Dit wordt geïnterpreteerd als: de intersectie van de verzameling studenten met de verzameling individuen die alle boeken hebben gelezen is leeg. Ofwel: er is niet één student te vinden die in de relatie lezen staat tot alle elementen van de verzameling boeken.
Het transitieve werkwoord wordt opgevat als een complexe IV die in een bepaalde relatie staat tot het subject. Deze visie blijft heel dicht bij de analyse van intransitieve zinen. We kunnen ook gaan zoeken naar een meer algemene oplossing voor de semantische structuur van zinnen met meerdere kwantoren. In dat perspectief vatten we de zin op als een determlnatorcomplex dat in relatie staat tot een nominaal complex en een transitief werkwoord, b.v.:
[IEDERE, TWEE] (STUDENT x BOEK, LEZEN)
Deze notatie maakt duidelijk dat het determlnatorcomplex in zijn
geheel betrekking heeft op het nominale complex STUDENT x BOEK (d.i.: de verzameling paren <student, boek>) en de twee-plaatsige relatie die door LEZEN wordt gedenoteerd. Er verandert hiermee overigens niets aan de interpretatie van eenvoudige transitieve zinnen als in (7). De betekenis van het determinatorcomplex ligt vast in de combinatie van standaardkwantoren zoals we die in par. 1.1 hebben leren kennen. De interactie tussen kwantoren wordt herleid tot een herhaalde toepassing van eenvoudiger determinatoren. In zo'n geval spreken we van een scheidbare kwantor. We noemen het determinatorcomplex een binaire kwantor (omdat er twee-plaatsige relaties in het spel zijn) en de kwantoren in intransitieve zinnen unaire kwantoren. Algemeen geldt voor scheidbare kwantoren in transitieve zinnen:
[Dets, Deto] (Ns x No, TV)
Dets (Ns, {x∥ Deto (No, TVx)})
Het aardige van deze analyse is dat we een eigenschap als conservativiteit hebben behouden. Dit is belangrijk, want we willen graag dat binaire kwantoren een natuurlijke uitbreiding vormen van unaire kwantoren. In de interpretatie van (7a) kunnen we op grond van conservativiteit alles schrappen wat geen student en geen boek is. We bestuderen de relatie lezen slechts voor die paren <x,y> waar x een student en y een boek is. Formeel geldt voor ons voorbeeld (7a):
[IEDERE, TWEE] (STUDENT x BOEK, LEZEN)
[IEDERE, TWEE] (STUDENT x BOEK, LEZEN ∩ STUDENT x BOEK)
In zijn algemene vorm luidt de formule:
| CONS | [D1 D2] (N1 x N2, TV) = |
| [D1 D2] (N1 x N2, TV ∩ N1 x N2) |
Deze definitie van conservativiteit loopt geheel parallel aan die voor intransitieve zinnen.
Voor de eigenschap van kwantiteit liggen de zaken wat ingewikkelder. In de definitie van par 1.1 is sprake van geslotenheid onder permutaties. Doordat we nu zijn overgestapt van eigenschappen (één-plaatsig) naar twee-plaatsige relaties hebben we meerdere soorten van permutaties: we kunnen individuen door elkaar gooien, of paren indivi-
duen, en dat weer op verschillende manieren. Het is niet zonder meer duidelijk welke vorm van permuteren overeenkomt met de eigenschap van kwantiteit voor binaire kwantoren. De vraag hangt samen met de scheidbaarheid van determinatorcomplexen, een discussie die we uitstellen tot de volgende paragraaf.
Naast gerestringeerde kwantoren zijn er ook voorbeelden van ongerestringeerde kwantificatie:
| (8) | (a) | Iedereen houdt van iemand |
| (b) | Niemand weet alles | |
| (c) | Niet iedereen weet iets |
De interpretatie van deze zinnen komt uiteraard op vergelijkbare wijze tot stand. I.p.v. een nominaal complex gebruiken we het domein U, b.v. (8a):
[IEDEREEN, IEMAND] (U x U, HOUDEN VAN)
We kunnen U ook eenvoudig weglaten (we werken immers altijd met het domein van ons model) en schrijven dan:
[IEDEREEN, IEMAND] (HOUDEN VAN)
In de Montague grammatika zijn transitieve werkwoorden van het type (e,(e,t)) en denoteren paren individuen. Het determinatorcomplex in zinnen als (8) is dus van type ((e,(e,t)),t) en denoteert een verzameling van twee-plaatsige relaties. De Lindströmnotatie is dienovereenkomstig (2).
Wanneer ongerestringeerde kwantoren in transitieve zinnen van type (2) zijn, verwachten we dat gerestringeerde kwantoren van type (2,2) zijn. Immers het nominale complex Ns x No denoteert een verzameling paren individuen, evenals de twee-plaatsige relatie die wordt gegeven door het transitieve werkwoord. Er zit echter een addertje onder het gras. Higginbotham en May (1981) nemen inderdaad het type (2,2) aan en interpreteren de binaire kwantoren dus als relaties tussen twee-plaatsige relaties. Keenan en Clark (1987) tonen echter aan dat gerestringeerde determinatorcomplexen in feite van type (1,1,2) zijn: relaties tussen twee eigenschappen en een twee-plaatsige relatie. Met deze reserve in ons achterhoofd bekijken we nu eerst het artikel van
Higginbotham en May (1981), waarin het scheidbaarheidsprobleem de hoofdrol speelt.
2. Het scheidbaarheidsprobleem
Het artikel van Higginbotham en May (1981) (= H&M) is geschreven in het perspectief van de Bindingstheorie. De auteurs stellen zich ten doel een analyse te geven op het niveau van Logische Vorm van zinnen met meerdere vraagwoorden (zoals in (9)) en zogenaamde Bach-Peters zinnen (BP-zinnen), zoals in (10):
| (9) | Welke mensen kochten welke boeken? |
| (10) | Elke piloot die erop geschoten heeft, heeft een Mig die hem achternazat geraakt |
We zullen in het beperkte kader van dit artikel geen aandacht besteden aan vraagwoorden en de zinnen van type (9) verder buiten beschouwing laten. Het karakteristieke van BP-zinnen is dat elk van beide NPs een pronomen bevat dat de andere NP als antecedent heeft. Er ontstaat zo een gekruiste lezing (de typografie geeft de bedoelde anaforische relaties aan):
| (11) | Elke piloot die erop geschoten heeft, heeft een Mig die hem achternazat geraakt |
Deze gekruiste lezingen maken BP-zinnen een stuk ingewikkelder dan de transitieve zinnen die we in de vorige paragraaf hebben besproken. Het lijkt redelijk om aan te nemen dat wanneer je dit soort moeilijke zinnen in je theorie kunt beschrijven je de grootste problemen rond transitieve zinnen wel hebt opgelost. Dat is waarschijnlijk de reden dat H&M hun artikel zo toespitsen op BP-zinnen. In hun voetspoor zullen we er dan ook wat dieper op ingaan.
Het voornaamste probleem waarop H&M stuiten betreft de anaforische relaties: het eerste pronomen (erop) wordt niet ge-c-commandeerd door zijn antecedent (een Mig die hem achternazat), terwijl dat volgens de bindingstheorie wel zou moeten.Ga naar eind3 Om nu toch aan die syntaktische c-commandeerverplichting te kunnen voldoen stellen H&M voor om binaire kwantoren in te voeren op het niveau van Logische Vorm. De transformatie die hiervoor nodig is wordt Absorptie genoemd. De pronomina bevin-
den zich dan in het c-commandeerdomein van hun respectievelijke antecedenten en het bindingsprobleem is opgelost. De formule wordt globaal:
[ELKE, EEN] ({x∥ x is een piloot die schiet op y} x {y∥ y is een Mig die x achternazit}, x raakt y)
De transformatie van Absorptie dient een puur syntaktisch doel: zij waarborgt de vereiste c-commandeerrelatie. De vraag is nu wat de semantische effekten zijn van een dergelijke transformatie. Je mag met het invoeren van Absorptie op het niveau van Logische Vorm natuurlijk niet de betekenis van de zin veranderen. In de vorige paragraaf hebben we op grond van onze intuïties gezegd dat er geen verschil in interpretatie is tussen de binaire kwantor en een combinatie van unaire kwantoren. Het betrof hier echter eenvoudige transitieve zinnen en je moet je uiteraard afvragen of dit resultaat ook geldt voor ingewikkelder gevallen. Het scheidbaarheidsprobleem is dus te formuleren als de vraag of een binaire kwantor altijd is op te splitsen in een opeenvolging van unaire kwantoren. H&M beantwoorden die vraag bevestigend. Zij baseren zich hierbij op een hiërarchie van permutaties (door H&M automorfismen genoemd). Het blijkt dat geslotenheid onder permutaties over individuen een te zwakke eis is en niet garandeert dat een determinatorcomplex scheidbaar is. Daarentegen is het een te sterke eis om te vragen dat de kwantor is gesloten onder permutaties van paren individuen. Scheidbaarheid wordt volgens H&M precies gedefinieerd door geslotenheid onder L-automorfismen. Bij een L-automorfisme m over een paar (a,b) wordt het linkerlid ‘netjes’ afgebeeld door een permutatie p over individuen, terwijl het rechterlid op een willekeurig element wordt afgebeeld. In formule:
m (a,b) = (p(a), x)
Er zit dus een bepaalde systematiek in het linkerelement: als p b.v. a op c afbeeldt, dan zal telkens wanneer a links voorkomt hij door p op c worden afgebeeld. Rechts daarentegen is er geen enkele systematiek: alle mogelijke afbeeldingen zijn toegestaan, met dien verstande dat de permutatie van het rechterelement zich zodanig aanpast aan die van het linkerelement dat m wel een paar-automorfisme blijft d.w.z. een 1-1 afbeelding van UxU naar UxU. Van de verschillende binaire kwantoren
kan worden vastgesteld of ze al dan niet gesloten zijn onder deze L-automorfismen. Dat is o.a. het geval voor de determinatorcomplexen in BP-zinnen. H&M concluderen dus dat deze scheidbaar zijn. Hiermee is dan aangetoond dat hun transformatie van Absorptie semantisch onschuldig is: de interpretatie van de zin wordt er niet door aangetast. Het bindingsprobleem en het scheidbaarheidsprobleem zijn opgelost en H&M hebben hun doel bereikt. De discussie is vooralsnog echter niet gesloten.
3. Een verbeterde analyse van binaire kwantoren
Keenan en Clark (1987) bekritiseren de analyse van binaire kwantoren zoals die door H&M (1981) is voorgesteld. Ten eerste is het niet waar dat binaire kwantoren van type (2,2) altijd te vervangen zijn door een opeenvolging van unaire kwantoren. De tegenvoorbeelden betreffen twee-plaatsige nomina, zoals:
| (13) | (a) | Alle buren zijn vrienden |
| (b) | Geen collega's zijn buren | |
| (c) | Veel verwanten zijn vrienden |
Deze nomina denoteren verzamelingen paren van individuen, b.v.
VRIENDEN = {<a, b>∥ a is een vriend van b}
De interpretatie van (13a) is dan:
ALLE (BUREN, VRIENDEN) is waar dan en slechts dan als BUREN ≤ VRIENDEN
En van (13b):
GEEN (COLLEGA'S, BUREN) is waar dan en slechts dan als COLLEGA'S ∩ BUREN = ø
De verzameling twee-plaatsige nomina is tamelijk beperkt, maar als we, in navolging van H&M alleen opeenvolgingen van unaire kwantoren als binaire kwantoren aannemen, kunnen we de kwantificatie in (13) niet beschrijven binnen onze theorie, hoewel de gegeven interpretaties een natuurlijke uitbreiding betekenen van onze bekende (1,1) kwantoren.
Het tweede punt van kritiek dat Keenan en Clark aanvoeren betreft het type van binaire kwantoren in eenvoudige transitieve zinnen, zoals (14):
| (14) | Alle mannen houden van een vrouw |
De analyse die H&M geven na toepassing van Absorbtie is:
[ALLE, EEN] (MAN x VROUW, HOUDEN VAN)
Deze formulering suggereert dat de determinator van type (2,2) is en een relatie uitdrukt tussen een nominaal complex en een transitief werkwoord. In feite vormen het subjects- en het objectsnomen echter geen complex geheel, maar functioneren zij onafhankelijk. Keenan en Clark tonen dit eenvoudig aan: stel dat er geen vrouwen zijn in het domein, maar wel minstens één man. Dan is (14) onwaar in ons model, want er is niet een vrouw die de man(nen) kunnen beminnen. Maar volgens de analyse van H&M is (14) waar, want MAN x VROUW = ø en ALLE (ø, HOUDEN VAN) is logisch waar. Doordat we het produkt MAN x VROUW nemen, d.w.z. de verzameling man-vrouw paren, levert onze analyse een onjuist resultaat op. Keenan en Clark stellen voor de verzamelingen MAN en VROUW apart te houden en aan binaire kwantoren het type (1,1,2) toe te kennen. Hun analyse van (14) wordt dan:
[ALLE, EEN] (MAN, VROUW, HOUDEN VAN)
De algemene vorm van binaire kwantoren die we vanaf nu hanteren is dan:
[D1, D2] (N1, N2, TV)
Het determinatorcomplex denoteert dus een relatie tussen twee eigenschappen en een twee-plaatsige relatie. Deze analyse is overigens ongeschikt voor de twee-plaatsige nomina vrienden, buren, etc., die wel kwantoren van type (2,2) vragen.
Met hun (1,1,2) analyse verwerpen Keenan en Clark het gebruik van de Absorptie-transformatie in eenvoudige transitieve zinnen. Moraal: BP-zinnen dienen niet in het centrum van de aandacht te worden geplaatst, maar als randverschijnsel te worden beschouwd. Het reduceerbaarheids-
vraagstuk in BP-zinnen is hiermee tot een marginaal probleem verklaard.
Tenslotte wijzen Keenan en Clark erop dat niet alle (1,1,2) kwantoren zijn te reduceren tot eenvoudige opeenvolgingen van unaire kwantoren. Met name geldt dat niet voor de volgende gevallen:
| (15) | (a) | Elke student leest een ander boek |
| (b) | De meeste kinderen houden van dezelfde snoepjes | |
| (c) | Verschillende taalkundigen verdedigen verschillende theorieën |
De precieze interpretatie van deze kwantoren en de redenen van hun niet-reduceerbaarheid komen in de volgende paragraaf aan de orde.
4. Nieuwe problemen rond reduceerbaarheid
4.1 Oriëntatie
Het artikel van Keenan (1987) is geheel gewijd aan (1,1,2) kwantoren die niet reduceerbaar zijn tot standaardkwantoren. Een representatief voorbeeld van de zinnen die hij hiertoe bekijkt is (15a) hier herhaald als (16):
| (16) | Iedere student leest een ander boek |
Hij gaat niet in op de contextafhankelijke lezing van (16), waarbij een ander boek wordt geïnterpreteerd als in (17):
| (17) | Jan leest een ander boek |
Keenan is geïnteresseerd in de gebonden lezing van (16), waarbij het zinsdeel een ander boek is gebonden door iedere student; de LEES-relatie is 1-1.
Formeel is een dergelijke functie als volgt weer te geven:
| (IEDERE, EEN ANDER) (P, Q, R) = 1 dan en slechts dan als | |
| (i) en (ii) beide gelden: | |
| (i) | Q ∩ Ra =/= Q ∩ Rb voor alle a, b ∈ P, a =/= b |
| (ii) | Voor alle a ∈ P, ∥ Q ∩ R.a∥ = 1 |
Hierbij zijn P en Q variabelen die reiken over subverzamelingen van het universum U van objecten en R een variabele die reikt over binaire relaties in U. Voor a geldt Ra = {b ∈ U: aRb}. Dit is de beeldverzameling van a onder de relatie R.
Om in te zien dat het juist conditie (i) is die niet-reduceerbaarheid garandeert, zullen we eerst kijken naar de zin:
| (18) | Iedere student leest twee boeken |
Hier is de (1,1,2) kwantor
(IEDERE, TWEE) (STUDENT, BOEK, LEZEN)
reduceerbaar tot een opeenvolging van unaire kwantoren:
IEDERE (STUDENT, {x∥ TWEE (BOEK, Lx)})
Veronderstellen we in eerste instantie ook in een zin als (16) dat de functie reduceerbaar is, dan is de waarde ervan gegeven door:
IEDERE (STUDENT, {x∥ EEN ANDER (BOEK, Lx)})
Bij een gegeven domein STUDENTEN is de waarde van de functie IEDERE afhankelijk van welke objecten x er in het bereik zitten, d.w.z. in de verzameling {x∥ EEN ANDER (BOEK, Lx)}. Bij een gegeven domein BOEKEN en een student a wordt bepaald of a in het bereik zit door de beeldverzameling Ra, d.w.z. de verzameling boeken die a leest. De functie EEN ANDER moet dus een relatie leggen tussen de verzameling boeken en de verzameling La, zoals bij zin (18) gebeurt door de determinator. Ofwel, in de beslissing over a heeft de functie EEN ANDER niet de beschikking over de verzameling Lb van dingen waaraan een ander object b uit de verzameling studenten is gerelateerd. We kunnen niet weten of Ra gelijk is aan Rb. Het is duidelijk dat in een zin als (16) de functie juist wèl gevoelig moet zijn voor de vraag of verschillende objecten in het domein van de relatie zijn gerelateerd aan dezelfde dingen. De functie EEN ANDER kan, in tegenstelling tot onze veronderstelling, onderscheid maken tussen de verzamelingen La en Lb (voor a = /= b in P) en het determinatorcomplex (IEDERE, EEN ANDERE) is dus niet reduceerbaar tot een opeenvolging van unaire kwantoren.
4.2 Beperkingen op het voorkomen van (1,1,2) kwantoren
Schrijven we onze voorbeeldzin (1) in de volgende vorm:
| (19) | D1 student(en) lezen D2 boek(en) |
dan kunnen we zeggen dat (D1, D2) als semantisch effect heeft dat het condities verbindt aan de LEES-relatie, welke beperkt is in zijn eerste argument tot student(en) en in zijn tweede tot boeken. We zagen al dat bij de keuze (D1, D2) = (IEDERE, EEN ANDER) de beperkte LEES-relatie 1-1 is. Zo is de relatie bij (D1, D2) = (IEDERE, HETZELFDE) een constante functie, zoals blijkt uit de interpretatie van (20):
| (20) | Iedere student leest hetzelfde boek |
| (IEDERE, HETZELFDE) (STUDENT, BOEK, LEZEN) | |
| (IEDERE, HETZELFDE) (P, Q, R) = 1 dan en slechts dan als | |
| (i) en (ii) beide het geval zijn: | |
| (i) Q ∩ Ra = Q ∩ Rb voor alle a, b ∈ P, a =/= b | |
| (ii)∩Q ∈ Ra∩ = 1 voor alle a ∈ P |
De vraag is nu welke (1,1,2) kwantoren zijn uit te drukken door dergelijke paren (D1, D2) in de natuurlijke taal. Een mogelijk antwoord is dat als enige eis gesteld kan worden dat D1 en D2 standaardkwantoren moeten zijn. Echter de (1,1,2) kwantoren die we in deze paragraaf bespreken zijn typisch kwantoren die niet te reduceren zijn tot standaardkwantoren. Het probleem blijft dus nog bestaan.
Er zijn nog andere kwantoren die niet reduceerbaar zijn tot standaardkwantoren, zoals reflexieve en reciproke pronomina in constructies als:
| (21) | (a) | Elke student bewonderde zichzelf |
| (b) | Jan en Karel keken naar elkaar |
Reflexiviteit (in 21a) houdt in dat van de relatie BEWONDEREN alleen paren lid mogen zijn waarvan het eerste en tweede lid identiek zijn, b.v. (a,a), (b,b), etc. Aangezien bij L-automorfismen de permutaties over linker- en rechterlid verschillend kunnen zijn, is het mogelijk dat we paren verkrijgen waarbij de twee leden niet langer gelijk zijn. Hiermee is onmiddellijk duidelijk dat reflexieve relaties niet geslo-
ten zijn onder L-automorfismen en het kwantorcomplex niet scheidbaar is. Een zelfde redenering geldt voor reciproke zinnen. Trea Pestman en Magdalien de Planque (zie het volgende artikel in dit nummer) leggen uit dat er verschillende vormen van reciprociteit bestaan. In al deze vormen geldt dat er een afhankelijkheidsrelatie bestaat tussen het linker- en het rechterlid van het paar dat lid is van de relatie uitgedrukt door het transitieve werkwoord. In (21b) geldt zowel voor Jan als Karel dat hij kijkt en bekeken wordt.
Andere voorbeelden van niet-reduceerbare kwantoren zijn zinnen als (22), waarin voor de kwantor een kardinaliteitsconditie blijkt te bestaan:
| (22) | Een groot aantal studenten solliciteerden op een klein aantal baantjes |
Er wordt door (EEN GROOT AANTAL, EEN KLEIN AANTAL) een bepaalde kardinaliteitsrelatie uitgedrukt tussen het domein en het bereik van de relatie, die door standaardkwantoren op D1 en D2 positie niet tot uitdrukking zou kunnen worden gebracht. Als het hier standaardkwantoren betrof zouden ze gesloten zijn onder L-automorfismen. Bij willekeurige permutatie van het rechterelement kan het aantal baantjes te groot worden t.o.v. het aantal studenten. Een dergelijke relatie gaat ook op in (23):
| (23) | Drie auteurs schreven een totaal van 200 werken |
4.3 Niet-logische kwantoren
Tot nu toe hebben we logische kwantoren besproken, ofwel kwantoren waarbij het in de waarheidscondities gaat om hoeveel P's aan hoeveel Q's zijn gerelateerd door R of om de hoeveelheid P's en Q's die zo gerelateerd zijn in vergelijking met die niet zo gerelateerd zijn. In par. 1.1 zijn ook niet-logische kwantoren besproken, zoals possessieven. Een ander voorbeeld is (24):
| (24) | Meer vrouwelijke dan mannelijke studenten zijn vegetariër |
We kennen ook dergelijke kwantoren van het type (1,1,2). Als eerste groep kunnen we kwantoren aanwijzen die zijn opgebouwd uit (1,1) kwantoren:
| (25) | Meer vrouwelijke dan mannelijke studenten lezen hetzelfde boek |
Een tweede klasse wordt gegeven door (TWEE, HETZELFDE MODEL):
| (26) | Twee studenten bezitten hetzelfde model Ford |
Deze kwantoren kunnen onderscheid maken tussen auto's en hun model: natuurlijk bezitten de studenten elk een andere auto, maar de twee auto's zijn exemplaren van hetzelfde model. We spreken hier van nietlogische kwantoren, omdat kardinaliteitscondities alleen niet voldoende zijn. We hebben informatie nodig over de manier waarop auto's worden gecategoriseerd in termen van modellen. Naast gegevens over aantallen moeten we dus kennis hebben van de wereld om ons heen.
Een derde klasse van niet-logische kwantoren van het type (1,1,2) komt voort uit constucties met adjectieven die vergelijkbaar zijn, wat betreft betekenis, met hetzelfde en verschillend, maar die toch niet logisch zijn, bij voorbeeld:
| (27) | De twee mode-ontwerpers hebben uiteenlopende smaken |
| (DE TWEE, UITEENLOPENDE) (MODE ONTWERPERS, SMAKEN, HEBBEN) |
Adjectieven als uiteenlopend, tegengesteld, parallel, overeenkomstig, hebben impliciet de betekenis van verschillend of hetzelfde in zich, maar geven daarbij een specifieke relatie aan tussen de objecten. Bovendien hebben ze vaak een ‘reciproke’ betekenis:
| (28) | Rivaliserende politieke partijen zijn politieke partijen die rivalen zijn van elkaar |
Het feit dat (DE TWEE, UITEENLOPENDE) niet reduceerbaar is volgt uit de niet-reduceerbaarheid van (DE TWEE, VERSCHILLENDE). Wil namelijk de eerste reduceerbaar zijn, dan moet de kwantor worden geïnterpreteerd als een paar van standaardkwantoren, waarbij het er niet toe doet hoe de relatie uiteenlopend wordt geïnterpreteerd. Aangezien deze verschilt per mode ontwerper, is er niet een paar standaardkwantoren te vinden dat de correcte betekenis garandeert.
4.4 Resterende problemen
Wat betreft het type kwantoren die we nu hebben bekeken blijven er nog enkele problemen open. We zullen ze puntsgewijs noemen en daarbij op het derde en laatste punt wat nader ingaan.
1. Hoe kunnen we functies van het type (2) en (1,1,2) die zijn uit te drukken in de natuurlijke taal karakteriseren? We hebben tot nu toe slechts één beperking kunnen leggen op deze kwantoren, namelijk dat ze conservatief moeten zijn. Deze beperking is echter te zwak: er blijven nog heel veel (1,1,2) kwantoren over die niet in taal voorkomen. Misschien is het relevant om te bekijken in hoeverre conservativiteit interactie aangaat met reduceerbaarheid. Keenan besteedt vrij veel aandacht aan deze problematiek, maar wij zullen er hier verder niet op ingaan.
2. Welke conservatieve functies zijn zowel reduceerbaar als grootbereik-reduceerbaar? Een (1,1,2) kwantor F is groot-bereik-reduceerbaar dan en slechts dan als er functies f en g van type (1,1) zijn zodat voor alle P, Q, R geldt:
F(P, Q, R) = (f,g) (Q, P, R'),
waarbij R' de converse is van R: R' = {<x,y>: yRx}.
Het blijkt dat niet reduceerbare kwantoren ook niet groot-bereikreduceerbaar zijn. In het bijzonder geldt dit ook voor de kwantor in (20).
3. Hoe moeten functies van zinnen als (29), waar een volgorde in naar voren komt, worden genoteerd?
| (29) | (a) | Elke volgende student gaf betere antwoorden |
| (b) | Elk jaar werden er meer kandidaten afgewezen |
We zullen hiervoor eerst kijken naar respectievelijk het domein en het bereik van de relatie. Het blijkt dat het domein een strikt partiële ordening heeft, d.w.z. dat de relatie zowel asymmetrisch als transitief is. Een voorbeeld van een asymmetrische relatie is:
| (30) | a is groter dan b, dan geldt niet: b is groter dan a |
en een voorbeeld van een transitive relatie:
| (31) | a is groter dan b en b is groter dan c, dan geldt ook: a is groter dan c |
De ordening in het domein is niet willekeurig: er is een temporele relatie tussen de objecten. De objecten volgen elkaar op, waarbij er sprake is van een tijdsverloop. Doordat het domein discreet is, hebben we niet te maken met geleidelijke overgangen, maar met een verloop van object na object na object. Dat dit verloop in één bepaalde voortgaande beweging is, wordt veroorzaakt door de volgorde-eigenschap die door de functie tot uitdrukking wordt gebracht.
Naast een temporele ordening kunnen we ook een ruimtelijke onderscheiden, waarbij er dus een verloop in de ruimte is:
| (32) | Elk volgende dorp had meer schilderachtige huisjes |
Een derde mogelijkheid is de ordening in (33):
| (33) | Elke slimmere student krijgt een hoger cijfer. |
Deze ordening verschilt hierin van de eerste twee, dat er nu alleen een contextafhankelijke lezing mogelijk is. Alle studenten die (in slimheid) volgen op die ene (door de context bepaalde) slimme student krijgen een hoger cijfer toebedeeld. Alle studenten die, willekeurig in welke volgorde, volgen op deze student, worden met deze ene student vergeleken. Dit in tegenstelling tot de ruimtelijk en temporeel geordende domeinen, waar steeds een vergelijking wordt gemaakt met het voorafgaande object.
Er is een 1-1 relatie, waarbij aan elk object uit het domein één beeld (uit het bereik) wordt toegekend en waarbij aan elk beeld slechts één object uit het domein is gekoppeld. De volgorderelatie in het domein heeft daardoor een corresponderende ordening in het bereik tot gevolg. Bijvoorbeeld:
| (34) | Elke volgende student kreeg een hoger cijfer |
Stel Jan is de opvolger van Piet, Piet kreeg een 6, Jan krijgt b.v. een 7. Als Henk volgt op Piet krijgt deze b.v. een 8 en Klaas, die weer na Henk komt, een 8 ½.
We kunnen ons nu afvragen hoe het zit met de reduceerbaarheid van dergelijke kwantoren. In de oplossing die Keenan reeds gaf in zijn zinnen als:
| (16) | Iedere student leest een ander boek |
zagen we dat conditie (i) Q ∩ Ra =/= Q ∩ Rb niet-reduceerbaarheid garandeerde. Ook in onze zinnen, waarin sprake is van een temporeel of ruimtelijk geordend domein, moeten we een dergelijke conditie opstellen: de functie moet ook hier gevoelig zijn voor de vraag of verschillende objecten uit het domein wel of niet gerelateerd zijn aan dezelfde dingen. De functie moet dus niet-reduceerbaar zijn. Formeel kunnen we de waarheidscondities van (34) nu weergeven als:
| (ELKE VOLGENDE, EEN HOGER) (STUDENT, CIJFER, KRIJGEN) | |
| is waar dan en slechts dan als (i) en (ii) beide gelden: | |
| (i) | CIJFER ∩ KRIJGENa =/= CIJFER ∩ KRIJGENb |
| waarbij STUDENTa =/= STUDENTb | |
| (ii) | ∥Kb∥H > ∥Ka∥H waarbij a,b ∈ STUDENT, b volgt op a en b volgt direct op a, dus er is geen c,
c ∈ STUDENT zodat c tussen a en b in komt |
| Hierbij is Kx de verzameling cijfers die student x krijgt; ∥...∥H is de hoogte van het cijfer op een bepaalde schaal, b.v. van 1 tot 10. | |
Soms hebben we te maken met een impliciete volgorderelatie. In dergelijke gevallen kan het woord volgend worden weggelaten. Dit is het geval in temporele uitdrukkingen als elk jaar, iedere maand, etc. waar sprake is van een cyclus die wordt doorlopen, cf.(29b) en:
| (35) | Iedere maand is er een andere aanbieding |
De kwantoren elk jaar en iedere maand hebben in deze zinnen groot bereik over het subject. De interpretatie van deze zinnen loopt parallel aan die voor (34):
| (ELK, MEER) (JAAR, KANDIDATEN, AFWIJZEN) is waar dan en slechts dan als (i) en (ii) beide het geval zijn: | |
| (i) | KANDIDAAT ∩ AFWIJZENa =/= KANDIDAAT ∩ AFWIJZENb |
| waarbij JAARa =/= JAARb | |
| (ii) | ∥Ab∥ > ∥Aa∥ waarbij a,b ∈ JAAR, b volgt op a en b volgt direct op a. Hierbij is Ax de verzameling kandidaten die in jaar x worden afgewezen. De kardinaliteit van deze verzameling wordt dus met het jaar hoger. |
We krijgen op deze manier een natuurlijke uitbreiding van de analyse van transitieve zinnen tot de analyse van binaire kwantoren in het algemeen. Daarmee openen we een nieuw perspectief op de interpretatie van temporele adverbia en hun interactie met anderssoortige kwantoren. Wanneer we een goede beschrijving kunnen geven van determinatoren in zinnen als (34), waarin de functie elkaar opvolgende elementen uit het domein bekijkt, zijn we tevens in staat uitdrukkingen te interpreteren die kwantificeren over het tijdsdomein, dat altijd een dergelijke ordening vooronderstelt.
5. Conclusie
De theorie van gegeneraliseerde kwantoren is aanvankelijk ontwikkeld voor intransitieve zinnen. Hoewel de resultaten van dit onderzoek ons veel hebben geleerd over intransitieve zinnen, blijken er aan de beschrijving van transitieve zinnen en binaire kwantoren nogal wat haken en ogen te zitten. Een aantal problemen en mogelijke oplossingen hebben we in dit artikel besproken. Uiteraard staan er nog voldoende vragen open voor verder onderzoek.
- eind1
- Denotaties zijn verzameling-theoretische grootheden van uiteenlopende kompleksiteit. Om het overzicht te behouden delen we denotaties in in typen. De principes van type-indeling zijn als volgt:
leden van E zijn van type
Verzamelingen kunnen worden gekarakteriseerd met behulp van funkties die een bepaald domein afbeelden op de beide waarheidswaarden. Zo kunnen we deelverzamelingen van E, ook vaak eigenschappen genoemd, karakteriseren door middel van funkties die E op de verzameling waarheidswaarden afbeelden. Elk type, waarvan de typenaam eindigt op ‘...,t>’ bestaat dan ook uit verzamelingen.
e waarheidswaarden zijn van type
funkties die grootheden van type A afbeelden op grootheden van type B zijn van type
Intransitieve nomina-denotaties (N-denotaties) en intransitieve werkwoorddenotaties (IV-denotaties) zijn eigenschappen en volgens het bovenstaande dus van het type
Deze type-aanduiding is nogal moeilijk te lezen. Daarom is er een beter leesbare versie van ontworpen. Dit is de zgn Lindström-notatie. We zeggen dat een n-plaatsige relatie tussen individuen (leden van E) van type n is. Vervolgens is een verzameling van relaties van type n zelf van type (n). Een twee-plaatsige relatie tussen n-plaatsige relaties is van het type (n,n), etc. N-denotaties en IV-denotaties zijn dan van het type 1, TN-denotaties en TV-denotaties van het type 2, intransitieve NP-denotaties van het type (1), transitieve NP-denotaties van het type (2), determinator-denotaties van het type (1,1), in het laatste geval op voorwaarde dat het om (determinatoren van) intransitieve NPs gaat, een NP dus waarvan het hoofdnomen een eigenschap denotateert. Verderop zullen we nog kennismaken met determinator-denotaties van het type (2,2) en (1,1,2). Het zijn de denotaties van determinator-kombinaties zoals
- eind2
- Niet alle artikelen kiezen voor dezelfde notatie. Omwille van de leesbaarheid zullen we één standaardnotatie invoeren. Ook wanneer de opvattingen van andere auteurs worden besproken zullen we deze schrijfwijze hanteren.
- eind3
- Knoop A c-commandeert knoop B wanneer de eerste vertakkende knoop die A domineert tevens B domineert. Het gedeelte van de boom dat door A wordt ge-c-commandeerd wordt het c-commandeerdomein van A genoemd. De bindingstheorie vereist dat een indefiniet antecedent zijn pronomen c-commandeert. Voor een definiet antecedent geldt dat het pronomen het antecedent niet mag c-commanderen.