Tabu. Jaargang 11

[p. 97]

Monotonie en geslotenheid onder doorsneden of verenigingen/ Frans Zwarts

In Zwarts (1981: 91-92) wordt vastgesteld dat de verwijzing van sommige monotoon stijgende nominale constituenten onveranderlijk gesloten is onder (eindige) doorsneden. Ook wordt opgemerkt (o.c: 101-103) dat de verwijzing van sommige monotoon dalende nominale constituenten onveranderlijk gesloten is onder (eindige) verenigingen. In geen van beide gevallen worden echter noodzakelijke en voldoende voorwaarden aangereikt op grond waarvan kan worden bepaald of de verwijzing van een gegeven monotoon stijgende of dalende nominale constituent de betreffende sluitingseigenschap bezit. De volgende twee stellingen voorzien in deze leemte.

Stelling 1.

Als Q een monotoon stijgende kwantor op M = >E, ‖ ‖< is, dan is Q gesloten onder eindige doorsneden dan en slechts dan als voor alle X, Y ⊆ E geldt: als (E - X) ∪ Y ∊ Q en X ∊ Q, dan Y ∊ Q.

Bewijs.

Van links naar rechts. Laat Q een monotoon stijgende kwantor op M =>E, ‖ ‖ < zijn die gesloten is onder eindige doorsneden, en veronderstel dat X en Y deelverzamelingen van E zijn, zo dat (E - X) ∪ Y ∊ Q en X ∊ Q. Dan geldt op grond van geslotenheid onder eindige doorsneden dat ((E - X) ∪ Y) ∩ X ∊ Q. Maar ((E - X) ∪ Y) ∩ X = ((E - X) ∩ X) ∪ (X ∩ Y) = X ∩ Y, zodat X ∩ Y ∊ Q. Derhalve Y ∊ Q, op grond van het monotoon stijgende karakter van Q, aangezien X ∩ Y ⊆ Y.

Van rechts naar links. Laat Q een monotoon stijgende kwantor op M = >E, ‖ ‖< zijn, zo dat als (E - X) ∪ Y ∊ Q en X ∊ Q, dan Y ∊ Q, en veronderstel dat X en Y deelverzamelingen van E zijn, zo dat X ∊ Q en Y ∊ Q. Aangezien (E - X)

[p. 98]

U(X ∩ Y) = ((E - X) ∪ X) ∩ ((E - X) ∪ Y) = (E - X) ∪ Y en aangezien op grond van het monotoon stijgende karakter van Q geldt dat (E - X) ∪ Y ∊ Q, gegeven dat Y ∊ Q en dat Y ⊆ (E - X) ∪ Y, moet eveneens gelden dat (E - X) ∪ (X ∩ Y) ∊ Q. Daar X ∊ Q, volgt hieruit dat X ∩ Y ∊ Q, zodat Q gesloten is onder eindige doorsneden.

Stelling 2.

Als Q een monotoon dalende kwantor op M = >E, ‖ ‖< is, dan is Q gesloten onder eindige verenigingen dan en slechts dan als voor alle X, Y ⊆ E geldt: als (E - X) ∩ Y ∊ Q en X ∊ Q, dan Y ∊ Q.

Bewijs.

Van links naar rechts. Laat Q een monotoon dalende kwantor op M =>E, ‖ ‖< zijn die gesloten is onder eindige verenigingen, en veronderstel dat X en Y deelverzamelingen van E zijn, zo dat (E - X) ∩ Y ∊ Q en X ∊ Q. Dan geldt op grond van geslotenheid onder eindige verenigingen dat ((E - X) ∩ Y) ∪ X ∊ Q. Maar ((E - X) ∩ Y) ∪ X = ((E - X) ∪ X) ∩ (X ∪ Y) = X ∪ Y, zodat X ∪ Y ∊ Q. Derhalve Y ∊ Q, op grond van het monotoon dalende karakter van Q, aangezien Y ⊆ X ∪ Y.

Van rechts naar links. Laat Q een monotoon dalende kwantor op M = >E, ‖ ‖< zijn, zo dat als (E - X) ∩ Y ∊ Q en X ∊ Q, dan Y ∊ Q, en veronderstel dat X en Y deelverzamelingen van E zijn, zo dat X ∊ Q en Y ∊ Q. Aangezien (E - X) ∩ (X ∪ Y) = ((E - X) ∩ X) ∪ ((E - X) ∩ Y) = (E - X) ∪ Y en aangezien op grond van het monotoon dalende karakter van Q geldt dat (E - X) ∩ Y ∊ Q, gegeven dat Y ∊ Q en dat (E - X) ∩ Y ⊆ Y, moet eveneens gelden dat (E - X) ∩ (X ∪ Y) ∊ Q. Daar X ∊ Q, volgt hieruit dat X ∪ Y ∊ Q, zodat Q gesloten is onder eindige verenigingen.

Uit stelling 1 volgt onmiddellijk dat de verwijzing van een monotoon stijgende nominale constituent onveranderlijk gesloten is onder eindige doorsneden dan en slechts dan als voor alle VP₁ en VP₂ het gevolgtrekkingsschema in (1) van kracht is, waarbij met -VP₁ de negatie van VP₁ wordt aangeduid.

(1)	NP VP1 of VP2
	NP -VP1,
	_____
	NP VP2

Aan de geldigheid van de redenering in (2) mogen we dan ook de gevolgtrekking verbinden, dat de verwijzing van monotoon stijgende nominale constituenten van de vorm alle N onveranderlijk gesloten is onder eindige doorsneden.

(2)	Alle gekruisigden wenen of stenen
	Alle gekruisigden wenen niet
	_____
	Alle gekruisigden stenen

Beslist niet geldig is echter de redenering in (3), zodat de verwijzing van monotoon stijgende nominale constituenten van de vorm enkele N niet altijd gesloten is onder eindige doorsneden.

(3)	Enkele verdoemden wenen of stenen
	Enkele verdoemden wenen niet
	_____
	Enkele verdoemden stenen

[p. 99]

Evenzo volgt uit stelling 2 dat de verwijzing van een monotoon dalende nominale constituent onveranderlijk gesloten is onder eindige verenigingen dan en slechts dan als voor alle VP₁ en VP₂ het gevolgtrekkingsschema in (4) van kracht is.

(4)	NP VP1 en VP2
	NP -VP1
	_____
	NP VP2

Dienovereenkomstig mogen we aan de geldigheid van de redenering in (5) de gevolgtrekking verbinden, dat de verwijzing van monotoon dalende nominale constituenten van de vorm geen N onveranderlijk gesloten is onder eindige verenigingen.

(5)	Geen veroordeelde weent en steent
	Geen veroordeelde weent niet
	_____
	Geen veroordeelde steent

Ongeldig is evenwel de redenering in (6), zodat de verwijzing van monotoon dalende nominale constituenten van de vorm weinig N niet altijd gesloten is onder eindige verenigingen.

(6)	Weinig geketenden wenen en stenen
	Weinig geketenden wenen niet
	_____
	Weinig geketenden stenen

Hiermee hebben we twee middelen aangereikt met behulp waarvan in voorkomende gevallen kan worden bepaald of de verwijzing van een gegeven monotoon stijgende of dalende nominale constituent zich al dan niet kenmerkt door respectievelijk geslotenheid onder eindige doorsneden of geslotenheid onder eindige verenigingen.

bibliografie

Zwarts, F. (1981), ‘Negatief polaire uitdrukkingen I’, GLOT 4, 35-132.