|
| |
| |
| |
Wiskundige kroniek
Enige aspecten van de moderne wiskunde
DR. J.H.J. Almering
DE stormachtige, ja men mag wel haast zeggen explosieve ontwikkeling die de wiskunde de laatste tientallen jaren te zien heeft gegeven, zet zich tot op de dag van heden met onverminderde kracht voort. Wie hieraan mocht getwijfeld hebben, zou al spoedig tot andere gedachten zijn gekomen als hij het Internationale Congres van Wiskundigen dat het vorig jaar te Stockholm is gehouden, had bijgewoond en daar kennis had genomen van de grote hoeveelheid en de rijke verscheidenheid van onderwerpen uit de meest verschillende delen der wiskunde, die daar ter sprake kwam.
Ook een korte bestudering van het elke maand verschijnende tijdschrift Mathematical Reviews, waarin alle van enig belang zijnde wiskundige publikaties, waar ter wereld ook verschenen, vermeld en gerecenseerd worden, is al voldoende om een idee te geven van de zeer grote specialisatie in de moderne wiskunde, een specialisatie, waarvan het einde nog niet te zien is.
Zoals elke specialisatie brengt ook die in de wiskunde haar gevaren met zich mede. Steeds nieuwe specialismen splitsen zich af, steeds nauwer wordt de gezichtskring van de specialisten. Velen zien met bezorgdheid de gevolgen van deze ongeremde mathematische vruchtbaarheid. Een bekend wiskundige (E.T. Bell) spreekt over een wanhopige worsteling die de wiskunde moet voeren om niet door haar eigen rijkdommen verstikt te worden. Elders spreekt deze auteur over het begrip ‘universalist’ als de tegenstelling van het begrip ‘specialist’ en beweert dan dat in de wiskunde het ras der universalisten is uitgestorven. Het laatste exemplaar leefde in Parijs, het was de geniale Henri Poincaré, die in 1912 stierf. (Hij was een neef van de bekende staatsman van die naam).
Van de andere kant zijn er gelukkig in de huidige wiskunde ook tendensen aanwezig, die een unificerende werking hebben, stromingen die enige orde in de mathematische chaos trachten te brengen. Zij doen dit door gebieden die tot dusver schijnbaar in geen enkel verband tot elkaar stonden, onder één gezichtspunt samen te brengen. Dit kan b.v. gebeuren door begrippen van een hogere graad van abstractie in te voeren die daardoor uiteraard een grotere algemeenheid hebben.
Een typerend voorbeeld hiervan ziet men in de moderne algebra, waar door het op grote schaal invoeren van axiomatieve methoden de behandelde onderwerpen meer abstract maar tegelijkertijd ook meer algemeen en minder onsamenhangend zijn geworden. Dit komt o.m. tot uiting in een voornaam onderdeel van de moderne algebra, de z.g. groepentheorie, een onderwerp dat voor de laatste oorlog nog maar sporadisch onderwezen werd, maar dat nu bij elke universiteit van enige betekenis onder de gedoceerde vakken voorkomt.
| |
| |
Laten wij het begrip ‘groep’ eens nader bezien. Dit begrip bestaat in de wiskunde sinds een kleine 150 jaar. De naam ‘groep’ is afkomstig van de jonggestorven Franse wiskundige Galois (1811-1832). Aanvankelijk waren er nog maar enkele mathematici die dit begrip gebruikten, maar geleidelijk werd het in wijdere kring bekend. Er trad zelfs een periode van overschatting op, toen sommigen in het groepsbegrip de sleutel meenden gevonden te hebben waarmede alle deuren in de wiskunde geopend zouden kunnen worden. Dergelijke overdreven verwachtingen zijn niet vervuld, maar toch kan men wel zeggen dat het begrip ‘groep’ zich in de wiskunde een blijvende plaats heeft verworven.
Wat houdt nu dit begrip ‘groep’ eigenlijk in? Om hiervan een idee te geven bekijken we eerst in het kort enkele eenvoudige eigenschappen van de verzameling der gehele getallen, dit zijn dus de positieve en de negatieve gehele getallen en het getal nul. We merken bij de gehele getallen de volgende eigenschappen op:
| 1. Door middel van de optelling kunnen we uit elk tweetal gehele getallen weer een geheel getal afleiden, b.v. (- 3) + 8 = 5. |
2. Wanneer men drie gehele getallen bij elkaar telt, is het onverschillig of men eerst de twee eerste bij elkaar telt en de uitkomst vermeerdert met het derde, of dat men het eerste vermeerdert met de som van de twee andere; in formule:
(a + b) + c = a + (b + c).
Men noemt dit de associatieve eigenschap van de optelling. |
| 3. Past men de opteloperatie toe op twee gehele getallen, waarvan er een nul is, dan verkrijgt men als uitkomst het niet nul zijnde getal, b.v. 5 + 0 = 5. |
| 4. Bij elk geheel getal a bestaat een geheel getal b zo dat a + b = 0, b.v. 7 + (- 7) = 0. |
In een meer abstracte aankleding kunnen we deze vier eigenschappen ook als volgt formuleren:
I. Er bestaat een operatie, die aan elk tweetal elementen a en b van de verzameling een derde element c toevoegt. We schrijven dit als:
c = a & b. |
II. De onder I genoemde operatie is associatief:
(a & b) & c = a & (b & c). |
III. Er bestaat een element e van de verzameling met de eigenschap dat
a & e = e & a = a,
waarbij a elk element van de verzameling kan zijn. |
IV. Bij elk element a van de verzameling bestaat een element x zó dat
a & x = x & a = e. |
Het zal de aandachtige lezer niet moeilijk vallen om te verifiëren dat bij vervanging van ‘operatie’ door ‘optelling’, ‘element’ door ‘geheel getal’, ‘e’ door ‘0’ en van ‘&’ door ‘+’ we juist de vier genoemde eigenschappen van de gehele getallen krijgen.
Wellicht zal de lezer, op dit punt gekomen, zich met enig ongeduld gaan afvragen wanneer nu eindelijk eens gezegd zal worden wat een groep is. Het
| |
| |
antwoord hierop is, dat we dit reeds gedaan hebben! We beschouwen namelijk I, II, III en IV volkomen los van de getallen, we gaan een nieuw begrip invoeren door I tot en met IV als postulaten of axioma's te beschouwen. Elke verzameling van wiskundige objecten, die aan deze axioma's voldoet, zullen we bij definitie een groep noemen, de vier axioma's noemen we de groepsaxioma's. De verzameling van de gehele getallen voldoet, zoals wij gezien hebben, aan de groepsaxioma's en is dus een groep met als operatie de optelling.
Maar behalve de verzameling van de gehele getallen zijn er nog vele andere verzamelingen die aan de groepsaxioma's voldoen. Zo is de verzameling van alle even getallen een groep met als operatie de optelling. Het gelukt echter niet om de verzameling van de oneven getallen als een groep te beschouwen, want de optelling van twee oneven getallen levert een even getal op en daarmee komen we buiten de verzameling.
De twee voorbeelden van groepen die we gezien hebben zijn groepen met oneindig veel elementen. Bovendien hebben deze groepen nog een andere eigenschap: ze zijn commutatief, d.w.z. voor elk tweetal elementen a en b geldt dat a & b = b & a. Er zijn echter ook groepen (en dat zijn zeker niet de minst interessante) die niet commutatief zijn.
Een niet-commutatieve groep met een eindig aantal elementen krijgt men b.v. door het aantal manieren te beschouwen, waarop een uit een vel papier gesneden vierkant weer in het blad gepast kan worden. Dit zijn er precies acht. Het is nu mogelijk om een operatie te bedenken, die aan elke twee elementen van deze verzameling weer een element toevoegt, welke operatie aan de groepsaxioma's blijkt te voldoen. Het zou mij te ver voeren om hier gedetailleerd op in te gaan, ik volsta met te vermelden dat dit gebeurt door vier van de acht elementen te beschouwen als draaiingen in wijzerzin over resp. 0°, 90°, 180° en 270° en de vier overige elementen als ‘spiegelingen’ op te vatten. Daar nu een draaiing in wijzerzin over b.v. 90°, gevolgd door een spiegeling om een bepaalde diagonaal (neem b.v. de diagonaal die van Z.W. naar N.O. loopt) niet hetzelfde resultaat geeft als het uitvoeren van de spiegeling, gevolgd door de draaiing, is deze groep van acht elementen een niet-commutatieve groep.
Men kan de vraag opwerpen of er in plaats van I tot en met IV geen ander stelsel van axioma's gekozen kan worden. Kan men aan de genoemde axioma's nog andere toevoegen, is het wellicht ook mogelijk om axioma's te laten vervallen? Het antwoord op deze vraag is, dat de wiskundige geheel vrij is in de keuze van zijn axioma's met één beperking: de axioma's mogen niet onderling strijdig zijn, d.w.z. het mag niet mogelijk zijn om van de axioma's uit verder redenerend, tot een tegenspraak te komen. Gaan we axioma's toevoegen, dan wordt het aantal verzamelingen waarvoor de axioma's gerealiseerd zijn, beperkter. Laten we axioma's vervallen dan wordt dit aantal groter. Het is ou de intuïtie van de wiskundige die hem het geschikte axiomastelsel laat kiezen, waardoor een begrip ontstaat dat niet te eng maar ook niet te ruim is en daardoor de meeste praktische bruikbaarheid vertoont.
Uitgaande van de vier groepsaxioma's heeft men een hele theorie, de groepentheorie ontwikkeld. In deze theorie ontmoet men begrippen zoals ondergroep, cyclische groep, nevenklasse, isomorfie en homomorfie van groepen. Wij gaan hier niet nader op in. Wat is het belang van deze theorie? Neem eens aan dat we in een of ander deel van de wiskunde een verzameling van objecten
| |
| |
ontmoeten (dit kunnen zijn: functies, bewegingen, transformaties, enz.), waarvoor de vier groepsaxioma's gerealiseerd blijken te zijn. Dan is het duidelijk dat meteen alle theorema's van de groepentheorie voor de genoemde verzameling geldigheid bezitten. Het gehele arsenaal van formules en stellingen van de groepentheorie staat dan voor gebruik gereed. Men heeft ook wiskundige systemen gedefinieerd waarin twee operaties aanwezig zijn, die aan zekere axioma's voldoen. Zo ontstaan de begrippen van ‘ring’ en ‘lichaam’, begrippen die van meer recente datum zijn dan het groepsbegrip.
* * *
Bij het ontwikkelen van het begrip ‘groep’ hebben wij gebruik moeten maken van een dieper liggend begrip, namelijk het begrip ‘verzameling’. Onderzoekingen over dit laatste begrip hebben een volkomen nieuwe tak van de wiskunde geschapen, de verzamelingsleer (theory of sets, Mengenlehre). De ideeën en methoden die bij de moderne verzamelingsleer gebruikt worden, dateren van het begin van de vorige eeuw. Het was Bernhard Bolzano, die als eerste de denkbeelden ontwikkelde die aan de huidige verzamelingsleer ten grondslag liggen. Bolzano was hoogleraar in de godsdienstfilosofie aan de universiteit van Praag, welke betrekking hem blijkbaar nog wel vrije tijd overliet om aan wiskunde te doen. Er zijn meerdere punten van overeenkomst tussen hem en zijn beroemde landgenoot Mendel. Evenals Mendel was Bolzano katholiek priester, evenals Mendel was Bolzano met zijn ideeën zijn tijd ver vooruit en evenals dit bij Mendel het geval was, bleven zijn denkbeelden lange tijd onopgemerkt.
Vijftig jaar later ontwikkelde de Duitse wiskundige Georg Cantor, zonder Bolzano's werk te kennen, de verzamelingsleer opnieuw en bouwde haar tot een grote hoogte uit. Echter, waar Bolzano, verontrust door de paradoxale eigenschappen van de oneindige verzamelingen, was blijven staan, ging Cantor onbevreesd verder. Hij leerde hoe men met verzamelingen kon rekenen, hij voerde het ekwivalentiebegrip in, hij maakte onderscheid tussen aftelbare en niet-aftelbare verzamelingen en kwam tot het begrip van kardinaalgetal.
Het imposante bouwwerk van Cantor steunde op zijn met de uiterste zorgvuldigheid geformuleerde definitie van verzameling, die wij hier in de oorspronkelijke taal laten volgen: ‘Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen’, Ondanks de pijnlijke nauwgezetheid waarmee Cantor deze definitie had samengesteld, is gebleken dat zij niet zonder meer als een betrouwbaar fundament voor de verzamelingsleer kon gelden. Er traden in de verzamelingsleer onaangename tegenspraken op, die men ook antinomieën of paradoxen genoemd heeft (dat klinkt niet zo onprettig). Latere onderzoekers hebben verschillende methoden ontwikkeld om een betere fundering te leggen, die het optreden van de tegenspraken onmogelijk zou moeten maken. Het werk aan de verbetering van de grondslagen van de verzamelingsleer en van de wiskunde wordt tot op de huidige dag onverflauwd voortgezet. Nog steeds wordt er diep onder in het gebouw van de wiskunde hard aan de fundering gewerkt, wat voor vele anderen geen enkel bezwaar is om ondertussen op de bovenverdiepingen vrolijk verder te timmeren. Toch wijs ik in dit verband op een openhartige uitspraak van de bekende Amerikaanse wiskundige H. Weyl, die bekende: ‘Wij zijn thans minder zeker dan ooit van de uiteindelijke grond-
| |
| |
slagen van de wiskunde. Zoals iedereen en alles in de huidige Wereld hebben ook wij onze “crisis”. Wij hebben die nu al bijna vijftig jaar lang. Het heeft er soms wel de schijn van dat zij ons bij ons dagelijks werk niet in het minst hindert, maar toch moet ik toegeven dat zij een zeer merkbare invloed heeft gehad op mijn wiskundig leven: zij leidde mijn belangstelling naar die gebieden, die ik nog betrekkelijk “veilig” vond, en zij is een blijvende domper op het enthousiasme waarmee ik mijn onderzoekingen voortzet’. Aldus Weyl
in 1946. Dit klinkt wel enigszins anders dan de triomfantelijke uitspraak van Poincaré op het tweede internationale congres van wiskundigen in 1900: ‘Wij mogen wel zeggen dat absolute strengheid thans bereikt is...’.
* * *
De doorwerking van dergelijke algemene begrippen zoals verzameling, groep, ring, lichaam en nog vele andere heeft het aspect van de wiskunde in de laatste decennia grondig veranderd. Wiskundigen die slechts tien of vijftien jaar geleden zijn afgestudeerd, herkennen in de nieuwe aankleding soms hun eigen vak niet meer. Het is dan ook begrijpelijk dat men in veel landen wil komen tot een herziening en vernieuwing van het wiskundeprogramma van het middelbaar en voorbereidend hoger onderwijs. Een land, waar de herziening al een heel eind gevorderd is, zijn de Verenigde Staten. Hier zijn verschillende instanties die zich met de vernieuwing van het wiskundeprogramma van de high-school bezig houden. Een van de voornaamste hiervan is de ‘School Mathematics Study Group’ (hierna af te korten tot S.M.S.G.). Dit is een commissie, die in het begin van 1958 door de voorzitter van de American Mathematical Society werd benoemd om methoden te zoeken tot verbetering van het wiskunde-onderwijs op de high-school. De federale regering gaf voor dit doel een belangrijke subsidie.
De S.M.S.G. verklaarde dat het wiskunde onderwijs op de high-school inderdaad vele zwakke plaatsen vertoonde. Een hiervan was de bij dit onderwijs bestaande neiging om te veel aandacht te besteden aan louter mechanische bewerkingen met getallen en te weinig aandacht aan de betekenis van de regels, volgens welke deze bewerkingen werden uitgevoerd. De belangstelling diende zich dus anders te richten en naar de mening van de S.M.S.G. zou deze richtingsverandering zich het beste laten uitvoeren met behulp van een aantal van de nieuwe ideeën die in deze eeuw in de wiskunde waren opgetreden.
De S.M.S.G. pakte de zaak energiek aan. Binnen korte tijd waren een honderdtal wiskundigen van de universiteiten en een even groot aantal uit de rangen van het high-school onderwijs bezig met het schrijven van nieuwe leerboeken die in overeenstemming moesten zijn met de inzichten van de commissie. Binnen het jaar kwamen de eerste boeken van de pers en reeds bij het begin van de cursus '59-'60 werden deze door 400 leraren, lesgevend aan 42000 leerlingen in 45 staten, in gebruik genomen.
* * *
Aanvankelijk was er weinig openlijke kritiek en konden de vernieuwers in een idyllische atmosfeer van rust met hun werk doorgaan. Dit veranderde plotseling in oktober 1961, toen de Amerikaanse mathematicus Morris Kline een uiterst scherpe aanval deed op de voorgestelde hervormingen. In een
| |
| |
artikel in The New York University Alumni News, een tijdschrift dus dat ook en vooral door zeer veel niet-wiskundigen gelezen wordt, betoogde Kline dat het nieuwe wiskunde-programma een ernstig gevaar zou betekenen voor de wetenschappelijke ontwikkeling van het land. Met grote letters staat boven het artikel: Math Teaching Reforms Assailed As Peril to U.S. Scientific Progress.
Kline zegt hierin, dat de traditionele wiskunde, zoals die tot nu toe op de high-school onderwezen werd, te weten de algebra, de meetkunde, trigoniometrie, analytische meetkunde en de differentiaal- en integraalrekening, nog altijd de basis van de wiskunde is en de grondslag vormt van de belangrijkste wetenschappelijke ontdekkingen van de moderne tijd. De nieuw-opgekomen ideeën zijn volgens hem allen maar bruikbaar voor de mathematicus die zich interesseert voor de grondslagen van de wiskunde, maar voor de opvoeding van jonge mensen zijn zij volkomen ongeschikt, deze worden er door ontmoedigd en in de war gebracht.
Het enige nieuwe onderwerp dat in zijn ogen genade kan vinden is de statistiek. Overigens acht Kline slechts ondergeschikte wijzigingen van het huidige programma nodig. Als er aan het wiskunde-onderwijs iets hervormd moet worden, dan moet deze hervorming bestaan in het verbeteren van de onderwijsmethoden, in het opvoeren van het peil der docenten en in het leggen van het accent op de toepassingen van de wiskunde in de wetenschap. Mocht het onverhoopt toch zover komen, dat het nieuwe programma wordt ingevoerd, dan ziet Kline een sombere toekomst in het verschiet, zoals moge blijken uit de enigszins dramatische slotalinea van zijn artikel: ‘If the new curricula are extended countrywide, and our students are asked to learn sterile, peripheral, pedantic details in place of the fruitful and rich essence of mathematics, we shall soon be outclassed and all of us will suffer’.
Het artikel (dat 3 à 4 duizend woorden lang is) is verlucht met twee tekeningen van leerlingen, die met wanhopige blikken naar een schoolbord met wiskundige symbolen, resp. naar elkaar zitten te kijken, en met een foto die ons een vriendelijk glimlachende heer Morris Kline toont.
Het artikel van Kline heeft in de Verenigde Staten in brede kring de aandacht getrokken en is aanleiding geweest tot een stroom van publikaties. Dit is des te meer begrijpelijk als men bedenkt dat Kline niet de eerste de beste is. Hij is director of electromagnetic research bij het ‘Institute of mathematical sciences’ van de New York University. Hij heeft zeer vele wetenschappelijke en ook populaire publikaties op zijn naam staan, hij is in de praktijk werkzaam geweest en hij is bezitter van een aantal patenten op het gebied van de radiotechniek. Bij alle toegepast-wiskundigen (ook hier te lande) is zijn naam bekend. Echter wil ik er aan toevoegen, dat hij, zoals een Amerikaans hoogleraar in de wiskunde mij onlangs verzekerde, onder zijn vakgenoten óók bekend is door zijn dikwijls extreme denkbeelden.
Wat is het antwoord van de ‘vernieuwers’ op deze kritiek van Kline? Allereerst merken zij op, dat Kline de onjuiste indruk wekt, als zou het hun bedoeling zijn om de klassieke wiskunde geheel over boord te zetten. Dit is helemaal niet zo. Zij willen de traditionele wiskunde voor zeker 80% behouden. Het voordeel van de nieuw in te voeren begrippen is juist hierin gelegen, dat deze de aard en de structuur van de klassieke wiskunde in een helderder licht stellen en hierdoor beter laten begrijpen, zo zeggen de vernieuwers. Kline schijnt, zo gaan zij verder, op het standpunt te staan, dat de wiskunde er enkel
| |
| |
is voor de toepassingen. Welnu, de geschiedenis van de wiskunde geeft hem geen gelijk. Pas toen de wiskunde er in slaagde om zich van de toepassingen te bevrijden, was zij in staat om een tot dan toe ongekende vlucht te nemen. De geschiedenis leert, dat de ‘trend’ van de wiskunde wijst op een zich steeds meer verheffen naar hogere niveaus van abstractie en dat, hoe paradoxaal dit ook moge klinken, toen de wiskunde zich schijnbaar van de ervaring verwijderde, dit in veel gevallen leidde tot een dieper inzicht in een of ander gebied van de realiteit. Bovendien ziet men herhaaldelijk gebeuren, dat zelfs zeer abstracte wiskundige theorieën toch vroeg of laat hun praktische toepassing vinden. Tot zover de hervormers.
Een lezenswaardig en uitvoerig opstel over de ‘vernieuwing’ verscheen in het voorjaar van 1962 van de hand van een buitenstaander, Benjamin DeMott, docent in de Engelse taal te Amherst. In een artikel in The American Scholar met de veelzeggende titel: The Math Wars maakt hij de balans op van de gevoerde polemiek en spreekt tot beide partijen verzoenende woorden. Bij DeMott wegen de argumenten van de vernieuwers tenslotte wel het zwaarst, al geeft hij toe dat bij de vernieuwers toch wel sterke behoefte gevoeld wordt aan een man, die zich in het publieke debat met Kline kan meten. Hij erkent ook dat de ervaring wel heeft uitgewezen dat de S.M.S.G.-leerboeken hogere eisen aan de leerling stellen dan de tot dusver gebruikte boeken.
DeMott merkt nog op dat Kline onder zijn vakgenoten een vrijwel geïsoleerde positie inneemt. Hij mag dan wel de steun en de sympathie van veel ouders en schooldirecteuren hebben, maar er is geen groep wiskundigen die achter hem staat.
Als om deze bewering te logenstraffen verscheen vrijwel gelijktijdig met het artikel van DeMott in de tijdschriften The American Mathematical Monthly en The Mathematics Teacher een verklaring die door 65 vooraanstaande Amerikaanse wiskundigen ondertekend was. Het merendeel van de ondertekenaars is uit universitaire kringen, enkelen zijn werkzaam in het bedrijfsleven (I.B.M. enz.).
In deze verklaring, waarvan reeds vertalingen verschenen in de Franse en Duitse vakbladen, worden inzichten naar voren gebracht die als twee druppels water lijken op de denkbeelden van Kline, die trouwens een van de ondertekenaars is. Alleen is de toon van deze verklaring meer gematigd. Er wordt in de verklaring toegegeven dat een voorzichtig gebruik van de taal en de begrippen van de moderne algebra meer samenhang en eenheid kan brengen in het wiskunde-onderwijs, mits aan dit invoeren van nieuwe begrippen een grondige concrete voorbereiding voorafgaat. In de verklaring wordt met een zekere waardering gesproken van de ‘genetische methode’: hiermee bedoelen de ondertekenaars een onderwijsmethode die het principe huldigt, dat de beste manier om de verstandelijke ontwikkeling van het individu te leiden is, hem de geestelijke ontwikkeling van het ras in grote lijnen te laten volgen. Dit nu is m.i. een zeer aanvechtbare stelling, die zeker in de wiskunde niet altijd opgaat.
Overigens bevat de verklaring waardevolle, zij het hier en daar vanzelfsprekende opmerkingen. Zeer sterke nadruk wordt gelegd op de waarde van de toepasbaarheid van de wiskunde. Evenals in het artikel van Kline wordt betoogd dat de traditionele vakken van de high-school nog altijd de ruggegraat van de wiskunde vormen en dat het niets minder dan een ramp zou zijn als men een van deze vakken zou laten vervallen. De verklaring zegt tenslotte, dat
| |
| |
de ondertekenaars, zonder in details te willen treden, het met een aantal punten van het voorgestelde nieuwe wiskunde-programma niet eens zijn.
* * *
Op het reeds in het begin van dit artikel genoemde congres te Stockholm werd in de sectie ‘education’ door de Amerikaan Kemeny een interessant rapport uitgebracht betreffende de wensen, die in een groot aantal landen (waaronder ook Nederland) ten aanzien van de vernieuwing van het v.h.m.o.-wiskunde-programma bestaan.
Een en twintig landen zonden hun desiderata in. Hoewel er vanzelfsprekend tussen de wensen van de verschillende landen divergenties optraden, bleek er in grote lijnen een opmerkelijke graad van overeenstemming te bestaan. Een meerderheid van de landen bleek voorstander van de invoering van:
| 1. Enige begrippen van de verzamelingsleer, |
| 2. Een inleiding in de wiskundige logica, |
| 3. Enige onderwerpen uit de moderne algebra, |
| 4. Een inleiding in de waarschijnlijkheidsrekening en de statistiek. |
Hier te lande zijn de wiskundeprogramma's van het v.h.m.o. nog niet in moderne zin herzien. Wel heeft in 1958 een verandering van de eisen voor de middelbare akten wiskunde m.o. plaats gevonden, waarbij vooral de eisen voor het vak algebra sterk zijn gewijzigd. Tevens werden de namen van de akten veranderd in A- en B-akte. Het oude examen KI werd in 1961 voor de 98e en laatste maal afgenomen. Het examen KV is in februari van dit jaar voor het laatst afgenomen.
Hoewel de resultaten van deze vernieuwing zeker niet ongunstig mogen worden genoemd, maakte de examencommissie toch in een van haar verslagen de opmerking dat een goed inzicht in de abstracte mathematische methoden slechts kan worden verkregen door een aandachtige bestudering van concrete situaties. Inderdaad heb ik als examinator bij de m.o. akten herhaaldelijk candidaten ontmoet, die zich op een hoog abstract niveau uitstekend thuis schenen te voelen, maar die het antwoord schuldig bleven wanneer gevraagd werd om de beschouwingen op een bepaald concreet geval toe te passen.
In 1961 is door de Staatssecretaris van onderwijs, kunsten en wetenschappen een commissie ingesteld, die tot taak heeft de modernisering van het wiskundeonderwijs bij het v.h.m.o. in studie te nemen. Het rapport van deze commissie is nog niet verschenen. Wel heeft zij enige maanden geleden een interim-rapport ingediend, waarin zij - als eerste maatregel - voorstelt om cursussen te organiseren, waarin de leraren in de wiskunde de gelegenheid wordt geboden kennis te nemen van de moderne ontwikkeling in de wiskunde. De organisatie van dergelijke cursussen is inmiddels begonnen. De belangstelling van de zijde der leraren schijnt zeer groot te zijn.
Met dit korte en op veel punten onvolledige overzicht hoop ik de lezer enigermate een denkbeeld te hebben gegeven van de heden ten dage in volle gang zijnde ontwikkeling van de wiskunde. Meer dan ooit geldt ook voor haar de spreuk van Heraclitus: ‘Panta rhei!’.
|
|
Auteursrechtelijk beschermd