Streven. Jaargang 12

[p. 1044]

Wetenschappelijke kroniek
De invloed van wetenschap en techniek op de wiskunde
Prof. Dr. H. Florin

SOMMIGEN zijn geneigd te denken, dat de wiskunde een weinig buiten de algemene cultuursfeer staat. Immers, zelfs onder de positieve wetenschappen neemt de wiskunde een bijzondere plaats in. Zij steunt wel op de ervaring, maar zij streeft er niet naar, de werkelijkheid zo nauwkeurig mogelijk te beschrijven. In feite wordt in de wiskunde geïdealiseerd: men spreekt er van rechte en van evenwijdige lijnen, terwijl men heel goed weet dat in de natuur geen werkelijk rechte lijnen en nog minder volkomen evenwijdige lijnen bestaan (zelfs niet voor lichtstralen: relativiteitstheorie; optische dichtheidsverschillen!). De wiskunde voelt zich allerminst beperkt door de ervaring: het feit, dat wij constateren in een driedimensionale wereld te leven, belet geenszins theorieën op te bouwen over een meer-, zelfs over een oneindigdimensionale wereld.

Zo verwijdert de wiskundige zich vaak in zijn theorieën van de waarneming, altijd weer zijn begrippen algemeen makend, slechts ingetoomd door de wetten van de logica. En zelfs die logica wordt aan allerlei generalisaties onderworpen.

Geen wonder dus, dat sommigen de wiskunde (en de wiskundige) een zekere levensvreemdheid willen toeschrijven. Maar het moet hen tot nadenken stemmen, dat die gewaagde gedachtenconstructies achteraf zeer vaak geschikt blijken als instrumenten voor de ervaringswetenschappen. Zo blijkt b.v. de vierde dimensie uiterst geschikt, om in de natuurkunde de tijd voor te stellen. De niet-Euklidische meetkunde schijnt aangepast aan de behoeften der astronomie. Met de natuurkunde van atoom en kern is het zo ver gekomen, dat men er elke aanschouwelijke voorstelling heeft moeten laten varen en nog slechts in zeer abstracte wiskundige taal de waargenomen verschijnselen zoekt te verklaren. Er is dus wel degelijk een invloed van de wiskunde op de wetenschap. Beter dan ooit beseft men dit in een tijd, waarin achtereenvolgens natuurkunde, scheikunde, landbouwkunde, biologie, economie, psychologie en krijgskunde op de wiskunde een beroep deden, en waarin de techniek, in zo hoge mate steunend op de wiskunde, triomf op triomf behaalt in elektriciteit, radio, televisie, vliegwezen. En ook andersom ondergaat de wiskunde de invloed van wetenschap en techniek, die haar telkens andere en nieuwe problemen opleggen en zo voeren tot nieuwe takken. Het is altijd zo geweest: ontstond de meetkunde niet uit behoeften zoals die der Egyptenaren aan nauwkeurig landmeten bij hun irrigatiewerken?

Maar die wisselwerking gaat nog veel verder: de wiskunde draagt ook het stempel van het volk, dat haar beoefent. Veel is hierover te zeggen, doch volstaan wij met het verschil tussen de wiskundebeoefening bij de Grieken en in onze cultuur. Terwijl de Grieken, met uitzondering van een figuur als Archimedes, weinig neiging vertoonden tot spectaculaire toepassingen, vindt men in onze streken een bijzondere geschiktheid tot het zich technisch ten nutte maken van de verworven kennis. Denken wij in dit verband slechts aan de uitvinding van het buskruit, dat bij de Chinezen slechts diende voor het maken van vuurwerk. Reeds de eersten, die de oude schatten aan wiskundige kennis in de Renaissance tot nieuw leven brachten, waren op doelmatige toepassingen uit, niet het minst onze

[p. 1045]

Stevin met zijn uitvinding van de tiendelige breuken, met mechanische toepassingen o.a. ter verbetering van molens.

Het is moeilijker de invloed van de eigen tijd te beoordelen. Zeker ziet men grote veranderingen in de wiskunde optreden, zodat men zelfs van een revolutie hoort spreken. Men vergete echter niet, dat het gewaagd is, terwijl de veranderingen in volle ontwikkeling zijn, reeds nu algemene lijnen aan te wijzen, waarlangs die nieuwe paden zich zullen begeven. Men kan dit niet beter formuleren dan P. Teilhard de Chardin het deed: ‘Lorsque, en tous domaines, une chose vraiment neuve commence à poindre autour de nous, nous ne la distinguons pas, - pour la bonne raison qu'il nous faudrait voir dans l'avenir son épanouissement pour la remarquer à ses débuts’¹⁾. We kunnen niet méér doen dan aanwijzen wat reeds tot stand kwam, en wat zich op het ogenblik aankondigt als veelbelovend.

Een zeer opvallende invloed van de techniek op de wiskunde kwam voort uit de invoering van de elektronische rekenmachines²⁾.

Het zijn vooral de grote digitale elektronische machines, de ordinatoren, die voor de wiskunde van belang zijn. Zij vereisen discontinue bewerkingen, geheel in strijd met de gedachtengang, waaraan de wiskundigen zich sinds Leibniz in de XVIIe eeuw hadden gewend in de differentiaalrekening. De problemen moeten worden aangepast; maar ook vele vragen, die men vroeger moest laten rusten, omdat zij numerieke berekeningen van mensenlevens lang eisten komen nu juist in het brandpunt der belangstelling te staan. Tabellen als logaritmentafels en sinustafels zijn overbodig: het is efficiënter voor de machine, deze grootheden zelf te berekenen, dan die tabellen in haar geheugen op te stapelen.

Al zijn deze verschillen met de oude wiskunde uiterst ingrijpend en openen zij onvermoede mogelijkheden, het gaat hier slechts om technische perfectie van hulpmiddelen; geheel anders staat het met de veranderingen, die ons worden opgelegd door de aard der vraagstukken, die andere wetenschappen ons opleggen.

Wij noemden reeds de verscheidenheid van wetenschappen, die alle aan de wiskunde leiding en steun vragen. Bij de meeste is één gemeenschappelijk element aan te wijzen: zij alle bestuderen massaverschijnselen, verschijnselen, die individueel verschillen, maar toch in hun geheel enige wetmatigheid vertonen. Zo b.v. in de natuurkunde van een gas: iedere molecule heeft een bepaalde snelheid, alle verschillend, maar het geheel vertoont toch een bepaalde druk; in de verzekeringswetenschappen: het stervensuur van ieder mens is verschillend, maar toch kan men wetmatigheden vaststellen, die het optreden der verzekeringsmaatschappijen mogelijk maken. In één woord, men zoekt wiskundige behandeling van statistische problemen. Men komt er in deze gebieden niet met het oude, scherpomschreven getalbegrip. Men kan b.v. in de geneeskunde niet de beste dosis van een geneesmiddel scherp omschrijven. De dosis, die voor de een te zwak is om genezing te brengen, kan voor de ander dodelijk zijn, en zo is het met de meeste toepassingen in het dagelijkse leven: men heeft te maken met zoveel factoren, die de onderzochte verschijnselen bepalen, dat men slechts de methoden der statistiek gebruiken kan. Merkwaardig is, dat diezelfde verschijnselen niet beperkt bleven tot landbouw, biologie, economie, kortom tot alle

1) P. Teilhard de Chardin, Le phénomène humain, p. 129.

2) Wij verwijzen naar de uitvoerige beschrijving die Ir. W. De Backer bracht in zijn artikel: Elektronische Rekenmachines, Streven, maart 1959, pp. 549-555.

[p. 1046]

onderzoekingen, die de zo complexe levensverschijnselen betreffen, maar ook in een gebied optraden, waar men ze a priori allerminst verwachtte: in het onderzoek der kleinste deeltjes in de levende natuur. Ook daar kwam men er niet met de oude beproefde methoden, die de fysici graag ‘causaal’ noemen, slechts de methoden der statistiek hebben daar op het ogenblik succes.

Zo kwam de waarschijnlijkheidstheorie tot geheel nieuwe bloei, onder de naam van statistiek. Het wonderlijke feit doet zich voor, dat men, uitgaande van de hypothese van het toeval, dus van het verwerpen der wetmatigheid, tot wetten komt.

De oudste impulsen voor de waarschijnlijkheidsleer komen in de 17e en 18e eeuw van het kansspel, maar ook de levensverzekeringen spoorden aan tot studie; toen kwam de toepassing van de statistiek in de kinetische gastheorie met Maxwell, Boltmann, van levensverschijnselen en massaverschijnselen in het algemeen door Galton, Pearson, Fisher en zovele anderen, met zeer belangrijke gevolgen voor de mensen, b.v. voor de landbouw, voor de veredeling der gewassen, voor teeltkeus, voor kennis van de bodem.

Dit alles groeide tot een zeer verfijnde tak van de wiskunde, die zich nog dagelijks uitbreidt. Wiskundige theorieën grijpen verder en verder in op alle gebieden van de menselijke activiteiten: de speltheorieën werden door het werk van Morgenstern en von Neumann theorieën, die bestemd zijn om aan te geven, hoe landen en bedrijven moeten worden geleid; de lineaire programmering en de decisietheorie van Wald sluiten hierbij aan.

Het erkennen van ons onvermogen, vele grootheden exact te meten, gaf aanleiding tot vele nieuwe wiskundige theorieën. We noemen de betrouwbaarheidsintervallen van Pearson en Neyman. Niet langer tracht men een bepaald getal aan te geven als waarschijnlijke waarde van de gezochte grootheid, b.v. om concreet te zijn, de opbrengst per hectare van een bepaald soort graan, maar men geeft, op grond van proeven, een zeker interval aan, waarbinnen die opbrengst waarschijnlijk zal liggen, met berekening van de kans, dat men hierbij fouten maakt.

Verder de decisietheorie van Wald, een wiskundige theorie, om na te gaan, welk besluit men telkens moet nemen, om b.v. in een spel zo weinig mogelijk verlies te lijden. Ook hier blijkt men in de meeste gevallen de waarschijnlijkheidsleer te hulp te moeten roepen, omdat er niet één enkele, welomschreven mogelijkheid beschouwd moet worden, maar vele concurrerende. Dit alles lijkt onbelangrijk, maar het wordt reeds toegepast niet voor ongevaarlijke spelen, maar met strategische doeleinden, bij de leiding van grote ondernemingen, en dergelijke.

Deze decisietheorie willen we trachten toe te lichten aan een zeer eenvoudig voorbeeld. Denken wij, dat men wil bepalen, welke dosis van een nieuw geneesmiddel men een bepaald soort proefdieren moet inspuiten. Van verschillende doseringen schat men a priori zoveel mogelijk het nut, en kent, op grond hiervan elke dezer doseringen een bepaalde waarschijnlijkheid toe. De zo gevormde waarschijnlijkheidsfunctie noemt men een gerandomiseerde decisiefunctie. Met behulp van deze decisiefunctie bepaalt men de verschillende doseringen, die men een eerste reeks proefdieren zal inspuiten. De uitkomsten van deze eerste proeven geven ons al wat meer informatie, die we gebruiken voor een tweede decisiefunctie, die ons zal leiden bij een tweede reeks proeven, enz., tot men tot de slotconclusie komt.

[p. 1047]

De waarschijnlijkheidsleer tracht zo allerlei problemen te beheersen, niet het minst economische en strategische. Het gaat niet alleen om die decisietheorie. Men heeft de gehele groep zgn. operational research, b.v. de lineaire programmatie, die wiskundige methoden gebruikt om allerlei zeer samengestelde economische processen, zoals produktieprocessen, aantal tewerk te stellen arbeiders in allerlei functies, aantal te gebruiken machines, hoeveelheid te kopen grondstoffen, te berekenen prijzen, zo voordelig mogelijk tegen elkaar af te wegen.

Het is ondoenlijk hier op bijzonderheden in te gaan, we moeten ons beperken tot het zoeken van de grote lijn. Die grote lijn is hier wel: de aanvaarding van een zekere ongewisheid, die men tracht met adequate wiskundige hulpmiddelen te beschrijven, en tot zekere hoogte meester te worden.

We hebben twee grote richtingen willen aangeven: de invloed van de elektronische ordinatoren en het doordringen van de statistische methoden. Uitgeput is het onderwerp hiermee nog niet.

Een ander onderwerp, dat zeer duidelijk de wisselwerking tussen wiskunde en andere wetenschappen in volle ontwikkeling doet zien is de informatietheorie. Nemen we een voorbeeld. Laat men u vertellen, dat in een van de 16 genummerde kamers van een huis een schat is. Men wil, dat u een aantal vragen stelt, die alleen met ‘ja’ of ‘neen’ beantwoord mogen worden, om te bepalen, in welke kamer de schat verborgen is. Hoeveel vragen hebt u nodig?

Het antwoord is: Eerste vraag: Ligt de schat in één der kamers 1-8? Zeg b.v. het antwoord is: Ja. Tweede vraag: In de kamers van 1-4? Zeg b.v. het antwoord is: Neen. Dan ligt de schat in een der kamers 5-8 en de derde vraag luidt: In de kamers 5-6? Is nu het antwoord: Ja, dan geeft de vierde vraag: In kamer 5? het beslissende antwoord. Men heeft dus vier vragen moeten stellen, en men zegt, dat een informatie van 4 bits nodig was, om het probleem op te lossen. Men noemt dit ‘bits’ van ‘binair units’: inderdaad waren bij elke vraag slechts twee mogelijkheden: ja of neen, en daarom is hier het binaire stelsel aangewezen, dat men besproken vindt in het genoemde artikel van Ir. De Backer. Er waren hier 16 mogelijkheden, bij het beantwoorden van een vraag blijft telkens maar de helft der mogelijkheden over. Omdat 16 = 2⁴, waren er hier 4 vragen nodig. Wiskundig geformuleerd betekent dit, dat bij N mogelijkheden een informatie van ²log N bits nodig is.

Hoe minder orde er in een systeem is, hoe groter het aantal mogelijkheden, dus hoe meer bits er aan informatie nodig zullen zijn, om er iets van te weten te komen. Dat kunnen we aan het volgende voorbeeld duidelijk maken: Nemen we een kaartspel van 32 kaarten, dus bevattende 7, 8, 9, 10, boer, vrouw, heer en aas der vier kleuren. Gevraagd wordt de plaats van b.v. ruiten 10. Hiertoe moet men, als de kaarten ongeordend zijn, 5 bits informatie hebben, immers 32 = 2⁵. Zijn de kaarten geordend, dan is het voldoende, de volgorde van de kleuren te weten, om precies de plaats van ruiten 10 te kunnen aanwijzen. Inderdaad kan men nu volstaan met als eerste vraag: Zijn de ruiten bij de eerste twee kleuren? Is het antwoord: Neen, dan stelt men als tweede vraag: Is het de derde kleur? en het antwoord op deze vraag is voldoende, om het vraagstuk op te lossen. We kunnen dus nu volstaan met twee bits. We kunnen dit ook zo formuleren, dat de ordening reeds 5 - 2 = 3 bits informatie bevatte.

Dit alles wordt gebruikt in zeer belangrijke toepassingen: de communicatietheorie voor b.v. telefoon, radar en dergelijke. Het zgn. geruis is daar de chaotische toestand, die geen informatie bevat. Hoe meer geordend de ontvangen tril-

[p. 1048]

ling is, hoe meer men er van weet, hoe meer informatie die trilling dus bevat. Hetzelfde treedt op in de cybernetica (N. Wiener), waar geordende systemen worden beschouwd zoals machines of levende organismen. De zintuigen zijn zeer bijzondere bronnen van informatie, maar evenzeer de geheugens van de rekenmachines. In de cybernetica of ‘stuurkunde’ wordt onderzocht, hoe die informaties gebruikt worden om b.v. het leven van het organisme in stand te houden, om de beweging van een machine op de gewenste snelheid te houden (b.v. de regulateur van Watt), kortom om zich te verzetten tegen de chaotische toestand, waarnaar de dode natuur streeft.

Hier ligt nog een zeer wijd veld open, waarvan de ontginning nauwelijks begonnen is. Tot nu toe blijken in dit gebied Fourierreeksen en Fourierintegralen de aangepaste werktuigen, weer een schoon voorbeeld van de wisselwerking tussen wiskunde en andere wetenschappen. De wiskunde was als het ware juist op tijd klaar, om deze Fouriertheorieën te kunnen gebruiken, de informatietheorie anderzijds werpt weer wiskundige problemen op. Men verwacht veel van al deze theorieën; het geweldige rekenwerk, dat zij vragen, zou onmogelijk zijn zonder de ordinatoren.

Nog veel andere gebieden zijn ontwikkeld tot andere machtige wiskundige theorieën, waarin de waarschijnlijkheid een hoofdrol speelt, b.v. de correlatierekening.

Dezelfde strekking treft men ook aan in de natuurkunde, waar men principieel afziet van een nauwkeurige bepaling van plaats en moment, van tijd en energie krachtens de relatie van Heisenberg. De essentiële rol, die het begrip waarschijnlijkheid speelt in de golfmechanica, doet zien, welke lange weg men heeft afgelegd, sinds men in de klassieke mechanica sprak van vaststaande getallen voor plaats, snelheid, enz.

Om, in geval van statistische grootheden, conclusies te kunnen trekken, is er slechts één weg: zeer vele proeven doen. De machines stellen ons in staat, het geweldige rekenwerk te doen, dat daaraan verbonden is, b.v. bij de analyse van de varians, bij de correlatierekening, enz.

Meer nog kunnen de machines voor ons doen: zij kunnen ons een beeld geven van de processen, die zich in de natuur afspelen, door zulk een proces na te bootsen. Inderdaad is daarvoor vaak slechts nodig, over volkomen toevallig gekozen getallen te beschikken: zo kan men vele toevallige gebeurtenissen bestuderen. Welnu, men heeft vele methoden bedacht, waardoor men met die machines willekeurige getallen, zgn. random numbers, kan verkrijgen. Natuurlijk zijn ze volgens welbepaalde wetten gekozen, maar men is er in geslaagd, hiervoor stelsels te vinden, die alle criteria (of bijna alle!), die we aan het toeval stellen, voldoende benaderen.

We komen zo aan een geheel nieuwe tak van wiskundig onderzoek: de Monte-Carlomethode.

We hebben tegenover elkaar geplaatst het exacte getal en de exacte bewerkingen enerzijds, en anderzijds de statistische grootheden en werkwijzen. De Monte-Carlo kan men tot zeker hoogte beschouwen als een synthese van de twee. Deze methode moet degenen, die afwijzend staan tegenover de statistische methoden wel het meest verbijsteren: zij roept het toeval tehulp, zelfs om exacte berekeningen uit te voeren. ‘Exact’ is veel gezegd, wij bedoelen, met een zo grote nauwkeurigheid, dat de kans op een fout niet groter is, dan een door ons te kiezen zeer kleine grootheid.

[p. 1049]

De naam ‘Monte Carlo’ stamt uit de oorlogsjaren. Het was de codenaam voor een zeker soort berekening, die voor de strategie van belang was.

Laten we ook deze methode aan een zeer eenvoudig voorbeeld toelichten. Stel men wil het oppervlak kennen van een vlakke figuur, desnoods met een willekeurig ingewikkelde rand. Men kiest nu volledig willekeurig punten in een rechthoek, die de figuur omvat en een bekend oppervlak heeft, n.l. lengte maal breedte van die rechthoek.

Die punten kan men zeer gemakkelijk met de machine laten aanwijzen, die, zoals we zagen, random numbers kan kiezen, welke de absissen en ordinaten zullen zijn van die (bijna) volkomen chaotisch over de rechthoek gestrooide punten. Van ieder dier punten onderzoekt men, of ze binnen of buiten de figuur terechtkomen, en door het aantal proeven voldoende lang voort te zetten, kan men met grote nauwkeurigheid, dus met geringe kans op fouten het oppervlak van de gezochte figuur vinden. Zo kunnen dus moeilijke integralen berekend worden. Natuurlijk laat de methode zich op allerlei wijzen gebruiken. Men kan er b.v. π mee bepalen, door bovenstaande werkwijze op een cirkel met straal 1 toe te passen.

Een der bekendste moeilijke problemen, die met de Monte-Carlomethode is opgelost, is de bepaling van de straal, die een bol van splitsbaar materiaal (voor atoomsplitsingen) moet hebben om de kettingreactie te onderhouden.

Wij hebben een keus moeten doen onder al het nieuwe, dat bestaat. Veel hebben we moeten verzwijgen. Met de enkele punten, die we genoemd hebben, hebben we een overzicht willen geven van enige der grote bewegingen, die zich op het ogenblik in deze gebieden van de wiskunde voordoen. Die taak was moeilijk, omdat al die disciplinen een geweldige denkarbeid omvatten, en elke korte karakterisering maar al te veel kans loopt, tot een karikatuur te worden.

Kunnen we tot conclusies komen? Mogen we zeggen, dat het zich wenden tot het ongewisse in de wiskunde een weerspiegeling is van onze tijdgeest, waarin men zoveel zoeken en tasten ontwaart? Ik wil hierop het antwoord schuldig blijven.

Laten we vast stellen, dat we trots mogen zijn op de ontwikkeling der wiskunde. Zij steunt meer en meer de zoekers, die trachten, wat meer van de schepping te begrijpen. Zij geeft hun machtige tovermiddelen, waarmee veel goeds en veel slechts bereikt kan worden. Geve God, dat zij ze tot heil der mensen zullen aanwenden.

Een volledige opsomming der geraadpleegde bronnen zou te uitvoerig worden; wij willen volstaan met het noemen van geraadpleegde werken, welke de lezer, die zich over een der behandelde werken verder wil oriënteren, dienst kunnen bewijzen:
Vulgariserend: S.T. Bok, Cybernetica, Spectrum, 1958 (met uitvoerige bibliografie). E. Colerus, Van Pythagoras tot Hilbert (vert. A.L. Don), De Techniek, Antwerpen, z.j. E.C. Schrödinger, Science, Theory and Man, Dover, 1957.
Diepergaand: J. von Neumann & O. Morgenstern, Theory of Games and Economie Behaviour, Princeton, 1948. N. Wiener, Cybernetica, 2e druk, Hermann, Paris, 1958. A. Van de Velde, J. De Smedt, H. Florin, J.A. Van Houtte, Simon Stevin, 1548-1948, in Meded. Kon. Vlaamse Acad, van Wet., Lett. en Sch. Kunsten, 1948.