Streven. Jaargang 7

[p. 266]

Forum

Wiskunde in wijsgerige belichting¹⁾

Er zijn boeken, waarvan de titel meer belooft dan de inhoud geeft; er zijn er ook, waarbij het omgekeerde het geval is. Bij de Amsterdamse dissertatie van Pater Berghuys is, dunkt me, het laatste het geval. In feite beperkt de schrijver zich immers niet tot een bespreking van de grondslagen van de aanschouwelijke meetkunde, zijn betoog heeft voor een groot deel betrekking op de wiskunde als zodanig. Zo is dit boek een wijsgerige studie over de wiskunde geworden, waarbij het zwaartepunt overigens op de meetkunde valt.

Als uitgangsprobleem voor het wijsgerig nadenken over de wiskunde dient voor de schrijver de bekende tegenstelling tussen de wetenschappelijke en de vulgaire opvatting over de betekenis van meetkundige figuren. Behoren deze figuren tot het eigen object der meetkunde of niet? De niet-wiskundige zal, afgaande op wat hij aan meetkunde-onderricht genoot, geneigd zijn de vraag bevestigend te beantwoorden, de wiskundige echter ontkennend; doch - en hier rijst het probleem - de natuurlijke opvatting van de wiskundige in de actuele beoefening van de wiskunde schijnt zich van deze ontkenning niet veel aan te trekken. Gezien dit uitgangsprobleem wordt ook de titel van het boek begrijpelijk: Grondslagen van de Aanschouwelijke Meetkunde. Het gaat om de bepaling van de functie van het aanschouwelijke in de wiskunde en in de meetkunde in het bijzonder.

De gang van het onderzoek is daarmee uitgestippeld. In een eerste deel schetst de schrijver de historische ontwikkeling der wiskunde, daarbij telkens in het bijzonder de functie, die de aanschouwelijkheid in de elkaar opvolgende perioden toegedacht werd, in het oog vattend. Uit de historische ontwikkeling wordt de stelling, die de betekenis der aanschouwelijkheid tot een minimum reduceert, begrijpelijk gemaakt.

In een tweede deel wordt de aanschouwelijkheid der wiskunde thematisch onderzocht, zowel voor de reken- als de meetkunde. De conclusie uit dit deel luidt, dat empirie en pure mathesis de polen zijn waartussen het wiskundig denken zich altijd beweegt. Zij worden dus teruggevonden zowel in de rekenkunde als in de meetkunde, die de schrijver beiden ziet als idealisaties, die een tegenovergestelde richting hebben ingeslagen. De empirische werkelijkheid is continu én discontinu, de idealiserende meetkundige of rekenkundige beschouwing verabsoluteert een dier aspecten, zonder echter de andere geheel te kunnen wegdrukken. In de rekenkunde blijven dus altijd meetkundige elementen, in de meetkunde rekenkundige. Het nooit volkomen zijn van de idealisatie hangt samen met het nooit volledig zijn van de loslating van het empirische.

In het derde deel worden dan meer in het bijzonder de grondslagen van de meetkunde onderzocht. Uitvoerige aandacht besteedt de schrijver daarbij o.a. aan de bekende opvattingen van Hoenen²⁾, waarin hij veel kan waarderen zonder ze echter geheel tot de zijne te willen maken.

Vervolgens worden de verschillende axioma's der meetkunde besproken, waarbij merkwaardigerwijze het axioma der evenwijdige lijnen, uitgangspunt voor de niet-Euclidische meetkunden pas vrij laat ter sprake komt, welk feit door de schrijver overigens verantwoord wordt.

Uit het voorafgaande overzicht blijkt voldoende hoe belangrijk de stof is, die de schrijver in zijn studie bestrijkt. De behandeling is in het algemeen van die aard, dat niet-wiskundig geschoolden het betoog althans in hoofdlijnen gemakkelijk zullen kunnen volgen en wij hopen van harte dat vele van hen het zullen bestuderen. Met name wijsgeren worde het bijzonder ter bestudering aanbevolen.

Ik acht het een beslist voordeel, dat de

1) Dr J.J.W. Berghuys, S.J., Grondslagen van de Aanschouwelijke Meetkunde. - P. Noordhoff, Groningen-Djakarta, 1952, 231 pp., f 9.50 en f 11.

2) Thans ook in boekvorm verschenen onder de titel: De Noetica Geometriae origine Theoriae Cognitionis, Rome, 1954.

[p. 267]

schrijver de wijsgerige probleemstelling vanzelf te voorschijn laat komen uit het nadenken over de wiskunde in zijn vele vormen. Een directe confrontatie tussen het scholastieke denken en de feitelijke wijze waarop de wiskunde beoefend en daarover gefilosofeerd wordt, zal men niet vinden, al is die confrontatie op de achtergrond natuurlijk wel aanwezig. Uiteraard heeft deze methode ook zijn bezwaren. Zo mist men op het einde toch wel een doordenken van de Aristotelische abstractie-leer in het licht van de wiskundige begripsvorming en de daarbij optredende binding aan het empirische, juist omdat deze abstractie-leer in genuanceerde vorm schrijvers denken sterk blijkt te beheersen. Ik zou dit bezwaar niet naar voren gebracht hebben, wanneer de schrijver zelf niet vele malen bepaalde gedachten van neo-scholastieke auteurs aanhaalt, waarbij men zich wel eens afvraagt of zulks terecht geschiedt. Op blz. 83 e.v. gebruikt de schrijver b.v. de term ‘impliciete intuïtie’ om aan te geven ‘dat de wiskundige entiteiten niet zonder meer uitdrukkelijk object van ons kenvermogen zijn, maar slechts begrepen kunnen worden doordat wij zien naar empirische objecten, die zelf de wiskundige eigenschappen niet bezitten’. Het gebruik van de term ‘impliciete intuïtie’ wordt dan in uitdrukkelijk verband gebracht met het gebruik van deze zelfde term ten aanzien van de zijnsintuïtie. Het grote verschil tussen beide ‘impliciete intuïties’ lijkt me echter, dat de mens wel ‘het vermogen heeft om de aanvankelijk impliciet gekende mathematische entiteit te expliciteren en tot uitdrukkelijk object van zijn kennis te maken’ zoals de schrijver terecht opmerkt (blz. 108), terwijl het in het geval van een zijnsintuïtie altijd gaat om iets dat principieel impliciet blijft, ook in een expliciete metaphysica. Het trekken van een parallel is hier dus niet zonder nadere bezinning geoorloofd. Weliswaar blijft er ook bij het wiskundige altijd iets impliciet, ‘iedere ontvouwing uit de empirie is tegelijk een nieuwe inwikkeling in de empirie’ (blz. 109) d.w.z. ieder wiskundig tekensysteem heeft weliswaar de bedoeling het zuiver wiskundige expliciet naar voren te halen, maar aangezien een teken altijd empirisch is, blijft er toch ook altijd weer iets impliciets. Het is alles waar, dunkt me, maar het essentieel verschil blijft bestaan dat het wiskundige teken toch iets adequaats kan hebben, dat het metaphysische woord nooit heeft.

Doch we mogen dit bezwaar niet te zwaar laten tellen. Het zij hier dan ook meer vermeld als stimulans voor de wijsgerig geschoolde lezer om de stellingen van de schrijver in deze richting door te denken. Hij zal aanknopingspunten genoeg vinden en zijn visie op de Aristotelische abstractie-leer zal aan diepte en relief winnen. Immers deze abstractieleer is in zijn Platoonse en Aristotelische oorsprong niet te begrijpen zonder de kijk, die beide denkers op de wiskunde van hun dagen hadden. Met de verdieping van onze visie op de wiskunde, moet dus ook een verdieping van de abstractie-leer gepaard gaan. Dat behoeft niet noodzakelijk verandering ten gevolge te hebben, maar toch wel een uitzuivering van veel bijkomstigs. Philosophia perennis en philosophie ouverte sluiten elkaar geenszins uit. Moge Dr Berghuys nog eens tijd en gelegenheid vinden de confrontatie van het moderne wiskundig denken met de Aristotelische abstractieleer in den brede uit te werken. Ik ben er van overtuigd dat een dergelijke confrontatie én de wijsbegeerte én het wiskundig grondslagenonderzoek dient.

A.G.M. v. Melsen

Het Voorspel van Duinkerken

Onlangs verscheen, onder de titel Triump and Tragedy, het zesde en laatste boekdeel dat Sir Winston Churchill aan de geschiedenis van de tweede Wereldoorlog wijdde. Het Churchilliaanse epos, waarvan we de waarde geenszins willen ontkennen, kan het echter niet halen, wat objectiviteit en accuratesse betreft, bij de weldoordachte studie die Majoor L.F. Ellis uit honderdtallen documenten en oorkonden heeft verwerkt tot een uiterst lezenswaardig geheel¹⁾. Ellis' pas verschenen boek van 425 grote bladzijden, met 38 kaarten, is de officiële Britse ge-

1) Major L.F. Ellis, The War in France and Flanders 1939-1940, in History of the second World War - United Kingdom Military Series. - London, H.M.S.O., 1954, 425 pp.

[p. 268]

schiedenis van de oorlog 1939-1940 in Frankrijk en in Vlaanderen. Ook voor de Belgische lezer brengt dit onbevooroordeelde werk belangwekkende bijzonderheden.

Vooreerst ontzenuwt de auteur ten volle de legende van de overgave ‘en rase campagne’. Zowel de Fransen als de Britten wisten dagen te voren dat de capitulatie onvermijdelijk was.

Verder toont hij aan hoe het ‘mirakel van Duinkerken’ te danken is aan de halsstarrigheid en de methodische planning van Lord Gort, de Britse Opperbevelhebber, en aan de taaie strijdvaardigheid van de Britse soldaat. Ze werden bijgestaan door enkele duizenden even verbeten Fransen. Dat de Duitse tankformaties enkele dagen voor de inscheping niet verder oprukten, was niet ten gevolge van een bevel der legerleiding of van Hitler zelf ‘om de Britten te laten ontkomen’: het oponthoud werd de Duitsers opgedrongen eerst door een dreigend tegenoffensief en later, toen dit tegenoffensief uitbleef, door de Duitse militaire voorschriften die de inzet van grote tankformaties in dicht bewoonde streken en meer nog in steden ten stelligste ontraadden.

Tenslotte wordt een helder licht geworpen op de inzet van de Britse strijdkrachten op het vasteland. Onder de vorm van ‘uitwisseling van informaties’ - werkelijke stafbesprekingen werden vermeden, daar deze op een formele militaire alliantie zouden wijzen! - was Frankrijk, reeds in 1938, ervan op de hoogte gebracht dat het Britse expeditie-leger slechts uit twee landdivisies zou bestaan, daar Groot-Brittannië zich op vloot- en luchtmacht wilde toeleggen. In Maart 1939 kregen de Fransen wel de verzekering dat nog twee andere divisies zouden worden gestuurd .... maar dat deze operatie pas na elf maanden kon plaats hebben. Twee gepantserde divisies, tenslotte zouden in Frankrijk aankomen in September 1940!

Wie deze gegevens onder ogen krijgt, begrijpt zonder moeite dat Majoor Ellis over de Belgische neutraliteit het volgende kan getuigen: ‘Deze politiek was uiteindelijk in ons voordeel: ofschoon het gebrek aan gemeenschappelijk overleg de doeltreffendheid verminderde, toch kregen wij (de Britten) de tijd om onze eigen legerkrachten uit te breiden en onze plannen uit te werken, zolang Hitler de Belgische neutraliteit eerbiedigde’.

Bijna gelijktijdig met het werk van Majoor Ellis, kwam een boek van Majoor-Generaal Sir Edward Spears van de pers²⁾. Sir Edward Spears was Lagerhuislid en later persoonlijk afgevaardigde van Sir Winston Churchill bij Paul Reynaud. In deze dubbele hoedanigheid neemt hij ons mee achter de schermen van het Europees toneel tijdens een periode die loopt van 1 Augustus 1939 tot en met 31 Mei 1940. Zijn Prelude to Dunkirk is een ‘chronique scandaleuse’ van de toenmalige politieke wereld. De Belgen en vooral Z.M. Koning Leopold moeten het ontgelden. Wat de auteur echter zegt over de regering Chamberlain en over de toestand in Frankrijk is nog ontstellender. Paul Reynaud is nagenoeg de enige Fransman die genade vindt in zijn ogen. En zelfs over deze staatsman merkt hij op dat hij pas op 12 Maart 1940 Eerste Minister werd omdat Madame de Portes ‘gewed had op Paul Reynaud in de hoop dat hij Daladier zou verdringen, om aldus de Marquise de Crussel, die Daladier steunde, te vernederen’. Zo was het, altijd volgens Spears, eveneens Madame de Portes, die Léger, de Secretaris Generaal van de Quai d'Orsay, door Charles-Roux deed vervangen, die Paul Baudouin in de regering bracht en die Gaston Palewski, sinds jaren vertrouwensman van Paul Reynaud, deed ontslaan. Al die invloed en die moeite werd aangewend om tot een regering te komen ‘waarvan de onbekwaamheid, op enkele persoonlijkheden na, ongeëvenaard was’.

Het hemelsbrede verschil tussen deze twee recente Engelse werken springt in het oog. Het eerste is ernstig doch niet pedant: het tweede een tikkeltje pedant

2) Major-General Sir Edward Spears, Assignment to Catastrophe - Vol I. Prelude to Dunkirk. - London, Heinemann, 1954, 319 pp.

[p. 269]

doch eigenlijk niet ernstig. In feite behandelen ze twee aspecten van eenzelfde tijdsgebeuren. Wie het tweede aandachtig bestudeert, begrijpt beter het eerste. Meteen realiseert men zich waarom zovelen de eigen vergissingen, zwakheden en tekortkomingen trachten te bedelven onder een stortvloed van onwaarheden en scheldwoorden aan het adres van anderen. Tot slot zijn drie gegevens uit het boek van Majoor-Generaal Spears onze volle aandacht waard. In Februari 1940 bleek duidelijk hoe alle Franse politici - wellicht onbewust - voorstanders waren van militaire operaties buiten en zo mogelijk zelfs verre van het Franse grondgebied: ‘deze reden heeft de Franse generale staf ertoe bewogen plannen te ontwerpen om de oorlog op Belgisch grondgebied te doen uitvechten’. Reeds op 23 Mei dacht Weygand aan overgave en sprak hij er over. En reeds op 27 Mei, te 19,30 u., wisten Reynaud, Pétain, Weygand e.a. te Parijs, dat Z.M. Koning Leopold een gevolmachtigde naar het Duitse hoofdkwartier had gezonden. Verschillende dagen tevoren was reeds in Parijs de ineenstorting van de Belgische weerstand voorzien.

Hugo A.J. Van de Perre

Over St. Paulus' jeugdjaren

Van hoeveel belang het is, een nauwkeurige vertaling te leveren van de bijbeltekst, en hoe het stipte verstaan daarvan de eerste grondslag vormt voor exegese, valt weer eens bijzonder in de aandacht door een heel recent geschrift.

Voor iedereen is het duidelijk geworden, dat in de laatste kwarteeuw de Apostel Paulus een heel aparte belangstelling geniet. Die hij ontegenzeglijk ook verdient, zelfs als simpele persoonlijkheid. Want zou er wel één schrijver zijn aan te wijzen, wiens temperament en karakter zo uit zijn geschriften blijkt, wiens persoonlijkheid zo open ligt, als dit het geval is met St. Paulus? Wie zijn brieven enigszins dicht nadert, kan er niet aan ontkomen, door deze figuur te worden geboeid.

Het zou daarom niet te verwonderen zijn, dat men onderzoekingen had ingesteld naar het rijpende leven van de jongeling Paulus en naar de omgeving en de school, die hem hebben gevormd. Toch heeft men dat zo goed als niet gedaan. Het stond vast, dat hij geboren was te Tarsus in Cilicië. En van deze stad was bekend, dat zij in die dagen een cultuurcentrum was in Klein Azië. De Griekse wijsbegeerte en de Griekse philologie werden daar ijverig beoefend, en de schrandere bevolking moedigde deze aan door haar belangstelling.

Als Paulus daar zijn jeugd had doorgebracht en er zijn eerste jongelingsjaren geleefd, dan lag het enigszins voor de hand, dat hij het Grieks heeft leren hanteren gelijk hij het hanteert en zich in de Griekse cultuur heeft ingeleefd, zoals hij dat blijkbaar gedaan heeft.

Bij de boeken over Paulus wordt algemeen zijn jeugdleven te Tarsus verondersteld. En schrijvers over Paulus leveren dan daarbij een fleurige beschrijving van de Hellenistische cultuur. Op aantrekkelijke romantische wijze heeft dat indertijd Dr Th. van Tichelen gedaan.

Maar.... de verklaring van Paulus' Hellenistische vorming mag op die wijze ook al weinig moeilijkheden opleveren, men heeft voor het aannemen van Paulus' opvoeding te Tarsus geen enkel positief gegeven, eer het tegendeel.

Ongeveer het enige wat Paulus over zijn leven vóór zijn Christenen-vervolging loslaat, is te vinden in Handel. 22, 3.

Als Paulus te Jerusalem tegen de Joden door Lysias in ‘Schutzhaft’ wordt genomen, vraagt hij om tot de opgewonden menigte het woord te mogen richten. Het wordt hem toegestaan. En Paulus, zoals hij daar door de menigte toegetakeld staat, begint in het Aramees aldus, volgens het Grieks van de Handelingen: ‘Ik ben een Jood, geboren te Tarsus in Cilicië, doch grootgebracht hier in deze stad - (deze laatste woorden waarschijnlijk begeleid door een deiktisch handgebaar) -, aan de voeten van Gamaliël opgeleid tot een strenge opvatting van de voorvaderlijke Wet’.

In genen dele kan daaruit gelezen worden, dat Paulus zijn opvoeding heeft genoten te Tarsus. Desniettemin wordt dit laatste als iets onwrikbaar vaststaands

[p. 270]

aanvaard. Ik noem onder de vele één enkel voorbeeld uit de Katholieke z.g. Bonner Vertaling. Daar schrijft Dr Steinmann in de commentaar: ‘Aus der Ausdrucksweise der Apostelgeschichte möchte man schliessen, der Apostel sei schon als kleines Kind nach Jerusalem gekommen’. Onmiddellijk echter laat hij volgen, dat de ‘Gesamteindruck’ het toch waarschijnlijk maakt, dat Paulus zijn jeugd te Tarsus heeft gesleten. En hij verwijst naar Deissmann. Dat is geschreven in 1916. In 1925 is in zijn Werdegang des Paulus zijn mening over Tarsus veel meer zelfverzekerd geworden.

Het jeugdleven van Paulus te Tarsus is zo goed als algemeen aangenomen. En Prof. J. Keulers heeft wel enige moed moeten opbrengen, toen hij heel nuchter in zijn commentaar schreef: ‘dat Paulus reeds als jonge knaap te Jerusalem kwam’.

Eigenlijke verontrusting schijnt in deze kwestie mee te brengen no 5, deel 15 van de ‘Mededelingen der Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen’, getiteld Tarsus of Jerusalem de stad van Paulus' jeugd door Prof. W.C. van Unnink te Utrecht (1952). Deze wijst weer eens met nadruk op Handel. 22, 3 en gaat heel nauwkeurig na, wat er zoal met die tekst is gebeurd, om hem zoveel mogelijk met de algemene opinie in overeenstemming te brengen: het verplaatsen van de komma en het verklaren van de gebruikte Griekse participia als synoniemen, dus als één begrip. Voor dit laatste haalt hij, ter bevestiging van het tegendeel, heel veel materiaal uit Griekse schrijvers onder de voet. De professor heeft zich blijkbaar voorgenomen de verkeerde voorstellng eens voor goed uit de wereld te helpen.

Heeft hij daar gelijk in? Ieder, die de bewuste Griekse tekst ernstig en gewetensvol bekijkt, zal het met Prof. Unnink eens moeten zijn.

Alleen kan de vraag gesteld worden, of de vertalers - zij het dan ook met miskenning van de Griekse geleding - niet soms onder ‘deze stad’ Tarsus hebben verstaan. De nieuwe vlotte Engelse vertaling van de Vulgaat door R.A. Knox, die classicus is, heeft hier staan: ‘I am a Jew, born at Tarsus in Cilicia, and brought up in this city; I was trained, under Gamaliël, in exact knowledge of our ancestral law’.

Maar, wat er van dit alles zij, het ziet er naar uit, dat men voor Paulus' Hellenistische cultuur naar andere gronden zal dienen te zoeken dan die, welke tot dusver zo gemakkelijk als zekerheden werden voorgesteld. Een nieuw probleem komt aldus aan de orde.

Prof. Unnink stelt de vraag, of het dan niet mogelijk is, dat Paulus na zijn jeugdjaren gedurende een vrij lange termijn met het Hellenisme kennis heeft gemaakt, en hij wijst naar de tijd die Paulus na zijn bekering in Hellenistische omgeving heeft geleefd. Een tijd waarover ons zo weinig bekend is, en die toch voor de ontwikkeling van de Apostel van grote betekenis moet zijn geweest.

Misschien zal ook, naar mijn mening, de opvatting over het geringe gebruik van de Griekse taal te Jerusalem en in geheel Palestina moeten worden herzien, en zal de aanwezigheid van het strakke Aramees aldaar weldra niet zo zeker blijken. Men kan immers toch zonder dwaas te lijken, betwijfelen, of uit het Grieks van de schrijvers van het Nieuwe Testament met al de Hebraïsmen, die men daarin wil aantreffen, strikt genomen wel iets te bewijzen valt aangaande de Aramese opvoeding van die schrijvers. Immers deze Hebraïsmen kunnen al lang voordien tot het bezit van het Palestijnse Grieks behoord hebben. En ligt het ook wel zo ver buiten de lijn, eens op te merken, dat men de frequentie van het Grieks pleegt te bepalen door de schrijvers na te rekenen, terwijl toch de mensen, tot wie de geschriften gericht worden, een betere maatstaf aan de hand schijnen te doen. De schrijver immers gebruikt die taal, die naar hij meent, bij de lezers het meeste nuttig effect zal opleveren. Nu is dat hele Nieuwe Testament in het Grieks geschreven, behalve dan, naar het getuigenis van Papias, het Evangelie van St. Mattheus, en valt het op, dat zelfs de brief aan de Hebreeën oorspronkelijk in het Grieks is gesteld.

Er is reden tot verder onderzoek. En het blijkt: men raakt nooit uitvertaald. Altijd blijft er wel werk aan de winkel.

Dr P.C. de Brouwer pr