Streven. Jaargang 1

[p. 1053]

Historische Wiskundige Problemen
door Prof. Dr G. Verriest

Indien er een wiskundig vraagstuk populair is, dan is het wel het vraagstuk van de kwadratuur van de cirkel, en terwijl bij de meeste gecultiveerde mensen de gedachte aan de natuurwetenschappen onmiddellijk het beeld van wonderbare veroveringen opwekt, wordt de wiskunde meestal opgeroepen om een onmogelijkheid, een onmacht op lapidaire wijze te bestempelen.

Is het dus waar dat de wiskundige van het begin af van de opbouw zijner wetenschap, ter gelegenheid van een der eenvoudigste vraagstukken der meetkunde, met een 'non possumus' de onmacht zijner theorieën moet bekennen? Om hierop te antwoorden moeten we vooreerst de juiste betekenis van het bedoelde probleem onderzoeken.

Dit vraagstuk luidt als volgt: men geeft een lijnstuk gelijk aan de straal van een cirkel en men vraagt, met behulp van liniaal en passer, de zijde te construeren van een vierkant dat dezelfde oppervlakte als deze cirkel heeft.

Men vraagt dus de zijde te construeren van een zeker vierkant; maar om geometrische constructies uit te voeren zijn er natuurlijk tekengereedschappen nodig. Welnu men eist dat alleen de aller eenvoudigste werktuigen zouden gebruikt worden, nl. liniaal en passer; alle andere instrumenten zijn verboden. Wat antwoordt de wiskundige daarop? 'Dat gaat niet, zegt hij, deze eis is dwaas; is ooit in Uw geest de gedachte gerezen aan een schilder te vragen, alleen met wit en zwart, een vuurrode zonsondergang te schilderen, of aan een kok, alleen met water en keien, een smakelijke “soupe aux cailloux” te bereiden? Geef me geschikte werktuigen en ik zal zonder moeite de kwadratuur van de cirkel uitvoeren.'

De wiskundigen hebben weliswaar de dwaasheid van de gestelde vraag niet onmiddellijk erkend. Evenals de alchimisten die naar de steen der wijzen zochten, hebben ze, gedurende meer dan twee duizend jaar hun krachten ingespannen om het vraagstuk op te lossen; het was slechts in 1882 dat het de wiskundige Lindemann gelukte de onmogelijkheid van het probleem op onweerlegbare wijze te bewijzen.

Maar, zal men zich afvragen, waarom hebben de Oude Grieken, die de eerste meetkunde systematisch opbouwden, zulke eisen gesteld? Ware het niet redelijker geweest het vraagstuk op volgende wijze te formuleren: 'Welk zijn de eenvoudigste instrumenten die nodig zijn om de kwadratuur van de cirkel uit te voeren?' Dit lijdt geen twijfel en, zoals we het weldra zullen zien, is het in deze richting, dat de moderne wiskundigen voor het oplossen van vraagstukken zeer interessante ontdekkingen gedaan hebben. Maar bij de Oude Grieken was de wetenschappelijke geest geheel onder de invloed van de wijsgerige opvattingen, en de philosophen beschouwden de rechte lijn en de cirkel als de twee volmaakte lijnen omdat zij in al haar punten zich zelven gelijk blijven. De mathematicus mocht dus alleen

[p. 1054]

van deze twee lijnen (dus van liniaal en passer) in zijn constructies gebruik maken.

Beschouwen we dit vraagstuk van naderbij. Het is gemakkelijk te bewijzen, dat men de kwadratuur van een cirkel kan uitvoeren zodra men de lengte van de cirkelomtrek construeren kan, d.w.z. zodra men een lijnsegment kan bepalen dat juist de zelfde lengte heeft als de cirkelomtrek. Iedereen herinnert zich dat de lengte van de cirkelomtrek gelijk is aan 2 π R, waarbij R de straal van de cirkel is, dus 2R de middellijn. Het vraagstuk komt dus tenslotte hierop neer dat men een lijnstuk bepaalt, dat π -maal zo lang is als de middellijn. Ware nu π een geheel getal, zoals de schrijver van het Boek der Koningen het veronderstelt^1., dan zou de oplossing gemakkelijk zijn; zelfs indien π gelijk was aan een gebroken getal, zou de constructie zonder moeite uitvoerbaar zijn. Archimedes bewees dat de waarde van π begrepen is tussen 3,1408 en 3,1428, maar het was slechts in 1751 dat Lambert bewees dat π een irrationeel getal is, d.w.z. een getal dat, zoals de vierkantswortel van 2, noch geheel, noch gelijk aan een breuk is. Dit was een belangrijke stap in de kennis van de natuur van het getal π, maar de onmogelijkheid der kwadratuur was daarmee nog niet bewezen.

In 1844 bewees Lionville dat er twee soorten irrationele gestalten bestaan: de algebraïsche getallen en de transcendente getallen. Wij kunnen hier het verschil dezer twee getallenklassen niet nader bepalen; de algebraïsche getallen zijn met de gewone algebraïsche vergelijkingen nauw verbonden terwijl de transcendente getallen vrij zijn van elk verband met deze vergelijkingen^2. Nu wist men alreeds dat het onmogelijk is met liniaal en passer een lijnstuk te construeren waarvan de lengte door een transcendent getal uitgedrukt wordt, en toen in 1882, Lindemann er in slaagde te bewijzen dat π een transcendent getal is, was de onmogelijkheid van de kwadratuur van de cirkel definitief bewezen.

Dit vraagstuk is dus nu voor goed geliquideerd, maar het slag der miskende genies die de wiskundigen met hun vermeende kwadraturen lastig vallen is verre van uitgestorven.

Het bepalen van de numerische waarde van π heeft echter ook ernstige rekenaars geboeid; zo heeft bijv. de Engelsman Sharp de waarde van π tot op de 600e decimaal berekend. Op praktisch gebied is dit zonder nut, daar voor de nauwkeurigste berekeningen in de physica en de techniek enige decimalen volstaan, en op theoretisch gebied kan daarbij ook niets gewonnen worden. Maar de getallen hebben sedert de oudheid een ware bekoring op de menselijke geest uitgeoefend. Nadat Pythagoras de wetten der harmonisch trillende snaren ontdekt had, riep hij stoutmoedig uit 'Alles is Getal' en hij meende dat de zuivere studie der getallen tot de kennis van alle dingen moest leiden. 'Door de studie van de getallen, schreef Plato in zijn Republiek, wordt de ziel uit de beschouwing der

1. 'Hij (Salomon) miek ook een gegotene zee, tien ellebogen groot, van rand tot rand, en rond rondom: hare hoogte was van vijf ellebogen, en een koordeke van dertig ellebogen omving dezelfde in het ronde' (IIIe Boek der Koningen - VII - 23) (Vertaling V J. Coornaert). De waarde van π is hier dus gelijk aan 3.

2. Meer details over deze vraagstukken zijn te vinden in het vulgarisatieboekje: G. VERRIEST, Vier Voordrachten over de Wiskunde. Doornijk, 1947.

[p. 1055]

vergankelijke en bedrieglijke dingen overgeheveld in de sfeer waarin alleen Waarheid en Wezen heersen.'

Wat men er ook van denke, moet men toch bekennen dat het goochelen met getallen tot de meest verbazende conclusies kan leiden. Zo kan men bijv. met enige cijfers naast elkaar te zetten, en zonder philoloog noch letterkundige criticus te zijn, op afdoende wijze demonstreren dat het 'Nil novi sub sole' in de litteraire productie eens een absolute waarheid zal worden. Elk boek is nl. uit de 26 letters van het alphabet en witte vakjes samengesteld; twee verschillende boeken die hetzelfde aantal letters bevatten verschillen slechts door de wijze waarop deze letters en vakjes op elkaar volgen; nu bevat een regel ongeveer 40 letters en een bladzijde bevat 30 regels, zodat een boek van 300 bladzijden uit 360.000 letters en witte vakjes samengesteld is. Het aantal verschillende wijzen waarop men deze tekens in een rij van 360.000 elementen kan rangschikken is gemakkelijk te berekenen; en dit getal is dus het grootste aantal verstaanbare en onverstaanbare boeken van 300 bladzijden die kunnen geschreven worden. Zodra dit aantal zal bereikt worden zal het grootste genie geen boek van 300 of minder bladzijden meer kunnen schrijven dat niet, tot in de kleinste details, met een alreeds geschreven boek identiek is, en de jonge bleekzuchtige dichter der toekomstige eeuwen zal niet meer ootmoedig van zijn eerste gedicht kunnen zeggen: 'Der Anfang ist von Goethe, die Mitte ist von Schiller und das Ende ist von mir selbst.'

_**_*

Keren we terug tot minder fantastische beschouwingen. Het vraagstuk van de kwadratuur van de cirkel is niet het enige, dat sedert de oudheid, de schijnbare onmacht der wiskunde kenschetst; de meest bekende dezer vraagstukken zijn de verdubbeling van de kubus en de driedeling van de hoek. Indien ons verstand scherpzinniger was, zouden wij al deze vraagstukken op eenzelfde rang stellen met de vraag naar de leeftijd van de kapitein, gegeven de hoogte van de grote mast; bij alle komt het op hetzelfde neer, de middelen die ter beschikking gesteld worden zijn ontoereikend om het vraagstuk op te lossen.

Plato zelf heeft zich voor de verdubbeling van de kubus ingespannen. Volgens de legende verwoeste een besmettelijke ziekte het eiland Delos, geboorteplaats van Apollo. Het geraadpleegde orakel van Delos schreef voor het altaar van Apollo te verdubbelen. Dit altaar had de vorm van een kubus. De priesters lieten een nieuw altaar maken waarvan de zijde dubbel groot was, maar de pest woekerde voort. Toen liet men aan de priesters opmerken dat het nieuwe altaar niet 2 maal groter was dan het oude, maar 2 × 2 × 2 of 8 maal zo groot. Van daar het probleem van de verdubbeling van de kubus, ook Delisch probleem genoemd, dat men op volgende wijze kan formuleren: gegeven de ribbe van een kubus, met behulp van liniaal en passer de ribbe te construeren van een nieuwen kubus met dubbelen inhoud.

Hier stuit men niet, zoals voor π, op het construeren van een segment met transcendente lengte; is de ribbe van de oorspronkelijke kubus gelijk

[p. 1056]

aan 1, dan is de gevraagde ribbe gelijk aan de kubiekwortel van 2. Dit getal is niet transcendent, maar algebraïsch, maar onder de segmenten met algebraïsche maat zijn het alleen die, waarbij de maat door middel van een of meer vierkants wortels kan uitgedrukt worden die met liniaal en passer kunnen geconstrueerd worden, en dit is niet het geval voor de kubiekwortel van 2.

Wat de driedeling van een gegeven hoek betreft, daar staan we voor een analoog geval. In de elementaire meetkunde leert men een hoek in twee gelijke hoeken te delen, maar de deling in drie gelijke hoeken is met liniaal en passer niet uitvoerbaar. Hier moet men nochtans de puntjes op de i's zetten: er zijn oneindig veel bijzondere hoeken die men wel in drie kan delen, maar het is bewezen dat er geen constructie bestaat die op elke hoek toepasselijk is. Zo kan men bijv. een rechte hoek met liniaal en passer in drie delen, want dit komt daarop neer het vierde van een cirkel in drie te delen; maar het derde deel van het vierde van een cirkel is het twaalfde deel van een gehele cirkel; nu kan men gemakkelijk een cirkel door zes delen en dan een dezer delen door twee.

_**_*

De vraagstukken die we onderzocht hebben komen ten slotte neer op de studie der bruikbaarheid van de twee fundamentele werktuigen van de meetkundige, de liniaal en de passer. Zonder over te gaan tot de studie van andere instrumenten, kunnen we ons de vraag stellen of men, zonder de constructiemogelijkheden te verminderen, het gebruik van liniaal en passer toch niet zou kunnen beperken.

Men is tot volgende resultaten gekomen: al de vraagstukken die met liniaal en passer kunnen opgelost worden, kan men ook oplossen met liniaal en een passer met vaste opening, waarmee men dus alleen cirkels met eenzelfde straal kan tekenen; nog meer, deze vraagstukken kunnen ook opgelost worden met liniaal en een passer met vaste opening waarvan een der punten op een vast punt van het blad papier blijft, d.w.z. met liniaal en een enkel cirkel eens en voor altijd op het blad getekend (het centrum van de cirkel moet echter ook getekend zijn).

Maar men kan nog verder gaan: al de vraagstukken die kunnen opgelost worden met behulp van liniaal en passer kunnen ook opgelost worden zonder passer of vaste cirkel met behulp van een liniaal met twee parallelle kanten, ofwel met slechts een tekendriehoek en zelfs met slechts een zwei, d.i. een tekendriehoek die geen rechte hoek bezit. Wellicht nog merkwaardiger is het feit dat, wanneer men over een passer beschikt, de liniaal geheel overbodig wordt; men kan bijv. met behulp van een passer het snijpunt bepalen van twee rechte lijnen die elk door twee harer punten gegeven zijn. Deze merkwaardige eigenschap van de passer werd ontdekt door Mascheroni, die in 1797 zijn beroemd boek 'Geometria col compasso' liet verschijnen, waarvoor zich Napoleon, tijdens zijn verblijf in Italië interesseerde. Toen Bonaparte eens te Parijs een vergadering van het 'Institut' bijwoonde, bracht hij het gesprek op Mascheroni en droeg enige constructies voor die hem bijzonder getroffen hadden. De toehoorders,

[p. 1057]

waaronder de beroemde Lagrange, waren verbaasd, en Laplace, die Napoleons leermeester op de militaire school geweest was, riep uit: 'Nous attendions tout de vous, général, excepté des lesons de mathématiques.'

_**_*

Gaan we nu over tot een vraagstuk van een andere aard. Men erkent onmiddellijk de juistheid van de gelijkheid 32 + 42 = 52, of 9 + 16 = 25, zodat aan de vergelijking x² + y² = z² met de gehele getallen 3,4 en 5 kan voldaan worden. Er bestaan oneindig veel andere oplossingen van deze vergelijking, met gehele getallen, maar men zou vruchteloos gehele getallen zoeken die aan de vergelijking x³ + y³ = z³ voldoen. Fermat (1601-1665) heeft beweerd dat hij in het bezit was van het bewijs dat aan de vergelijking xⁿ + yⁿ = zⁿ nooit met gehele getallen kan voldaan worden indien n een geheel getal groter dan 2 is, maar zijn bewijs heeft men nergens onder zijn nagelaten papieren teruggevonden en, niettegenstaande de pogingen van honderden wiskundigen, waaronder de allerbesten, heeft men tot heden toe niet kunnen uitmaken of deze bewering juist of vals is. De wiskundige Wolfskehl heeft, rond 1900, aan de Academie van Göttingen een som van honderd duizend mark (meer dan een miljoen van onze huidige franken) nagelaten voor diegene die de juistheid of de valsheid van deze stelling zou bewijzen; de Academie van Göttingen werd met zulk een overweldigend aantal vermeende bewijzen overstroomd dat zij niet bij machte was ze alle te onderzoeken en de beslissing trof alleen die bewijzen in aanmerking te nemen die eerst in een tijdschrift zouden gepubliceerd worden. Wat er nu uit die honderd duizend mark geworden is zouden we niet kunnen zeggen, maar de stelling van Fermat heeft haar geheim heldhaftig verdedigd, zodat men er aan twijfelt of Fermat werkelijk in het bezit van een onberispelijk bewijs geweest is. Voor zover de schrijver dezer regels uit persoonlijke ondervinding oordelen kan, zijn de ongeschoolde beoefenaars van de stelling van Fermat nog verstokter en lastiger dan de cirkelkwadrateurs.

Er zijn in de wiskunde nog andere curiosa te vinden, maar die alleen door de ingewijde gekend zijn. We zullen er maar een enkel aanhalen. Evenals er een formule bestaat die de wortels van een vergelijking van de tweede graad geeft, zo bestaan er ook formules voor de vergelijkingen van de derde en van de vierde graad, maar het is bewezen dat er voor de hogere graden geen algebraïsche formule kan bestaan. De formule voor de vergelijking van de derde graad gaf aanleiding in de loop van de XVIe eeuw tot een prioriteitsstrijd tussen Cardano en Tartaglia waarvan de vinnigheid legendarisch gebleven is. Deze formule toont een wezenlijk verschil met die van de vergelijking van de tweede graad. Deze laatste bevat een wortelteken, en wanneer de oplossingen gehele (of reëele) getallen zijn, dan vindt men deze getallen bij uitrekening van de vierkantswortel die in de formule voorkomt. De formule voor de derde graad (formule van Cardano) bevat vier worteltekens, maar wanneer de oplossingen gehele (of reëele) getallen zijn is het onmogelijk deze worteltekens te verdrijven; dat noemt men het onherleidbaar geval van de vergelijking van de derde graad.

[p. 1058]

Alhoewel deze onmogelijkheid bewezen is, zijn er toch nog mensen te vinden die zich zo zeer door de aanwezigheid dezer worteltekens geplaagd voelen dat zij ze met alle middelen willen verdrijven.

Zo ontving eens de schrijver van dit artikel een zeer lange verhandeling met een vermeende oplossing van dit onherleidbaar geval. De auteur was een pensionnair van... een der grote gevangenissen van ons land. Een vriendelijke terechtwijzing werd beantwoord met een vloed van scheldwoorden. Deze miskende wiskundige was echter niet een banaal man; slechts voorzien van hetgeen hij op de lagere school geleerd had, had hij zich, met behulp van boeken die hij in de bibiliotheek van het gesticht waar hij opgenomen was, op de studie der hogere algebra toegelegd. Dit bewijst eens te meer de verhevenheid der wiskunde die zelfs als troost kan dienen aan een ter dood veroordeelde.

_**_*

De lezer zal zich wellicht afvragen waarom ernstige wiskundigen zich met hart en ziel inspannen om vraagstukken op te lossen die toch van zeer gering belang schijnen in vergelijking met de grootse problemen die de natuurkunde en de sterrenkunde de mathematicus voorleggen. Hierop kan men verschillende antwoorden geven volgens het standpunt dat men inneemt. Voor wie zich alleen voor het praktisch nut der wiskunde interesseert kan men opmerken dat de grootste ontdekkingen meestal haar eersten oorsprong in schijnbaar onnuttige nasporingen hebben gevonden, zoals de electriciteit die, met haar ontelbare toepassingen, haar begin vindt in de onverpoosde navorsingen van Galvani om de oorzaak te ontdekken van de stuiptrekkingen der kikkerspoten die aan de leuning van zijn balcon heen en weer schommelden. In de wiskunde hebben zich ook dergelijke gevallen voorgedaan; zo is bijv. de oorsprong der belangrijke theorie van wat men de idealen noemt, te vinden in de mislukte pogingen van Kummer om de stelling van Fermat te bewijzen. Evenals de physicus en de bioloog de natuur in al haar verschijnsels, zelfs de schijnbaar meest onbeduidende met dezelfde volharding onderzoeken, zo moet ook de wiskundige al de geheimen van zijn wetenschap trachten op te helderen.

Maar de ware wiskundige, de mathematicus bij de gratie Gods, vraagt niet naar het materieel nut van zijn inspanning, hij is van mening, met Jacobi, dat 'Le but unique de la science est l'honneur de l'esprit humain' en hij vindt evenveel genot in zijn onverpoosde pogingen om een moeilijk vraagstuk op te lossen als in het resultaat zelf. Toen de beroemde Cauchy op zijn sterfbed lag en een vriend hem meende te troosten met de gedachte dat hij weldra, in de hemel, de oplossing zou kennen van al de wiskundige vraagstukken, antwoordde hij met een zucht: 'C'est là précisément ce que je crains, car le bonheur n'est pas de connaître, mais de chercher.'