Spektator. Jaargang 7

[p. 263]

Logika en argumentatietheorie
J.F.A.K. van Benthem

De logika bestudeert het strenge deduktieve redeneren. Haar methode en abstraktieniveau zijn daarbij soms nauwelijks van die van de wiskunde te onderscheiden. De vraag rijst dan al gauw wat een zo onaards zuiver vak nog met de redeneerpraktijk van alledag te maken heeft. Het woord ‘logisch’ ligt wel menigeen in de mond bestorven, maar de logika geeft niet thuis wanneer men deze vorm van huis-tuin-en-keuken rationaliteit wil analyseren. Ziehier waar de moderne argumentatietheorie haar gat in de markt ziet: in de analyse van ‘gewoon rationeel’ redeneren. In dit artikel zal de aard van het vak logika nader aan de orde komen, met als teneur dat het met dat wiskundige in zekere zin nog wel meevalt. Het is echter geen inleiding in de logika: daarvan zijn er zo vele dat een duplikatie hier geheel overbodig zou zijn. (Zie Van Dalen 1971, Von Kutschera 1972 of Rescher 1964). De nu volgende beschouwingen zijn dan ook bedoeld voor lezers met een zekere basiskennis. Betoogd zal worden dat het vak logika wel degelijk in een algemene argumentatietheorie thuis hoort.

1. Redeneringen

Enkele voorbeelden, min of meer gerangschikt naar opklimmende abstraktie, maken duidelijk op welke redeneerpraktijk de logika gericht is.

(1)	In ‘Eve of Destruction’ zong Barry McGuire: ‘You're old enough to kill, but not for voting...’. Dit is een argument, en de lezer kent ongetwijfeld de kontekst nog wel. We mogen aannemen dat het werd ingezet tegen de dienstplicht in Vietnam, hoewel het natuurlijk ook zou pleiten voor ‘Stemrecht voor onze G.I.'s!’. Maar vraagt nu een lastpost (een konservatief of een logikus) hoe dit argument tegen die dienstplicht pleitte, dan blijken aanvullende principes nodig, bijvoorbeeld ‘Geen plichten zonder vergelijkbare rechten’. Voordat de redenering zo van een kop en een staart is voorzien, kan een logische analyse niet op gang komen. Ze heeft dus een interpreterend karakter.
(2)	‘Waar heb ik dat rapport laten liggen? Om twee uur, tijdens de plenaire, heeft die leuke enthousiaste studente het nog ingekeken. Om vijf uur, bij de nabespreking, vroeg de voorzitter van de Okie ernaar; maar ik had het niet meer. In de tussentijd ben ik bij A, B en C geweest, om wetenschappelijk (en menselijk ook wel) bij te praten. B let er altijd op of je meegebrachte spullen weer meeneemt, dus daar was het niet. Bij A noteerde ik in de marge nog wat ideetjes die zomaar spontaan in me op borrelden. Maar dat zegt niets. Nu herinner ik me ineens dat B me komplimenteerde met de imperialismepassage. Dus was het bij C.’ Dit is een rationele deliberatie met een duidelijk patroon van opsomming der mogelijkheden en succes-

[p. 264]

	sieve eliminatie. Veel detective-romans kennen een vergelijkbaar stramien. Maar niet altijd zijn de stappen even expliciet als hier: we krijgen vaak slechts enkele talige uitingen te horen of te zien, en moeten dan zelf tot een rationele rekonstruktie overgaan. R. van de Velde gaf in de NRC (recensie van Kelsey 1977) het voorbeeld van een analyse van een gespeelde partij bridge, waar we de logische stappen achteraf invullen (een soort logische ‘post mortem’, om een idee van hem te gebruiken). Let wel, deze rekonstruktie pretendeert niet het feitelijk verlopen denkproces weer te geven: ze rekonstrueert wat de denker zelf aan rechtvaardiging zou kunnen uitspreken. De logika richt de blik, om zo te zeggen, principieel en bewust op rationalisaties.
(3)	‘Alles is voorbeschikt. Neem nu Uw komst hier. Toen God de wereld schiep zag Hij al hetgeen zou gebeuren, dus ook dit. En al wat God toen zag, gebeurt ook noodzakelijk.’ Deze beroemde theologische redenering heeft al heel wat hoofdbrekens veroorzaakt. Hier blijkt tevens dat hoogst abstrakte redeneringen bepaald geen vrijblijvende spelletjes hoeven te zijn: een foute taxatie van dit soort argumenten kon een middeleeuwer de grond aardig heet onder de voeten maken.
(4)	‘Voor alles bestaat een verklaring. Toegepast op jouw opvatting (D) blijken er dan drie mogelijkheden te zijn. (i) Hij verklaart zichzelf (D-D), (ii) hij maakt deel uit van een verklaringscirkel - d.w.z. iets verklaart hem, iets anders dat weer, enz., totdat hij zelf weer, nu als verklaring, optreedt (D←D1←...←Dn←D: een slang die zich in zijn staart bijt) - of (iii) hij is begin van een eindeloze verklarings-regressie (D←D1←...←Dn←Dn+1←...). Kies van deze drie kwaden maar de minste.’ Dit zg. Münchhausen-Trilemma is in de filosofie een konstant redeneergegeven, zodra men werkt met egrippen als ‘verklaren’, ‘rechtvaardigen’ of ‘veroorzaken’. Een verwante gedachtengang is de volgende. ‘Iedereen heeft een ouder. Niemand is ouder van zichzelf of van enige van zijn voorouders, dus strekt zich voor mij een oneindige rij voorouders in het verleden uit. Dus heeft de mensheid altijd al bestaan, of anders komen er niet-mensen onder mijn voorouders voor.’ Hier vallen uiteraard biologische en theologische kanttekeningen te maken; de logische pointes zitten in aspekten als oneindige limietproblemen, de ‘kameel en de strootjes’ e.d. Deze redenering signaleert, en dat doen veel redeneringen met vreemde konklusies, begripsproblemen; bij voorbeeld een behoefte aan nadere definities van de gebruikte begrippen.
(5)	‘Elke grammatika moet rekursieve regels bevatten. Hoe zou anders een eindig aantal herschrijfregels oneindig veel (mogelijke) zinnen kunnen voortbrengen?’ Deze (bijna) deduktieve taalkundige redenering lijkt soms een der weinige overeind gebleven palen boven het Chomskiaanse water te zijn.
(6)	‘√2 is irrationaal, d.w.z. niet als breuk te schrijven. Anders zou nl. √2=m/n voor zekere positieve gehele getallen m en n; en door vereenvoudiging zou dan √2=m/ n voor een m en n die geen gemeenschappelijke delers hebben dan het getal 1. Dit impliceert dat 2=(√2)^2=(m/n)^2=m^2/n^2, zodat m^2=2n^2. m is dus niet oneven,

[p. 265]

want kwadraten van oneven getallen zijn zelf oneven. Met andere woorden, m is even, hetgeen wil zeggen dat er een getal r bestaat zodat m=2r.m^2 is dan (2r)^2=4r^2 en m^2 was ook 2n^2. Ergo, n^2=4r^2/2=2r^2, zodat - geheel als tevoren - n even moet zijn. Maar m en n hebben, als even getallen, het getal 2 als gemeenschappelijke deler: in tegenspraak met de aanname dat het getal 1 hun enige gemeenschappelijke deler was. QED.’ Het fatale moment heeft plaats gehad: een wiskundige redenering is vertoond.

Deze rij voorbeelden liep van alledaagse konteksten tot de meest abstrakte. Wie bij voorbeeld bij het derde afhaakt, waar de sfeer van het (wetenschappelijk) gedisciplineerde denken aanvangt, zal in de logika weinig van zijn gading vinden. Het is nu eenmaal onvermijdelijk dat een redeneertheorie het meest spektakulair tot zijn recht komt in de beschouwing van argumentatief hechter georganiseerde brokken denkwerk. Toch zit er iets bijna beledigends in de klakkeloze aanname dat het ‘gewone’ redeneren wel geen voeling (meer) zal hebben met het ‘wetenschappelijke’ redeneren. Alsof de ‘gewone’ taalgebruiker alleen maar over koetjes en kalfjes babbelt.

2. Abstrakte patronen

In elke redenering kan men onderscheiden tussen inhoud en vorm. Inhoudelijke twisten als ‘Heeft God de wereld wel geschapen?’, ‘Heeft iedereen wel een ouder?’ of ‘Zijn er wel oneindig veel mogelijke zinnen?’ zijn voor de logika niet interessant; tenzij hoogstens als aanleiding om via verder redeneren als hefboom beweging in iemands opinies over zulk soort kwesties te krijgen. Hier gaat het om de vorm, die als steeds terugkomende struktuur van vele redeneringen, het geëigende objekt is voor theorievorming. Sommige argumentatietheoretici, zoals S. Toulmin in The uses of argument zien zulke konstanten van het redeneren eigenlijk alleen maar op het niveau van de redeneerprocedure. Zo wijst een auteur als P. Taylor in Normative discourse op algemene verschijnselen als het ‘wegen’ van voors en tegens. Welnu, als dit alles is wat een theorie over het redeneren ons te vertellen heeft, dan zijn we snel uitgepraat. Taylor voelt dan ook de drang tot nadere kwantifikatie: hoe wegen we; soms met aantallen en relatieve gewichten van argumenten? Er valt nu niet meer aan te ontkomen toch dieper in de struktuur van specifieke redeneringen zelf te kijken. Dan merkt de argumentatietheoreticus op dat bijvoorbeeld veel gevolgtrekkingen op een analogie berusten. Daarmee heeft hij een informeel argumentatiepatroon ontdekt, een noemer waarop vele gevolgtrekkingen zijn te brengen. Maar al snel dreigt ontevredenheid: we hebben immers nog niet meer dan een etiket voor klassifikatie. Bij studenten ziet men vaak, wanneer de eerste bedwelming voorbij is van het overal een argumentatietheoretische naam voor hebben, de vraag rijzen van: wat is zo'n patroon precies, wat is een analogie en hoe beoordeel ik de sterkte van een erop gebaseerde gevolgtrekking? Zij ondervinden dan aan den lijve wat de logika reeds sinds haar ontstaan heeft gevoeld: een voortdurende drang naar grotere exaktheid, en daarmee een steeds grotere kans op verwijdering van het ‘gewone’ ongereflekteerde redeneren. Zo is het begrip analogie zeker exakt te maken (homomorfie’ of ‘isomorfie’ van ‘strukturen’), maar dan zijn we toevallig wél al bijna in de wiskunde aanbeland.

Men kan de ‘Topica’ van Aristoteles opvatten als een lijst van patronen die zich in

[p. 266]

succesvolle argumentatie bleken voor te doen. Sommige daarvan liggen nog op het procedure-niveau (‘schermen met autoriteiten’), andere zijn al exakte gevolgtrekkingsschema's als ‘weerleggen dat alle A's B's zijn door het geven van een tegenvoorbeeld, d.w.z. een voorbeeld van een A die geen B is’. Het patroon is schematisch:

	(1)	x is A en x is niet-B
Dus:	(2)	niet alle A's zijn B's.

Evenzo is een recept om een bewering C te weerleggen er een verdere bewering D uit af te leiden, die kennelijk onwaar is. Schematisch:

	(1)	als C dan D
	(2)	niet D
Dus:	(3)	niet C.

Aristoteles distilleeerde zelf al een soort gevolgtrekkingen uit zijn lijst die zich tot systematische theorievorming leenden, de zg. syllogismen. Zijn theorie geeft exakte kriteria om hun geldigheid na te gaan. Evenzo isoleerden de Stoïcijnen de zg. propositielogika. De moderne logika heeft beide opgenomen in de meer omvattende theorie van de predikaatlogika. Met zulke logische theorieën heeft echter de scheiding theorie/praktijk al plaats gevonden. Bijvoorbeeld: syllogismen zijn redeneerschema's, die men los van het feitelijke redeneren kan bestuderen. De ‘aansluitingsproblematiek’ verschuift dan naar de toepassing: het opsporen van die schema's in konkrete teksten. Men kan zeggen dat de logici dit aspekt hebben verwaarloosd, zodat behoefte bestaat aan een ‘toegepaste logika’: een ook in andere wetenschappen niet onbekend verschijnsel overigens. Men gelieve echter te bedenken hoe begrijpelijk zo'n theoretisering is. Wie precisie en algemeenheid zoekt, wordt er vanzelf toe gebracht een stap terug te doen ten opzichte van het ‘volle leven’. Eenmaal op dat abstrakte niveau aanbeland, blijken nieuwe verdergaande abstrakties noodzakelijk. Anders dan menigeen denkt, worden deze slechts schoorvoetend aanvaard. De oude Griekse wiskundigen schrokken alleen maar toen het bestaan van andere grootheden dan breuken werd bewezen (zoals √2); niemand stond te jubelen over ‘weer een nieuwe gelegenheid tot verder theoretiseren’: men werd ertoe gedwongen. Wie zich verdiept in het ontstaan der logische abstrakties, zal dit proces zelf opnieuw meemaken.

3. Deduktie

De overgang van logika naar argumentatieleer (ook wel: van ‘formele logika’ naar ‘informele logika’) wordt soms vereenzelvigd met de scheidslijn tussen deduktie en induktie. Een gevolgtrekking heet deduktief als zijn konklusie dwingend uit de premissen volgt, anders induktief. (Zo omschreven dekt de kwalifikatie ‘induktief’ een heel spektrum, vanaf ‘bijna dwingende’ tot ‘geheel krachteloze’ gevolgtrekkingen). Gezien het bovenstaande lijkt deze voorstelling van zaken onjuist:

[p. 267]

formele logika onderscheidt zich eerder van informele in de manier waarop welke soort gevolgtrekkingen dan ook wordt benaderd. Vergelijk bijvoorbeeld Toulmin's analyse van het woord ‘waarschijnlijk’ in redeneringen (zie Toulmin 1964) met die van Carnap's induktieve logika (zie Carnap 1959); de laatste kan als exakte tegenhanger van de eerste beschouwd worden. (Vergelijk ook het ‘analogie’-voorbeeld uit paragraaf 2.) Wel is de analyse van het deduktieve redeneren tot nu toe de belangrijkste bezigheid in de logika geweest. (Sommigen verwijzen de precisering van het induktieve redeneren zelfs principieel naar andere vakken, als statistiek en besliskunde.) Vandaar dat we nu verder over deduktie zullen spreken.

Veelal denkt men bij deduktie aan het steeds verder uitbreiden van onze kennis door nadere informatie te onttrekken aan hetgeen we reeds wisten. Men zou dit het meetkundig model kunnen noemen: de theorie groeit door gestage afleiding van nieuwe stellingen. Zo beschouwd heeft deduktie echter weinig met de dagelijkse redeneerpraktijk te maken, waar meningen geregeld verlaten worden. Maar deduktie is ook de motor in een meer, om zo te zeggen, natuurkundig model, waarin een theorie d.m.v. deduktie aan de tand wordt gevoeld. ‘Alles wat hij impliceert kan tegen hem gebruikt worden’ in die zin dat (te veel?) onware gevolgen tot wijziging van de theorie leiden. (Denk aan Popper's opvattingen over falsifikatie). We zien hier de twee gezichten van deduktie. Als T een geheel van opvattingen is en A volgt logisch uit T, dan zal A hetzij eveneens geaccepteerd worden, hetzij verworpen worden en daardoor juist ook T. (Dat laatste wil in het algemeen zeggen dat T gewijzigd, ‘aangepast’ zal worden). Als we bijvoorbeeld een redelijk iemand op een bepaalde konsekwentie van zijn opvattingen wijzen, dan zal hij, even aangenomen dat hij de gevolgtrekking als korrekt aanvaardt, hetzij die konsekwentie aanvaarden, hetzij hierin aanleiding zien zijn opvattingen te wijzigen. Zo'n reaktie ligt natuurlijk niet eenduidig vast. Zo zal de één onze ‘voorbeschikkingsgevolgtrekking’ uit paragraaf 1 verwerpen, een tweede zal de gemaakte gevolgtrekking accepteren, de konklusie (‘Alles is voorbeschikt’) echter verwerpen en daarmee dan ook de premisse dat God bij de schepping alles voorzag; terwijl een derde premisse, gevolgtrekking en konklusie gelovig aanvaardt. Deduktie is dus om zo te zeggen een klikspaan, die telkens aanklopt om te zeggen wat onze opvattingen nu weer gedaan (i.c. geïmpliceerd) hebben.

Meetkundig en natuurkundig model mogen dan verschillen, beide zijn modellen uit de exakte wetenschappen. Is voor het gewone redeneren niet eerder een juridisch model geschikt, zo vragen sommigen zich af. Ruimtegebrek dwingt hier tot onberedeneerd (‘redeloos’) poneren van de volgende stelling. Het juridisch model is een proceduremodel voor redeneren dat heel goed gekombineerd kan worden met een model als boven op het niveau van specifieke gevolgtrekkingen. Hoewel Toulmin en anderen het ‘juridische model’ gehanteerd hebben als tegenpool van het ‘wiskundige model’, staat nog te bezien of de hierin vervatte redeneertradities werkelijk tot rivaliteit zijn op te jutten. (Zie bijv. Horovitz 1972).

Sommigen willen misschien nog wel toegeven dat deduktie een uitgesproken rol speelt in feitelijk redeneren, maar dan toch alleen bij nit-wits, zoals de personen in logikaboeken, die voortdurend uitroepen slaken in de trant van: ‘Het regent en het waait. Dus - hoe is het mogelijk - het waait!’ Met andere woorden, soms vindt hier en daar een eenvoudig deduktief stapje plaats en heel soms wordt dat wel eens uitgespeld. Maar de meeste deduktieve stappen verlopen impliciet. Hier is echter een misverstand in het spel. De pretentie van de logika is niet dat triviale gevolgtrekkingen als de bovenstaande schoolvoorbeelden zijn van deduktie, maar wel

[p. 268]

dat elke deduktieve gevolgtrekking geanalyseerd kan worden als een keten van zulke simpele stappen. Hoe simpeler die stappen gekozen kunnen worden, des te groter is juist de verdienste van zo'n analyse. Inderdaad is het waar dat deze analyse in het algemeen gebruikt wordt voor nakaarten over in een tekst gesignaleerde (impliciete) deduktieve stappen. Maar ze dient ook vaak aktief als hulpmiddel om deduktieve stappen te kunnen maken. Zo verschilt in de praktijk de grootte der deduktieve stappen waartoe verschillende mensen in staat zijn. De één zal onmiddelijk inzien dat uit:

Soms waren alle terroristen niet overal onwelkom

volgt dat

Geen terrorist was nooit ergens welkom:

een ander zal erop moeten puzzelen, en kleinere tussenstappen inlassen. Dit is echter een kwestie van ‘logische performance’, terwijl ons hier alleen ‘logische competence’ interesseert.

Men wil ook wel eens de belangstelling voor drogredenen, verkeerd redeneren dus, als kenmerkend voor de informele argumentatietheorie beschouwen. Zeker is dit onderwerp, met zijn vele psychologische (en zelfs ethische) aspekten, nu niet bepaald koren op de formele molen. Toch ligt ook hier geen scherpe grens. Een geslaagde exakte karakterisering van een groep korrekte gevolgtrekkingen houdt immers ipso facto een exakte karakterisering van de bijbehorende inkorrekte gevolgtrekkingen in. Zelfs benaderen sommige logici (zoals E.W. Beth met zijn ‘semantische tableaus’, zie Beth 1969) het redeneren vanuit het weerleggen (in plaats van het rechtvaardigen) van gevolgtrekkingen. En ten slotte leert de formele logika ons iets wat niet vanzelfsprekend is: een theorie over onjuiste gevolgtrekkingen kan aanzienlijk ingewikkelder zijn dan een over juiste gevolgtrekkingen. Zo bestaat er in de predikaatlogika een systeem van simpele bewijsstappen dat elke korrekte gevolgtrekking in die logika als resultaat van een keten van zulke stappen oplevert. Een soortgelijk systeem blijkt echter niet te bestaan met als oogst juist de inkorrekte gevolgtrekkingen in die logika. (Het eerste volgt uit de zg. volledigheidsstelling, het tweede uit de zg. onbeslisbaarheidsstelling. Zie Hunter 1971).

4. Logische Theorie

Een deduktief geldige gevolgtrekking vertoont een zeker weerkerend patroon, gevormd door bepaalde sleutelwoorden (‘niet’, ‘en’, ‘elk’, ‘is’ e.d.), de zg. logische konstanten, in samenspel met meer ‘vlezige’ delen: woorden en woordgroepen die per voorkomen van die gevolgtrekking kunnen verschillen. Deze laatste noteert men sinds Aristoteles met behulp van geschikte variabelen (zoals in ‘Niet elke A is B’). Voor logische konstanten gebruikt men vaak de bekende haken, pijlen e.d., die ons in staat stellen te abstraheren van logisch irrelevante verschillen (zoals tussen ‘elke’, ‘iedere’ en ‘alle’). Zo ontstaat een symbolische notatie, die men tot een formele taal kan verzelfstandigen en apart bestuderen. De formules van zo'n taal zijn als het ware zinsschema's, die men door abstraktie als logische vorm in echte zinnen ontwaart, of - andersom denkend - die door betekenissen te hechten aan

[p. 269]

variabelen weer kunnen overgaan in echte zinnen. (De studie van zulke kunsttalen sluit aan bij de wiskundige taalkunde.) De verhouding van kunsttalen tot de ‘natuurlijke taal’ is een der grote thema's van de huidige logisch geïnspireerde richtingen in de taalkundige semantiek. Deze laatstgenoemde belangstelling voor logische formele talen danken ze aan hun precies vastgelegde semantische interpretatie in zg. modellen (via Tarski's waarheidsdefinitie). Veel modern onderzoek binnen deze logische semantiek richt zich op de begrippen ‘waarheid’ en ‘betekenis’ voor een steeds groter wordende klasse van begrippen. Voor de logische gevolgtrekkingstheorie is zo'n semantisch waarheidsbegrip van belang als precisering van wellicht de meest voor de hand liggende uitleg van deduktieve geldigheid: ‘een konklusie C volgt logisch uit premissen P_l t/m P_n als “men met dit schema niet kan mislukken”: in elke situatie (elk model) waarin men C, P_l t/m P_n interpreteert, is C waar zodra P_l t/m P_n waar zijn’.

Om zo'n uitleg te kunnen hanteren, moet men óf greep hebben op wat mogelijke ‘situaties’ zijn (dit is bijvoorbeeld het geval in de leer der syllogismen en in de propositielogika: denk aan Venn-diagrammen en waarheidstabellen) óf men moet een meer hanteerbare syntaktische omschrijving van ‘logisch gevolg’ vinden die met de bovenstaande overeenstemt in die zin dat ze dezelfde gevolgtrekkingen tot ‘logisch geldig’ verklaart. Voor de predikaatlogika zijn zulke omschrijvingen gevonden, bijvoorbeeld de axiomatische deduktie van Frege en Hilbert, of Beth's semantische tableaus. Deze geven een overzichtelijke lijst van eenvoudige redeneerstappen (die zelf semantisch als geldig gemotiveerd zijn) en - zoals aan het eind van paragraaf 3 werd opgemerkt - ketens van zulke stappen volstaan om welk logisch gevolg C dan ook uit premissen P_l t/m P_n af te leiden. Er bestaan (helaas) ook logische systemen (zoals de tweede-orde logika) waarin deze parallel niet opgaat, en het semantisch gevolgbegrip niet syntaktisch gekarakteriseerd kan worden.

De genoemde volledigheidsstelling is een voorbeeld van een metalogisch resultaat: hij zegt iets over logische begrippen. Men kan de moderne logika als een huis met twee verdiepingen beschouwen. Beneden stelt men formele talen op en analyseert daarmee taalgebruik (of zelfs komplete wetenschappelijke theorieën) en vervolgens rechtvaardigt of toetst men de zo opgespoorde gevolgtrekkingen. Boven, in de metalogika, bestudeert men de resultaten van die aktiviteit en zoekt bijvoorbeeld naar eigenschappen van in logische talen geformaliseerde theorieën (zoals dat ze konsistent zijn, d.w.z. geen kontradikties bevatten) of men bestudeert die aktiviteit zelf, waarbij - heel kenmerkend - meestal zekere beperkingen aan de reikwijdte van deze of gene logische taal of methode aan het licht komen.

Anders dan als achtergrond speelt de metalogika in het gewone handwerk van redeneer-analyse of -bedrijf geen rol. Datzelfde geldt, zij het in mindere mate, voor de logische semantiek. Het draait in het algemeen om aard en kracht van de logische notatie en syntaktische gevolgtrekkingstheorie. Alleen een enge visie op ‘toepasbaarheid’ als ‘hanteerbaar techniekje’ zou hierdoor echter de andere delen der logika als argumentatietheoretisch irrelevant beschouwen. ‘Toepassen van een vak’ betekent meer dan ‘technieken hanteren’. Het is het in staat zijn een probleem met de ogen van dat vak te zien; zo beschouwd, bevatten goede toepassingen altijd een kreatief moment. Maar om iets kreatief ‘from a logical point of view’ te kunnen benaderen, kan men geen minimumlijder zijn: een zekere strategische diepte aan kennis en begrip van het vak is vereist.

[p. 270]

5. Dynamiek

Sommige logikaboeken zijn zo star van opzet dat de lezer in het geheel niet begrijpt dat hij dit vak zelf zou kunnen toepassen. Men konfronteert hem met een gepolijste theorie en een volledig in zichzelf besloten denkwereld: erin stappen betekent een vaarwel aan de werkelijkheid. Om dit beeld althans enigszins recht te zetten noemen we twee betere boeken (Purtill 1971 en Reichenbach 1966) en zullen proberen aannemelijk te maken dat de logika toch ‘anders’ is. Daartoe sommen we een aantal ‘dynamische’ kanten van het vak op, die zijn nog steeds bestaande band met de redeneerpraktijk wellicht wat meer kleur geven. Helaas moet deze apologie voor het vak kort en schetsmatig blijven.

(1)	Zo nu en dan dwaalt een eenzame, al vaak teleurgestelde, zoeker naar zekerheid de logika in, hopend daar nu eindelijk rust te vinden - in de vorm van 100% precisie. Bitter is dan de teleurstelling: ook daar wordt vaak met de handen gewuifd, en worden stappen als ‘intuïtief duidelijk’ overgeslagen. Wat zo'n zoeker niet doorzag is dat exaktheid zelf geen statische eindterm, maar een dynamisch begrip is. Exaktheid bestaat in het vermogen beweringen in het geval van onduidelijkheid zo veel verder te preciseren dat wederzijds begrip weer wordt hersteld. Natuurlijk, men kan een tot in machinaal kontroleerbare formules uitgeschreven wiskundige theorie het toppunt van exaktheid noemen, maar ook in de wiskundige praktijk fungeert exaktheid als hier omschreven: eventuele formules zijn daarbij geen doel, maar middel.
(2)	Dat kunsttalen op zich bestudeerd kunnen worden neemt niet weg dat ze notatie blijven (voor een echte zin, of een gedachte). En die notatie is niet voor zondige abstrakte geneugten bedacht, maar omdat men er beter mee meende te kunnen werken. Wie echter aantoont dat het in bepaalde gevallen heel goed zonder of met minder kan is van harte welkom! Hier hoeft hopelijk niet beargumenteerd te worden welk een besparingen aan denkwerk een gelukkig gekozen formele notatie oplevert. Bedenken (maar ook toepassen) van formele notatie kan een zeer kreatieve bezigheid zijn die - hoe onwaarschijnlijk dit sommige lezers ook zal voorkomen - nogal wat fantasie vereist. (Dat ontoegankelijke formulejungles ook vaak gebruikt worden om zwakke gedachten voor een kritische lezer af te schermen is een droeve waarheid, die het bovenstaande echter niet weerspreekt.)
(3)	Wellicht de beste weerlegging van het statische beeld van de logika is de volgende slogan: Logika is meervoud. Er is niet één logische taal, maar er zijn er vele; er is niet één logische semantiek, maar er zijn er meerdere; er bestaat niet één logische gevolgtrekkingstheorie, maar hele scharen. Een goed voorbeeld is het begrip ‘logisch gevolg’ binnen de predikaatlogika. In paragraaf 4 kwamen de semantische en twee syntaktische benaderingen hiervan ter sprake: axiomatische bewijzen en semantische tableaus. Deze laatste twee vertegenwoordigden verschillende perspektieven, respektievelijk via axiomatisch vastgelegde stappen van premissen naar konklusie voortschrijden, en een poging tot weerlegging doen. Maar er zijn nog vele andere benaderingen in omloop, zoals Gentzen's sekwentenkalkulus, die men als een soort generatieve grammatika voor korrekte gevolgtrekkingen kan beschouwen, of de speltheoretische uitleg der logische konstanten (zie Hintikka 1974 of Kamlah en Lorenzen 1967) en de daarmee gepaard gaande dialogische in-

[p. 271]

	terpretatie van ‘logisch gevolg’. Nog een ander gezichtspunt biedt de natuurlijke deduktie (zie Prawitz 1965), die pretendeert nauw bij ‘gewone’ dedukties in teksten aan te sluiten. Deze methode bevat impliciet ook een theorie over de argumentatieve rol van zinnen en zinsdelen in teksten waarin wordt geredeneerd: een verbetering ten opzichte van de geïsoleerde voorbeelden waarmee logikaboeken meestal werken. Niet onder alle hier genoemde zes gezichtspunten is dezelfde notie ‘logisch gevolg’ de meest natuurlijke. Dit geldt wel voor de eerste drie, die de zogenaamde klassieke notie opleveren, maar bij voorbeeld in natuurlijke deduktie is de intuïtionistische visie op logisch gevolg op zijn minst even plausibel als de klassieke (zie Prawitz 1965). En daarmee stuiten we op het verschijnsel dat de logika niet alleen diverse invalshoeken op hetzelfde kent, maar ook onderling verschillende theorieën over wat logisch gevolg is. Juist bij de vergelijking van zulke theorieën spelen vaak overwegingen uit de ‘gewone’ redeneersfeer een rol: welke theorie ‘past’ het best? Er zijn in deze kwesties geen intern logische beoordelingskriteria die de doorslag kunnen geven: iedereen die zich in het vak verdiept zal op een gegeven moment zelf een oordeel hieromtrent moeten vormen.
(4)	De metalogika wordt doorgaans gezien als de studie van kristallijne objekten: een geformaliseerde theorie, een uitgekristalliseerde methode. Men bewijst immers resultaten als ‘deze theorie - als objekt beschouwd - is konsistent’. Dit invriezen van begrippen is inderdaad nodig om ze met metalogische middelen te kunnen behandelen. Maar dat betekent geenszins dat de ontwikkeling van een theorie geen logisch thema zou zijn. Dat begint al in het meetkundig model. Een axiomatische theorie is gegeven door middel van een taal, daarin geformuleerde axioma's (waarin vervat de uitgangsbegrippen van de theorie) en afleidingsregels. Dit tezamen maakt de theorie tot objekt van metalogisch onderzoek. Maar daarnaast behandelt de logika het reilen en zeilen van zo'n axiomatische theorie: bijvoorbeeld hoe verdere stellingen, en definities van nieuwe begrippen, worden verkregen. En dat beeld van een groeiende theorie lijkt soms al aardig op dat van een gewone tekst, zeker als men het kombineert met afleidingsregels uit de natuurlijke deduktie. (Zie bijvoorbeeld Kneale 1962 voor een ‘dynamische’ behandeling van ‘definite descriptions’ in termen van definities, en vergelijk dat met de ‘statische’ behandeling in termen van stuksgewijze transkriptie van zinnen in Russell 1956). Evenzo is het met een zo esotherisch onderwerp als konsistentie gesteld: behalve abstrakte konsistentiebewijzen bevat de logika ook recepten voor hoe te handelen in geval van opgetreden kontradikties: ‘Neem iets terug’, ‘Maak een onderscheid’, ‘Ontdek een nieuw aspekt’, enz. (zie Weinberger 1965). Bovendien bestaat naast dit meetkundige beeld nog weer een ‘natuurkundig’, voorlopiger, beeld van een theorie. Daarin delen we uitspraken in onder (i) ‘voorlopig aanvaard’, (ii) ‘voorlopig verworpen’, (iii) ‘onder de aandacht’ en (iv) ‘overige’. Al denkende leren we steeds nieuwe konsekwenties van in principe willekeurige beweringen uit de taal. Zo kan dan (i) groeien, door toevoeging van konsekwenties van zijn leden, of veranderen, doordat sommige van die konsekwenties juist in (ii) blijken te zitten. (ii) kan groeien door toevoeging van beweringen die konsekwenties in (ii) hebben. (iii) bestaat uit die beweringen waarbij we de kat uit de boom kijken en eerst nadere (deduktieve) inlichtingen afwachten, alvorens tot plaatsing in (i) of (ii) over te gaan. In deze optiek hebben beweringen nooit een definitieve ‘status’. Heel schilderachtig vindt men dit verbeeld in Quine 1953.

[p. 272]

(5)

Zoals bijna elke vorm van argumentatietheorie heeft ook de logika meestal een voorkeur voor analyserende formuleringen in plaats van producerende (‘herkennende’ versus ‘genererende’). Met andere woorden: men lijkt zich eerder te richten op het beoordelen van gevolgtrekkingen dan op het opstellen ervan. Toch is dit merendeels schijn, en een onderwerp als heuristiek (‘hoe vind ik de kortste denkweg van A naar B?’) zal men zowel informeel als formeel (beslissingsmethoden) in de logika tegenkomen. Het bovenstaande bevatte niet meer dan beweringen. Hopelijk steekt het echter diegenen een hart onder de riem wie de eerste schreden in de logika moeilijk vallen.

6. Logische kanttekeningen

In het voorgaande werd voortdurend in abstracto over logika gesproken. De lezer heeft nu eindelijk wel eens recht op enkele konkrete staaltjes. Helaas, het moet herhaald worden: logika ‘doet’ men niet ‘even’; men moet er tijd en moeite in investeren. De nu volgende kanttekeningen bij de voorbeelden van paragraaf 1 zijn dan ook zeker geen logisch laatste woord.

Daar het om een ad-hoc lijst van voorbeelden gaat kunnen we het hier nog zonder notatie stellen (al wordt de uitleg daar bepaald niet eenvoudiger door).

(1)	Over de redenering ‘Wel mogen doden, niet mogen stemmen. Dus...’ valt heel veel of heel weinig te zeggen. Heel weinig zegt men indien men een konklusie toevoegt, bijvoorbeeld ‘De dienstplicht in Vietnam moet afgeschaft worden’, opmerkt dat deze niet uit de premisse volgt, en vervolgens op zoek gaat naar één of meer extra premissen, die tot geldigheid moeten leiden. (Deze moeten dan bij voorbeeld in hun totaliteit garanderen dat een staat die zijn burgers het recht (of de plicht) toekent ten behoeve van zijn belangen te doden, ook verplicht is hun het recht toe te kennen deel te nemen aan zijn besluitvorming.) Heel veel zegt men als men de bijbehorende ethische en politieke problematiek gaat uitdiepen. Toch illustreert zelfs de eerste, minimale, handelwijze een belangrijk effekt van logische ànalyse: gegeven een niet direkt geldige gevolgtrekking vraagt men welke premissen hem deduktief sluitend zouden maken. (Dit kunnen er uiteraard vele zijn.) Zo verschuift de diskussie naar zulke premissen en wordt - als het goed is - steeds duidelijker. Of spreker en hoorder bereiken zo uiteindelijk een niveau van premissen waarop ze het eens zijn, of hun meningsverschil komt steeds scherper en principiëler in het vizier. Uiteraard nadert een moment van argumentatieve uitputting: het welles/nietes-punt, waarna men elkaar de hersens kan inslaan, dan wel tolerantie betrachten (als men het over dat principe tenminste wél eens is).
(2)	De deliberatie van deze (zo te zien) wetenschappelijk medewerker kent de volgende hoogtepunten.   (a) Het is óf bij A óf bij B óf bij C blijven liggen.   (b) Als je het bij B laat liggen dan waarschuwt hij.   (c) Dat deed B niet. Dus: (d) Het is niet bij B blijven liggen. Dus: (e) Het is óf bij A óf bij C blijven liggen.   (f) Ik had het nog bij A. (Leidt niet tot enige verdere konklusie.)   (g) Ik had het nog bij B. Dus: (h) Het is niet bij A blijven liggen. Dus: (i) Het is bij C blijven liggen.

[p. 273]

	Een redenering als deze is nog onmiddellijk te volgen. Ingewikkelder voorbeelden in dit genre kan men in de propositielogika formeel behandelen.
(3)	Dit argument stamt ui de Oudheid, maar ook Thomas van Aquino behandelt het, evenals een enkele moderne theoloog (zie Plantinga 1974). De struktuur is   (a) Bij de schepping zag God alles wat nu gebeurt.   (b) Alles wat God bij de schepping zag gebeurt noodzakelijk.   (c) U komt nu. Dus: (d) Uw komst nu is noodzakelijk (dat wil zeggen: heèft altijd al vastgestaan, al mocht U zelf denken een vrij wilsbesluit genomen te hebben). De logische pointe (overigens reeds van Thomas afkomstig) betreft de premisse (b), en wel wat in technische termen het bereik heet van het woord ‘noodzakelijk’. Wanneer (b) (de dicto) gelezen wordt als (bl) ‘Het is noodzakelijk waar dat alles wat God bij de schepping (voor)zag ook gebeurt,’ dan is deze premisse wel acceptabel, maar ze leidt niet tot de konklusie. Immers, er volgt slechts (e) God zag Uw komst bij de schepping. (Uit (a) en (c)). (f) U komt nu. (Uit (e) en (bl)). Maar dat wisten we al! De sterkere konklusie (d) volgt slechts indien men (b) sterker leest (en wel de re) als (b2) ‘Alles wat God bij de schepping (voor)zag heeft de eigenschap een noodzakelijke gebeurtenis te zijn.’ Dan volgt (d) inderdaad (uit (e)); maar deze premisse (b2) is niet acceptabel. Waarom zouden immers alle gebeurtenissen die God bij de schepping voorzag noodzakelijke gebeurtenissen zijn? Waarom kan God bij voorbeeld niet Uw vrije wilsbesluit voorzien hebben om nu te komen? De premisse (b2) vooronderstelt hetgeen te bewijzen was: dat elke gebeurtenis noodzakelijk vastligt. Met andere woorden: dit argument voor predestinatie is of ongeldig (lezing (b1)) of ‘question begging’ (lezing (b2)): een geruststellende gedachte.
(4)	Het Münchhausen-Trilemma is geldig. Als alles een verklaring heeft dan kan men, beginnende met D, telkens één verklaring terugzoeken. Of dit is D zelf (‘Waarom wil je dit?’, ‘Omdat ik het wil’), of er ontstaat een teruglopende rij D, D1, D2,...Hierin kan D zelf weer voorkomen, hetgeen een cirkel levert (‘Waarom wil je nu weg?’, ‘Om op tijd thuis te zijn’, ‘Waarom wil je op tijd thuis zijn?’, ‘Om hier weg te komen’). Zo niet, dan ontstaat een oneindige regressie (‘Ik doe het omdat mijn moeder het deed, mijn moeder deed het omdat haar moeder het deed, enz.’). Er zijn vele manieren voorgesteld om eruit te breken (denk bijvoorbeeld aan Aristoteles' ‘Eerste Beweger’), maar dat voert hier te ver. De geldigheid van het trilemma kan men niet eens zo gemakkelijk in de predikaatlogika aantonen: men heeft namelijk rijen of funkties nodig, begrippen uit de meer wiskundige sfeer van de tweede-orde logika. Dit toch bepaald niet vergezochte voorbeeld toont daarmee tevens aan hoe arbitrair een vaste grensscheiding tussen ‘puur logische’ en wiskundige begrippen is. Het voorouder-voorbeeld kent de eerste twee gevallen van het trilemma niet en zit dus vast op het derde. Het meest voor de hand ligt een analyse als bij de kameel:

[p. 274]

	geen enkel afzonderlijk strootje extra kan de last van een kameel van draaglijk tot ondraaglijk doen toenemen- zou men zo zeggen. (Of is het een kwestie van de ‘laatste druppel’?). Toch ligt het dier bij een gegeven (over)belasting plat op de grond. Evenzo is het met ons voorgeslacht gesteld. Er is vast geen lokaliseerbare overgang ‘mens/niet mens’ in de keten, zodat we dit begrip kennelijk nader moeten overwegen. De limietovergang waarop werd gezinspeeld is die van Achilles en de Schildpad. Misschien nam de gemiddelde levensduur in onze voorouderketen naar het verleden toe gestadig af, bijvoorbeeld zodanig dat die keten niet terugloopt naar het ‘begin der tijden’, maar konvergeert naar een of ander willekeurig tijdstip in het (verre) verleden.
(5)	Voor deze gevolgtrekking raadplege men de welbekende boeken: onder passende definities van ‘grammatika’, ‘herschrijfregel’, ‘rekursief’ en ‘(mogelijke) zin’ is het een simpele deduktieve gedachtengang, die in het geheel niet specifiek taalkundig blijkt te zijn. Men zou hem bijvoorbeeld ook op biologische reproduktie kunnen toepassen.
(6)	Deze redenering is wezenlijk dezelfde gebleven sinds zij werd ontdekt door de Pythagoreër Hippasos in de vijfde eeuw voor Christus: goede deduktie is tijdloos. Zijn sektegenoten namen hem deze ontdekking van irrationale getallen zo kwalijk dat ze hem ter dood brachten. Men kan dit argument op verschillende ‘dieptes’ analyseren. Zo herkent men er globaal het volgende propositionele schema in: ‘Als A dan niet A. Dus: niet A’. Een volledige uitspelling van deze redenering zou echter predikaatlogika vereisen. (Vergelijk het in paragraaf 5(1) gezegde over exaktheid als dynamisch begrip).

7. Argumentatietheorie

In paragraaf 2 werd gezinspeeld op een niveau van specifieke gevolgtrekkingen en een algemeen (zo men wil: ‘hoger’) niveau van de redeneerprocedure. Globaal kan men in een ruim opgevatte argumentatietheorie drie niveau's onderscheiden, te weten: I Vooronderstellingen, II Procedures, III Gevolgtrekkingen.

Bij I kan men denken aan rationaliteitspostulaten. (Vergelijk De Boer 1974, met name het hoofdstuk ‘Postulaten van de dialoog’.) Op dit vlak spelen wijsgerige overwegingen een belangrijke rol: wat is rationaliteit (kentheorie), hoe is mijn houding ten opzichte van gesprekspartners c.q. lezers (ethiek), en dergelijke. Op niveau II bevinden zich de afspraken betreffende het verloop van een redenering: hoe ligt de bewijslast, voor welke beweringen moet ik in een gesprek staan, enz. Niveau III tenslotte bevat de studie der gevolgtrekkingspatronen. De klassieke argumentatieleer is een allegaartje van voorschriften en waarschuwingen die aspekten van al deze niveaus bevatten. Zo valt het verbod van ‘ad hominem’ argumentatie zowel onder I als onder II. Evenzo is het waarschuwen voor cirkulaire definities zowel een onderdeel van de afspraak welke vormen van definitie toelaatbaar zijn (een II-procedure dus) als een redeneertechniek (op niveau III). Veel helderheid dient in deze nog verschaft te worden.

De logika beweegt zich alleen op de niveaus III en (deels ook) II. Daaruit blijkt al dat een niet al te bekrompen opgevatte argumentatietheorie zeker ook andere konnekties zal moeten aanknopen. Met de wijsbegeerte ligt dit - zoals gezegd - voor

[p. 275]

de hand. Verder is de taalkunde een geschikte partner en zeker ook de psychologie (om naast de verheven idealen van niveau I ook een gezonde dosis realisme in het vak te injekteren).

Een niet onvergelijkbare situatie kennen we overigens ook bij de studie van de taal, waar niveaus als syntaxis, semantiek en pragmatiek worden onderscheiden. De logika levert dan syntaktische en semantische informatie. Ze zegt bijvoorbeeld dat het woord ‘of’ slechts in bepaalde syntaktische kategorieën kan voorkomen (zie Harman 1972), dat het slechts twee betekenissen kan hebben (denk aan de waarheidstabellen voor exklusieve en inklusieve disjunktie) en dat ‘of’ in zijn inklusieve betekenis in het redeneren een rol speelt die gegeven wordt door regels als

Konkludeer uit A tot A-of-B, dan wel tot B-of-A.
Konkludeer dat C uit A-of-B volgt indien C zowel uit A als uit B volgt.

Daarnaast zal een pragmatische analyse ook nog moeten verantwoorden dat A-of-B alleen maar korrekt geuit kan worden door iemand die niet weet of A dan wel B het geval is.

Toch blijft het de vraag of deze prachtige schema's ook werkelijk een vak argumentatietheorie in het leven roepen. Zeker is waar dat er behoefte bestaat aan een ruim opgezette redeneertheorie die de drie geschetste niveaus bestrijkt. De moderne logika heeft het in deze ten onrechte laten afweten. Maar of dit nu betekent dat er ruimte is voor nog een redeneervak, of dat de niet-formele kanten en de niet-wiskundige konnekties van de logika weer meer reliëf moeten krijgen, is een open vraag. Men zou kunnen beweren dat de formele logika een krachtige informele logika als voedingsbodem nodig heeft, maar- omgekeerd- zal zo'n informele logika zonder exakte theorievorming nooit boven het amusante, maar in laatste instantie onbevredigende, klassificerende stadium uitkomen waarop ze zich reeds sinds Aristoteles bevindt. Wat dit betreft is het wellicht een teken aan de wand dat de opzienbarende geschriften van Toulmin en Perelman (zie Toulmin 1964 en Perelman & Olbrechts-Tyteca 1958) die allerlei tekortkomingen van de logika aan de kaak stelden, nooit veel meer dan manifesten zijn gebleken. Nadat deze auteurs een aantal zeer ware opmerkingen hadden gemaakt (onder meer bestaande in het aangeven van door de logika vergeten argumentatiepatronen) kwam er geen theoretische follow-up. ‘Dit is voorbarig’, zullen hun aanhangers repliceren: ‘Gun ons tijd (en, vooral, geld)’. Hoewel dit zaken zijn die ik ieder mens in ruime mate toewens, zou ik toch liever eerst onderzocht willen zien of de logika zijn leven niet kan beteren.

Bibliografie

E.W. Beth. Moderne Logika, Assen, 1969.

Th. de Boer. Vooronderstellingen van een kritische psychologie, Amsterdam, 1974.

R. Carnap & W. Stegmüller. Induktive Logik und Wahrscheinlichkeit, Wenen, 1959.

D. van Dalen. Formele Logika, Utrecht, 1971.

P.T. Geach. A program for syntax’, In: D. Davidson & G. Harman, eds. Semantics of natural language, Dordrecht, 1972.

J. Hintikka. ‘Quantifiers vs Quantification theory’, Linguistic Inquiry 5(1974), 153-177.

J. Horovitz. Law and Logic, Wenen, 1972.

G. Hunter. Metalogic, London, 1971.

W. Kamlah & P. Lorenzen. Logische Propädeutik, Mannheim, 1967.

[p. 276]

H.W. Kelsey. Logical Bridge Play, London, 1977.

W. & M. Kneale. The development of logic, Oxford, 1962.

F. von Kutschera. Inleiding in de moderne logika, Utrecht, 1972.

C. Perelman & L. Olbrechts-Tyteca. La nouvelle rhétorique. Traité de l'argumentation, Parijs, 1958.

A. Plantinga. The nature of necessity, Oxford, 1974.

D. Prawitz. Natural Deduction, Stockholm, 1965.

R.L. Purtill. Logic for philosophers, New York, 1971.

W.V.O. Quine. ‘Two dogmas of empiricism’, in: From a logical point of view. Cambridge (Mass.), 1953.

H. Reichenbach. Elements of Symbolic Logic, New York, 1966.

N. Rescher. An introduction to logic, New York, 1964.

B. Russell. ‘On denoting’, in: Logic and Knowledge, London, 1956.

P. Taylor. Normative Discourse, Englewood Cliffs. 1961.

S.E. Toulmin. The uses of argument. Cambridge, 1964.

O. Weinberger. Der Relativisierungsgrundsatz und der Reduktionsgrundsatz, zwei Prinzipien des dialektischen Denkens, Praag, 1965.