|
| |
| |
| |
Dirk van Dalen
Macht en onmacht van het getal
‘Zij zagen dat andere dingen, wat betreft het geheel van hun aard, op getallen
gelijken, en dat getallen de primaire elementen van het geheel der natuur zijn’.
Dit was, in de woorden van Aristoteles, het grondbeginsel van de Pythagoreeërs.
Getallen waren de kiem, het wezen van de dingen. Hoe ongewoon dit standpunt ook
mag schijnen, onze moderne opvattingen verschillen daar niet zoveel van. Wij
zouden tegenwoordig eerder zeggen: ‘alles kan met behulp van getallen gecodeerd
worden’. Nu gaat het wat te ver om ‘alles’ in een getal samen te vatten; emotie,
menselijke relaties en dergelijke verzetten zich nogal tegen een karakterisering
door getallen. Het is niet onmogelijk om bij voorbeeld tevredenheid op een
schaal van 0 tot 1 af te zetten, maar is er ook een getal dat precies mijn
tevredenheid op 1 maart 2002 vastlegt?
Er zijn dingen die wel door getallen vast te leggen zijn, een driehoek kan men
vastleggen door de lengtes van de zijden te geven. Neem bij voorbeeld 2, 3, 4.
Met enig nadenken kan iedereen met een passer en liniaal wel een driehoek maken
met zijden ter lengte van 2, 3 en 4 cm (en met 1, 2, 3 cm?) Weliswaar zijn er
veel van die driehoeken, maar ze zijn allemaal onderling congruent. Er is dus
wel een ideale driehoek mee vastgelegd. In de wetenschap is het vinden van
numerieke karakteriseringen een eeuwenoude traditie. Denk aan soortelijk
gewicht, inhoud, lading, atoomgewicht, enz. Getallen kunnen misschien niet alles
vastleggen, maar toch wel heel veel. Een Griekse nwo had
zonder gewetensbezwaren het project van Pythagoras kunnen subsidiëren.
Het loont in ieder geval om eens na te gaan wat die getallen dan wel zijn. Nu
zijn er vele soorten getallen; de natuurlijke getallen die bij het tellen
gebruikt worden, de breuken, de lengtes uit de meetkunde, enzovoort. Is er een
soort getal dat als ‘de moeder van alle getallen’ beschouwd kan worden? Een
verstandig mens doet er goed aan met de allereenvoudigste getallen te beginnen,
en dan de ingewikkelder getalsoorten af te leiden. Als we bedenken hoeveel
moeite het de mensheid gekost heeft om het getal 0 in te voeren, of de negatieve
getallen, of √2, dan is de geschiedenis van het getalbegrip een ware
geschiedenis van het denken. Wat de kinderen op de basisschool spelenderwijs
leren, | |
| |
heeft de mensheid met grote inspanning veroverd. Gaandeweg
hebben wij geleerd dat uit de natuurlijke getallen, 1, 2, 3, ..., alle andere
getallen gemaakt kunnen worden. We moeten dus overdenken wat die natuurlijke
getallen wel zijn. Het lijkt verleidelijk om een voorbeeld aan de natuurkunde te
nemen: die legde de eenheid van lengte vast door middel van een staaf, om het
even of het een Rijnlandse voet of een meter was. Zou er, evenals de
standaardmeter, ook een standaardgetal 1 zijn?
Het Museum of Fine Arts in Indianapolis heeft een collectie fraaie sculpturen van
de getallen 0, 1, ... 9. Kunnen we die niet gewoon bij afspraak aanwijzen als de
basis getallen van ons tientallig stelsel? Hier blijkt de gelijkenis met
natuurkunde op te houden. De meter was er pas toen Napoleon hem invoerde, maar
de getallen waren er altijd al. Dat wil zeggen, de mensheid is op een bepaald
moment gaan tellen, weliswaar met verschillende telwoorden, maar toch op een en
dezelfde manier, daar kwam geen keizerlijk besluit aan te pas. Er is nog iets
aan getallen dat ze doet verschillen van fysische objecten of symbolen: ze zijn
abstract. Ze horen in onze denkwereld thuis. De mens was al eerder met dit
verschijnsel geconfronteerd - uit ervaring kennen wij een ruime variëteit aan
stoelen, maar geen van deze is de stoel. Het begrip ‘stoel’
| |
| |
is abstract, wij kennen het zo goed dat we allerlei individuele
stoelen direct als zodanig herkennen. Helaas, er zijn geen getallen die wij in
de natuur kunnen waarnemen, we zien wel hoeveelheden inzittenden van een bus,
aardappelen op ons bord, bomen in de straat, maar geen getallen. De vraag die
zich nu opdringt is, zijn er dan wel getallen? Sommige mensen zijn radicaal
genoeg om dat de ontkennen. Zij zijn al tevreden met symbolen, streepjes op
papier, kralen aan een snoer, keepjes op een stok.
Ook in de wiskunde kan men zulke ideeën aantreffen, er zijn geleerden die de
getallen vergelijken met de stukken van het schaakspel, en de rekenregels zijn
dan niets meer of minder dan de spelregels van het schaakspel. Zo is er een
regel die zegt dat 1 + 1 = 2, of algemener a + a = 2a. De wiskunde wordt dan een
studie van een bepaald soort spelen. De manier waarop dit geformuleerd wordt is
veelal in een taalkundig gewaad. De stukken plus de regels vormen samen de
grammatica, en de wiskunde wordt een taalspel. Bij Wittgenstein zijn heel
expliciete uitspraken over wiskunde als (schaak-) spel te vinden, maar de
vergelijking is ook al bij negentiende-eeuwse formalisten te vinden. Het
verschil tussen het schaakspel en een taal (bijvoorbeeld van de wiskunde)
bestaat uit de toepassingen. Waar onze wereld zonder wiskunde niet goed denkbaar
is, helpt schaken ons niet zo in het dagelijkse leven. Maar als veldslagen zich
afspeelden volgens de regels van het schaken, dan zou het schaken op elke
militaire academie een verplicht vak zijn (Wittgenstein).
Hoe aantrekkelijk het formalistische standpunt ook mag zijn, het is tamelijk
defaitistisch. Het gaat er vanuit dat er ofwel helemaal geen getallen bestaan,
ofwel dat we er nooit achterkomen wat dat zijn. De positie lijkt een beetje op
het moderne onderwijs, waar de toonaangevende managers ervan uit schijnen te
gaan dat wij, of op zijn minst de leerling, er nooit achter zal komen wie
Bismarck was en of hij bestaan heeft, en ons tevredenstellen met het
substitueren van vaardigheid voor kennis: wie de beschrijving van Bismarck van
het internet kan plukken hoeft zich verder geen zorgen te maken.
Niet iedereen legt zich neer bij zo'n defaitistische instelling. De ‘het gaat
nergens over’-doctrine is tegelijk een slimme zet en een teken van geestelijke
armoede. Over het bestaan van abstracte dingen als getallen is lang en taai
gevochten, en de strijd is nog steeds niet beslist. Als getallen ergens bestaan,
dan is de menselijke geest de meest voor de hand liggende plaats. De wiskundige
is een ‘doe-het-zelver’, hij maakt zijn eigen materiaal.
Laten wij eens proberen na te gaan hoe dit ‘opereren in de geest werkt’ en in
hoeverre een coherente beschouwing ervan mogelijk is. In | |
| |
de
negentiende eeuw barstte de wiskunde uit haar garderobe, het idee brak door dat
langzamerhand het vak de grenzen van ‘getal en ruimte’ overschreden had.
Allerlei abstracte structuren dienden zich aan als de juiste gereedschappen voor
de bestudering van verschijnselen waaraan de traditie niet kon
toekomen. In de daarop volgende euforie werd wel eens vergeten dat ‘abstract’ in
de zin van ‘luchtkasteel’ wel erg mooi is, maar dat het toch nog wel ergens over
moet gaan. De reactie op de ongebreidelde zucht naar abstractie werd verwoord
door de negentiendeeeuwse geweldenaar, Leopold Kronecker. Van hem stamt de
slogan ‘God heeft de getallen gemaakt, de rest is mensenwerk’. Wat hij bedoelde
was: op basis van de natuurlijke getallen - die door God gegeven zijn - wordt de
hele wiskunde opgebouwd. Let wel, de natuurlijke getallen kwamen hier uit de
lucht vallen, en dat is niet direct bevredigend. Er was een Nederlander voor
nodig om de basis te verschaffen aan een wiskunde die gebouwd is op de
fundamenten van het natuurlijke getal. Luitzen Egbertus Jan
Brouwer nam geen genoegen met het koninklijke geschenk van de
getallen, hij wilde door reflectie nagaan hoe de menselijke geest zijn eigen
getallen maakte en daaruit de wiskunde ontwikkelde. Wie de geboorte van het
getal in de geest wil registreren, en dan wel zonder tussenkomst van allerlei
elektronica, maar door zelf-observatie en reflectie moet wel een stevige greep
op zijn geest hebben. Brouwer was wat dat betreft niet onvoorbereid, hij had
zich al vroeg in de mystiek verdiept, en meditatie en zelfinkeer was hem niet
vreemd. De uitkomst van zijn bespiegelingen is te vinden in zijn dissertatie
(blz. 8) waar hij de oer-intuïtie van de wiskunde
introduceert: ‘... de oer-intuïtie der wiskunde (en van alle werking van het
intellect) als het van kwaliteit ontdane substraat van alle waarneming van
verandering, een eenheid van continu en discreet, een mogelijkheid van
samendenken van meerdere eenheden, verbonden door een “tusschen”, dat door
inschakeling van nieuwe eenheden, zich nooit uitput’. Deze definitie heeft niet
direct bijgedragen tot groter begrip voor Brouwers schepping, hij is rijkelijk
compact, grenzend aan onbegrijpelijk. Gelukkig zijn er andere plaatsen waar wel
aanwijzingen te vinden zijn wat Brouwer in gedachten had. De meest directe
benadering is als volgt: ieder individu is doorlopend blootgesteld aan
sensaties, geur, licht, warmte, geluid, ... Nu is het een basisgegeven dat
sensaties nooit alleen komen. Na iedere sensatie komt er wel weer een, en hier
doet zich het verschijnsel voor van ‘het uiteenvallen van een levensmoment’ of
‘tijdsverschuiving’. Dit bestaat uit het vasthouden van een sensatie in het
geheugen en het ondergaan van het volgende. Het levensmoment vervalt dus in de
herinnering van het gepasseerde moment en het nieuwe, huidige moment. Hier
ontstaat dus een speciaal geval van tweeheid, | |
| |
bijvoorbeeld bestaande
uit een lichtflits plus de direct volgende donderslag, of een stoot gevolgd door
een pijngewaarwording.
Bij Brouwer speelde deze tijdsverschuiving bovendien
nog een speciale rol in zijn beleving van de mystiek. In zijn vroege geschriften
van 1905 beschrijft hij de oertoestand van het individu, waarnaar iedere
mysticus moet streven, als een chaotische toestand, waarin alles vloeit, waarin
geen onderscheid is tussen subject en object. In deze toestand komen en gaan
sensaties zonder dat het individu zich er op richt. Wanneer nu het individu zijn
aandacht concentreert op één sensatie, ziet hij die sensatie verglijden en
plaats maken voor een volgende. Dit is een eerste tijdsverschuiving. Deze is de
oorzaak van het uittreden van het individu uit de oertoestand. De wereld neemt
een aanvang. Dit is niet de plaats om de mystieke componenten van Brouwers
filosofie te vervolgen, maar het zij opgemerkt dat de terugkeer tot de
oertoestand gezien wordt als het ultieme doel van de (mystieke) mens. Wat van
deze terugkeer afleidt wordt negatief beoordeeld, met name de onderwerping van
de natuur en van de medeschepselen is een symptoom van een verderfelijke
‘veruiterlijking’. Brouwers standpunt dwingt hem ook om aan taal een uiterst
secundaire rol toe te kennen.
Uit de schepping van de ‘reële’ paren van sensaties ontstaat tenslotte de echte, abstracte tweeheid door een proces
van identificatie. Dat proces is onontbeerlijk om een enigszins bruikbaar
overzicht van de gecreëerde objecten te krijgen. Wanneer een mens aan het begin
van zijn levensloop staat is hij aangewezen op het vergaren van paren,
drietallen, viertallen, ... van sensaties. Dat zijn de direct ervaren gevoelens,
maar ze vormen wel een anarchistische onoverzichtelijke massa. Denk maar aan de
baby die aan het begin heel wezenlijk met de moeder te maken krijgt. De moeder
komt dan met tussenpozen ten tonele en de baby slaat ‘haar’ op als rijen van
sensaties. Die sensaties lopen uiteen van visuele impressies, bepaalde geluiden,
geuren, het geluid van voetstappen, krakende deuren, stemgeluid. In eerste
instantie zal de baby iedere moedersensatie complex als zelfstandig ervaren,
maar al snel past hij een grondig identificatieproces toe. Al die
moedersensaties worden als identiek beschouwd, zodat er maar één moeder
optreedt. Hierbij wordt het begrip ‘identiek’ fors geweld aangedaan, immers de
diverse moedersensaties verschillen aanzienlijk. Er zijn allerlei afwijkingen in
haardracht, kleding, geur enz. Niettemin heeft de baby al snel besloten dat er
slechts één moeder is. Dit proces is natuurlijk niet volmaakt. Ook baby's kunnen
zich vergissen!
Identificatie is een noodzakelijk middel om een overzichtelijke wereld te
scheppen en dat is voor de zelfhandhaving uiterst nuttig. De meest krasse
identificatie vindt plaats bij de getallen. Het individu ziet | |
| |
af van
alle eigenschappen van tweeheden (paren) behalve het
verschillend zijn. Op die manier ontstaat de abstracte tweeheid, wat wij het
getal twee noemen. En hiermee is de wiskunde geboren, na de twee kunnen we de
drie, vier, enzovoort maken. Het observeren van deze rijen van sensaties met de
bijbehorende abstractie-identificatie noemen we tellen.
Van beschrijving in de taal is nog steeds geen sprake, hier ligt het grootste
verschil met de formalistische opvatting. Brouwer drukte dit kernachtig uit: ‘Op
de vraag, waar de wiskundige exactheid dan wel bestaat, antwoorden beide
partijen verschillend: de intuïtionist zegt: in het menselijk intellect, de
formalist: op het papier.’
Het is natuurlijk niet zo dat Brouwer wiskunde zonder taal bedreef, ook hij had
de taal nodig als geheugensteun en voor communicatie, maar in het creatieve
proces speelde de taal geen essentiële rol. Brouwers opvattingen werden later
door Gödels werk bevestigd: er is geen taalkundige karakterisering van onze
getallen!
De natuurwetenschappen komen in principe op dezelfde manier tot stand. De
sensaties geven daar, na tussenkomst van de identificatie, aanleiding tot een
classificatie van fysische verschijnselen. Het is in dit kader dat de macht van
het getal tot uiting komt. Getallen, en in feite het hele wiskundige apparaat
liggen al klaar om de natuur in handige kaders te vangen. Een belangrijk aspect
daarbij is de isolatie van de natuurverschijnselen, dat wil zeggen afscherming
voor storende invloeden. Zo maakt de mens veel meer regelmatigheden in de natuur
dan er oorspronkelijk zijn, aldus Brouwer. Dit proces van mathematiseren is de
onmisbare basis van de succesvolle theorie, en verklaart ook (ten dele) de
onredelijke effectiviteit van de wiskunde: we zorgen er zelf voor!
Er is één opvallend aspect van Brouwers filosofie dat wezenlijk is voor zijn
getalsystemen, en voor zijn hele wiskundige universum, en dat is de rol van de
vrije wil. Die wordt het duidelijkste gedemonstreerd in het domein van het
oneindige. Het is nu eenmaal zo dat de wiskunde niet zonder het oneindige kan.
Het onmisbare getal π is daar een treffende illustratie van. Zonder π zouden we
ernstig gehandicapt zijn; maar π is niet een eindig op te schrijven getal. We
hebben oneindig veel decimalen nodig. En waar het over oneindige rijen getallen
of cijfers gaat duikt het probleem van het oneindige op, bestaat het, en is het
in onze geest net zo te overzien als de lijst cijfers op een schoolrapport? Hier
zijn de meningen verdeeld, de meerderheid van de natuurwetenschappers zal zonder
problemen het actuele oneindige, dat wil | |
| |
zeggen
het oneindige dat in zijn geheel gegeven en te overzien is, accepteren. Er zijn
ook aanhangers van het potentiële oneindige, dat is een
oneindigheid die niet kant en klaar voor ons ligt, maar onbegrensd groeit.
Binnen deze laatste groep neemt Brouwer een belangrijke plaats in; hij erkent
niet alleen dat, om een voorbeeld te noemen, de natuurlijke getallen niet ‘af’
zijn - na ieder getal kunnen we er nog een aanwijzen, maar ze zijn er nooit
allemaal tegelijk. Hij gaat echter verder, we kunnen met onze vrije wil
willekeurige getallen in een niet eindigende opvolging kiezen. Deze zogenaamde
keuzenrijen introduceren in de wiskunde een element van onbepaaldheid en
vrijheid dat tegelijk de macht en de onmacht illustreert van reële getallen (die
immers door oneindige rijen decimalen of andere oneindige hulpmiddelen gegeven
worden). Over dat soort getallen is weinig te zeggen. Er mag bij de bekende
getallen als π nog veel onbekend zijn - bijvoorbeeld, komt er onder de decimalen
een rijtje 555555555555555555555555 voor, zijn er oneindig veel negens - bij de
keuzegetallen is alles nog veel erger. Bij π weten we tenminste hoe we iedere
volgende decimaal kunnen uitrekenen, maar bij keuzegetallen is alles nog
onbekend. Doordat deze getallen niet goed van elkaar te onderscheiden zijn (dat
zou immers bekendheid met de toekomst eisen), belichamen zij het oude ideaal van
de lijn als een vloeiende niet te splitsen brei; de lijn zoals Aristoteles die
zag. Hiermee had Brouwer aangetoond dat het atomaire karakter van de getallen
een mogelijkheid, maar niet de enige, was. Er is geen dwingende reden om de
getallen als een collectie losse, van elkaar te onderscheiden dingen te zien.
Hermann Weyl, de man die wiskunde, natuurkunde en filosofie in zich verenigde,
schreef opgetogen: ‘De ijskorst is tot schotsen verbrokkeld, en nu wordt het
element van het vloeiende spoedig totaal meester over het vaste. L.E.J. Brouwer ontwierp - en dat is een prestatie van
grote kennistheoretische draagwijdte - een strenge wiskundige theorie van de
getallenlijn, die deze niet als een star zijn, maar als medium van vrij ontstaan
ziet’.
Wonderlijk genoeg introduceert de schepping van het getal in de geest ook een
ethisch probleem. Voor de dingen die je maakt in de geest ben je
verantwoordelijk, de geest is de hoogste instantie die het gedrag van getallen
beheert en beheerst. In de praktijk heeft dat geleid tot een aanzienlijke
verhoging van de strengheid binnen de wiskunde. Een verschijnsel dat al
praktische gevolgen gehad heeft. De vrije wilheeft de reële getallen een grotere
vrijheid gegeven, meer chaos toegestaan, de macht over het getal is
teruggebracht tot de menselijke maat. Daar staat tegenover dat wat ons rest
betrouwbaarder is. Want wie een concrete eigenschap constateert in een
chaotisch, anarchistisch universum, weet kennelijk veel meer dan wanneer hij met
een tam universum | |
| |
van doen had, waar alle objecten keurig op hun
plaats blijven. Ook hier geldt het principe van Cruijff: ieder nadeel heeft zijn
voordeel.
Literatuur: D. Van Dalen. L.E.J. Brouwer. Een biografie. Bert
Bakker, 2001. D. Van Dalen (red.) L.E.J. Brouwer en de Grondslagen
van de Wiskunde. Epsilon, 2001.
|
|
Auteursrechtelijk beschermd