Queeste. Tijdschrift over middeleeuwse letterkunde in de Nederlanden. Jaargang 2000

‘Drie coop-lieden maken een buerse’, en andere netelige vraagstukken
Erwin Huizenga

Naar aanleiding van: Marjolein Kool, Die conste vanden getale. Een studie over Nederlandstalige rekenboeken uit de vijftiende en zestiende eeuw, met een glossarium van rekenkundige termen. Hilversum, Verloren, 1999. (Dissertatie Universiteit Utrecht 1999.) Middeleeuwse Studies en Bronnen 64. (403 p., ill., diskette) ISBN: 90-6550-050-2. Prijs: f 75,-.

Stel dat je het volgende vraagstuk voorgelegd zou worden: Drie coop-lieden maken een buerse [creëren een gezamenlijk handelskapitaal]. De eerste legt 19 pond in, de tweede 16, en de derde 13. Ze maken er een winst van 7 pond op. Hoeveel winst krijgt ieder van die kooplieden nu naar evenredigheid van zijn inleg uitgekeerd? De opgave komt voor in een gedrukt rekenboek uit 1569, en wordt, samen met vele andere fascinerende rekenvoorbeelden, beschreven in het boek van Kool (i.c. p. 209).

De basis voor dit onderzoek werd al in 1988 gelegd. De specialistische deelgebieden van de auteur, de Middelnederlandse letterkunde én de geschiedenis van de wiskunde, vormen een gelukkige en voor dit onderzoek noodzakelijke combinatie om te voorzien in de leemte die er voor dit deel van de studie naar de Middelnederlandse artes-literatuur bestaat. Want hoewel de arithmetica gedurende vele eeuwen een vast onderdeel van het quadrivium van de artes liberales vormde, en de artes binnen de medioneerlandistiek zolangzamerhand een bloeiende tak beginnen te vormen (getuige onder andere de oprichting van de Werkgroep Middelnederlandse Artes-Literatuur (wemal) in 1999), zijn de publicaties over de wis- en rekenkunde toch nog steeds uitermate schaars. Eén van de redenen hiervoor zal wel het weerbarstige, taaie en weinig tot de verbeelding sprekende karakter van de teksten in de handschriften en boeken zijn. Aan een schaarste van het bronnenmateriaal kan het niet liggen; zeker voor de betreffende periode zijn er handschriften en drukken in overvloed.

De dissertatie behandelt de in het Middelnederlands geschreven rekenboeken, daterend vanaf ongeveer de tweede helft van de vijftiende, en de zestiende eeuw. Kool heeft een corpus van zesendertig van dergelijke rekenboeken samengebracht. Het gaat om twaalf handschriften en vierentwintig gedrukte edities, ofwel alle tot nu toe bekende bronnen uit deze periode. Sommigen van deze bronnen zijn kopieën of herdrukken van oudere werken. Binnen het geheel van het corpus kunnen enkele belangrijke centrale werken onderscheiden worden. Ik noem de drie handschriften uit de vijftiende eeuw die Middelnederlandse rekenboeken bevatten: het oudste daarvan is Bazel, UB, hs. FVII 12 (gedateerd 1445; in het Repertorium van de Middelnederlandse artes-literatuur van Ria Jansen-Sieben (Utrecht, 1989), nr. B 20, p. 232); Keulen, Historisches Archiv,W* 262 (1453; Rep. nr. K 260, p. 361-62); en Brugge, Stadsarchief, Oud-Archief nr. 538 (1463; Rep. nr. B 350, p. 243-44.) De belangrijkste (post-) incunabelen zijn Amsterdam, UB, Ned. Inc. 293, met de door Willem Vorsterman in 1510 in Antwerpen gedrukte tekst van Die maniere om te leeren cijfferen ende rekenen metter pennen ende metter penningen (Rep. p. 158); Brussel, KB, LP7794A, met Gielis van den Hoecke, Een sonderlinghe boeck in dye edel con-

[p. 182]

ste Arithmetica, gedrukt door Symon Cock in Antwerpen in 1537 (Rep. p. 158); en tenslotte Antwerpen, Museum Plantin-Moretus, R 50.24, met de tekst van Martin van den Dijcke, Chijffer Boeck Inhoudende veelderleij subtile Exemplen, Questien ende vraeghen, gedrukt door Gheleijn Janssens in Antwerpen in 1591 (Rep. p. 163).

Met betrekking tot dit corpus concentreert de auteur zich op twee centrale onderzoeksvragen (p. 14):

1. Wat voor soort van rekenkundige instructies werden in deze boeken toegepast: wat werd er onderwezen, en hoe?

2. Welke bijdrage leverden deze werken aan de ontwikkeling van de wiskunde in de Nederlanden in het algemeen, en aan enkele aspecten in het bijzonder, zoals bijvoorbeeld de ontwikkeling van de wiskundige terminologie?

Het boek bestaat uit acht hoofdstukken en verschillende appendices, waarin wordt geprobeerd om tot een antwoord op deze vraagstellingen te komen. In het eerste hoofdstuk wordt beknopt beschreven wat de belangrijkste wis- en rekenkundige ontwikkelingen in de late Middeleeuwen en de vroege Renaissance waren. In de eraan voorafgaande periode blijken twee methoden om te kunnen rekenen de overhand te hebben gehad: het zogenoemde penningrekenen, en, vanaf de twaalfde eeuw, het rekenen met een rekenbord met verticale lijnen, de abacus. Dit laatste systeem werd op twee manieren gerepresenteerd: in de vooral praktische abacus-traktaten, en in de veel theoretischer algorismus-traktaten. Deze laatste traditie verdwijnt overigens alweer in de zestiende eeuw. Pikant is dan ook dat de oudste overgeleverde Middelnederlandse tekstgetuige (hs. Bazel, zie hierboven) als enige van het corpus behoort tot deze algorismus-traditie, en daarmee aansluit bij de Latijnse geleerdenwereld (p. 37, n. 84). Hoofdstuk twee bevat een overzicht van hoe de wiskundige kennis in de Nederlanden in deze periode werd doorgegeven, en welke schoolsystemen en schoolinstituties (parochiescholen, stadsscholen, bijscholen, Franse scholen, etc.) er waren.

Het derde en vierde hoofdstuk gaan uitvoerig en gedetailleerd in op de inhoud van de Middelnederlandse rekenboeken. De meeste rekenboeken blijken vaak op een vergelijkbare manier te zijn opgebouwd: eerst was er aandacht voor de numeratie, dat wil zeggen instructies over het lezen en schrijven van de Hindoe-Arabische cijfers, en de meest eenvoudige bewerkingen zoals optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. In het vierde hoofdstuk volgt dan de ‘hogere’ wis- en rekenkunde, in de vorm van rekenregels en gecompliceerde toepassingen. Bijna alle laatmiddeleeuwse rekenboeken hebben aandacht voor de zogenoemde ‘regel van drieën’: een methode om bij drie gegeven getallen het vierde evenredige getal te kunnen berekenen. Veel bewerkingen zijn ook voor de alpha's, die de meesten onder ons toch zijn, nog redelijk goed te volgen, maar er zijn ook momenten dat je als moderne lezer nog wel eens terugverlangt naar je eigen schoolbankjes: hoe zat het ook al weer? Wie kent bijvoorbeeld nog het begrip binomiaalcoëfficiënt, een manier om te kunnen worteltrekken (p. 122)?

Eén van de meest interessante hoofdstukken is hoofdstuk vijf, waar het publiek wordt behandeld dat de auteurs van de rekenboeken bij het schrijven in gedachten hadden. Het blijkt dat de boeken bestemd waren voor een jong, mannelijk publiek. Zij gebruikten deze boeken voor hun onderwijs en opleiding als kooplui of als administratieve kracht. Veel problemen in de rekenboeken zijn dan ook bij uitstek van praktische aard: ‘rekenkunde [is] synoniem met het kunnen oplossen van vraagstukken. De rekenkunde is geen doel, maar een middel. Je kunt pas rekenen als je de rekenkunde kunt toepassen’ (p. 210). Het voorbeeld uit de aanhef van deze recensie is wat dat betreft hoogst illustratief. De praktische doelstelling van de rekenboeken zorgt er ook voor dat er vrijwel geen aandacht is voor bewijzen of definities: de beschreven methode werkt in de praktijk van de aanstaande koopman of secretaris, en daar gaat het om. De rekenboeken getuigen daarmee bij uitstek van het willen doorgeven van kennis, het pragmatische, het utilitaire, dat veel artes-teksten zo kenmerkt, en in dit geval ook nog eens aan een heel nauw omschreven doelgroep.

In hoofdstuk zes wordt beschreven hoe complex de relaties tussen de rekenboeken onderling soms konden zijn, zowel in de Nederlanden als in de ons omringende landen. Met behulp van gedetailleerde stemma's (culminerend in figuur 6.6. op p. 279), voorzien van uitvoerig commentaar, van de vijf belangrijkste rekenboeken (vier drukken en één handschrift), laat de auteur zien hoe bij ieder van

[p. 183]

deze boeken in meer of mindere mate gebruikt werd gemaakt van de inhoud van diens voorgangers. Over de originaliteit van hun werken maakten de samenstellers van de boeken (ik gebruik hier met opzet deze wat meer neutrale term; zie hieronder) zich niet druk; hun enige doel was de rekenkunde zo duidelijk mogelijk te onderwijzen.

Het zevende hoofdstuk bespreekt de inhoud van de Nederlandse wis- en rekenkundige terminologie in de zestiende eeuw. Met overtuiging laat Kool zien hoe een van oorsprong Latijnse terminologie aan de volkstaal, in casu het (Middel)Nederlands werd aangepast. Hiertoe stond de vertaler een heel scala aan mogelijkheden ter beschikking: vooral Latijnse, maar in de zestiende eeuw ook Duitse en Franse termen konden ongewijzigd worden overgenomen, aangepast worden aan het Nederlands, vervangen worden door een bestaand Nederlands woord (betekenisontlening), of vertaald met een nieuw Nederlands woord. Maar er was bepaald nog geen sprake van standaardisering: er ontstonden veel verschillende benamingen voor dezelfde rekenkundige termen. Uiteindelijk vormt die zestiende eeuw echter wel de voedingsbodem waarop onze huidige wiskundige woordenschat is gebaseerd. En soms levert dat ook prachtige, nu reeds lang vergeten termen op, zoals het schitterende woord duusentduust (1000 × 1000, een miljoen; p. 63).

Het achtste en laatste hoofdstuk is vooral een beknopte beschrijving van het programma dat zich op de bijgevoegde diskette bevindt. Deze diskette bevat een glossarium van alle rekenkundige woorden en uitdrukkingen die in de rekenboeken voorkomen. Van elk woord wordt de betekenis gegeven, evenals de citaten waarin ze in déze betekenis voorkomen. Daarnaast vindt de lezer in één oogopslag de vindplaatsen van het betreffende woord, de oudste bron waarin het voorkomt, en bronbeschrijvingen. De diskette heeft bewezen een belangrijke en goed georganiseerde aanvulling op de tekst te zijn voor de lezer die meer wil weten. De opname van de diskette als onderdeel van het boek is ook bedoeld om de tekortkomingen van het MNW en het WNT op dit gebied op te vullen (p. 328). Wat hierbij echter (opnieuw) opvalt, is dat de ontwikkelingen van de nieuwe multimedia dit sympathieke initiatief alweer ingehaald hebben op het moment van verschijnen: het gegeven dat hetzelfde programma in een oogwenk van het Internet gedownload kan worden maakt de diskette in feite overbodig (www.math.uu.nl/publications/kool/download.html).

De inhoud van het boek wordt verlevendigd door talrijke citaten, en door buitengewoon veel illustraties (hoewel ‘illustraties’ een groot woord is - in de meeste gevallen betreft het facsimile-achtige kopieën van pagina's met overwegend grafisch-tekstuele elementen uit de gedrukte bronnen van het textcorpus van Kool, die te maken hebben met een specifieke rekenmethode of met rekenkundige regels). Deze ‘illustraties’ laten zien hoe verbeeldingsrijk de zo nu en dan - het moet worden gezegd - saaie berekeningen aan de lezers werden gepresenteerd. Dit is gedaan, volgens Kool, ‘om de lezer van deze studie de gelegenheid te geven zoveel mogelijk rechtstreeks in contact te treden met het wiskundig denken van de auteur’ (p. 15). Blijkbaar is dit een belangrijk punt voor de auteur, want op deze én de volgende pagina wordt een vergelijkbaar argument nogmaals gegeven in veelal dezelfde, en dus redundante bewoordingen. Mooie voorbeelden van deze verbeeldingsrijkheid zijn te vinden op pagina's 88 en 89, waar enkele bijzonder ingewikkelde delingen op kunstzinnige wijze de vorm van zeilboten aannemen (niet voor niets is de afbeelding van p. 89 ook op het omslag terechtgekomen).

De talrijke citaten en de bijbehorende woordverklaringen zijn over het algemeen heel accuraat, en worden bovendien ook nog eens duidelijk van de hoofdtekst onderscheiden doordat ze in twee kolommen gedrukt zijn. Maar soms lijkt het erop dat Kool de lezer een beetje onderschat, wanneer ze dezelfde woordverklaringen meer dan eens op één pagina geeft (zie bijvoorbeeld p. 67, waar de lezer na één keer heus wel weet dat adderen ‘optellen’ betekent).

Ondanks het gedetailleerde pionierswerk dat Kool met betrekking tot de Nederlandstalige rekenboeken uit de vijftiende en de zestiende eeuw heeft verricht, kent het boek toch ook enkele tekortkomingen, meestal van lichte aard. Eén van de grootste tekortkomingen is in mijn opinie de manier waarop de auteur omgaat met haar concept van ‘auteur’. Veel te gemakkelijk wordt iedere naam die op één of andere manier verbonden is met één of meer van de rekenboeken uit haar corpus een

[p. 184]

‘auteur’ genoemd, terwijl het duidelijk is dat in sommige gevallen men veeleer zou moeten spreken van compilator, vertaler, of (in het geval van de handschriften) louter van kopiist. Kool gebruikt het woord ‘auteur’ al te gemakkelijk in onze moderne betekenis, namelijk die van een schepper van een oorspronkelijke geschreven tekst, voor een situatie waarin dat concept niet in deze vorm van toepassing is. Natuurlijk is het heel goed denkbaar dat deze begrippen of functies in één persoon samenvielen, maar op sommige momenten zou het belangrijk zijn geweest om ze gescheiden te behandelen, voor een goed inzicht in de ware aard van de relaties die er tussen de bronnen bestonden. Als voorbeeld citeer ik p. 256:

Op zijn beurt werd het rekenboek van Van den Hoecke weer gebruikt door latere auteurs. De folia 1r tot en met 123r zijn woordelijk afgeschreven door de scribent van H-GrU-1558, inclusief de rekenfouten. [...] Slechts twee keer voegt de scribent iets toe aan zijn bron.

Het is duidelijk dat er hier geen sprake kan zijn van een ‘auteur’. Hier wordt gekopiëerd, niet geschapen, en er is zelfs geen sprake van het in dit opzicht grijze schemergebied van de compilatie. Opvallend is dan ook, dat een enkele keer Kool zich wél bewust lijkt van deze (inderdaad heikele) problematiek (p. 27, n. 39).

Om het omvangrijke corpus tekstgetuigen waarmee Kool werd geconfronteerd te kunnen ordenen op een manier die begrijpelijk en herkenbaar is, gaf ze ieder boek een signatuur, bestaande uit drie elementen: een H of een D om aan te geven of het om een handschrift of om een druk gaat; drie letters die ofwel de bewaarplaats aanduiden (in het geval van een handschrift), ofwel de naam van de auteur dan wel het eerste belangrijke woord bij anonieme teksten (in het geval van een druk); en het jaartal waarin het boek verscheen of werd geschreven. Zo betekent het hierboven genoemde H-GrU-1558 handschrift Groningen, Universiteitsbibliotheek, 440, afkomstig uit 1558. Zo'n aanpak valt alleszins te billijken, omdat daarmee een uniform en duidelijk systeem van verwijzen wordt gecreëerd, noodzakelijk voor het betoog. Maar, afgezien van het feit dat de leesbaarheid er niet bepaald mee bevorderd wordt (maar hoe zou het anders moeten?), waarom wordt pas helemaal op het eind van het boek (p. 385) duidelijk gemaakt wat de systematiek achter de signaturen is? Dit had mijns inziens veel beter al in de inleiding kunnen worden gepresenteerd, op het moment dat naar de bijlage II verwezen wordt (p. 14), of in de ‘speurtocht naar de bronnen’ (p. 18).

Er kunnen ook vraagtekens worden gezet bij de manier waarop Kool sommige van haar hoofdstukken ordent. Als voorbeeld noem ik hoofdstuk zes, over de relaties die er tussen de verschillende tekstgetuigen bestaan. Dit hoofdstuk is hiërarchisch geordend, van de centrale, meest belangrijke tekstgetuigen aan het begin, tot de boeken die eraan gerelateerd zijn erop volgend. Maar ik vraag me af of het nu echt noodzakelijk was om D-Man-1510 een aparte subparagraaf te geven (6.1.1 op p. 248), wanneer die subparagraaf niet meer dan zegge en schrijve één kort regeltje bevat. Iets anders is dat Kool weliswaar vermeldt dat alle handschriften en drukken genoemd worden in het standaardwerk over de Middelnederlandse artes-literatuur van Ria Jansen-Sieben (zie hierboven), maar dat ze nergens de referenties naar dit Repertorium geeft, waar ze dat naar mijn idee wel had moeten doen. Een enkele keer gaat het boek mank aan wat vreemd aandoende, onbeholpen of niet ter zake doende formuleringen (‘de beschrijving van de rekenkunde die thans voor u ligt [...]’; p. 56, n. 1). Kool richt zich naar mijn smaak een enkele keer ook iets te veel op de kale inhoud van het bronnenmateriaal, daar waar gelegenheid zou zijn om nader in te gaan op de achterliggende mechanismen, de maatschappelijke context die de vorm van de tekst bepaalden. Als voorbeeld noem ik het verschijnsel van het gebruik van rijm als mnemotechnisch hulpmiddel. Al enkele jaren is er binnen de medioneerlandistiek veel aandacht voor de functionele verschillen tussen proza en rijm in de artes-teksten. Veel meer dan in het verleden werd gerealiseerd blijken berijmde teksten voor te komen in proza-handschriften óf-traktaten, en daar een eigen, speciale rol te vervullen. Uit deze studie blijkt dat dit zelfs in dergelijke ‘droge’ teksten nog het geval is, tot in de zeventiende eeuw toe (p. 229; vgl. p. 133 en 96). Kool constateert dat rijm voorkomt, maar doet er verder niets mee - een gemiste kans. Daarnaast zijn er ten-

[p. 185]

slotte ook nog enkele onzorgvuldigheidjes in dit boek geslopen, zoals de verkeerde plaats van enkele titels in de alfabetisch geordende bibliografie (p. 392), blijkbaar haast onvermijdelijk in dit tijdperk van tekstverwerkers met hun autocorrectie die tot minder oplettendheid uitnodigen, en bij een werk van deze omvang en reikwijdte.

Maar al met al valt dit in het niet bij het belang van het boek als geheel. Die conste vanden getale moet beschouwd worden als een magnifieke, breed georiënteerde studie, waarin Marjolein Kool met grote deskundigheid veel moeilijke onderwerpen en thema's voor het voetlicht heeft gebracht, en haar uiterste best heeft gedaan om de lastige rekensommen zo begrijpelijk mogelijk te maken voor een breed publiek van geïnteresseerde lezers - óók wanneer zij, zoals ik, geen wiskundigen zijn.

Adres van de auteur: Universiteit Leiden, nlcm, Postbus 9515, nl-2300 ra Leiden

P.S. Het antwoord luidt trouwens 2,77 pond winst voor de eerste, 2,33 pond voor de tweede, en 1,90 pond voor de derde koopman.