Over Multatuli. Delen 18-19

[p. 37]

J.J.P. Nauta
Multatuli als kansrekenaar

Eens-voor-al, het woordjen is gebruik ik tot verkorting van: ‘zou misschien, als ik me niet bedrieg, en u waarschuwende tegen m'n neiging tot scheef zien, kunnen wezen’.
(Idee 18)

Rijk zijn

Volgens Multatuli kwam rijk zijn met zijn gehele wezen overeen.^1. De plannen die hij daartoe smeedde waren nogal on-hollands, niet door hard te werken en zuinig te leven (aangezien dit laatste hem onmogelijk was) maar door een snelle slag of een geniale vondst meende hij fortuin te zullen maken. Zo onthult hij aan het slot van zijn Millioenenstudiën (1873) het plan om op de plaats- en bagage-briefjes van o.a. de Spoorwegen reclameteksten te drukken. En hoewel hij op het moment van publicatie al niet meer aan de realisatie van het plan geloofde, heeft hij eens, zo schrijft Marie Anderson,^2. gedacht dat het hem schatrijk zou maken. Het idee bleek echter niet nieuw, en elders al in gebruik.

Multatuli was een notoire kansspeler - regelmatig was hij te vinden in een van de vele Europese casino's, dromend van de grote slag. Toen hij in december 1852 samen met Tine met verlof naar Holland kwam, joeg hij hun geld (o.a. achtduizend gulden spaargeld) er in hoog tempo door - hij hing graag de Grand Seigneur uit. Op 1 januari 1854 werd hun zoon Edu geboren, maar deze vreugdevolle gebeurtenis werd overschaduwd door geldzorgen. De familie wenste hem niet langer geld te lenen, en zo was hij gedwongen een voorschot van drie maanden op zijn traktement te vragen. Bovendien was alle hoop vervlogen ooit nog eens de erfenis van dertig duizend gulden te innen waar Tine volgens geruchten recht op had. De speelzalen te Spa, Wiesbaden en Homburg moesten nu uitkomst brengen. Hij had anderen een systeem zien spelen, een systeem dat volgens zijn berekeningen zo niet tot winst, dan in ieder geval toch niet tot grote verliezen kon leiden. Natuurlijk werkte het niet, integendeel zelfs.^3.

Jaren later, letterlijk met schade en schande wijs geworden, deed hij in Millioenenstudiën (M-S) op uiterst speelse en onderhoudende wijze verslag van zijn belevenissen ‘Am grünen Tisch’.

De eerste bespreker van het boek, Jan Versluys, zocht de essentie in de gedeelten over de waarschijnlijkheidsrekening.^4. Hoewel ik die, door Multa-

1. Brief aan zijn broer Pieter. Geciteerd in: Paul van 't Veer, Het leven van Multatuli. (De Arbeiderspers) Amsterdam 1979, p. 280.

2. Marie Anderson, Uit Multatuli's Leven. Met inleiding en annotaties door J. Kortenhorst. (Reflex) Utrecht 1981, p. 51.

3. Paul van 't Veer. De paragrafen iv-4 en iv-5.

4. Zie: Multatuli Miljoenen-studiën. Met een nawoord van J.J. Oversteegen. (Querido, salamander-uitgave 585) Amsterdam 1984, p. 288.

[p. 38]

tuli onmiddellijk gesignaleerde foutieve benadering niet wil overnemen en zonder iets te willen afdoen aan de literaire waarde van het werk, wil ik mij hier toch beperken tot hetgeen Multatuli beweert over kansspelen, en nagaan in hoeverre zijn uitspraken correct zijn.

Nummerzetten

In 1870 wordt Multatuli aangesteld als feuilletonist van het dagblad Het Noorden. In die hoedanigheid verblijft hij te Wiesbaden, alwaar hij door toedoen van Fancy terecht komt bij Adolf, de bouwer van de toren van Sonnenberg. Deze houdt zich nu, lang na zijn dood, ondergronds bezig met het maken van ijzer. Gevraagd naar de reden van zijn komst antwoordt de bezoeker dat hij macht zoekt om goed te doen, dat hij daarom onderwezen wil worden in de kunst van rijkworden. Adolf wijst hem op de mogelijkheden die de industrie biedt, maar die worden als verrot van de hand gewezen. De speelzaal lokt, de gast verzoekt onderricht in kansrekening. Dat wordt toegestaan, en met de les dat alles in alles is, dat alles, dus ook de kansrekening, berust op de grondwaarheid dat twee maal twee gelijk aan vier is, wordt de schrijver naar boven gezonden.

Eenmaal weer gelijkvloers vliegt hij naar de speelzaal om zijn laatste taler in te zetten op 32, het nummer van zijn kamer, maar ook - o toeval - dat op het recuitje van zijn parapluie. En zo valt hij Logos af: ‘De schrandere lezer begrypt dat er een ander nummer uitkwam. Inderdaad? Begrypt-i-dat? Welnu, dan haaste hy zich zyn intelligentie toe te passen op het spel. Als men overtuigd is dat hotelkamers, parapluiemerken en Heiligen verkeerde nummers opgeven, kan men veel kwade kansen uitwinnen, en de winst is zeker’ (pag 130^*) Weg taler. ‘Als ik eens nauwkeurig de roulet beschreef, dacht ik, en de kansen berekende?’

Na aldus tot Logos te zijn teruggekeerd, komt Multatuli tot een heldere uiteenzetting van de verschillende manieren van nummerzetten, de bijbehorende kansen en de uitbetalingen in geval van winst (p. 132-133). Wat betreft de bepaling van de kansen houdt Multatuli zich aan het gelijke-waarschijnlijkheden-beginsel van Laplace (1749-1827). Toegepast op roulette zegt dit beginsel, dat de kans op winst gelijk is aan het quotiënt van het aantal gunstige mogelijkheden, het aantal nummers waarop gezet is, en het totaal aantal mogelijkheden, 37 nummers. Over deze kansdefinitie, die slechts beperkt toepasbaar is, is vooral in het begin van deze eeuw veel te doen geweest. Maar thans gaat men er vanuit dat het beginsel toegepast mag worden, daar de roulette een aselector is (d.w.z. een apparaat dat op onvoorspelbare wijze getallen genereert - echter, het ene getal niet systematisch vaker dan het andere).

Van het roulettespel bestaan meerdere varianten, maar Multatuli beperkt zich gemakshalve tot die welke in zijn dagen te Homburg werd gespeeld, d.w.z. het spel met één Zero die noch voor rood noch voor zwart telt (zie noot bij pagina 125). Een winnende inzet wordt 35 maal uitbetaald, niet

* : Volledige Werken 5.

[p. 39]

alleen en plein gezette mises, maar ook bijvoorbeeld carré-zetten. In het laatste geval wordt bij het uitkomen van één van de vier nummers ¼ deel van de inzet geacht op het winnende nummer te staan. Dat deel wordt dan ook 35 maal uitbetaald, de rest van de inzet vervalt aan de bank. Dus de gehele inzet wordt 35 × ¼ − ¾ = 8 maal uitbetaald.

Vervolgens wordt de winstverwachting van de bank tot die van de speler uitgedrukt als 19: 18 (p. 133). Even lijkt het dan of Multatuli zich onzuiver uitdrukt, of hij met kans op winst zowel bedoelt de waarschijnlijkheid dat bepaalde nummers uitkomen, als ook het produkt van die kans met de uitbetaling in geval van winst. Maar enkele regels lager corrigeert hij zichzelf door te schrijven: ‘(...) onderscheiden kansen in verhouding tot de uitbetaling’ (p. 134).

‘Deze verhouding’, zo legt hij uit, ‘wordt teweeg gebracht door de ongelykheid tussen het aantal kansen op winst, en de uitbetaling áls men wint’. Op het eerste gezicht is dit (19:18) niet de meest voor de hand liggende verhouding. Immers, wordt de eerder gevolgde benadering doorgetrokken - in geval van winst de inzet delen door het aantal nummers waarop is gezet - dan leidt dit tot de verhouding 36:35. Ook bij een tweede benadering, waarbij men voor elke manier van zetten afzonderlijk de verhouding bepaalt, wordt 19:18 slechts in één geval gevonden. Een voorbeeld: een winnende transversale-zet: een zet op zes nummers, wordt 5 maal uitbetaald. Dus staat de winstverwachting van de bank tot die van de speler dan als (37−6) × 1: 6 × 5 = 31: 30.

Duidelijker is zijn bewering dat dooreen gerekend 1/37 deel van al het geld dat op nummers wordt gezet aan de bank vervalt (p. 134). Zet een speler in op a nummers, dan staat de winstverwachting van de bank tot die van de speler als 37-a: 36-a.^5. (de verhouding is dus 19:18 indien men speelt op 18 nummers). Zo zullen transversale-zetten per 37 coups gemiddeld 6 keer tot winst leiden en 31 keer tot verlies. De bank keert dan 6×5 = 30 maal de inzet uit, maar ontvangt deze 31 maal. Nu betekent dit echter geenszins dat elke speler altijd 1/37 deel van zijn geld bij de bank inlevert. De ene speler zal winnen, de andere verliezen, maar ‘ 't gehele speelpubliek tezamen genomen levert op het nummerspel onophoudelyk die fatale 2 26/37 procent’.^6.

Om zijn gelijk aan te tonen, laat Multatuli een speler 37 achtereenvolgende coups telkens 61 gulden op dezelfde manier inzetten. Vervolgens gaat hij na hoeveel het verlies van de speler bedraagt indien alle nummers één keer uitkomen. De speler blijkt nu 61 van de 2257 ingezette guldens te verliezen, dat is 1/37 deel: ‘Wat ik bewyzen wilde’ (p. 152). Om dat op zijn wijze aan te tonen, moet hij een berekening van ruim vier pagina's opstellen. Het kan echter veel eenvoudiger, namelijk door per ingezette gulden te kijken in plaats van voor ieder uitkomend nummer afzonderlijk te rekenen zoals Multatuli doet. Kies een zet, bijvoorbeeld à cheval 3 à 6, welke in geval van winst 17 maal wordt uitbetaald. Als in 37 coups alle nummers één keer uitkomen, dan zal er op die zet 2 keer winst worden behaald, en 35 keer worden verloren - gevolg, een verlies van 35 × 1 − 2 × 17 = 1 gulden.

5. Zet een speler in op a nummers, dan is zijn kans op winst gelijk aan a/37. Kamt één van de nummers uit, dan wordt l/a deel van de inzet uitbetaald, het resterende deel vervalt aan de bank. Dus in geval van winst ontvangt de speler (35 × l/a − (a−1)/a) maal zijn inzet: de winstverwachting van de speler is gelijk aan a/37 × (36−a)/a. De kans dat de bank wint is gelijk aan (37−a)/37, en omdat zij in dat geval de gehele inzet naar zich toestrijkt is dit tevens haar winstverwachting. Hiermee volgt, dat de winstverwachting van de bank tot die van de speler staat als 37−a: 36−a.

6. 1/37, of wel 2 26/37%.

[p. 40]

Aangezien dit, mutatis mutandis, ook geldt voor de overige 60 gulden, weet de speler zich verliezer van 1/37 deel van zijn geld.

Natuur

In zijn jeugd had Multatuli zich ter wille van zijn verloofde Caroline Versteegh laten dopen. Ook schreef hij in die dagen gedichten met regels als:

‘Men is zyn God op bergen meer naby’.^7.

Het was echter geen keuze voor het leven. In bijna al zijn werken hamert hij erop de officiële godsdiensten niet te kunnen aanvaarden vanwege het irrationele karakter. In M-S wijst hij bovenstaande versregel zelfs nadrukkelijk af: ‘ 't Kwam zo in 't rym te pas’ (p. 27).

Hij erkende maar één God: de Rede, men leze de Ideeën 161-166. De inhoud komt in het kort op het volgende neer: Al wat is, moet wezen; hiervoor zorgt de noodzakelijkheid - zij drukt zich uit in feiten.

Ook in M-S komt deze leer uitgebreid aan de orde: ‘Die god heet Logos, de Rede. (...) Zyn bestaan berust op de waarheid der feiten. Hyzelf is die waarheid’ (p. 128). Weten noemt hij een menselijke eigenschap, maar: ‘Logos heeft geen weten nodig: hy drukt zich uit. Zyn slotsommen worden in feiten verkondigd’ (p. 155). Dit leidt tot uitspraken over roulette als: ‘Daar valt geen kogeltje van ivoor in enig nummervak, zonder den wil van Logos die van den beginne af alle seriën, alle intermittences geteld heeft, en niet wil dat één nummer verloren ga’ (p. 154). En: ‘De natuur is exact, en geeft haar seriën juist zo dikwyls, als tot behoud der meest stipte symmetrie nodig is’ (p. 171). De conclusie luidt dan dat de natuur zich niet laat foppen en dat niemand er op mag rekenen dat één bepaald nummer vaker uit zal komen dan een willekeurig ander.

Bovenstaande beweringen over roulette moeten wellicht worden beschouwd als dichterlijke vrijheden. Daarmee bedoel ik, dat Multatuli, om zijn argumentatie kracht bij te zetten, een grotere stiptheid suggereert dan de ervaring leert.

De natuur, of beter gezegd de roulette heeft geen geheugen. Het verleden heeft geen invloed op het toekomstige verloop van het spel. Het doet er niet toe hoe vaak bijvoorbeeld rood al is uitgekomen, in elke volgende coup is de kans op rood gelijk aan die op zwart. Terecht schrijft Multatuli dan ook op pagina 135: ‘het maakt geen verschil, of hy tot die zeven-en-dertig zetten telkens hetzelfde nummer kiest, of soms verandert, of télkens verandert’.

Toch is hiermee niet alles gezegd. Het is een ervaringsfeit dat op den duur de relatieve frequentie^8. van een gebeurtenis nadert tot een vaste waarde.^9. Zo zal de relatieve frequentie van de gebeurtenis Zero op den duur naderen tot de waarde 1/37. Dit is de inhoud van de empirische wet van de grote aantallen. Nadrukkelijk wijs ik erop, dat dit, zoals gezegd, een ervaringsfeit is - wij nemen waar (bijvoorbeeld door computersimulatie) dat relatieve frequenties naderen tot een limiet. Velen hebben getracht een logische verklaring voor

7. Geschreven voorjaar 1845 te Parakan Salak. Opgenomen in Max Havelaar. VW 1, p. 109.

8. Als na 100 coups rood 40 keer is uitgekomen, dan is op dat moment de relatieve frequentie van de gebeurtenis rood gelijk aan 4/10.

9. Vandaar dat Multatuli in de voetnoot op pagina 124 spreekt van ‘de norm’. Overigens, de norm die hij heeft berekend is onjuist. Naar verwachting bedraagt in 530 spelen het aantal succes-seriën boven de 5, dat is succes-seriën van 6 of meer, 4 13/63.

[p. 41]

dit fenomeen te geven. De meeste van die verklaringen wijken in essentie weinig af van wat Multatuli er over opmerkt, namelijk dat er geen reden bestaat voor het tegendeel, dat dit zou strijden tegen de eis van gelijke aanspraak (p. 186).

In het verleden is wel getracht kansmodellen op te stellen waarin kansen gedefinieerd werden als limieten van relatieve frequenties. Maar die limieten zijn denkbeeldige limieten, omdat proeven nooit oneindig vaak herhaald kunnen worden. Het bleek dan ook niet goed mogelijk op grond van deze denkbeeldige limieten een sluitende theorie over kansen te construeren. Daarom worden in de moderne modellen kansen axiomatisch ingevoerd, maar zo, dat de eigenschappen van deze axiomatische kansen nauw aansluiten bij die van relatieve frequenties. Want langs wiskundige weg kan nooit iets worden bewezen over de werkelijkheid. De waarschijnlijkheidsrekening schrijft niets voor, wel kan zij een dieper inzicht in de werkelijkheid verschaffen.

Menigeen leest in de empirische wet van de grote aantallen dingen die er beslist niet door worden geïmpliceerd. Op pagina 186 zegt Multatuli dat het bij simpele chance ondenkbaar is, dat één van de kleuren steeds blijft voorheersen, of wel, dat het niet mogelijk is dat één kleur, eenmaal vooruitgeraakt, een voorsprong blijft behouden. Nu is ‘altijd’, net als ‘oneindig’ een woord om mee te ‘goochelen’ (p. 172). Maar een ogenblik van gelijkheid kan zeer, zeer lang op zich laten wachten. Het is een door velen omhelsde misvatting als zouden de ogenblikken van gelijkheid elkaar snel opvolgen. Juist het tegendeel is waar: het is uiterst waarschijnlijk, dat de kleur die aan het slot van de avond voorheerst, bijna de gehele avond aan kop gelegen heeft. Het enige waar men zeker van zijn kan, en dat is dan ook het enige dat in de wet gelezen worden mag, is dat op den duur het percentage rode uitkomsten gelijk zal worden aan het percentage zwarte. En daartoe hoeft een verschil, hoe groot ook, niet te worden ingelopen, want elk verschil zal uiteindelijk in het niets verdwijnen. Dit wordt wel als volgt geformuleerd: de toekomst slokt het verleden op.

Systemen

Volgens Multatuli kunnen maar weinig spelers zich neerleggen bij het lot en als gevolg daarvan verlies van een deel van zijn geld - het merendeel zoekt zijn heil in systeemspel.

Als voorbeeld van zo'n systeem beschouwt Multatuli martingales, waarbij de speler hoog zet om vorige verliezen te dekken. De martingalist speelt op noir of rouge, en zo lang hij wint zet hij telkens één eenheid in. Maar na verlies verhoogt hij de inzet tot de dubbele van het in de vorige coup verloren bedrag. Een mogelijk spelverloop zou kunnen zijn:

[p. 42]

inzet	winst/verlies	opbrengst
1	w	+1
1	V	−1
2	V	−2
4	w	+4

De zin van verdubbelen na verlies is duidelijk: treedt er eenmaal weer winst op, dan zijn de verliezen ‘gedood’ en is er bovendien een eenheid gewonnen.

Zo op het eerste gezicht is dit een aantrekkelijke wijze van spelen. Het is uitgesloten dat een winnende coup oneindig lang op zich laat wachten, dus de geduldige speler lijkt zeker van winst.

Maar Multatuli wijst zelf de zwakke plekken van dit systeem al aan. De speler moet over een groot genoeg kapitaal beschikken om de gevolgen van lange verlies-seriën te kunnen opvangen. Bovendien weet de speler zich gehouden aan een door de bank vastgestelde maximale inzet. Multatuli gelooft dan ook niet dat martingales een winnend systeem is. Sterker, hij meent dit te kunnen aantonen.

Daartoe stelt hij zich een spel voor van ruim twee miljoen coups. Voor dat aantal stelt hij een frequentietabel van mogelijke winst-seriën op (p. 173). Vervolgens slaat hij aan het rekenen, en komt tot de conclusie ‘dat alle gewonnen eenheden die de martingalist naar zich toestrykt, verloren gaan door één serie die hy niet kan dóórzetten en welker bedrag hy dus verliest’ (p. 175).

Nu zal niemand beweren dat Multatuli's bewijsvoering uitmunt in elegantie en helderheid, noch kan zij streng worden genoemd. Bovendien is het bewijs ook inhoudelijk niet juist. Multatuli trekt namelijk uit zijn berekeningen de conclusie dat de martingalist quitte speelt, dat het bedrag dat wordt gewonnen gelijk is aan het bedrag dat wordt verloren. Maar wie de moeite neemt zijn berekeningen te controleren zal vinden, dat de speler in het geheel niet quitte speelt en zelfs geld verliest. Slordig gerekend dus.

De belangrijkste reden echter waarom de redenering niet deugt, is dat het fundament, de frequentietabel, onjuist is. Zo zegt Multatuli, dat de kans om twee keer achter elkaar te winnen (of te verliezen) gelijk is aan ¼, en dat dus een kwart van de zetten winst- of verlies-seriën van lengte 2 maken. Maar zo simpel is het niet. Gesteld dat de speler op een bepaald moment drie keer achter elkaar heeft gewonnen, dan hangt het van de uitkomst van de volgende coup af of er sprake was van een coup de trois, dan wel of er sprake is van een serie van tenminste vier. Verlies- en winst-seriën en grijpen in elkaar - winst-seriën worden gevolgd door verlies-seriën en kunnen daar niet onafhankelijk van bestaan. En om deze reden is de frequentieverdeling onjuist. Het opstellen van zo'n tabel vereist veel gecompliceerdere berekeningen dan die waarmee Multatuli meende te kunnen volstaan.

[p. 43]

Tenslotte

Ik heb hier niet alles kunnen bespreken wat zo al in het boek wordt beweerd, maar dat lijkt mij niet nodig om een conclusie te kunnen trekken omtrent Multatuli als kansrekenaar. Mijns inziens zal deze moeten luiden: Daar waar het gaat om het uitkomen van enkelvoudige gebeurtenissen - een bepaald nummer of een bepaalde kleur - bezat Multatuli een redelijk inzicht in de kansen. Dat hoeft ons niet te verwonderen, daar zulke kansen intuïtief duidelijk zijn. Zodra hij echter kwam te spreken over samengestelde gebeurtenissen, sloeg hij, nog steeds vertrouwend op zijn intuïtie, de plank regelmatig gevoelig mis. (Maar ondertussen wél tekeer gaan tegen specialisten.)

Vreemd genoeg waren zijn conclusies vaak wel correct. Zo zegt hij op pagina 171: ‘Over het geheel genomen, zal de martingalist juist zoveel keren stuiten op het fatale maximum, als nodig is om hem de gewonnen eenheden te doen verliezen’. Dit zag hij juist. Maar daar zal zijn jarenlange speelervaring niet vreemd aan zijn geweest.